ëåêöèè èñïîëüçîâàëèñü ìàòåðèàëû èç êíèãè È.À. Ëàâðîâà ¾Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà¿ è èç ñáîðíèêà Ò.Â. Àíäðååâîé ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ñîöèîëîãîâ¿. 1 Ðàçìåùåíèÿ n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì, ïåðåñòàíîâ- êè. Ïåðåéäåì òåïåðü ê îñíîâíîé ÷àñòè ëåêöèè. Ñåãîäíÿ íà÷èíàåì ãîâîðèòü î êîìáèíàòîðèêå. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, öåíòðàëüíîé çàäà÷åé êîìáèíàòîðèêè ìîæíî ñ÷èòàòü çàäà÷ó ðàçìåùåíèÿ îáúåêòîâ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíûìè ïðàâèëàìè è íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Ïðàâèëî ñóììû. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ (òî åñòü âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A ìîæíî n ñïîñîáàìè), à ìíîæåñòâî B m ýëåìåíòîâ (òî åñòü âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà B ìîæíî m ñïîñîáàìè), è íóæíî âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A ∪ B, ïðè ýòîì ìíîæåñòâà A è B íå ñîäåðæàò îáùèõ ýëåìåíòîâ (A ∩ B = ∅), òî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü n + m ñïîñîáàìè. Ïðèìåð 2.  ãðóïïå 6 þíîøåé è 15 äåâóøåê, íóæíî âûáðàòü ñòàðîñòó èç ãðóïïû. Òîãäà ñóùåñòâóåò 6+15=21 ñïîñîá âûáðàòü ñòàðîñòó. Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ (òî åñòü âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A ìîæíî n ñïîñîáàìè), à ìíîæåñòâî B m ýëåìåíòîâ (òî åñòü âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà B ìîæíî m ñïîñîáàìè), è íóæíî âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A è îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà B, òî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü n · m ñïîñîáàìè. Ïðèìåð 3a.  ãðóïïå 6 þíîøåé è 15 äåâóøåê, íóæíî âûáðàòü ïàðó ¾þíîøà è äåâóøêà¿ ñðåäè ïðèñóòñòâóþùèõ. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü 6 · 15 = 90 ñïîñîáàìè. Ïðèìåð 3b.  ñòîëîâîé èìååòñÿ ÷àé, êîôå, êîìïîò, âîäà è 7 âèäîâ âûïå÷êè. Ñòóäåíòêà ñîáèðàåòñÿ ïåðåêóñèòü êàêèì-íèáóäü íàïèòêîì ñ áóëî÷êîé. Îíà ìîæåò âûáðàòü ïåðåêóñ 4 · 7 = 28 ñïîñîáàìè. Çàìå÷àíèå.  ñîâåòàõ ¾êàê âñå âðåìÿ îäåâàòüñÿ ïî-ðàçíîìó ïðè íåáîëüøîì ãàðäåðîáå¿ ýòî ïðàâèëî èñïîëüçóåòñÿ ïîñòîÿííî (è êàæäûé ðàç âûäàåòñÿ çà íåîáûêíîâåííîå îòêðûòèå). Íàïðèìåð, åñëè ó äåâóøêè èìååòñÿ 3 ïàðû áðþê, 2 þáêè è 4 êîôòî÷êè, òî ó íåe èìååòñÿ (3 + 2) · 4 = 20 âàðèàíòîâ êîìïëåêòîâ. À åñëè ê ýòîìó äîáàâèòü ïàðó æàêåòîâ, òî ÷èñëî âàðèàíòîâ óòðàèâàåòñÿ (ìîæíî ïîéòè â îäíîì èç æàêåòîâ èëè áåç íåãî). Ôàêòîðèàë. Ôàêòîðèàëîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n. Îáîçíà÷àåòñÿ n!. Äëÿ óäîáñòâà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî 0! = 1. