ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ А. К. НАРЫШКИН ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА И МИКРОПРОЦЕССОРЫ Рекомендовано Учебным управлением Московского энергетического института (Технического университета) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений радиотехнических специальностей Ìîñêâà 2006 1 ÓÄÊ 621.377.6 (075.8) ÁÁÊ 32.84ÿ73 Í308 Ð å ö å í ç å í ò û: çàì. äèðåêòîðà ÔÃÓÏ ÍÈÊÔÈ, çàâ. ëàáîðàòîðèåé ýëåêòðîàêóñòèêè ÍÈÊÔÈ, êàíä. òåõí. íàóê Ê. Â. Íåâåðîâñêèé; çàâ. ëàáîðàòîðèåé öèôðîâûõ ìåòîäîâ îáðàáîòêè ñèãíàëîâ ÍÈÊÔÈ Þ. Í. Áàðûøíåíêîâ; äîöåíò êàôåäðû êîíñòðóèðîâàíèÿ è ïðîèçâîäñòâà ÐÝÑ ÌÃÈÐÝÀ, êàíä. òåõí. íàóê À. Í. Áîãà÷åíêîâ Í308 Íàðûøêèí À.Ê. Öèôðîâûå óñòðîéñòâà è ìèêðîïðîöåññîðû: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóä. âûñø. ó÷åá. çàâåäåíèé / Àëåêñàíäð Êèðèëëîâè÷ Íàðûøêèí. Ì.: Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2006. 320 ñ. ISBN 5-7695-1618-6 Ðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâû àëãåáðû ëîãèêè, òåîðèè ïåðåêëþ÷àòåëüíûõ ôóíêöèé, òåîðèè àñèíõðîííûõ ïîòåíöèàëüíûõ è ñèíõðîííûõ àâòîìàòîâ, ñèíòåç öèôðîâûõ óçëîâ (òðèããåðîâ, ñ÷åò÷èêîâ, ñäâèãàþùèõ ðåãèñòðîâ, ìóëüòèïëåêñîðîâ, äåìóëüòèïëåêñîðîâ, ñóììàòîðîâ), ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ñõåì äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ öèôðîâûõ óñòðîéñòâ, à òàêæå àðõèòåêòóðà, ñèñòåìà êîìàíä, øèííûå ïðèåìîïåðåäàò÷èêè, ïðîåêòèðîâàíèå ìèêðîêîíòðîëëåðîâ íà ìèêðîïðîöåññîðàõ, ðàçðàáîòêà ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ. Íàðÿäó ñ èçâåñòíûìè ïðèâîäÿòñÿ ðàçðàáîòàííûå àâòîðîì â ïîñëåäíèå ãîäû íîâûå ìåòîäèêè àíàëèçà è ñèíòåçà öèôðîâûõ óñòðîéñòâ. Äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Ìîæåò áûòü ïîëåçíî ñòóäåíòàì òåõíèêóìîâ ðàäèîòåõíè÷åñêîãî ïðîôèëÿ. ÓÄÊ 621.377.6(075.8) ÁÁÊ 32.84ÿ73 Îðèãèíàë-ìàêåò äàííîãî èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà «Àêàäåìèÿ», è åãî âîñïðîèçâåäåíèå ëþáûì ñïîñîáîì áåç ñîãëàñèÿ ïðàâîîáëàäàòåëÿ çàïðåùàåòñÿ ISBN 5-7695-1618-6 2 © Íàðûøêèí À. Ê., 2006 © Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2006 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ Ñïèñîê ñîêðàùåíèé ..................................................................................... 3 Ñïèñîê óñëîâíûõ îáîçíà÷åíèé ................................................................... 5 Ïðåäèñëîâèå ................................................................................................. 8 Ââåäåíèå ...................................................................................................... 10 ÐÀÇÄÅË I ÎÑÍÎÂÛ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ Ã ë à â à 1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è ïîñòóëàòû .......................................... 17 1.1. Îñíîâíûå âûñêàçûâàíèÿ è ïåðåìåííûå ........................................ 17 1.2. Îñíîâíûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè ..................................................... 18 1.3. Îñíîâíûå ïîñòóëàòû àëãåáðû ëîãèêè ............................................ 