Ñåìèíàð 1. Îáùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü Áàçîâûì ïîíÿòèåì äëÿ ðàáîòû ñ âåðîÿòíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Äëÿ åãî çàäàíèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà. Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ìû ñîïîñòàâëÿåì åìó íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî âåðîÿòíîñòü, òàê ÷òî ñóììà âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Ïðèìåð 1. Ïðåäñòàâèì ñåáå ýêñïåðèìåíò ïî èçâëå÷åíèþ êàðòû èç îáû÷íîé èãðàëüíîé êîëîäû èç 36 êàðò. Âñåãî äëÿ ýòîé êàðòû ìîæåò áûòü 36 âàðèàíòîâ. Ýòè 36 âàðèàíòîâ è ïðåäñòàâëÿþò ýëåìåíòàðíûå èñõîäû. Èç ñîîáðàæåíèÿ ñèììåòðèè âñå èñõîäû ðàâíîâåðîÿòíû, à çíà÷èò èìåþò âåðîÿòíîñòü 1/36. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íåêîòîðîì îáðàçîì êîäèðóåò ðåàëüíûå èñõîäû ýêñïåðèìåíòà. Íàïðèìåð, Ω1 = {(a, b), a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, Â,Ä,Ê,Ò}, b ∈ {ïèê, òðåô, áóáåí, ÷åðâ}}, Ω2 = {(i, j), i ∈ {1, ..., 9}, j ∈ {1, ..., 4}}, Ω3 = {1, 2, ..., 36}. Ω1 òðèâèàëüíàÿ êîäèðîâêà èñõîäîâ ñ ïîìîùüþ äîñòîèíñòâà è ìàñòè.  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå çàäà÷è î÷åíü ëåãêî ïåðåâîäèòü íà ÿçûê íàøåãî ïðîñòðàíñòâà, çàòî íå î÷åíü óäîáíî ðàáîòàòü ñ ñàìèì ïðîñòðàíñòâîì, ïîñêîëüêó ýëåìåíòû íå îïèñûâàþòñÿ êàêèì-òî îáùèì ïðèíöèïîì. Ω2 êîäèðóåò íàøè êàðòû ïóòåì çàìåíû ñèìâîëà äîñòîèíñòâà è áóêâû ìàñòè íà ÷èñëî. È íàêîíåö Ω3 êîäèðóåò êàðòû ïóòåì êàêîãî-òî óïîðÿäî÷èâàíèÿ, íàïðè- {1, ..., 9} ïèêè ïî ïîðÿäêó, {10, ..., 18} òðåôû ïî ïîðÿäêó, {19, ..., 27} áóáíû, {28, ..., 36} ÷åðâû.  ðàçíûõ ñëó÷àÿõ íàì ìîæåò áûòü óäîáíà òà èëè èíàÿ èåðàðõèÿ. ìåð, Çà÷åì íóæíî ñòðîèòü âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî? Âî-ïåðâûõ, ìíîãèå ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèå çàäà÷è êîäèðóþòñÿ îäíèì è òåì æå ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïîýòîìó ïîñòðîåíèå ïðîñòðàíñòâà ñâîäèò ìíîãèå ðàçëè÷íûå çàäà÷è ê îäíèì è òåì æå ìîäåëÿì. Âî-âòîðûõ, ïîñòðîåíèå óäà÷íîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà çà÷àñòóþ çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò çàäà÷ó. Â-òðåòüèõ, âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ôîðìàëèçóåò çàäà÷ó è ñíèæàåò øàíñ íà îøèáêó.  ðàìêàõ ïåðâûõ ñåìèíàðîâ ìû áóäåì î÷åíü âíèìàòåëüíî îòíîñèòüñÿ ê ïîñòðîåíèþ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà è âñå çàäà÷è áóäóò ïðèíèìàòüñÿ òîëüêî ïðè óñëîâèè åãî ïîñòðîåíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî ðèìåíòà è íóìåðîâàòü èõ ω1 , ..., ωN . N ìûñëèìûõ èñõîäîâ ýêñïå-  ðàìêàõ ñåãîäíÿøíåãî çàíÿòèÿ ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ êëàññè÷åñêèì ñëó÷àåì, òî åñòü ñëó÷àåì, êîãäà ìû ñòðîèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâà ñ èñõîäàìè ðàâíîé âåðîÿòíîñòè P (ωi ) = 1/N . ×àùå âñåãî íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü íå ñàìè ωi , à èõ îáúåäèíåíèÿ, íàïðèìåð, äëÿ îïû- òà ñ êàðòàìè