23

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
âëàæíîñòü ϕ = 50% . Íàéäèòå ñêîðîñòü u. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû L = 2,2 Ìäæ/êã, óäåëüíàÿ
òåïëîåìêîñòü âîäû ñ = 4200 Äæ êã ⋅ Ê , äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ð =
= 600 Ïà, óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîçäóõà ïðè ïîñòîÿííîì
îáúåìå cV = 720 Äæ êã ⋅ Ê , ñðåäíÿÿ ìîëÿðíàÿ ìàññà
âîçäóõà Μ = 0,029 êã ìîëü .
Ñ.Âàðëàìîâ
>
>
C
C
Ф1791. Îäíî êîëåíî ãëàäêîé èçîãíóòîé òðóáêè ñ êðóãëûì âíóòðåííèì ñå÷åíèåì ïëîùàäüþ S âåðòèêàëüíî, à
äðóãîå íàêëîíåíî ê ãîðèçîíòó ïîä óãëîì α (ðèñ.2). Â
òðóáêó íàëèëè æèäêîñòü
ïëîòíîñòüþ ρ è ìàññîé Ì
k
òàê, ÷òî åå óðîâåíü â íàêëîíg
íîì êîëåíå âûøå, ÷åì â âåðρ
òèêàëüíîì, êîòîðîå çàêðûòî
ëåãêèì ïîðøíåì, ñîåäèíåííûì ñ âåðòèêàëüíîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k. Íàéäèòå
α
ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé
S
ýòîé ñèñòåìû. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g.
Рис.2
Ì.Ñåìåíîâ
Ф1792. Àöåòîí è áåíçîë ñìåøèâàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì â
ëþáûõ ïðîïîðöèÿõ, îáðàçóÿ ïðîçðà÷íûé ðàñòâîð. Îáúåì
ñìåñè ðàâåí ñóììàðíîìó îáúåìó êîìïîíåíòîâ äî ñìåøèâàíèÿ. Êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà â ñìåñè n çàâèñèò
îò êîíöåíòðàöèé ìîëåêóë àöåòîíà Na è áåíçîëà Ná
ñëåäóþùèì îáðàçîì: n 2 = 1 + Ka Na + Ká Ná , ãäå Ka è Ká
– íåêîòîðûå êîíñòàíòû (ïîëÿðèçóåìîñòè ìîëåêóë àöåòîíà è áåíçîëà).  êîëáå íàõîäèòñÿ V = 200 ìë ñìåñè àöåòîíà
è áåíçîëà ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 50 oC . Ïàëî÷êà èç ñòåêëà,
îïóùåííàÿ â êîëáó, îñâåùàåòñÿ ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû
λ = 546 íì è íå âèäíà â ýòîì ðàñòâîðå ïðè äàííîé
òåìïåðàòóðå. Ñêîëüêî ìèëëèëèòðîâ è êàêîé æèäêîñòè –
àöåòîíà èëè áåíçîëà – íóæíî äîëèòü â êîëáó ïîñëå åå
îõëàæäåíèÿ äî òåìïåðàòóðû t2 = 20 oC , ÷òîáû ïîñëå ðàçìåøèâàíèÿ ðàñòâîðà ñòåêëÿííàÿ ïàëî÷êà íå áûëà âèäíà
ïðè òîì æå îñâåùåíèè? Êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ
ñâåòà ñ äàííîé äëèíîé âîëíû ó ýòèõ æèäêîñòåé ïðè
òåìïåðàòóðå t2 ðàâíû na = 1,36 è ná = 1,50 ñîîòâåòñòâåííî, à ó ñòåêëà – nñ = 1,47 . Êîýôôèöèåíòû îáúåìíîãî
ðàñøèðåíèÿ îáåèõ æèäêîñòåé â äèàïàçîíå òåìïåðàòóð îò
t2 äî t1 îäèíàêîâû è ðàâíû α = 0,00124 1 Ê . Òåïëîâûì
ðàñøèðåíèåì ñòåêëà è èñïàðåíèåì æèäêîñòåé ïðåíåáðå÷ü.
Ñ.Âàðëàìîâ
Решения задач М1756—М1765,
Ф1773—Ф1777
М1756. Äàíû íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ëþáûõ òðåõ èç íèõ ìîæíî âûáðàòü
äâà òàê, ÷òîáû îäíî äåëèëîñü íà äðóãîå. Äîêàæèòå, ÷òî
âñå ÷èñëà ìîæíî ïîêðàñèòü â äâà öâåòà òàê, ÷òîáû äëÿ
ëþáûõ äâóõ ÷èñåë îäèíàêîâîãî öâåòà îäíî äåëèëîñü íà
äðóãîå.
Ïîñòðîèì àëãîðèòì ðàñêðàñêè íàøèõ ÷èñåë â äâà öâåòà.
Ðàñïîëîæèì ÷èñëà ïî óáûâàíèþ. Âîçüìåì íàèìåíüøåå è
îêðàñèì åãî â ïåðâûé öâåò. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ÷èñëî.