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî n! = n(n − 1)!. Íåóïîðÿäî÷åííûå ðàçìåùåíèÿ ïðåäìåòîâ ïî ÿùèêàì. Ïðèìåð 4a. Ïóñòü ó íàñ èìåþòñÿ 20 ðàçëè÷íûõ êàðàíäàøåé è 7 ÿùèêîâ (ðàçëè÷íûõ). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçëîæèòü êàðàíäàøè ïî ÿùèêàì? Ïåðâûé êàðàíäàø ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç ñåìè ÿùèêîâ, âòîðîé òîæå â ëþáîé èç ñåìè ÿùèêîâ. È òàê êàæäûé êàðàíäàø ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç ñåìè ÿùèêîâ. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî âñåãî èìååòñÿ 7| · .{z . . · 7} = 720 = 79 792 266 297 612 001 ≈ 8 · 1016 20 ðàç ñïîñîáîâ ðàçìåñòèòü 20 êàðàíäàøåé ïî 7 ÿùèêàì. 1 Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ è k ÿùèêîâ. Òîãäà êàæäûé ïðåäìåò ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç k ÿùèêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì, ÷òî âñåãî èìååòñÿ k . . · k} = k n | · .{z n ðàç ñïîñîáîâ ðàçìåñòèòü n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì. Ïðèìåð 4b. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîñ÷èòàòü, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ ðàñêðàñèòü 15 ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ â 10 öâåòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó êàæäûé ïðåäìåò ìîæíî ðàñêðàñèòü â ëþáîé èç k öâåòîâ, òî âñåãî ñóùåñòâóåò . . · 10} = 1015 |10 · .{z 15 ðàç ñïîñîáîâ ðàñêðàñèòü 15 ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ â 10 öâåòîâ. Ðàçìåùåíèå ïðåäìåòîâ ïî ÿùèêàì ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäûé ÿùèê ñîäåðæèò ðîâíî îäèí ïðåäìåò. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ 10 ðàçëè÷íûõ íîâîãîäíèõ ïîäàðêîâ è 15 ðàçëè÷íûõ ïîäàðî÷íûõ ïàêåòîâ. Ëþáîé ïîäàðîê ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé ïàêåò. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ óïàêîâàòü ïîäàðêè? Êàê è â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ, ïåðâûé ïîäàðîê ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç 15 ïàêåòîâ. Äëÿ âòîðîãî ïîäàðêà îñòàíåòñÿ íà âûáîð 14 ïàêåòîâ. Äëÿ òðåòüåãî 13, äëÿ ïîñëåäíåãî 6. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò 15 · 14 · 13 · . . . · 6 = 10 897 286 400 ≈ 1010 ñïîñîáîâ óïàêîâàòü ïîäàðêè. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå ôàêòîðèàëà, ýòî çíà÷åíèå ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðèìåð 5a. 15 · 14 · 13 · . . . · 6 = 15! 