ìû ìîæåì çàèíòåðåñîâàòüñÿ âîïðîñîì î ìàñòè êàðòû èëè åå äîñòîèíñòâå. Ïîýòîìó íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñîáûòèÿ ïîäìíîæåñòâà ÷åíèè êîíå÷íûõ èëè ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ Ω) Ω. Íà ýòîì ýòàïå (ïðè èçó- â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñîáûòèé ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω, òàê íàçûâàåìîå ìíîæåñòâî F ìû 2Ω . áóäåì Ïðèìåð 2. âèä îíî Ω1 îíî èìååò Ω2 {(i, j) : i ∈ {1, ..., 9}, j = 1}.  Ω3  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñîáûòèå êàðòà ïèêîâàÿ.  {(a, b), a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, Â,Ä,Ê,Ò}, b = ïèê}. áóäåò èìåòü âèä {i : i ≤ 9}.  Òðåòüèì èíòåðåñóþùèì íàñ îáúåêòîì áóäåò âåðîÿòíîñòü. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ ìû íàçûâàåì ÷èñëî ìîùíîñòü P P (A) := i:ωi ∈A pi , â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå P (A) = |A|/N , ãäå |A| A A. P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B), Èç èìåþùåãîñÿ îïðåäåëåíèÿ ïðÿìî ñëåäóþò ôîðìóëû P (¬A) = 1 − P (A). Îòìåòèì äâà âàæíûõ äëÿ íàñ îáîçíà÷åíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Ïåðåñå÷åíèå A ∩ B ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî AB , îáúåäèíåíèå A ∪ B íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ A + B . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî P (A + B) = P (A) + P (B). Âîïðîñ. À ÷åìó ðàâíà P (A ∪ B)?  ñëó÷àå n ñîáûòèé àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèé-èñêëþ÷åíèé P (∪ni=1 Ai ) = n X P (Ai ) − i=1 Ïðèìåð 3. X P (Ai Aj ) + .... − (−1)n P (A1 ...An ). i6=j Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò ñ ïîäáðàñûâàíèåì ñèììåòðè÷íîé ìîíåòû äâà ðà- çà.  êà÷åñòâå ïåðâîãî, ñàìîãî åñòåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà, ìîæíî èñïîëüçîâàòü {ÃÃ, Ω1 = ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}, ãäå à è Ð ñîîòâåòñòâóþò ãåðáó è ðåøåòêå, âûïàâøèì íà ìîíåòå. Ïðè ýòîì êàæäîìó èç 4 èñõîäîâ ìû ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòü A1 , çàêëþ÷àþùååñÿ âåðîÿòíîñòü 1/2. ñêîìó ñëó÷àþ. Ñîáûòèå ýòîé ìîäåëè 1/4, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷å- â òîì, ÷òî âûïàë ðîâíî îäèí ãåðá, èìååò â  êà÷åñòâå âòîðîãî âàðèàíòà ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Ω2 = {0, 1}, ãäå 0 ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ðåçóëüòàòû áðîñêîâ îäèíàêîâû, 1 - ÷òî ðå- çóëüòàòû áðîñêîâ ðàçíûå. Áóäåì èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêèé ïîäõîä. Ïðè ýòîì ñîáûòèå A2 = {1} ýêñïåðèìåíòàëüíî 1/2, ÷òî è â ïåðâîé ìîäåëè. Îäíàêî, {äâà íèé, ìîæíî ñîîòâåòñòâóåò ñîáûòèþ ïðåäëîæèòü äðóãîå íà ìîíåòàõ, áåç èõ â Ω1 è èìååò òó æå âåðîÿòíîñòü âåðîÿòíîñòíîå ãåðáà, ãåðá è ðåøåòêà è äâå ðåøåòêè}, âûïàâøèõ A1 ÷òî ïðîñòðàíñòâî ñîîòâåòñòâóåò óïîðÿäî÷èâàíèÿ. Ïðè êëàññè÷åñêèé ïîäõîä, òî âñå ýòè ñîáûòèÿ ïîëó÷àò âåðîÿòíîñòü A3 = {ãåðá è ðåøåòêà}, îòâå÷àþùåå ñîáûòèþ Êàê ìû ìîæåì