20 1.4. Îáðàòíûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè ..................................................... 21 à ë à â à 2. Àíàëèòè÷åñêèå ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé ....... 23 2.1. Ñîâåðøåííàÿ äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ........................ 23 2.2. Ñîêðàùåííûå, òóïèêîâûå è ìèíèìàëüíûå äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé ............................... 28 2.3. Ñîâåðøåííàÿ êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ....................... 31 2.4. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé ñ íå ïîëíîñòüþ çàäàííûìè àðãóìåíòàìè â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå ..................... 34 à ë à â à 3. Ìèíèìèçàöèÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ ..... 37 3.1. Ñòðóêòóðà ïðîãðàììû ìèíèìèçàöèè ëîãè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà .................................................................................... 37 3.2. Ââîä èñõîäíîãî ëîãè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà â ÝÂÌ ....................... 38 3.3. Îïðåäåëåíèå ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè ........................................................................................... 39 3.4. Ñêëåèâàíèå ñîïðÿæåííûõ ìèíòåðìîâ è èìïëèêàíò .................... 40 3.5. Èñêëþ÷åíèå èçáûòî÷íûõ èìïëèêàíò ............................................. 43 à ë à â à 4. Ïðåäñòàâëåíèå è ìèíèìèçàöèÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì ................................................................... 46 4.1. Äèàãðàììû Âåé÷à è êàðòû Êàðíî .................................................. 46 4.2. Àëãåáðàè÷åñêèå äèàãðàììû ............................................................ 49 4.3. Âûïîëíåíèå îïåðàöèé íàä ëîãè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì Âåé÷à .......................................................... 51 à ë à â à 5. Ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ ....................................... 52 5.1. Òàáëèöû èñòèííîñòè, íàçâàíèÿ, àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ è ñâîéñòâà ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ .............................................. 52 315 5.2. Ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè ............................................................... 54 5.3. Îáðàòíûå ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ ........................ 56 5.4. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîëíîòà ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé ........................... 57 5.5. Ïðåäñòàâëåíèå ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñèñòåìå Word ................... 58 Ð À Ç Ä Å Ë II ÊÎÌÁÈÍÀÖÈÎÍÍÛÅ ÖÈÔÐÎÂÛÅ ÓÑÒÐÎÉÑÒÂÀ à ë à â à 6. Îñíîâíûå ëîãè÷åñêèå ýëåìåíòû ................................................. 61 6.1. Áàçîâûå ëîãè÷åñêèå ýëåìåíòû, ðåàëèçóþùèå ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ ............................................................................... 