Åñëè îíî äåëèòñÿ íà ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ïåðâîãî öâåòà, òî
6*
«ÊÂÀÍÒÀ»
23
îêðàñèì åãî â ïåðâûé öâåò, à èíà÷å – âî âòîðîé; ïîëó÷èì,
÷òî ìèíèìàëüíûå ÷èñëà äâóõ öâåòîâ ïîïàðíî íå äåëÿò
äðóã äðóãà. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ÷èñëî: îíî äåëèòñÿ
õîòÿ áû íà îäíî èç äâóõ ìèíèìàëüíûõ. Åñëè ðîâíî íà
îäíî, òî, ïîêðàñèâ åãî â òîò æå öâåò, ïîëó÷èì ïðåäûäóùóþ ñèòóàöèþ. Åñëè æå ñëåäóþùåå ÷èñëî äåëèòñÿ íà îáà
ìèíèìàëüíûõ, òî âðåìåííî îêðàñèì åãî â òðåòèé öâåò.
Åñëè ñëåäóþùåå ÷èñëî äåëèòñÿ íà ìèíèìàëüíîå ÷èñëî
òðåòüåãî öâåòà, òî è åãî êðàñèì â òðåòèé öâåò, è òàê äàëåå,
ïîêà íå âñòðåòèòñÿ ÷èñëî, íå äåëÿùååñÿ íà ìèíèìàëüíîå
÷èñëî òðåòüåãî öâåòà. Ðàññìîòðèì ýòî ÷èñëî è äâà ìèíèìàëüíûõ ÷èñëà ïåðâûõ äâóõ öâåòîâ: íîâîå ÷èñëî äåëèòñÿ
íà îäíî èç íèõ, òîãäà ïîêðàñèì íîâîå ÷èñëî â ýòîò öâåò,
à âñå ÷èñëà òðåòüåãî öâåòà – â äðóãîé öâåò è îïÿòü ïîëó÷èì
ñèòóàöèþ, êîãäà äâà ìèíèìàëüíûõ ÷èñëà ðàçíîãî öâåòà íå
äåëÿò äðóã äðóãà. Ïîâòîðÿÿ ýòîò àëãîðèòì, ìû ïîëó÷èì
ðàñêðàñêó, òðåáóåìóþ â çàäà÷å.
Ïðèìå÷àíèå. Äàííûé ôàêò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì
òåîðåìû Äèëâîðòà î ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâàõ, êîòîðóþ â ñâÿçè ñ ýòîé çàäà÷åé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
Äàíî íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ëþáûõ n èç íèõ ìîæíî âûáðàòü äâà òàê,
÷òîáû îäíî äåëèëîñü íà äðóãîå. Òîãäà âñå ÷èñëà ìîæíî
ïîêðàñèòü â n – 1 öâåò òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë
îäèíàêîâîãî öâåòà îäíî äåëèëîñü íà äðóãîå.
Å.×åðåïàíîâ
М1757*. Âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà
20 ïàðàëëåëîãðàììîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà 15 ïàðàëëåëîãðàììîâ.
Ðåøåíèå çàäà÷è îïèðàåòñÿ íà äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ. Ïåðâîå èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëåììó Ìèíêîâñêîãî.
Ëåììà 1. Åñëè âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà ïàðàëëåëîãðàììû, òî ýòîò ìíîãîóãîëüíèê îáëàäàåò öåíòðîì ñèììåòðèè.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äëÿ êàæäîé ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà
íàéäåòñÿ ðàâíàÿ è ïàðàëëåëüíàÿ åé ñòîðîíà.
Ñíà÷àëà ðàçðåæåì ïàðàëëåëîãðàììû ðàçáèåíèÿ íà áîëåå
ìåëêèå ïàðàëëåëîãðàììû òàê, ÷òîáû íîâîå èçìåëü÷åííîå
ðàçáèåíèå ìíîãîóãîëüíèêà óäîâëåòâîðÿëî ñëåäóþùåìó
òðåáîâàíèþ: ëþáûå åãî äâà ïàðàëëåëîãðàììà ëèáî íå
èìåþò îáùèõ òî÷åê, ëèáî èìåþò îáùóþ âåðøèíó, ëèáî
èìåþò îáùóþ ñòîðîíó öåëèêîì.
Ïóñòü íèæíÿÿ ñòîðîíà ÀÂ èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà Ì
ãîðèçîíòàëüíà (ðèñ.1). Áóäåì ñòðîèòü èç ïàðàëëåëîãðàììîâ íîâîãî ðàçáèåíèÿ «äîðîæêè», íà÷èíàþùèåñÿ îò ñòîðîíû À òàê, ÷òîáû êàæäûé ñëåäóþùèé ïàðàëëåëîãðàìì
ïðèìûêàë ê ïðåäûäóùå,
+
ìó ïî ãîðèçîíòàëüíîé åãî
ñòîðîíå. ßñíî, ÷òî ïîñëåäíèé ïàðàëëåëîãðàìì
êàæäîé äîðîæêè áóäåò
ïðèìûêàòü ê âåðõíåé ãîðèçîíòàëüíîé ñòîðîíå
CD ìíîãîóãîëüíèêà Ì.
Îäíèì ñëîâîì, ñòîðîíà
CD áóäåò ïàðàëëåëüíà
ñòîðîíå ÀÂ è áóäåò èìåòü
òó æå äëèíó.
)
*
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì è Рис.1