10 Óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ ÊÂÀÍT 2002/¹6 À.ÑÏÈÂÀÊ ìíîãî ðàçíûõ èíòåðåñíûõ òåîðåì. Íå äîêàçàíà òîëüêî îäíà, ñàìàÿ òðóäíàÿ äåñÿòàÿ. Ýòà òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå x 2 - dy 2 = 1 , ãäå d íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì, èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ. ß èçëîæó ÷åòûðå äîêàçàòåëüñòâà. Ïåðâûé ñïîñîá èñïîëüçóåò ïðèíöèï Äèðèõëå è ïðèáëèæåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ðàöèîíàëüíûìè. Ýòîò ñïîñîá êîðîòêèé è ïðîçðà÷íûé, íî ó íåãî åñòü ïðèíöèïèàëüíûé íåäîñòàòîê: îí íå äàåò ïðèåìëåìîãî äëÿ ïðàêòèêè ìåòîäà íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ. Ïîõîæèå äðóã íà äðóãà äðóãèå äâà ñïîñîáà àíãëèéñêèé è èíäèéñêèé ìåòîäû ñâîáîäíû îò ýòîãî íåäîñòàòêà, ÿâëÿÿñü àëãîðèòìàìè ïîèñêà ðåøåíèÿ. Ê ñîæàëåíèþ, äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ýòè àëãîðèòìû ðàíî èëè ïîçäíî îñòàíàâëèâàþòñÿ è ïðèâîäÿò èìåííî ê íàèìåíüøåìó ðåøåíèþ, òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ óñèëèé. Ìíå áîëüøå âñåãî íðàâèòñÿ ÷åòâåðòûé ñïîñîá, èñïîëüçóþùèé öåïíûå äðîáè. Èõ ðîëü â òåîðèè óðàâíåíèé Ïåëëÿ íå ìåíåå çíà÷èòåëüíà, ÷åì ðîëü èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, î êîòîðîé áûëî ðàññêàçàíî â ïåðâîé è Ïðîäîëæåíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹3, 4. âòîðîé ÷àñòÿõ ñòàòüè. Äà è ñàìè ïî ñåáå öåïíûå äðîáè ÷ðåçâû÷àéíî èíòåðåñíû. Íî ïðåæäå âñåãî ðàññêàæó îäíó èñòîðèþ. 1 Âûçîâ Ôåðìà Íà÷àëî åñòü áîëåå ÷åì ïîëîâèíà âñåãî. Àðèñòîòåëü «Ñåé÷àñ åäâà ëè íàéäåòñÿ êòî-íèáóäü, êòî ïðåäëàãàåò àðèôìåòè÷åñêèå âîïðîñû, è êòî-íèáóäü, êòî èõ ïîíèìàåò. Íå ïîòîìó ëè ýòî ïðîèñõîäèò, ÷òî äî ñèõ ïîð àðèôìåòèêó ðàññìàòðèâàëè ñêîðåå ñ ãåîìåòðè÷åñêîé, ÷åì ñ àðèôìåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ? Òàê áûëî âñåãäà è â äðåâíèõ, è â ñîâðåìåííûõ ðàáîòàõ; ïðèìåðîì òîìó ÿâëÿåòñÿ äàæå Äèîôàíò. Èáî õîòÿ îí è áîëåå ÷åì äðóãèå îñâîáîäèëñÿ îò ãåîìåòðèè â òîì îòíîøåíèè, ÷òî îãðàíè÷èâàåò ñâîé àíàëèç ðàññìîòðåíèåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, îäíàêî äàæå ó íåãî ãåîìåòðèÿ íå ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóåò... Òåïåðü àðèôìåòèêà èìååò, òàê ñêàçàòü, ñîáñòâåííóþ îáëàñòü èçó÷åíèÿ òåîðèþ öåëûõ ÷èñåë. Åâêëèä ëèøü ñëåãêà çàòðîíóë åå â ñâîèõ «Íà÷àëàõ», à åãî 1 Ìíîãîå èç òîãî, ÷òî âîøëî â ýòó ÷àñòü ñòàòüè, çàèìñòâîâàíî èç êíèãè Ã.Ýäâàðäñà «Ïîñëåäíÿÿ òåîðåìà Ôåðìà. Ãåíåòè÷åñêîå ââåäåíèå â àëãåáðàè÷åñêóþ òåîðèþ ÷èñåë». Èëëþñòðàöèÿ Â.Àêàòüåâîé  ÏÐÅÄÛÄÓÙÈÕ ×ÀÑÒßÕ ÑÒÀÒÜÈ ÄÎÊÀÇÀÍÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ïîñëåäîâàòåëè íåäîñòàòî÷íî çàíèìàëèñü ýòîé òåîðèåé (åñëè òîëüêî îíà íå ñîäåðæàëàñü â òåõ êíèãàõ Äèîôàíòà, êîòîðûõ ìû ëèøèëèñü âñëåäñòâèå ðàçðóøèòåëüíîãî äåéñòâèÿ âðåìåíè); ñëåäîâàòåëüíî, àðèôìåòèêàì ïðåäñòîèò ðàçâèâàòü èëè âîññòàíàâëèâàòü åå. Ïîýòîìó àðèôìåòèêàì, äàáû îñâåòèòü òîò ïóòü, ïî êîòîðîìó íàäî ñëåäîâàòü, ïðåäëàãàþ ÿ ýòó òåîðåìó, ÷òîáû îíè äîêàçàëè åå, èëè ýòó çàäà÷ó, ÷òîáû îíè ðåøèëè åå. Åñëè æå ïðåóñïåþò îíè â åå äîêàçàòåëüñòâå èëè ðåøåíèè, òî èì ïðèäåòñÿ ïðèçíàòü, ÷òî âîïðîñû òàêîãî ðîäà íè÷åì íå óñòóïàþò â îòíîøåíèè êðàñîòû, òðóäíîñòè èëè ìåòîäà äîêàçàòåëüñòâà ñàìûì çíàìåíèòûì âîïðîñàì