61 6.2. Âçàèìîçàìåíÿåìîñòü ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ .................................. 65 6.3. Ëîãè÷åñêèå ýëåìåíòû È ÈËÈ è È ÈËÈ ÍÅ ....................... 72 à ë à â à 7. Ìåòîäèêà àíàëèçà è ñèíòåçà êîìáèíàöèîííûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâ ..................................................................................... 76 7.1. Ïðåîáðàçîâàòåëü êîäà Ãðåÿ â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä ........... 76 7.2. Ìåòîäèêà ñèíòåçà êîìáèíàöèîííûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâ .......... 80 7.3. Ñèíòåç øèôðàòîðà è äåøèôðàòîðà êîäà, ïîçâîëÿþùåãî îáíàðóæèâàòü îäèíî÷íûå îøèáêè ........................ 81 7.4. Øèôðàòîð è äåøèôðàòîð êîäà Õýììèíãà, èñïðàâëÿþùåãî îäèíî÷íóþ îøèáêó .............................................. 84 à ë à â à 8. Øèôðàòîðû è äåøèôðàòîðû ...................................................... 89 8.1. Øèôðàòîðû ...................................................................................... 89 8.2. Ïðèîðèòåòíûå øèôðàòîðû ............................................................. 92 8.3. Äåøèôðàòîðû ................................................................................... 96 à ë à â à 9. Ìóëüòèïëåêñîðû è äåìóëüòèïëåêñîðû ..................................... 100 9.1. Ìóëüòèïëåêñîðû ............................................................................ 100 9.2. Äåìóëüòèïëåêñîðû ......................................................................... 107 à ë à â à 10. Ñóììàòîðû ............................................................................... 108 10.1. Îäíîðàçðÿäíûå ñóììàòîðû ......................................................... 108 10.2. Ìíîãîðàçðÿäíûå àðèôìåòè÷åñêèå ñóììàòîðû .......................... 111 10.3. Îäíî- è ìíîãîðàçðÿäíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñóììàòîðû .............. 116 10.4. Ñóììàòîðû ÷èñåë, ïðåäñòàâëåííûõ â ôîðìàòå ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé ................................................................. 120 10.5. Àðèôìåòè÷åñêèå óìíîæèòåëè ..................................................... 123 à ë à â à 11. Öèôðîâûå êîìïàðàòîðû ......................................................... 125 11.1. Îäíîðàçðÿäíûå êîìïàðàòîðû ..................................................... 125 11.2. Ìíîãîðàçðÿäíûå êîìïàðàòîðû ................................................... 126 à ë à â à 12. Êîìáèíàöèîííûå öèôðîâûå óñòðîéñòâà íà îñíîâå ïðîãðàììèðóåìûõ èíòåãðàëüíûõ ñõåì .................................... 131 12.1. Êëàññèôèêàöèÿ ïðîãðàììèðóåìûõ èíòåãðàëüíûõ ñõåì ............ 131 12.2. Ïðîãðàììèðóåìûå ïîñòîÿííûå çàïîìèíàþùèå óñòðîéñòâà .... 134 12.3. Ïðîãðàììèðóåìûå ëîãè÷åñêèå ìàòðèöû .................................... 136 12.4. Ïðîãðàììèðóåìûå ëîãè÷åñêèå èíòåãðàëüíûå ñõåìû ................ 138 316 Ð À Ç Ä Å Ë III ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÍÛÅ ÖÈÔÐÎÂÛÅ ÓÑÒÐÎÉÑÒÂÀ à ë à â à 13. Îáùèå ñâåäåíèÿ î ïîñëåäîâàòåëüíîñòíûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâàõ .............................................................................. 