Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ëåêòîðèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà Çàäà÷è ê ëåêöèè 2: ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû 1. Ïîñòðîéòå òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ ôîðìóë: à) á) â) ã) ¬(p → (p ∧ q)) → (p ∨ r); (p ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q → p) ∨ q); (p → q) → ((p ∨ (q ∧ r)) → (r ∧ ¬p)); (p → r) → ((p ∧ (q ∨ r)) → (¬r ∧ q)). 2. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå ôîðìóëû òàâòîëîãèÿìè: à) á) â) ã) ä) å) ¬q → (¬q → q); (p → q) ∨ (q → p); ((p ∧ ¬q) → q) → (p → q); (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)); (p → r) → ((p → q) → (r → q)); (p → r) → ((p ∨ q) → (r ∨ q))? Îòâåò: à) Íåò; á) äà; â) äà; ã) äà; ä) íåò; å) äà. 3. Ïðèâåäèòå ñëåäóþùèå ôîðìóëû ê ÊÍÔ è ÄÍÔ, à òàêæå çàïèøèòå ýêâèâàëåíòíûå èì ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà: à) ((p → q) → (r → ¬p)) → (¬q → ¬r); á) (p → q) ∧ (¬r ∨ ¬p) ∧ (¬r ∨ q); â) ((((p → q) → ¬p) → ¬q) → ¬r) → r. 4. Ïîñòðîéòå êàê ìîæíî áîëåå êîðîòêóþ ôîðìóëó îò òð¼õ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ: à) ïðèíèìàåò òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è áîëüøèíñòâî ïåðåìåííûõ; á) èñòèííà, åñëè èñòèííû ðîâíî äâå ïåðåìåííûå. Îòâåò: à) á) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (p ∧ r); 5. Ïðèäóìàéòå ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ, òàêóþ ÷òî ëþáàÿ ÊÍÔ (ÄÍÔ), å¼ âûðàæàþùàÿ, ñîäåðæèò êàæäóþ ïåðåìåííóþ â êàæäîì äèçúþíêòå (êîíúþíêòå). 1 Ðåøåíèå: â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîäîéä¼ò ôóíêöèÿ ÷¼òíîñòè (ñóììà ïî ìîäóëþ 2, parity, XOR), ðàâíàÿ 1, åñëè ñðåäè àðãóìåíòîâ íå÷¼òíîå ÷èñëî åäèíèö, è 0 èíà÷å. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ÊÍÔ. Ïóñòü ïåðåìåííàÿ pi íå âõîäèò â êàêîé-òî äèçúþíêò. Òîãäà ðàññìîòðèì íàáîð çíà÷åíèé îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ, òàêîé ÷òî ýòîò äèçúþíêò ëîæåí.  òàêîì ñëó÷àå âñÿ ÊÍÔ ëîæíà íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ pi. Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå çíà÷åíèå pi íå èçìåíèò çíà÷åíèÿ ôîðìóëû, ÷åãî íå ìîæåò áûòü äëÿ ôóíêöèè ÷¼òíîñòè. Äëÿ ÄÍÔ ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî: íóæíî âçÿòü òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, ÷òîáû êîíúþíêò áåç pi áûë èñòèííûì. 6. ÊÍÔ (ÄÍÔ) íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé, åñëè âî âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ å¼ äèçúþíêòàõ (êîíúþíêòàõ) êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ âñòðå÷àåòñÿ ðîâíî îäèí ðàç. Ó êàêîé ôóíêöèè íåò ñîâåðøåííîé ÊÍÔ? À ó êàêîé ÑÄÍÔ? Îòâåò: ÑÊÍÔ íåò ó òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôóíêöèè, à ÑÄÍÔ ó òîæäåñòâåííî ëîæíîé. 7. Äîêàæèòå, ÷òî: à) Åñëè A è B → ¬A ñóòü òàâòîëîãèè, òî ¬B òàâòîëîãèÿ. á) Åñëè A ∨ B è ¬A ∨ C ñóòü òàâòîëîãèè, òî B ∨ C òàâòîëîãèÿ. â) Åñëè A ∨ B , A → C è B → D ñóòü òàâòîëîãèè, òî C ∨ D òàâòîëîãèÿ. ã) Åñëè A ∧ B , A → C è B → D ñóòü òàâòîëîãèè, òî C ∧ D òàâòîëîãèÿ. 8. Ñóùåñòâóåò ëè ôîðìóëà A, òàêàÿ ÷òî ñëåäóþùèå ïàðû ôîðìóë îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè? Åñëè íåò, òî äîêàæèòå, åñëè äà, òî ïðèâåäèòå âîçìîæíî áîëåå êîðîòêóþ ôîðìóëó ñ òàêèì ñâîéñòâîì. à) (p ∧ A) → (p ∧ q) è (p ∨ r) → (p ∨ A); á) (A ∧ p) → ((q ∨ r) ∧ p), à (A ∨ q) → ((p ∧ r) ∨ q); â) (p → A) → (p → (q → r)) è (A → p) → ((r → q) → p); ã) (p ∨ A) → (p ∨ (q → r)) è (r → p) → (q ∧ A). 9. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç ñâÿçîê ↔ è ¬, ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ, à òàêæå çíàê îòðèöàíèÿ âñòðå÷àþòñÿ â íåé ÷¼òíîå ÷èñëî ðàç. Óêàçàíèå: òàêàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãî÷ëåíîì Æåãàëêèíà. 10. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äâå ôîðìóëû, âûðàæåííûå òîëüêî ÷åðåç çíàêè ¬, ∨ è ∧, ýêâèâàëåíòíû, òî îíè îñòàíóòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè çàìåíèòü âñå çíàêè ∨ íà ∧, è íàîáîðîò. Óêàçàíèå: ïðîâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèè, èñïîëüçóÿ çàêîíû äå Ìîðãàíà. 11. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A → B åñòü òàâòîëîãèÿ, òî íàéä¼òñÿ ôîðìóëà C , çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ïåðåìåííûõ, îáùèõ äëÿ A è B , òàêàÿ ÷òî A → C è C → B ñóòü òàâòîëîãèè. 2 Ïóñòü A çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ p1, . . . , pn, q1, . . . , qm, à B îò ïåðåìåííûõ p1, . . . , pn, r1, . . . , rl . Çàôèêñèðóåì çíà÷åíèÿ p1, . . . , pn. Åñëè õîòÿ áû ïðè êàêèõ-òî çíà÷åíèÿõ q1, . . . , qm ôîðìóëà A èñòèííà, òî B îáÿçàíà áûòü èñòèííîé ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ r1, . . . , rl .  òàêîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëîæèòü C(p1, . . . , pn) = 1, è îáå èìïëèêàöèè A → C è C → B áóäóò âåðíû. Åñëè æå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ q1 , . . . , qm ôîðìóëà A ëîæíà, òî ìîæíî ïîëîæèòü C(p1, . . . , pn) = 0, è òîæå îáå èìïëèêàöèè áóäóò âåðíû. Ðåøåíèå: 3