ãåîìåòðèè. Åñëè äàíî ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, òî íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òàêèõ êâàäðàòîâ, ÷òî åñëè ýòîò êâàäðàò óìíîæèòü íà äàííîå ÷èñëî è ê ïðîèçâåäåíèþ ïðèáàâèòü åäèíèöó, òî ðåçóëüòàò áóäåò êâàäðàòîì. Ïðèìåð. Ïóñòü 3, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, áóäåò äàííûì ÷èñëîì. Åñëè óìíîæèòü åãî íà êâàäðàò, ðàâíûé 1, è ê ïðîèçâåäåíèþ äîáàâèòü 1, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ 4, ÷òî ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Åñëè òî æå ñàìîå ÷èñëî 3 óìíîæèòü íà 16, òî ïîëó÷èòñÿ ïðîèçâåäåíèå, êîòîðîå ïðè óâåëè÷åíèè íà 1 ïðåâðàùàåòñÿ â 49, òîæå êâàäðàò. È êðîìå 1 è 16 ìîæíî íàéòè áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ ñ òåì æå ñâîéñòâîì. Íî ÿ ñïðàøèâàþ îá îáùåì ïðàâèëå ðåøåíèÿ êîãäà äàíî ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ êâàäðàòîì. Íàïðèìåð, íàéäèòå òàêîé êâàäðàò, ÷òî åñëè ïðîèçâåäåíèå ýòîãî êâàäðàòà è ÷èñëà 109, 149 èëè 433 óâåëè÷èòü íà 1, òî ïîëó÷èòñÿ êâàäðàò.» Òàêîâ áûë âûçîâ Ôåðìà, êîòîðûé îí ñäåëàë â 1657 ãîäó äðóãèì ìàòåìàòèêàì, â ÷àñòíîñòè àíãëèéñêèì. Î÷åâèäíî, ÷òî îí æåëàåò íå òðàäèöèîííîãî äèîôàíòîâà ðåøåíèÿ â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ, à ðåøåíèÿ çàäà÷è â öåëûõ ÷èñëàõ.2 Êàê ýòî íè ñòðàííî, íî ïîÿñíåíèÿ ê çàäà÷å áûëè îïóùåíû îäíèì èç ïîñðåäíèêîâ â òîì ýêçåìïëÿðå ïèñüìà, êîòîðûé áûë ïåðåäàí àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêàì; â ðåçóëüòàòå îíè ñî÷ëè çàäà÷ó ñîâåðøåííî ãëóïîé. À èìåííî, ìîæíî ââåñòè îáîçíà÷åíèå m x = 1+ y n è ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå: 2 m ö æ 1 + y÷ - dy 2 = 1 , n ø èç m2 2m y + 2 y2 - dy2 = 0 , n n 2mn = dn2 - m2 y , îòêóäà dn 2 + m 2 2mn , x= . 2 2 dn 2 - m 2 dn - m Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû, êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, äàþò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ. y= Óïðàæíåíèå 54. à) Óáåäèòåñü, ÷òî ýòè ôîðìóëû äàþò âñå ðåøåíèÿ. á) Íàéäèòå àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû äëÿ óðàâíåíèÿ x 2 + y2 = 1 . 2 Ïî èðîíèè ñóäüáû, íûíå ñëîâî «äèîôàíòîâî» óïîòðåáëÿþò, æåëàÿ ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ, òîãäà êàê ñàì Äèîôàíò íè â îäíîé èç äîøåäøèõ äî íàñ ðàáîò íå çàíèìàëñÿ ðåøåíèÿìè â öåëûõ ÷èñëàõ, à òîëüêî â ðàöèîíàëüíûõ. 11 ÏÅËËß Êîãäà æå äîïîëíèòåëüíîå òðåáîâàíèå, ÷òî x è y äîëæíû áûòü öåëûìè ÷èñëàìè, äîøëî äî àíãëèéñêèõ ìàòåìàòèêîâ, òî îíè ïîæàëîâàëèñü, ÷òî óñëîâèå çàäà÷è èçìåíèëè. Êîíå÷íî, èõ æàëîáó ìîæíî ïîíÿòü â ñâåòå ñèëüíîé äèîôàíòîâîé òðàäèöèè, íî, êàê óêàçàë Ôåðìà, áûëî íàèâíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî îí ïðåäëîæèë òðèâèàëüíóþ çàäà÷ó. Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííîé çäåñü òàáëèöû, çàäà÷à Ôåðìà âåñüìà ñëîæíàÿ: äëÿ d = 61 íàèìåíüøåå ðåøåíèå ýòî ïàðà y = 226153 980 è x = 1766319049. (Âïðî÷åì, âïåðâûå ïîñ÷èòàë ýòî íå Ôåðìà, à ðîäèâøèéñÿ â 1114 ãîäó èíäèåö Áõàñêàðà Àêõàðèÿ.) À äëÿ d = 109 âîîáùå y = 15140424455100. Òàáëèöà 2) 2 7) 3 12) 2 17) 8 21) 12 26) 10 30) 2 34) 6 39) 4 43) 531 47) 7 52) 90 56) 2 60) 4 65) 16 69) 936 73) 267000 77) 40 82) 18 86) 1122 90) 2 94) 221064 98) 10 03) 22419 107) 