146 13.1. Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ .................................................................. 146 13.2. Êëàññèôèêàöèÿ ............................................................................ 147 13.3. Ìåòîäèêà ñèíòåçà ........................................................................ 148 à ë à â à 14. Òðèããåðû .................................................................................. 150 14.1. RS-òðèããåðû .................................................................................. 150 14.2. Ñèíõðîííûå D-òðèããåðû ............................................................. 158 14.3. T-òðèããåðû .................................................................................... 163 14.4. JK-òðèããåðû .................................................................................. 168 14.5. Âçàèìîçàìåíÿåìîñòü òðèããåðîâ ................................................... 173 à ë à â à 15. Ñ÷åò÷èêè .................................................................................. 179 15.1. Êëàññèôèêàöèÿ è îñíîâíûå ïàðàìåòðû .................................... 179 15.2. Ñèíõðîííûå äâîè÷íûå ñ÷åò÷èêè ................................................ 180 15.3. Àñèíõðîííûå äâîè÷íûå ñ÷åò÷èêè .............................................. 194 15.4. Àñèíõðîííûå íåäâîè÷íûå ñ÷åò÷èêè .......................................... 198 à ë à â à 16. Ðåãèñòðû .................................................................................. 206 16.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ ........................................................................... 206 16.2. Ðåãèñòðû ïàìÿòè .......................................................................... 207 16.3. Ðåãèñòðû ñäâèãà ........................................................................... 217 16.4. Êîìáèíèðîâàííûå ðåãèñòðû ....................................................... 227 16.5. Ðåãèñòðû ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ................................ 230 Ð À Ç Ä Å Ë IV ÌÈÊÐÎÏÐÎÖÅÑÑÎÐÛ Ã ë à â à 17. Àðõèòåêòóðà ............................................................................. 239 17.1. Ñòðóêòóðà è ïðèíöèï ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ÝÂÌ ...................... 239 17.2. Êëàññèôèêàöèÿ ìèêðîïðîöåññîðíûõ êîìïëåêòîâ èíòåãðàëüíûõ ñõåì ...................................................................... 240 17.3. Îäíîêðèñòàëüíûå ìèêðîïðîöåññîðû ......................................... 242 17.4. Ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ ìîäóëüíûõ ìèêðîïðîöåññîðîâ ............ 247 à ë à â à 18. Ñèñòåìû êîìàíä ...................................................................... 252 18.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ ........................................................................... 252 18.2. Êîìàíäû îäíîêðèñòàëüíûõ ìèêðîïðîöåññîðîâ ........................ 254 18.3. Ðàñøèðåííûå íàáîðû êîìàíä ìèêðîïðîöåññîðîâ .................... 