âèäåòü, äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A1 . èç Ω1 , Ω2 , Ω3 Ω3 ñîâîêóïíîñòè ýòîì 1/3, åñëè = çíà÷å- èñïîëüçîâàòü â ÷àñòíîñòè ñîáûòèå îòâå÷àþùèõ îäíîìó ðåçóëüòàòó ýêñïåðèìåíòà, èõ âåðîÿòíîñòè îäèíàêîâû. Ïîýòîìó ìîäåëè äðóãó. Ìîäåëü Ω3 Ω1 , Ω2 ñîîòâåòñòâóþò äðóã èì íå ñîîòâåòñòâóåò, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëü ñ òåì æå ïðîñòðàíñòâîì áûëà áû ïðè âåðîÿòíîñòÿõ 1/4, 1/2, 1/4, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì. Ñîîòâåòñòâóþùèå äðóã äðóãó ìîäåëè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äðóã âìåñòî äðóãà äëÿ ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòè îïûòà, êîòîðûé ìîæíî íàáëþäàòü è â ïåðâîé, è âî âòîðîé ìîäåëè, îíè îòâå÷àþò îäíîé ðåàëüíîñòè, íî îòëè÷àþòñÿ èíòåðïðåòàöèåé óâèäåííîãî. Íåñîîòâåòñòâóþùèå ìîäåëè ìîãóò äàòü ðàçíûå îòâåòû î âåðîÿòíîñòè îäíîãî è òîãî æå ñîáûòèÿ, îíè îòâå÷àþò íàáëþäàòåëÿì èç ðàçíûõ ðåàëüíîñòåé. Íåóäà÷íûé âûáîð âåðîÿòíîñòåé â âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ïðèâåäåò íàñ ê âåðîÿòíîñòÿì ñîáûòèé, íåñîîòâåòñòâóþùèì íàøåé îêðóæàþùåé ðåàëüíîñòè. Ðàññìîòðèì 4 çíà÷èìûõ ìîäåëè, ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðó øàðîâ èç óðíû. Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì óðíó, â êîòîðîé ëåæàò øàðû ñ íîìåðàìè ìåíò çàêëþ÷àåòñÿ â âûòÿãèâàíèè k 1, 2, ..., N . Ýêñïåðè- øàðîâ è ôèêñàöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòÿãèâàå- ìûõ íîìåðîâ. Øàðû âûòÿãèâàþòñÿ îäèí çà äðóãèì, ïîñëå êàæäîãî âûòÿãèâàíèÿ øàð âîçâðàùàåòñÿ íàçàä â óðíó (òàê íàçûâàåìûé óïîðÿäî÷åííûé âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì).  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íîñòåé (i1 , ..., ik ), i1 , ..., ik ãäå Ω1 âîçüìåì ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëü- ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â òàêîì ñëó÷àå ðàâíà ïðèïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü Ïðèìåð 5. {1, ..., N }. Ìîùíîñòü N k . Âñåì ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì 1/N k . Äëÿ óðíû èç ïðèìåðà 2 ïðîèçâåäåì àíàëîãè÷íûé ýêñïåðèìåíò, íî íå áóäåì òåïåðü âîçâðàùàòü øàðû â óðíó (òàê íàçûâàåìûé óïîðÿäî÷åííûé âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ).  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íîñòåé (i1 , ..., ik ), ãäå i1 , ..., ik Ω2 âîçüìåì ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëü- ðàçëè÷íû è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà {1, ..., N }. Êàêîâà òîãäà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ? Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî îíà AkN = N (N − 1)(N − 2)...(N − k + 1). Âñåì ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì ïðèïèøåì ñîîòk âåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü 1/AN . Ðàçíèöà ñ ïðèìåðîì 3 â òîì, ÷òî òàì ìû ðàññìàòðèâàëè åñòü óïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à òåïåðü íåóïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Ïðèìåð 6. Äëÿ óðíû èç ïðèìåðà 2 áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî à) øàðû â óðíó íå âîçâðàùàþòñÿ á) ìû âèäèì òîëüêî èòîãîâûé íàáîð øàðîâ, íå çíàÿ èõ ïîðÿäêà â) âñå òàêèå íàáîðû ðàâíîâåðîÿòíû.  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ {i1 , ..., ik }, ãäå i1 , ..., ik ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1 äî N Ω3 âîçüìåì ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ è ðàçëè÷íû. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî CNk = AkN /k!. Âñåì ýëåìåíòàð1/CNk . ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ïðè ýòîì åñòü íûì èñõîäàì ïðèïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü Ïðèìåð 7. Ω̃4 Ðàññìîòðèì ïðèìåð 4 áåç ïóíêòà à). Ïî àíàëîãèè â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ñëåäîâàëî áû âçÿòü ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ÷åíèÿ îò 1 äî N. {i1 , ..., ik }, ãäå i1 , ..., ik ïðèíèìàþò çíà- Îäíàêî, íàèáîëåå ïðîñòî è íàãëÿäíî ïîäñ÷åò ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ äðóãîãî ïðîñòðàíñòâà.  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω4 âîçüìåì ìíî- (i1 , ..., iN −1 ), ãäå 0 ≤ i1 ≤ i2 ... ≤ iN −1 ≤ k , ãäå il îáîçíà÷àåò áîëüøå l . Êàêîâà òîãäà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ æåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÷èñëî øàðîâ ñ íîìåðîì íå èñõîäîâ? Ðåøèì ñïåðâà âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó: êàêîâà áûëà áû ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, åñëè áû ìû ïîòðåáîâàëè, ÷òîáû âñå íåðàâåíñòâà áûëè ñòðîãèìè? Òîãäà çàäà÷ó ìîæíî áûëî áû èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûáðàòü íåóïîðÿäî÷åííûé íàáîð èç N −1 ÷èñëà èç ìíîæåñòâà {1, ..., k − 1}, ò.å. áûëî áû N −1 Ck−1 âàðèàíòîâ. (i1 , ..., iN −1 ) = iN −1 + N − 1), ãäå Óáèðàÿ îãðàíè÷åíèå íà ñòðîãîñòü íåðàâåíñòâ, çàìåòèì, ÷òî òàêîìó íàáîðó 1 äî k ñîîòâåòñòâóåò íàáîð (j1 = i1 + 1, j2 = i2 + 2..., jN −1 0 < j1 < ... < jN −1 < k + N . Ýòî îòîáðàæåíèå áèåêòèâíîå, à çíà÷èò ÷èñåë îò íàáîðîâ è òàì, è òàì ïîðîâíó. Íî âòîðàÿ çàïèñü íàáîðà ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó ñî ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè, òî åñòü −1 . CNN+k−1 Òàêèì îáðàçîì, â −1 Ω4 CNN+k−1 èñõîä, â ñèëó óñëîâèÿ â) êàæäîìó èç íèõ N −1 ìîæíî ïðèïèñàòü âåðîÿòíîñòü CN +k−1 . Ïðèìåð 8. Íà ýêçàìåíå êàæäûé ñòóäåíò çíàåò ïåðâûå M áèëåòîâ èç N. n ñòóäåíòîâ ïî î÷åðåäè òÿíóò áèëåòû. Ïîñòðîèòü âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî k -ûé ñòóäåíò âûòÿíåò çíàêîìûé áèëåò, åñëè áèëåòû òÿíóòñÿ à) ñ âîçâðàùåíèåì á) áåç âîçâðàùåíèÿ. Ω = {(i1 , ...., in )}, ãäå ij íîìåð áèëåòà j ñòóäåíòà, ïðè÷åì ij = 1....M çíàêîìûå áèëåòû, i1 , ...in ëþáûå îò 1 äî N .  