15 · 14 · 13 · . . . · 6 · 5 · 4 · . . . · 1 = . 5 · 4 · ... · 1 5! Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷èì äëÿ n ïîäàðêîâ è k ïàêåòèêîâ. Ïåðâûé ïîäàðîê ìîæíî óïàêîâàòü â ëþáîé èç k ïàêåòîâ, âòîðîé â ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ k − 1 ïàêåòîâ, òðåòèé â îäèí èç îñòàâøèõñÿ k − 2 ïàêåòîâ,. . . , ïîñëåäíèé â ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ k − n + 1 ïàêåòîâ. Ïîýòîìó âñåãî áóäåò k · (k − 1) · (k − 2) · . . . · (k − n + 1) = k · (k − 1) · (k − 2) · . . . · (k − n + 1) · (k − n) · (k − n − 1) · . . . · 1 k! = = (k − n) · (k − n − 1) · . . . · 1 (k − n)! ñïîñîáîâ óïàêîâàòü ïîäàðêè. Ïðèìåð 5b.  ãîñòèíèöå 15 îäíîìåñòíûõ íîìåðîâ. Ñêîëüêî ñïîñîáîâ ñóùåñòâóåò ðàññåëèòü 5 ïîñòîÿëüöåâ ïî ýòèì íîìåðàì (êàæäûé ïîñòîÿëåö ñîáèðàåòñÿ æèòü â îòäåëüíîì îäíîìåñòíîì íîìåðå). Ïåðâîãî ïîñòîÿëüöà ìîæíî ïîñåëèòü â îäíó èç 15 êîìíàò, âòîðîãî â îäíó èç 14, òðåòüåãî â îäíó èç 13, ÷åòâåðòîãî â îäíó èç 12, ïÿòîãî â îäíó èç 11. Ïîýòîìó âñåãî ñóùåñòâóåò 15 · 14 · 13 · 12 · 11 = 360 360 ñïîñîáîâ ðàññåëèòü 5 ïîñòîÿëüöåâ â 15 îäíîìåñòíûõ íîìåðîâ. Ïåðåñòàíîâêè. Ïðèìåð 6a. Íà êàðòî÷êàõ íàïèñàíû ÷èñëà îò 1 äî 7. Ïîñìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûëîæèòü ýòè êàðòî÷êè â ðÿä. Íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîìåñòèòü îäíó èç ñåìè êàðòî÷åê. Íà âòîðîå îäíó èç øåñòè,. . . , íà ïðåäïîñëåäíåå îäíó èç äâóõ, íà ïîñëåäíåå îäíó îñòàâøóþñÿ êàðòî÷êó. Òàêèì îáðàçîì, âñåãî ñóùåñòâóåò 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7! = 5040 ñïîñîáîâ âûëîæèòü 7 êàðòî÷åê â ðÿä. 2 Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî èõ óïîðÿäî÷èòü (ïðîíóìåðîâàòü)? Íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîìåñòèòü ëþáîé èç n ïðåäìåòîâ, íà âòîðîå ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ n − 1 ïðåäìåòîâ,. . . , íà k -å ìåñòî ìîæíî ïîìåñòèòü ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ n − k + 1 ïðåäìåòîâ,. . . , íà ïîñëåäíåå îäèí îñòàâøèéñÿ ïðåäìåò. À çíà÷èò, âñåãî ñóùåñòâóåò n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n! ñïîñîáîâ óïîðÿäî÷èòü n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ. Ïðèìåð 6b. Çàíÿòèå ó âàñ çàêîí÷èëîñü ÷óòü ðàíüøå è íèêîãî áîëüøå â ñòîëîâîé íåò (8 þíîøåé, 14 äåâóøåê). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè âû ìîæåòå âûñòðîèòüñÿ â î÷åðåäü?  ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññóæäåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè ïðåäûäóùèì, ïîëó÷àåì 22! = 1 124 000 727 777 607 680 000 ≈ 1021 ñïîñîáîâ. À åñëè íà ïåðâîå ìåñòî ïðîïóñòèì îäíó èç äåâóøåê? Òîãäà ïåðâûé ÷åëîâåê ìîæåò áûòü âûáðàí 14 ñïîñîáàìè, âòîðîé 21 ñïîñîáîì, òðåòèé 20 ñïîñîáàìè,. . . , ïðåäïîñëåäíèì ìîæåò áûòü îäèí èç äâóõ, à â êîíåö âñòàåò îñòàâøèéñÿ. Ïîëó÷àåì Ïðèìåð 6c. 14 · 21 · 20 · 19 · . . . · 2 · 1 = 14 · 21! ≈ 7 · 1020 . Ìîëîäûå ëþäè ðåøèëè ïðîïóñòèòü âñåõ äåâóøåê âïåðåä. Òîãäà î÷åðåäü ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ÷àñòè. Ñíà÷àëà óïîðÿäî÷èâàåì âñåõ äåâóøåê 14! ñïîñîáàìè, à ïîòîì âñåõ þíîøåé 8! ñïîñîáàìè. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî âûñòðîèòü ñóùåñòâóåò Ïðèìåð 6d. 14! · 8! = 87 178 291 200 · 40 320 = 3 515 028 701 000 000approx3.5 · 1015 ñïîñîáîâ âûñòðîèòüñÿ â î÷åðåäü òàêèì îáðàçîì. Óïîðÿäî÷åííîå ðàçìåùåíèå n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì. Ïðèìåð 7a. Ïîñ÷èòàåì òåïåðü ñïîñîáû ïîñòàâèòü íàøó ãðóïïó èç 22 ÷åëîâåê äðóãèì ñïîáîì. Òåïåðü áóäåì âûáèðàòü íå ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà, êîòîðîãî ñòàâèì â î÷åðåäü, à ìåñòî â î÷åðåäè äëÿ ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà, à ëþäè ïóñòü ó íàñ êàê-òî óæå çàíóìåðîâàíû. Ïåðâîãî ÷åëîâåêà ìîæåì ïîñòàâèòü ê êàññå è âñå. Âòîðîãî ëèáî ïåðåä ïåðâûì, ëèáî ïîñëå. Òðåòüåãî ê êàññå, ìåæäó äâóìÿ ïðåäûäóùèìè èëè â êîíåö. Ïðè ýòîì êàæäûé ñëåäóþùèé ÷åëîâåê äåëèò ¾ñâîé êóñî÷åê î÷åðåäè¿ íà äâå ÷àñòè. Ïîýòîìó k ãî ÷åëîâåêà ìîæíî ïîñòàâèòü íà k ìåñò. Ñëåäîâàòåëüíî, è ïðè òàêîì ñïîñîáå ïîäñ÷åòà âàðèàíòîâ èìååì 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n!. Ïðèìåð 7b. Ïóñòü â ñòîëîâîé îòêðûëàñü âòîðàÿ è òðåòüÿ êàññû. Òåïåðü ïåðâîãî ÷åëîâåêà ìîæåì ïîñòàâèòü â îäíó èç 3 êàññ òðè ñïîñîáà. Âòîðîãî ëèáî â îäíó èç äâóõ ïóñòûõ êàññ, ëèáî â êàññó, ãäå ñòîèò ïåðâûé, ïðè÷åì äâóìÿ ñïîñîáàìè: äî èëè ïîñëå íåãî. Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, êàæäûé ÷åëîâåê äåëèò ¾ñâîé êóñî÷åê î÷åðåäè¿ íà äâå ÷àñòè. À çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà ñóùåñòâóåò íà îäèí âàðèàíò ïîñòàíîâêè áîëüøå, ÷åì äëÿ ïðåäûäóùåãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò 3 · 4 · 5 · . . . · 22 · 23 · 24 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · . . . · 22 · 23 · 24 = 1·2 24! = = 620 448 401 733 239 439 360 000 ≈ 6 · 1023 2! 3 ñïîñîáîâ ïîñòàâèòü 22 ÷åëîâåêà â 3 êàññû. Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Òåïåðü ìû õîòèì ïîñòàâèòü n ÷åëîâåê â k êàññ. Ïåðâîãî ÷åëîâåêà ìîæåì ïîñòàâèòü â ëþáóþ èç k êàññ. Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, êàæäûé ÷åëîâåê äåëèò ¾ñâîé êóñî÷åê î÷åðåäè¿ íà äâå ÷àñòè. À çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà ñóùåñòâóåò íà îäèí âàðèàíò ïîñòàíîâêè áîëüøå, ÷åì äëÿ ïðåäûäóùåãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò k(k + 1)(k + 2) · . . . · (n + k − 1) = (n + k − 1)! 1 · 2 · . . . · (k − 1)k(k + 1)(k + 2) · . . . · (n + k − 1) = = 1 · 2 · . . . · (k − 1) (k − 1)! ñïîñîáîâ ïîñòàâèòü n ÷åëîâåê â k î÷åðåäåé. Ïðèìåð 7c. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü 7 êíèã íà 3 ïîëêàõ.  äàííîì ñëó÷àå íàì ïîðÿäîê âàæåí, ïîýòîìó çàäà÷à ïîõîæà íà ðàññòàíîâêó ëþäåé â î÷åðåäè.  òàêîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì 3 · 4 · ... · 8 · 9 = 9! = 181 440 2 ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü 7 êíèã íà 3 ïîëêàõ. Ïðèìåð 8. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ 15 ðàçëè÷íûõ äåðåâÿííûõ èãðóøåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæåì èõ ðàñêðàñèòü â 5 öâåòîâ (êàæäóþ èãðóøêó êðàñèì ðîâíî â îäèí öâåò)? Ïåðâóþ èãðóøêó ìîæåì ïîêðàñèòü â îäèí èç 5 öâåòîâ, âòîðóþ òîæå â îäèí èç ïÿòè öâåòîâ, è òàê êàæäóþ èç 15 èãðóøåê ìîæåì ïîêðàñèòü â îäèí èç 5 öâåòîâ. Âñåãî ïîëó÷àåì 5| · 5 ·{z. . . · 5} = 515 = 30 517 578 125 ≈ 3 · 1010 . 15 Íà ïîëêå ñòîèò 15 ðàçëè÷íûõ êíèæåê, à â ñóìêó ïîìåùàþòñÿ òîëüêî 3. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âçÿòü 3 êíèæêè ñ ïîëêè (â ñóìêó)? Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ðàñïîëîæåíèå (ïîðÿäîê) êíèæåê â ñóìêå âàæåí. Òîãäà ïåðâóþ êíèæêó ìû ìîæåì âçÿòü îäíó èç 15, âòîðóþ îäíó èç 14, òðåòüþ îäíó èç îñòàâøèõñÿ 13. Òî åñòü âñåãî 15 · 14 · 13 ñïîñîáîâ. Ïóñòü ìû âçÿëè êíèæêè A, B, C. Åñëè îíè ó íàñ ëåæàò â ñóìêå ¾êó÷åé¿, òî óïîðÿäî÷èòü ìû èõ ìîæåì 3! = 6 ñïîñîáàìè. Çíà÷èò, êàæäîìó áåñïîðÿäî÷íîìó íàáîðó èç 3 êíèæåê ñîîòâåòñòâóåò 6 óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ðàçíûì íåóïîðÿäî÷åííûì íàáîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû. ×èñëî óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ ìû çíàåì, ïîýòîìó ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëî ¾êó÷åê¿ ðàâíî 15 · 14 · 13 = 455. 1·2·3 Îáîáùèì ýòó çàäà÷ó. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ïðåäìåòîâ, íàì íóæíî âûáðàòü k èç íèõ. n! Åñëè áû áûë âàæåí ïîðÿäîê ïðåäìåòîâ (íàïðèìåð, êíèãè íà ïîëêå), òî áûëî áû (n − k)! ñïîñîáîâ ñäåëàòü âûáîð. Ïîñêîëüêó k ïðåäìåòîâ ìîæíî óïîðÿäî÷èòü k! ñïîñîáàìè, òî êàæäîé íåóïîðÿäî÷åííîé âûáîðêå èç k ïðåäìåòîâ ñîîòâåòñòâóåò k! óïîðÿäî÷åííûõ íàn! áîðîâ. À çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ âûáðàòü k ýëåìåíòîâ èç n. k!(n − k)! Ïðèìåð 9. 