93 111) 28 115) 105 119) 11 124) 414960 128) 51 132) 2 136) 3 140) 61 145) 24 149) 2113761020 3) 1 8) 1 13) 180 18) 4 22) 42 27) 5 31) 273 35) 1 40) 3 44) 30 48) 1 53) 9100 57) 20 61) 226153980 66) 8 70) 30 74) 430 78) 6 83) 9 87) 3 91) 165 95) 4 99) 1 104) 5 108) 130 112) 12 116) 910 120) 1 125) 83204 129) 1484 133) 224460 137) 519712 41) 8 146) 12 150) 4 5) 4 6) 2 10) 6 11) 3 14) 4 15) 1 19) 39 20) 2 23) 5 24) 1 28) 24 29) 1820 32) 3 33) 4 37) 12 38) 6 41) 120 42) 2 45) 24 46) 3588 50) 14 51) 7 54) 66 55) 12 58) 2574 59) 69 62) 8 63) 1 67) 5967 68) 4 71) 413 72) 2 75) 3 76) 6630 79) 9 80) 1 84) 6 85) 30996 88) 21 89) 53000 92) 120 93) 1260 96) 5 97) 6377352 101) 20 102) 101 105) 4 106) 3115890 109) 15140424455100 110) 2 113) 113296 114) 96 117) 60 118) 28254 122) 22 123) 11 126) 40 127) 419775 130) 570 131) 927 134) 12606 135) 21 138) 4 139) 6578829 142) 12 143) 1 147) 8 148) 6 ×òî ñäåëàëè àíãëè÷àíå? Àíãëè÷àíàì óäàëîñü íå òîëüêî íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ïðè d = 109, 149 èëè 433, íî è ðàçðàáîòàòü îáùóþ ïðîöåäóðó ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèé äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ d. Êòî ýòî ñäåëàë íåèçâåñòíî. Õîòÿ Äæîí Âàëëèñ (16161703) ïåðâûì äàë îïèñàíèå ïðîöåäóðû è ïîëó÷èë ðåøåíèÿ â òðåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, îí ïðèïèñûâàåò àâòîðñòâî âèêîíòó Óèëüÿìó Áðîóíêåðó (16201684).  îïóáëèêîâàííîé ïåðåïèñêå Âàëëèñà íåò íèêàêèõ óêàçàíèé íà òî, ÷òî Áðîóíêåð êîãäà-ëèáî ñîîáùàë åìó ÷òî-ëèáî îá ýòîì ìåòîäå, êðîìå íåñêîëüêèõ ïðîñòûõ ÊÂÀÍT 2002/¹6 12 çàìå÷àíèé, êîòîðûå, áûòü ìîæåò, ïîñëóæèëè çàðîäûøåì èäåè, ðàçâèòîé âïîñëåäñòâèè Âàëëèñîì. Âîçìîæíî, Âàëëèñó áûëî âàæíî äîáèòüñÿ ðàñïîëîæåíèÿ Áðîóíêåðà è åãî ïîêðîâèòåëüñòâà, ïîýòîìó îí è íàçâàë ýòîò ìåòîä ìåòîäîì Áðîóíêåðà (èáî Áðîóíêåð â 1662 1677 ãîäàõ áûë ïðåçèäåíòîì îñíîâàííîãî â 1660 ãîäó Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà). Âïðî÷åì, íåêîòîðûå èñòîðèêè ñ÷èòàþò ñàìîãî Áðîóíêåðà âåñüìà ñïîñîáíûì ìàòåìàòèêîì è óòâåðæäàþò, ÷òî ïî ñâîèì ëè÷íûì êà÷åñòâàì Âàëëèñ ñêîðåå ìîã ïðèïèñàòü ñåáå ÷óæèå çàñëóãè, ÷åì îòêàçàòüñÿ îò ñâîèõ. Ñòðîãî ãîâîðÿ, àíãëè÷àíå íå ðåøèëè çàäà÷ó Ôåðìà, êîòîðàÿ çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî ïðè äàííîì (íå ÿâëÿþùåìñÿ êâàäðàòîì) íàòóðàëüíîì d ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ x òàêèõ, ÷òî dx 2 + 1 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Îíè íå äîêàçàëè, ÷òî ïðîöåäóðà âñåãäà çàâåðøèòñÿ, è, êàæåòñÿ, äàæå íå ïîíèìàëè, ÷òî ýòî íóæíî äîêàçûâàòü.3 Ôåðìà íàïèñàë ïèñüìî, â êîòîðîì ïðèçíàë, ÷òî àíãëè÷àíàì óäàëîñü ðåøèòü åãî çàäà÷ó, è íå ïðîÿâèë íè ìàëåéøåé íåóäîâëåòâîðåííîñòè èõ ìåòîäîì. Îäíàêî ãëàâíûì äëÿ Ôåðìà â ýòîì ïèñüìå áûëî óáåäèòü àíãëè÷àí, ÷òî ïåðåä íèìè áûëà ïîñòàâëåíà äîñòîéíàÿ çàäà÷à, òàê ÷òî îí ìîã ñîçíàòåëüíî çàêðûòü ãëàçà íà íåäîñòàòêè. Íåñêîëüêî ëåò ñïóñòÿ, ïîäâîäÿ â ïèñüìå ê Êàðêàâè èòîãè íåêîòîðûõ ñâîèõ îòêðûòèé, Ôåðìà óêàçàë, ÷òî àíãëè÷àíå ïîëó÷èëè ðåøåíèå åãî çàäà÷è òîëüêî â îòäåëüíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ è èì íå óäàëîñü äàòü îáùåå äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî çàìå÷àíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Ôåðìà