ïåðâîì ñëó÷àå |Ω| = N n , à ñîáûòèå A ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé A = {(i1 , ..., in ) : ik ∈ {1, ..., M }}. Ïðè ýòîì |A| = N n−1 M , ïîñêîëüêó i1 , i2 ,...,ik−1 , ik+1 ,...,in ïðèíèìàþò ëþáûå çíà÷åíèÿ îò 1 äî N , à ik ëþáîå îò 1 äî M . Ñëåäîâàòåëüíî, P (A) = M/N . á) âî âòîðîì ñëó÷àå âîçüìåì àíàëîãè÷íîå Ω, ãäå i1 , ..., in ðàçëè÷íûå. Ïðè ýòîì |Ω| = N · (N − 1)... · (N − n + 1), |A| = M · (N − 1)... · (N − n + 1), ïîñêîëüêó äëÿ ik åñòü M âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ, i1 N −1 îñòàâøèéñÿ è ò.ä. Ïðè ýòîì P (A) = M/N . Ñëåäîàâòåëüíî, â îáîèõ ñëó÷àÿõ âñå ñòóäåíòû èìåþò âåðîÿòíîñòü M/N âûòàùèòü çíàêîìûé áèëåò. Ïðèìåð 9. Ðàññìîòðèì íàáîð èç N ïðîíóìåðîâàííûõ ÿùèêîâ, ïî êîòîðûì ìû ðàçëîæèì k íåðàçëè÷èìûõ äðîáèíîê òàê, ÷òîáû íè â îäèí ÿùèê íå ïîëîæèòü áîëåå îäíîé. à) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî çàäàäèì Ïðè ýòîì âñåâîçìîæíûå íàáîðû ðàçëîæåíèé äðîáèíîê áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîâåðîÿòíûìè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A= ïåðâûé ÿùèê ïîïàëà äðîáèíêà. Çàäà÷à ïîäõîäèò ïîä âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî â òåðìèíàõ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà i1 , ..., ik èç ðàçëè÷íûõ ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ åñòü 1. Çà èñêëþ÷åíèå 1 ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèò k−1 ðàçëè÷íûé ýëåìåíò îò 2 äî N . Ñëåäîâàòåëüíî k |A| = Ak−1 N −1 , Ω3 = AN , Ak−1 P (A) = Nk−1 . AN ñîáûòèå A Ω3 , ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ Òàêèì îáðàçîì, îäíà è òà æå âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ñâîäèòü äðóã ê äðóãó ìíîæåñòâó ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ â áûòîâîì ñìûñëå çàäà÷. Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Ω4 ïðèìåðà 5 ïîäõîäèò äëÿ îïèñàíèÿ ìîäåëè ðàñêëàäûâàíèÿ äðîáèíîê ïî ÿùèêàì òàêæå, êàê â ïðèìåðå 7, íî ñ ðàçðåøåíèåì êëàñòü áîëåå îäíîé äðîáèíêè â ÿùèê. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ïîçâîëÿåò ñâîäèòü ðàçíûå ôèçè÷åñêèå çàäà÷è ê îäíîé è òîé æå ìàòåìàòè÷åñêîé. Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ñëåäóþùèé ýôôåêò. Ïðîñòðàíñòâà ïðèìåðîâ 3 è 4 ñîãëàñîâàíû ìû ìîæåì ñìîòðåòü êàê øàðû âûòÿãèâàþòñÿ óïîðÿäî÷åííî, ëèáî íàáëþäàòü òîëüêî êîíå÷íûé ðåçóëüòàò, íî îäíè è òå æå ñîáûòèÿ (íàïðèìåð, ñîáûòèå áûë õîòÿ áû ðàç âûòÿíóò øàð íîìåð 1) èìåþò îäíó è òó æå âåðîÿòíîñòü. Îäíàêî âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà ïðèìåðîâ 5 è 2 äëÿ îïèñàíèÿ ýòîé çàäà÷è íå ñîîòâåòñòâóþò äðóã äðóãó, ÷òî ëåãêî ìîæ- {âñå ðàçû âûòÿíóò ïåðâûé øàð}.  ìîäåëè −1 k 1/CNN+k−1 , â ìîäåëè ïðèìåðà 2 - 1/N . íî óâèäåòü íà ïðèìåðå èñõîäà ñîáûòèå èìååò âåðîÿòíîñòü ïðèìåðà 5 ýòî Òàêèì îáðàçîì, ïðèïèñûâàíèå îäèíàêîâûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ èñõîäîâ óïîðÿäî÷åííîãî èëè íåóïîðÿäî÷åííîãî âûòÿãèâàíèÿ øàðîâ ñ âîçâðàùåíèåì ÿâëÿåòñÿ äàåò äâå ðàçíûõ ðåàëüíîñòè.  