4 Ñóùåñòâóåò äâà ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷åíèÿ ýòîãî ÷èñëà: n! n k = Cn = . k k!(n − k)! k ðàçëè÷íûì ÿùèêàì. Ðàçáèåíèå íàòóðàëün ïðåäìåòîâ â k öâåòîâ. Ïðèìåð 10.  ïðîøëûé ðàç áûëà îçâó÷åíà (íî íå ðåøåíà) ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. ß áåðó 10 ìàðêåðîâ. Îíè ìîãóò áûòü êðàñíûìè, ñèíèìè, ÷åðíûìè è çåëåíûìè. Ñêîëüêî ñïîñîáîâ âçÿòü íàáîð èç 10 ìàðêåðîâ ñóùåñòâóåò? Âñå ìàðêåðû îäíîãî öâåòà îäèíàêîâûå. Ðàçìåùåíèå n ïðåäìåòîâ ïî íîãî ÷èñëà. Ðàñêðàñêà Áîëüøèíñòâî ïðåäëîæåíèé ñâîäèëîñü ê òîìó, ÷òî ïîñ÷èòàòü ¾êàê áóäòî âñå ìàðêåðû ðàçíûå¿, à ïîòîì êàê-òî ïîïûòàòüñÿ ó÷åñòü, ÷òî ìàðêåðû îäíîãî öâåòà îäèíàêîâûå. Ýòî áûëî áû íåñëîæíî ñäåëàòü, åñëè áû êîëè÷åñòâî ìàðêåðîâ êàæäîãî öâåòà áûëî áû ôèêñèðîâàííûì (íî òîãäà ïðîïàëà áû ñàìà çàäà÷à). Äàâàéòå âîçüìåì 10 ìàðêåðîâ è ðàçëîæèì ïî 4 ¾ÿùèêàì ñ êðàñêîé¿. Ó íàñ ïîëó÷èòñÿ ïðèìåðíî ñëåäóþùåå: | |{z} ooo | |{z} oo | |{z} oo | |{z} ooo | ê ñ ÷ ç èëè òàê: o | | ooooo | {z } | |{z} | {z } | |{z} | oooo ê ñ ÷ ç èëè äàæå òàê (âñå-òàêè ÷åðíûé öâåò ìàðêåðà íà ëåêöèè ïðåäïî÷òèòåëåí): | |{z} | |{z} | oooooooooo | {z } | |{z} |. ñ ê ç ÷  ëþáîì ñëó÷àå ó íàñ èìååòñÿ 10 ìàðêåðîâ è 3 ¾ðàçäåëèòåëÿ ïî öâåòàì¿ (êðàéíèå âåðòèêàëüíûå ïàëî÷êè ïîëîæåíèÿ íå ìåíÿþò), êîòîðûå ìû è ðàñïîëàãàåì íà 13 ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìåñòàõ. À çíà÷èò, íàì íàäî âûáðàòü èç 13 ìåñò 3 äëÿ ¾ðàçäåëèòåëåé¿, à îñòàëüíûå çàïîëíèòü ¾ìàðêåðàìè-êðóæî÷êàìè¿ åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì. Ñäåëàòü ýòî 3 ìîæíî C13 = 13·12·11 = 286 ñïîñîáàìè. 3·2 Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ïðåäìåòîâ êîòîðûå ìû õîòèì ðàçëîæèòü ïî k ÿùèêàì (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ðàñêðàñèòü â k öâåòîâ). Òîãäà îïÿòü æå, íàì n ïðåäìåòîâ è k − 1 ðàçäåëèòåëü íàäî óïîðÿäî÷èòü íà n + k − 1 ìåñòå. Âûáðàòü ìåñòà äëÿ k−1 ¾ðàçäåëèòåëåé¿ ìîæíî Cn+k−1 ñïîñîáàìè. Íà îñòàëüíûå n ìåñò n îäèíàêîâûõ ïðåäìåk−1 òîâ ðàçìåùàþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò Cn+k−1 ñïîñîáîâ ðàçëîæèòü n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì. Îáîáùèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû. Ïóñòü ó íàñ åñòü âûáîðêà èç n ýëåìåíòîâ ïî k. Òîãäà ÷èñëî ñïîñîáîâ ñ÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, óïîðÿäî÷åííàÿ ëè âûáîðêà è åñòü ëè ïîâòîðåíèÿ. óïîðÿäî÷åííûå íåóïîðÿäî÷åííûå ñ ïîâòîðåíèÿìè ïåðåñòàíîâêà (ðàçìåùåíèå) ñ ïîâòîðåíèÿìè nk ñî÷åòàíèÿ ñ k ïîâòîðåíèÿìè Cn+k−1 5 áåç ïîâòîðåíèé ïåðåñòàíîâêà (ðàçìåùåíèå) n! áåç ïîâòîðåíèé (n−k)! ñî÷åòàíèÿ áåç n! ïîâòîðåíèé Cnk = (n−k)!k!