259 à ë à â à 19. Øèííûå ïðèåìîïåðåäàò÷èêè .................................................. 264 19.1. Ìíîãîðåæèìíûå áóôåðíûå ðåãèñòðû ........................................ 264 19.2. Äðàéâåðû äâóíàïðàâëåííîé ìàãèñòðàëè .................................... 266 à ë à â à 20. Àðèôìåòèêî-ëîãè÷åñêîå óñòðîéñòâî ....................................... 267 20.1. Ñòðóêòóðà àðèôìåòèêî-ëîãè÷åñêîãî óñòðîéñòâà ....................... 267 20.2. Ôîðìèðîâàíèå îïåðàíäîâ X è Y ñóììàòîðà .............................. 267 317 20.3. Ñóììàòîð ÀËÓ .............................................................................. 273 20.4. Ñäâèãàòåëü ÀËÓ ............................................................................ 277 20.5. Ìóëüòèïëåêñîð I è ìóëüòèïëåêñîð àêêóìóëÿòîðà ..................... 278 20.6. Îïåðàöèè ïåðåñûëêè èíôîðìàöèè â ÀËÓ ................................ 279 20.7. Áûñòðîäåéñòâèå ÀËÓ ................................................................... 281 à ë à â à 21. Ðàçðàáîòêà ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ .................................. 283 21.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ ........................................................................... 283 21.2. ßçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ ........................................................... 284 21.3. Ñïîñîáû àäðåñàöèè ...................................................................... 287 21.4. Ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîãðàììû íà ÿçûêå àññåìáëåðà ................................................................... 292 à ë à â à 22. Ìèêðîêîíòðîëëåðû ................................................................. 296 22.1. Êëàññèôèêàöèÿ ............................................................................ 296 22.2. Ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå ìèêðîêîíòðîëëåðîâ ....................... 297 22.3. Ñòðóêòóðà ìèêðîêîíòðîëëåðîâ ñåìåéñòâà AT89C ..................... 301 à ë à â à 23. Ôóíêöèîíàëüíûå óçëû ìèêðîïðîöåññîðíîé ñèñòåìû ............ 303 23.1. Óñòðîéñòâà êîäèðîâàíèÿ ñèãíàëîâ êëàâèàòóðû ïóëüòà îïåðàòîðà ......................................................................... 303 23.2. Óñòðîéñòâà è àëãîðèòìû óñòðàíåíèÿ äðåáåçãà êëàâèøíûõ êîíòàêòîâ ................................................................. 305 23.3. Ñâåòîâûå èíäèêàòîðíûå óñòðîéñòâà .......................................... 308 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ................................................................................... 312 318 ÑÏÈÑÎÊ ÑÎÊÐÀÙÅÍÈÉ À ÀËÓ ÀÖÏ ÁÈÑ ÁÌÊ ÁÐ ÁÐÀ ÁÐÄ ÃÏÌÑ ÃÒÈ ÄÁß ÄÍÔ ÄØÊ ÇÓ ÇÝ ÈÌÑ ÈÑ ÊÁß ÊÌÎÏ ÊÎÈ ÊÖÓ ËÁ ËÈÏÇ ËÝ ÌÀ ÌÁÀ ÌÁÐ ÌÄ ÌÊ ÌËÁ ÌÍÎÏ ÌÎÏ ÌÏ ÌÏÊ ÌÓ ÍÄÊ ÍÌÄ ÎÇÓ àêêóìóëÿòîð àðèôìåòèêî-ëîãè÷åñêîå óñòðîéñòâî àíàëîãî-öèôðîâîé ïðåîáðàçîâàòåëü áîëüøàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñõåìà áàçîâûé ìàòðè÷íûé êðèñòàëë áóôåðíûé ðåãèñòð áóôåðíûé ðåãèñòð àäðåñà áóôåðíûé ðåãèñòð äàííûõ ãëîáàëüíàÿ ïðîãðàììèðóåìàÿ ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ãåíåðàòîð òàêòîâûõ èìïóëüñîâ äèçúþíêòèâíàÿ áèñòàáèëüíàÿ ÿ÷åéêà äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà äåøèôðàòîð êîìàíä çàïîìèíàþùåå óñòðîéñòâî çàïîìèíàþùèé ýëåìåíò èíòåãðàëüíàÿ ìèêðîñõåìà èíòåãðàëüíàÿ ñõåìà êîíúþíêòèâíàÿ áèñòàáèëüíàÿ ÿ÷åéêà êîìïëåìåíòàðíûé ÌÎÏ-ýëåìåíò êîä îïåðàöèè èíäèêàòîðà êîìáèíàöèîííîå öèôðîâîå óñòðîéñòâî ëîãè÷åñêèé áëîê ëàâèííî-èíæåêöèîííûé ñ ïëàâàþùèì çàòâîðîì ëîãè÷åñêèé ýëåìåíò ìàãèñòðàëü àäðåñà ìëàäøèé áàéò àäðåñà ìíîãîðåæèìíûé áóôåðíûé ðåãèñòð ìàãèñòðàëü äàííûõ ìèêðîêîíòðîëëåð ìàòðè÷íûé ëîãè÷åñêèé áëîê ìåòàëë íèòðèä êðåìíèÿ îêñèä êðåìíèÿ ïîëóïðîâîäíèê ìåòàëë îêñèä ïîëóïðîâîäíèê ìèêðîïðîöåññîð ìèêðîïðîöåññîðíûé êîìïëåêò ìàãèñòðàëü óïðàâëåíèÿ íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä êîíòðîëëåð íà æåñòêîì ìàãíèòíîì äèñêå îïåðàòèâíîå çàïîìèíàþùåå óñòðîéñòâî 3 ÎÓ ÏÂÌ ÏÇÓ ÏÊÌÁ ÏËÈÑ ÏËÌ ÏÌË ÏÏÇÓ ÏÖÓ ÐÀ ÐÊ ÐÌÏ ÐÎÍ ÐÏ ÐÏÇÓ ÑÀÏÐ ÑÁÀ ÑÄÍÔ ÑÈÑ ÑÊÍÔ ÑÓÏ ÒÏ ÒÒË ÒÒËØ Ó ÓÂÕ ÓÃÎ ÓÓ ÔÑÓ ÖÀÏ ÖÂÌ ÖÎÑ ÖÏÝ ÖÓ ØÄ ØÔ ÝÏË ÝÏÏÇÓ ÝÑË ÝÔË 4 îïåðàöèîííûé óñèëèòåëü ïðîãðàììèðóåìàÿ âåíòèëüíàÿ ìàòðèöà ïîñòîÿííîå çàïîìèíàþùåå óñòðîéñòâî ïðîãðàììèðóåìûé êîììóòèðóåìûé ìàòðè÷íûé áëîê ïðîãðàììèðóåìàÿ ëîãè÷åñêàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñõåìà ïðîãðàììèðóåìàÿ ëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà ïðîãðàììèðóåìàÿ ìàòðè÷íàÿ ëîãèêà, ïðîãðàììèðóåìàÿ ìàêðîëîãèêà ïðîãðàììèðóåìîå ïîñòîÿííîå çàïîìèíàþùåå óñòðîéñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòíîå öèôðîâîå óñòðîéñòâî ðåãèñòð àäðåñà ðåãèñòð êîìàíä ðåêîíôèãóðèðóåìûé ìîäóëü ïàìÿòè ðåãèñòð îáùåãî íàçíà÷åíèÿ ðåãèñòð ïðèçíàêîâ ðåïðîãðàììèðóåìîå ïîñòîÿííîå çàïîìèíàþùåå óñòðîéñòâî ñèñòåìà àâòîìàòèçèðîâàííîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ñòàðøèé áàéò àäðåñà ñîâåðøåííàÿ äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ñðåäíÿÿ èíòåãðàëüíàÿ ñõåìà ñîâåðøåííàÿ êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ñåêöèÿ óñêîðåííîãî ïåðåíîñà òàáëèöà ïåðåêîäèðîâêè òðàíçèñòîðíî-òðàíçèñòîðíàÿ ëîãèêà ÒÒË ñ äèîäàìè Øîòòêè óñòðîéñòâî ââîäà-âûâîäà óñòðîéñòâî âûáîðêè è õðàíåíèÿ óñëîâíîå ãðàôè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå óñòðîéñòâî óïðàâëåíèÿ ôîðìèðîâàòåëü ñèãíàëîâ óïðàâëåíèÿ öèôðîàíàëîãîâûé ïðåîáðàçîâàòåëü öèôðîâàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëà öåíòðàëüíûé ïðîöåññîðíûé ýëåìåíò öèôðîâîå óñòðîéñòâî øèííûé äðàéâåð øèííûé ôîðìèðîâàòåëü ëîãèêà íà ýìèòòåðíûõ ïîâòîðèòåëÿõ ýëåêòðè÷åñêè ïðîãðàììèðóåìîå ïîñòîÿííîå çàïîìèíàþùåå óñòðîéñòâî ýìèòòåðíî-ñâÿçàííàÿ ëîãèêà ýìèòòåðíî-ôóíêöèîíàëüíàÿ ëîãèêà ÑÏÈÑÎÊ ÓÑËÎÂÍÛÕ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ &, ·, ∧ ⊕ ∼ ∆ ↓ ⊃ ∗, ½ / \ == =1 1, ∨ A À AC A/D ALU B BUBR C, CLK CARG c.d. c.u. CD CLR CRG CRI CRO CRP CS CT CY D NOT, ÍÅ îïåðàöèÿ ëîãè÷åñêîãî îòðèöàíèÿ (èíâåðñèÿ) AND, È îïåðàöèÿ ëîãè÷åñêîãî óìíîæåíèÿ (êîíúþíêöèÿ) îïåðàöèÿ ñóììèðîâàíèÿ ïî ìîäóëþ 2, íåðàâíîçíà÷íîñòü ðàâíîçíà÷íîñòü îïåðàöèÿ çàïðåòà ñòðåëêà Ïèðñà èìïëèêàöèÿ øòðèõ Øåôôåðà íåîïðåäåëåííîñòü, ôàêóëüòàòèâ, çàïðåùåííîå ñîñòîÿíèå ëîãè÷åñêîå äåëåíèå ëîãè÷åñêîå âû÷èòàíèå êîìïàðàòîð ýëåìåíò íåðàâíîçíà÷íîñòè, ñóììàòîð ïî ìîäóëþ 2 OR, ÈËÈ îïåðàöèÿ ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ (äèçúþíêöèÿ) address àäðåñ; accumulator àêêóìóëÿòîð address bus àäðåñíàÿ øèíà analog comparator àíàëîãîâûé êîìïàðàòîð analog-digital àíàëîãî-öèôðîâîé arithmetic and logic unit àðèôìåòèêî-ëîãè÷åñêîå óñòðîéñòâî binary áèíàðíûé; äâîè÷íûé; bit áèò, äâîè÷íûé ðàçðÿä bidirectional unibus buffer register äâóíàïðàâëåííûé áóôåðíûé ðåãèñòð îáùåé øèíû clock ñèãíàë ñèíõðîíèçàöèè consecutive approximation register ðåãèñòð ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé count down ñ÷èòàòü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè count up ñ÷èòàòü â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè coder øèôðàòîð clear î÷èùàòü carry of group ñèãíàë ãðóïïîâîãî ïåðåíîñà carry input âõîäíîé ñèãíàë ïåðåíîñà carry out put âûõîäíîé ñèãíàë ïåðåíîñà carry prompting ðàçðåøåíèå ãðóïïîâîãî ïåðåíîñà chi p select âûáîð ìèêðîñõåìû counter ñ÷åò÷èê carry ïåðåíîñ; ñèãíàë ïåðåíîñà datà èíôîðìàöèîííûå äàííûå; delay çàäåðæêà, çàïàçäûâàíèå; decimal äåñÿòè÷íûé 5 DA D/A DB DC DD DM DVD DVS E, EN F FR G GRD GS H HA HS I IB INT I/OR I/OW L l MBR MD MEMR MEMW MPL MX O OB OF P PAL PC PCD PLA PLD PR PROM Q 6 differential amplifier äèôôåðåíöèàëüíûé óñèëèòåëü digital-analog öèôðîàíàëîãîâûé data bus øèíà äàííûõ, èíôîðìàöèîííàÿ øèíà decoder äåøèôðàòîð digital device öèôðîâîé ýëåìåíò demulti plexer äåìóëüòèïëåêñîð dividend äåëèìîå divisor äåëèòåëü enable ðàçðåøàþùèé ñèãíàë, ðàçðåøåíèå; ðàçðåøàþùèé âõîä function ôóíêöèÿ flag register ôëàãîâûé ðåãèñòð; ðåãèñòð ïðèçíàêà carry generator ãåíåðàòîð ñèãíàëà ïåðåíîñà; generator ãåíåðàòîð ground îáùàÿ øèíà, çåìëÿ gate signal ñòðîá-ñèãíàë ñòðîáèðóþùèé ñèãíàë high âûñîêèé; hexadecimal øåñòíàäöàòåðè÷íûé half-adder ïîëóñóììàòîð half-summator ïîëóñóììàòîð input âõîä input bus âõîäíàÿ øèíà interrupt ïðåðûâàíèå input/output read ñ÷èòûâàíèå èç óñòðîéñòâà ââîäà/âûâîäà input/output write çàïèñü â óñòðîéñòâî ââîäà/âûâîäà low íèçêèé line ñòðîêà multiregime buffer register ìíîãîðåæèìíûé áóôåðíûé ðåãèñòð mode ðåæèì ðàáîòû memory read ñ÷èòûâàíèå èç ïàìÿòè memory write çàïèñü â ïàìÿòü multi plier ìíîæèòåëü; ñîìíîæèòåëü; óìíîæèòåëü multi plexer ìóëüòèïëåêñîð; êîììóòàòîð output âûõîä; âûâîä; âûõîäíîå óñòðîéñòâî; óñòðîéñòâî âûâîäà output bus âûõîäíàÿ øèíà overflow ïåðåïîëíåíèå; ïðèçíàê ïåðåïîëíåíèÿ propagation ðàñïðîñòðàíåíèå; product ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë programmable array logic ïðîãðàììèðóåìàÿ ìàòðè÷íàÿ ëîãèêà program counter ïðîãðàììíûé ñ÷åò÷èê, ñ÷åò÷èê êëìàíä; parity of carry êîíòðîëü ÷åòíîñòè ïåðåíîñà priority-oriented coder ïðèîðèòåòíûé øèôðàòîð programmable logic array ïðîãðàììèðóåìàÿ ëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà programmable logic device ïðîãðàììèðóåìîå ëîãè÷åñêîå óñòðîéñòâî parity of result êîíòðîëü ÷åòíîñòè ïåðåíîñà programmable read-only memory ïðîãðàììèðóåìàÿ ïîñòîÿííàÿ ïàìÿòü, ïðîãðàììèðóåìîå ïîñòîÿííîå ÇÓ quotien ÷àñòíîå; îòíîøåíèå R reset âîññòàíàâëåíèå, âîçâðàò â èñõîäíîå ïîëîæåíèå; óñòàíîâêà â «0»; reverse ðåâåðñ, îáðàòíûé õîä; receiver ïðèåìíèê RG register ðåãèñòð S set óñòàíàâëèâàòü; sign çíàê; sum ñóììà; switch ïåðåêëþ÷àòåëü