îäíîì ñëó÷àå ðàâíîâåðîÿòíû âñå âîçìîæíîñòè äëÿ êàæäîãî èç øàðîâ, à â äðóãîì âñå âîçìîæíûå ðàñêëàäêè âñåõ øàðîâ. Ïåðâûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò òàê íàçûâàåìîé ñòàòèñòèêå Ìàêñâåëëà-Áîëüöìàíà è ïîäõîäèò äëÿ îïèñàíèÿ, íàïðèìåð, ðàñïîëîæåíèé êîíå÷íûõ íàáîðîâ ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâå, âòîðîé - Áîçå-Ýéíøòåéíà è ïîäõîäèò, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïîëîæåíèé ôîòîíîâ. Ñèòóàöèÿ íåóïîðÿäî÷åííîãî âûòÿãèâàíèÿ øàðîâ áåç âîçâðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñòàòèñòèêå Ôåðìè-Äèðàêà è ïîäõîäèò, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïîëîæåíèÿ ýëåêòðîíîâ. Äëÿ îïèñàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ÿ ìîãó âûáðàòü òîëüêî îäíó èç ýòèõ ìîäåëåé, à âûáðàòü ïîäõîäÿùóþ ÿ äîëæåí èñõîäÿ èç õàðàêòåðà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ëèáî ó ìåíÿ êàæäàÿ ÷àñòèöà íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî óðîâíÿì, ëèáî âñå ÷àñòèöû âìåñòå âûáèðàþò îäíó èç âîçìîæíûõ ðàññòàíîâîê. 1.1.0 Íàóãàä âûáèðàåòñÿ 4çíà÷íûé àâòîìîáèëüíûé íîìåð. Íàéòè âåð-òü òîãî, ÷òî âñå öèôðû èäóò íåóáûâàÿ. 1.2.0 Èç âñåõ îòîáðàæåíèé {1, ..., n} â ñåáÿ âûáèðàåòñÿ îäíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî ìîíîòîííî. 1.3.0 Èç öåëî÷èñëåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé óðàâåíåíèÿ x1 +...+xN = k ñëó÷àéíî âûáèðàåòñÿ îäíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî ñîñòîèò èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. 1.1.1 Ïà÷êó êàðò èç 36 øòóê ðàçäåëèëè íà äâå ïîëîâèíû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â êàæäîé ïî 2 òóçà. 1.2.1 n êëþ÷åé, èç êîòîðûõ îäèí ïîäõîäÿùèé, ïî î÷åðåäè èñïîëüçóþòñÿ â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå, ïðè÷åì à) íåïîäõîäÿùèå êëþ÷è îòêëàäûâàþòñÿ á) âîçâðàùàþòñÿ íà ñâÿçêó. Íàéòè âåð-òü òîãî, ÷òî íà k ðàç äâåðü îòêðîåòñÿ 1.3.1 n ÷åëîâåê ñëó÷àéíî âûñòðîèëèñü â î÷åðåäü. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Ïåòðîâ è Ñèäîðîâ âñòàíóò à) äðóã çà äðóãîì á) ÷åðåç 1.1.2 n k ÷åëîâåê ÷åëîâåê ïðèøëè â ãîñòè, ñíÿëè ïëàùè è ïîâåñèëè íà âåøàëêó. Óõîäÿ, êàæäûé íàäåë ñëó÷àéíûé ïëàù. Êàêàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íèêòî íå íàäåë ñâîåãî ïëàùà? 1.2.2 Ïóñòü n ðàçíûõ øàðîâ ñëó÷àéíî ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî n ðàçíûì ÿùèêàì îäèí çà äðóãèì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) âñå ÿùèêè áóäóò çàïîëíåíû á) ðîâíî îäèí ÿùèê áóäåò ïóñòîâàòü. 1.3.2 Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ðàññòàíîâêà k ëàäåé íà äîñêå 8 × 8 îêàæåòñÿ òàêîé, ÷òî íèêàêèå ëàäüè íå áüþò äðóã äðóãà. 1.1.3  øåðåíãå n ÷åëîâåê. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âûáðàòü k èç íèõ, íè ðàçó íå âûáðàâ ñîñåäåé? 1.2.3 Èç {1, ..., N } ñëó÷àéíî âûáèðàåòñÿ k ïîäìíîæåñòâ. Íàéòè âåð-òü, ÷òî íèêàêèå äâà íå ïåðåñåêàþòñÿ. 1.3.3 Èç 2n ÷åëîâåê k < n äåâóøåê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì ðàçáèåíèè ëþäåé íà ïàðû, áóäåò íå áîëåå îäíîé æåíñêîé ïàðû. 1.0.3*. 1,..,k Âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåñòàíîâêà èç ïîïàäóò â îäèí öèêë. Sn . Íàéòè âåð-òü òîãî, ÷òî à) 1 è 2, á)