çàìåòèë îòñóòñòâèå äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ïðîöåññ âñåãäà ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ; ñ äðóãîé ñòîðîíû, â íåì ìîæíî óâèäåòü è ìåíåå ãëóáîêóþ êðèòèêó òîãî, ÷òî ïðîöåññ áûë îïèñàí â íåäîñòàòî÷íî îáùèõ òåðìèíàõ. Ôåðìà óòâåðæäàåò, ÷òî îí ìîã áû äàòü äîêàçàòåëüñòâî, «íàäëåæàùèì îáðàçîì» ïðèìåíèâ ìåòîä áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà. Ýòè ñëîâà, ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íûì ñâèäåòåëüñòâîì â ïîëüçó òîãî, ÷òî îí óìåë ðåøàòü ñâîþ çàäà÷ó. Èíäèéñêèé è àíãëèéñêèé ìåòîäû Ëåãåíäû ãëàñÿò, ÷òî çà íåñêîëüêî âåêîâ äî íàøåé ýðû â Èíäèè áûëî èçâåñòíî ðàâåíñòâî 2 ⋅ 408 2 + 1 = 577 2 . Ðàâåíñòâî 92 ⋅ 120 2 + 1 = 11512 âìåñòå ñ èçîùðåííîé òåõíèêîé åãî âûâîäà áûëî ïîëó÷åíî Áðàõìàãóïòîé (ðîäèëñÿ â 598 ãîäó). Îáùèé ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ 4 äàë Áõàñêàðà Àêõàðèÿ. Ýòîò ìåòîä íàçûâàþò öèêëè÷åñêèì èëè èíäèéñêèì. 3 Äàæå Ýéëåðó íå óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî àíãëèéñêèé ìåòîä âñåãäà ïðèâîäèò ê óñïåõó. Óäàëîñü ýòî Ëàãðàíæó ÷åðåç 110 ëåò ïîñëå òîãî, êàê Âàëëèñ îòîñëàë îòâåò íà âûçîâ Ôåðìà. 4 Òåðìèí «óðàâíåíèå Ïåëëÿ» âîçíèê â ðåçóëüòàòå îøèáêè Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Ïî÷åìó-òî âîçìîæíî, ïî ïðè÷èíå ñìóòíûõ âîñïîìèíàíèé, îñòàâøèõñÿ îò ÷òåíèÿ «Àëãåáðû» Âàëëèñà, ó Ýéëåðà ñîçäàëîñü âïå÷àòëåíèå, áóäòî Âàëëèñ ïðèïèñûâàåò ìåòîä ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íå Áðîóíêåðó, à Ïåëëþ ñîâðåìåííèêó Âàëëèñà, êîòîðûé ìíîãî ðàç óïîìÿíóò â åãî ðàáîòàõ, íî íå èìåë 2 2 íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê óðàâíåíèþ x − dy = 1 . Ýéëåð âïåðâûå ñäåëàë ýòó îøèáêó â 1730 ãîäó, êîãäà åìó áûëî 23 ãîäà, íî îíà ïîïàëà è â îêîí÷àòåëüíîå èçäàíèå «Ââåäåíèÿ â àëãåáðó» (ïðèìåðíî 1770 ã.). Ýéëåð áûë ñàìûì ïîïóëÿðíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àâòîðîì ñâîåãî âðåìåíè, è îøèáêà âîøëà â èñòîðèþ... Ïîçíàêîìèìñÿ ñ íèì íà ïðèìåðå d = 67. Íàøà öåëü íàéòè òàêèå íàòóðàëüíûå x è y, ÷òîáû ðàçíîñòü y2 − 67x 2 ðàâíÿëàñü 1.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî 82 − 67 ⋅ 12 = −3 . Âñïîìíèâ ôîðìóëó (a 2 − 67b 2 )(c 2 ) − 67d 2 = ( ac + 67bd ) 67 (bc + ad ) 2 2 è ïðèìåíèâ åå ê ðàâåíñòâàì 82 − 67 ⋅ 12 = −3 è r 2 − − 67 ⋅ 12 = s , ãäå r (à òåì ñàìûì è s) áóäåò îïðåäåëåíî ïîçæå, ïîëó÷èì (8r + 67 ) 2 − 67 (r + 8 ) = −3 s . 2 Ïûòàÿñü ñäåëàòü ïðàâóþ ÷àñòü (ïî ìîäóëþ) êàê ìîæíî ìåíüøåé òîëüêî çà ñ÷åò âûáîðà íàèìåíüøåãî ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ s, ìû âûáðàëè áû r = 8, ïðè êîòîðîì s = = 3, è ïîëó÷èëè áû ðàâåíñòâî 1312 − 67 ⋅ 16 2 = 9 , ñ êîòîðûì íåïîíÿòíî ÷òî äåëàòü äàëüøå. Èäåÿ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà âûáîð òàêîãî r, ÷òîáû r + 8 äåëèëîñü íà 3 è s ïðè ýòîì áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå ïî ìîäóëþ. (Êîãäà ýòî ñäåëàíî, îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ðàçäåëÿòñÿ íàöåëî íà 32 .) Èäåÿ àíãëèéñêîãî ìåòîäà âûáîð òàêîãî êàê ìîæíî áîëüøåãî r, ÷òî r 2 < d è r + 8 äåëèòñÿ íà 3. Êàê âèäèòå, ìåòîäû î÷åíü ïîõîæè. Îáà ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé ïðè äàííîì d, íå çíàÿ çàðàíåå, ÷òî ýòî ïðèâåäåò ê óñïåõó. (Ìåæäó ïðî÷èì, àïðèîðè íåò íèêàêîé óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå â àíãëèéñêîì ìåòîäå ïîñëå êàæäîãî øàãà r áóäåò ñóùåñòâîâàòü. Ýòî îäíà èç òåîðåì, êîòîðûå íàäî äîêàçûâàòü, îáîñíîâûâàÿ àíãëèéñêèé ìåòîä.) Ïðîâåäåì ïîäðîáíî âû÷èñëåíèÿ äëÿ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà. ×òîáû r + 8 äåëèëîñü íà 3, ÷èñëî r äîëæíî ðàâíÿòüñÿ îäíîìó èç ÷èñåë áåñêîíå÷íîé â îáå ñòîðîíû àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ..., 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... Âûáîð r = 7 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå s = 18. Ýòèì r è s ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâî 123 2 − 67 ⋅ 152 = 54 , êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 9 ïðåâðàùàåòñÿ â 412 − 67 ⋅ 52 = 6 . Òåïåðü ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà: (41r + 67 ⋅ 5)2 − 67 (5r + 41)2 = 6s . ×èñëî 5r + 41 äåëèòñÿ íà 6 ïðè r = ..., 7, 1, 5, 11, 17, 23,... Âûáîð r = 5 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ s = = 42, è ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî 5402 − 67 ⋅ 662 = 6 ⋅ ( −42 ), êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 6 2 ïðåâðàùàåòñÿ â 902 − 67 ⋅ 112 = −7 . Äàëüøå íàäî âûïîëíèòü ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà, ïîòîì åùå îäèí, è òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì ðàâåíñòâî, â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî áóäåò 1. ÓÐÀÂÍÅÍÈß òî ãîäèòñÿ a = [bξ ] ; åñëè æå Óïðàæíåíèÿ 55. Âûïîëíèâ åùå ïÿòü øàãîâ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà, íàéäèòå ðåøåíèå 488422 − 67 ⋅ 59672 = 1 . 56. à) Âûïîëíèòå âû÷èñëåíèÿ äëÿ d = 67, ïðèìåíÿÿ àíãëèéñêèé ìåòîä. á) Ñðàâíèâ àíãëèéñêèé è öèêëè÷åñêèé ìåòîäû äëÿ d = 67 è äëÿ íåñêîëüêèõ äðóãèõ çíà÷åíèé d, ñôîðìóëèðóéòå ãèïîòåçó î âçàèìîñâÿçè ýòèõ äâóõ ìåòîäîâ. Åñëè âû ðåøèëè ýòè äâà óïðàæíåíèÿ, òî óáåäèëèñü, ÷òî èíäèéñêèé è àíãëèéñêèé ìåòîäû ïîçâîëÿþò íàéòè ðåøåíèå äëÿ d = 67. Îäíàêî íè äëÿ àíãëèéñêîãî, íè äëÿ èíäèéñêîãî ìåòîäà íåò íèêàêèõ î÷åâèäíûõ ïðè÷èí, ïî êîòîðûì ðàâåíñòâî ñ ïðàâîé ÷àñòüþ 1 äîëæíî îáÿçàòåëüíî ïîëó÷èòüñÿ â îáùåì ñëó÷àå. Åñòü è ìíîãî äðóãèõ âîïðîñîâ. Íàïðèìåð, åñëè ýòè ìåòîäû äàäóò íàì êàêîåòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ, ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ýòî ðåøåíèå íàèìåíüøåå èç âîçìîæíûõ? ß óâåðåí, ÷òî ïîïûòêà ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ â ýòèõ âîïðîñàõ áóäåò î÷åíü ïîëåçíîé. Ëþáèòåëü êîìïüþòåðîâ ìîæåò íà÷àòü ñ íàïèñàíèÿ àíãëèéñêîé è èíäèéñêîé ïðîãðàìì, êîòîðûå âû÷èñëÿò ïðèâåäåííóþ âûøå òàáëèöó. À âîò äëÿ îáîñíîâàíèÿ öèêëè÷åñêîãî èëè àíãëèéñêîãî ìåòîäà (à ëó÷øå áû îáîèõ!) âàì ïðèäåòñÿ ñîçäàòü ÷óòü ëè íå öåëóþ òåîðèþ! Íî äàæå åñëè ó âàñ íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ (à ó áîëüøèíñòâà, âû óæ íå îáèæàéòåñü, äåéñòâèòåëüíî íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ, ïîñêîëüêó çàäà÷à î÷åíü ñëîæíà äàæå äëÿ òåõ, êòî óñïåøíî ñïðàâëÿåòñÿ ñ «Çàäà÷íèêîì «Êâàíòà»), ýòî áóäåò î÷åíü ïîëåçíî. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ Ïðèáëèæåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ðàöèîíàëüíûìè Òåîðåìó 10 ìîæíî äîêàçàòü, ðàññìàòðèâàÿ ïðèáëèæåíèÿ ÷èñëà d ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóþ è äîêàæó ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà. Äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà ξ è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ñóùåñòâóþò òàêèå öåëîå ÷èñëî a è íàòóðàëüíîå ÷èñëî b, ÷òî b ≤ N è bξ − a ≤ 1 . N +1 Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÷èñëà 0 è 1, à òàêæå äðîáíûå ÷àñòè ÷èñåë ξ , 2ξ , ..., Nξ . Åñëè áû âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýòèìè (N + 2)-ìÿ ÷èñëàìè áûëè áîëüøå 1/(N + 1), òî ïîëó÷èëîñü áû ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, êàêîå-òî èç ðàññòîÿíèé íå ïðåâîñõîäèò 1/(N + 1). Åñëè {b2 ξ} − {b1ξ} ≤ 1 , N +1 òî ìîæíî âçÿòü a = [bξ ] + 1. Ëåììà äîêàçàíà. Óïðàæíåíèÿ 57. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë ξ1, ξ2 , K , ξk è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ñóùåñòâóþò òàêèå öåëûå ÷èñëà b1, b2, K , bk è a, õîòÿ áû îäíî èç êîòîðûõ îòëè÷íî îò íóëÿ, ÷òî àáñîëþòíûå âåëè÷èíû ÷èñåë b1, b2, K , bk íå ïðåâîñõîäÿò N è 1 b1ξ1 + b2ξ2 + K + bkξk - a £ k . N +1 Äîêàæèòå ýòî. 58. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë ξ1, ξ2 , K , ξk è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî b, ÷òî b £ N k è äðîáíûå ÷àñòè ÷èñåë bξ1, bξ2, K , bξk íå ïðåâîñõîäÿò 1/N. Äîêàæèòå ýòî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 10 Ïîëîæèì ξ = d . Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n > 1 â ñèëó ëåììû ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà an è bn , ÷òî bn < n è 1 an - bn d £ . n Î÷åâèäíî, an2 - dbn2 = an - bn d × an + bn d £ £ 1æ1 1 ö an - bn d + 2bn d £ ç + 2n d ÷ < 1 + 2 d . n n è ø n Èòàê, âåëè÷èíà an2 - dbn2 ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Íî n ìîæíî áðàòü ñêîëü óãîäíî 1 áîëüøèì! È ïðè ýòîì â ñèëó íåðàâåíñòâà an - bn d £ n ïðè n ® ¥ èìååì bn ® ¥ . Çíà÷èò, õîòÿ áû äëÿ îäíîãî öåëîãî ÷èñëà c, ïî ìîäóëþ ìåíüøåãî 1 + 2 d , ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïàð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë an ; bn , äëÿ êîòîðûõ an2 - dbn2 = c . Çàôèêñèðóåì îäíî èç òàêèõ ÷èñåë c. Ðàññìîòðèì îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë an è bn íà |c|. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî îñòàòêîâ êîíå÷íî, òî ñóùåñòâóþò òàêèå äâå 5 ðàçíûå ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a; b è A; B , ÷òî a2 - db2 = c = A2 - dB2 è aº A bºB mod c , mod c . (Ïðîäóìàéòå ýòî!) Ðàññìîòðèì ÷àñòíîå 1 (b2ξ − [b2ξ]) − (b1ξ − [b1ξ]) ≤ N + 1 , òàê ÷òî äîñòàòî÷íî âçÿòü b = b2 − b1 è a = [b2 ξ] − [b1ξ] . Îñòàëüíûå äâà ñëó÷àÿ ñòîëü æå î÷åâèäíû: åñëè {bξ} − 0 ≤ 1 − {bξ} ≤ 1 , N +1 ãäå 1 ≤ b1 < b2 ≤ N , òî 4 Êâàíò ¹ 6 13 ÏÅËËß 1 , N +1 a -b d A+ B d A+B d = = a +b d a2 - db2 aA - bBd + aB - Ab d = . c 5 Íà ñàìîì äåëå äàæå íå äâå, à áåñêîíå÷íî ìíîãî, íî íàì ýòî íå íóæíî. ÊÂÀÍT 2002/¹6 14 Ïîñêîëüêó íîå ÷àñòíîå: a1 = [β]. Åñëè {β} = 0, òî ðàçëîæåíèå ïîëó÷åíî. Åñëè æå {β} > 0, òî (mod c ) aA - bBd º a 2 - b2d = c º 0 è β = a1 + (mod c ) , aB - Ab º ab - ab = 0 òî ÷èñëà x = ( aA - bBd ) c è y = ( aB - Ab ) c öåëûå. Òàê êàê ( )( ) x 2 - dy 2 = x - y d x + y d = = A-B d A+B d A2 - dB2 c × = 2 = =1 c a -b d a +b d a - db2 è y ¹ 0 , òî ( x; y ) èñêîìîå íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ! Óïðàæíåíèÿ 59. Äîêàæèòå, ÷òî y ¹ 0 . 60. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëüíûå x è y, ÷òî x 2 - 3y 2 = 1 è y äåëèòñÿ íà 3n , îäíàêî ñòåïåíüþ òðîéêè y áûòü íå ìîæåò (çà òðèâèàëüíûì èñêëþ÷åíèåì y = 1). Öåïíûå äðîáè 2 Öåïíàÿ äðîáü ÷èñëà Î÷åâèäíî, íî, ( )( ) 2 + 1 = 2 - 1 = 1 è, ñëåäîâàòåëü- 2 -1 2 -1 = 1 . 1+ 2 Âîñïîëüçóåìñÿ ýòîé ôîðìóëîé ìíîãî-ïðåìíîãî ðàç: 2 = 1+ ( ) 2 -1 = 1+ = 1+ = 1+ 2+ 1 2+ 1 ( 1 = 1+ 2 1 ) 2 -1 = 1+ 1 2+ 1+ 2 =K = 1+ 1 2+ 1+ 2 1 1 2+ 2+ = 1 2+ . ãäå γ > 1 . È òàê äàëåå, è òàê äàëåå, ïîêà î÷åðåäíîå ÷èñëî íå îêàæåòñÿ öåëûì èëè äî áåñêîíå÷íîñòè (òî÷íåå, ïîêà íå íàñòóïèò êîíåö ñâåòà). Åñëè èñõîäíîå ÷èñëî α èððàöèîíàëüíî, òî è β , è γ , è âñå âîçíèêàþùèå äàëåå òàêèå ÷èñëà èððàöèîíàëüíû, òàê ÷òî ïðîöåññ ðàçëîæåíèÿ â öåïíóþ äðîáü íèêîãäà íå îñòàíîâèòñÿ è äàñò áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a0 , a1, a2 , K ýëåìåíòîâ òàê íàçûâàåìûõ íåïîëíûõ ÷àñòíûõ. Îáðûâàÿ öåïíóþ äðîáü ÷èñëà 2 â ðàçíûõ ìåñòàõ, ïîëó÷àåì ïîäõîäÿùèå äðîáè: 1 1 3 ; 1+ = ; 1+ 1 2 2 Ìû ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå ÷èñëà 2 â öåïíóþ äðîáü. Âïðî÷åì, ÷òî ýòî çíà÷èò ðàçëîæèòü äàííîå ÷èñëî α â öåïíóþ äðîáü? Ýòî çíà÷èò, ïðåæäå âñåãî, âûäåëèòü åãî öåëóþ ÷àñòü, ò.å. ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå α = [α ] + {α} , ãäå [α ] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà α , ò.å. òàêîå öåëîå ÷èñëî, ÷òî [ α] £ α < [ α] + 1. Îáîçíà÷àåì: a0 = [ α ]. Åñëè α öåëîå ÷èñëî, òî {α} = 0, è ïðîöåññ ðàçëîæåíèÿ â öåïíóþ äðîáü íà ýòîì îáðûâàåòñÿ. Åñëè æå {α} > 0 , òî 1 ÷èñëî α ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå α = a0 + , ãäå β β > 1. Çàïèñàâ β = [β] + {β}, íàõîäèì ñëåäóþùåå íåïîë- 1 2+ 1 2 = 1 17 7 = ; 1+ ;... 1 12 5 2+ 1 2+ 2 Íàøè ñòàðûå çíàêîìûå! Ìîæåò áûòü, ýòî ñëó÷àéíîå ñîâïàäåíèå? Íåò, åñëè n-ýòàæíàÿ äðîáü (ò.å. äðîáü, â êîòîðîé n äâîåê) ïðèâîäèòñÿ ê íåñîêðàòèìîìó âèäó x/y, òî (n + 1)ýòàæíàÿ äðîáü ðàâíà y x + 2y 1 . = 1+ = 1+ x x+y x+y 1+ y Î÷åâèäíî, ÍÎÄ(x + 2y, x + y) = ÍÎÄ(y, x + y) = = ÍÎÄ(x, y), òàê ÷òî äðîáü (x + 2y)/(x + y) òîæå íåñîêðàòèìà. Ïîýòîìó óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà äðîáíûõ ÷åðò íà åäèíèöó ýòî ïåðåõîä îò íåñîêðàòèìîé äðîáè x/y ê íåñîêðàòèìîé äðîáè (x + 2y)/(x + y). À ýòî è åñòü ôîðìóëû ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè! Ïîäõîäÿùèå äðîáè 1/1, 3/2, 7/5, 17/12,... çàìå÷àòåëüíû òåì, ÷òî äàþò (ïîïåðåìåííî, ñëåâà è ñïðàâà) âåñüìà òî÷íûå ïðèáëèæåíèÿ ÷èñëà 2 . À èìåííî, 1 7 41 239 99 17 3 < < < <K< 2 <K< < < . 1 5 29 169 70 12 2 1 1 2+O 1 γ, Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ íåñëîæíî: x - 2 = y (x - y 2 )(x + y 2 ) = x - 2y = æx ö y (x + y 2 ) y ç + 2÷ y èy ø 2 = 2 2 Íàïðèìåð, 0< 17 - 2= 12 0< 2- 41 = 29 1 . x æ ö 2 çè y + 2 ÷ø 1 1 < 2 < 0,0025 , 17 æ ö × 12 2 2 2 12 ç 2 + ÷ è 12 ø 1 41 ö æ 29 2 ç 2 + è 29 ø÷ < 1 29 2 × 2 × 41 29 < 0,00043 , ÓÐÀÂÍÅÍÈß òàê ÷òî äðîáü 17/12 ïðèáëèæàåò ÷èñëî 2 ñ òî÷íîñòüþ 0,0025, à äðîáü 41/29 ñ òî÷íîñòüþ 0,00043. Óïðàæíåíèÿ 61. Ñóùåñòâóåò ëè äðîáü, êîòîðàÿ ïðèáëèæàåò ÷èñëî 2 ñ òî÷íîñòüþ äî îäíîé ìèëëèîííîé, à åå çíàìåíàòåëü òðåõçíà÷íîå ÷èñëî? 62. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: m à) Åñëè m, n íàòóðàëüíûå ÷èñëà è 2 > , òî n m 1 > 2 2. n 2n 2 m 1 á) Åñëè m, n íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî - 2 > 2 . n 4n â) Ñóùåñòâóåò òàêàÿ áåñêîíå÷íàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1, x2, x3 ,K , ÷òî äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ m è n 1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî xn - xm ³ . (Ýòîò ïóíêò ðån-m øàëè â 1978 ãîäó øêîëüíèêè äâóõ ñàìûõ ñòàðøèõ êëàññîâ íà Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå.) 1 m ã) Åñëè ε > 0 , òî íåðàâåíñòâî èìå- 2 < n ε + 2 2 n2 åò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ m, n. 63. Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà a ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé a1 = a , à êàæäûé ñëåäóþùèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå an +1 = 2 + an 1 + an . Äîêàæèòå, ÷òî lim an = 2 . n®¥ 3 Öåïíàÿ äðîáü ÷èñëà 3 òàê æå, êàê ìû ïîñòóïàëè ñ Ïîñòóïèì ñ 3 = 1+ = 1+ = 1+ 2: 3 -1 = 1 3 +1 2 1 1+ 2+ 1 = 1+ 1 1 =1+ = 1 3 -1 + 1 1+ 2 3 +1 = 1+ 3 -1 K = 1+ 1 1+ 2+ 1 =K 1 1 1+ 2+ 1+ 3 +1 2 2+ 1 . 1 1+ 1 1 2+ 1+ 1 1+ 2+ 1 1+ = 1 1 2+ 26 . 15 1 1 Çàìåòèì: 12 - 3 × 1 = -2, 22 - 3 × 12 = 1, 52 - 3 × 32 = -2, 72 - 3 × 42 = 1, 192 - 3 × 112 = -2, 262 - 3 × 152 = 1, òàê ÷òî ïîëîâèíà äðîáåé «ëèøíèå» îíè äàþò ðåøåíèÿ íå óðàâíåíèÿ x 2 - 3y2 = 1 , à óðàâíåíèÿ x 2 - 3y2 = -2 . (Êàê âû ïîìíèòå, ïîäõîäÿùèå äðîáè ÷èñëà 2 îáëàäàþò àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì.) Óïðàæíåíèå 64. Åñëè íà÷àòü ñ äðîáè 1/1 èëè 2/1 è x x + 3y , òî âñå äðîáè, êîòîðûå ïðèìåíÿòü ïðàâèëî ® y x + 2y áóäóò ïðè ýòîì ïîëó÷åíû, ÿâëÿþòñÿ ïîäõîäÿùèìè äðîáÿìè ÷èñëà 3 . Äîêàæèòå ýòî.  ñëåäóþùåé ÷àñòè ñòàòüè ìû äîêàæåì ìíîãèå óäèâèòåëüíûå ñâîéñòâà öåïíûõ äðîáåé.  ÷àñòíîñòè, åñëè x 1 < 2 . x/y ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ÷èñëà ξ , òî ξ y y 2 2 Êðîìå òîãî, åñëè x - dy = 1 è x, y íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî x/y ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ÷èñëà d , òàê ÷òî äëÿ ïîèñêà ðåøåíèÿ (x; y) óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ ñëåäóåò ïåðåáèðàòü ëèøü ïîäõîäÿùèå äðîáè ÷èñëà d . À âîò îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, êàê âèäíî íà ïðèìåðàõ d = 2 è d = 3, ëîæíî: íå êàæäàÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ. Âðÿä ëè âàì óäàñòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ñîçäàòü òåîðèþ öåïíûõ äðîáåé. Íî ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü, ðàçëàãàÿ ðàçíûå ÷èñëà (è ðàöèîíàëüíûå, è èððàöèîíàëüíûå) â öåïíûå äðîáè è âû÷èñëÿÿ ïîäõîäÿùèå äðîáè, î÷åíü ïîëåçíî. Õîòÿ áû îäíó-äâå èíòåðåñíûå çàêîíîìåðíîñòè îáÿçàòåëüíî îáíàðóæèòå! Íàïðèìåð, ïîñòàðàéòåñü âûÿñíèòü, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé àíãëèéñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x 2 - dy 2 = 1 è öåïíàÿ äðîáü ÷èñëà d. (Ïðîäîëæåíèå ñëåäóåò) 1 1 1+ O Âûïèøåì íåñêîëüêî ïåðâûõ ïîäõîäÿùèõ äðîáåé: 1 1 2 1 5 = ; ; 1+ = ; 1+ 1 1 1 1 3 1+ 2 1 19 1 7 = = ; 1+ 1+ ; 1 11 1 4 1+ 1+ 1 1 2+ 2+ 1 1 1+ 2 4* 15 ÏÅËËß