SIB scale index byte áàéò ìàñøòàáèðóåìîãî èíäåêñà SM summator ñóììàòîð, ñóììèðóþùåå óñòðîéñòâî SP stack pointer óêàçàòåëü ñòåêà STB strobe ñòðîá-èìïóëüñ, ñòðîáèðóþùèé èìïóëüñ T trigger òðèããåð; ïóñêîâàÿ ñõåìà; transmitter ïåðåäàò÷èê; topple îïðîêèäûâàòüñÿ; time âðåìÿ V veto çàïðåò W write çàïèñü Z zero íóëü ZD zero definition çàäàíèå íóëÿ; zero drift øóìîïîäàâèòåëü 7 ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ó÷åáíîå ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìíîãîëåòíåãî íàó÷íîìåòîäè÷åñêîãî è ïðàêòè÷åñêîãî îïûòà àâòîðà. Ïîìèìî èçâåñòíûõ ìåòîäèê àâòîð èñïîëüçóåò ðàçðàáîòàííûå èì íîâûå ìåòîäèêè àíàëèçà è ñèíòåçà öèôðîâûõ óñòðîéñòâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ïðèâîäÿòñÿ ôóíêöèè, èìåþùèå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå.  ïåðâîì ðàçäåëå ïðåäëàãàåìîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïðèâåäåíû âñå îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñîâðåìåííîé àëãåáðû ëîãèêè.  ïåðâîé ãëàâå ïðèâåäåíû îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è ïîñòóëàòû áèíàðíîé (àðèñòîòåëåâîé) àëãåáðû ëîãèêè. Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè è èõ ñâîéñòâà.  òðåòüåé ãëàâå îáñóæäàþòñÿ àëãîðèòìû ïðîãðàìì, ïîçâîëÿþùèõ ìèíèìèçèðîâàòü ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé òåõíèêè.  ÷åòâåðòîé ãëàâå ïðåäñòàâëåíî ïðèìåíåíèå àðèôìåòè÷åñêèõ è àëãåáðàè÷åñêèõ äèàãðàìì.  ïÿòîé ãëàâå èññëåäîâàíû âñå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, èõ ñâîéñòâà è âçàèìîñâÿçü. Âòîðîé ðàçäåë ïîñâÿùåí êîìáèíàöèîííûì öèôðîâûì óñòðîéñòâàì, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòíûõ òåì, ÷òî ó íèõ íåò ïàìÿòè ïî ïðåäûäóùåìó ñîñòîÿíèþ. Êîìáèíàöèîííûå öèôðîâûå óñòðîéñòâà (ÊÖÓ) ðåàëèçóþò çàäàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå è ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâóþùèìè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè êîìáèíàöèÿìè âõîäíûõ èíôîðìàöèîííûõ ñèãíàëîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîäàííûìè óïðàâëÿþùèìè ñèãíàëàìè è íå çàâèñÿò îò ïðåäûäóùèõ ñèãíàëîâ. Ìåòîäû ñèíòåçà öèôðîâûõ óñòðîéñòâ îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè ïîëîæåíèé àëãåáðû ëîãèêè, èçëîæåííûõ â ïåðâîì ðàçäåëå ïîñîáèÿ.  øåñòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâíûå ëîãè÷åñêèå ýëåìåíòû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñèíòåçèðóþòñÿ ÊÖÓ. Çäåñü ïðèâîäÿòñÿ òîëüêî ñàìûå îáùèå ïàðàìåòðû ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ áåç èõ ñõåìíûõ ïîäðîáíîñòåé. Òàêæå â ýòîé ãëàâå äåìîíñòðèðóåòñÿ âîçìîæíîñòü âçàèìíîé çàìåíû ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ôóíêöèîíàëüíî ïîëíûõ ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, óïîìèíàþòñÿ ýëåìåíòû È ÈËÈ è È ÈËÈ ÍÅ. 8 Ñåäüìàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ìåòîäèêè àíàëèçà è ñèíòåçà êîìáèíàöèîííûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâ íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàòåëÿ êîäà Ãðåÿ â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä. Çäåñü ðàññìîòðåíû ìåðû, ïîçâîëÿþùèå óñòðàíÿòü ýôôåêò ãîíîê; ñèíòåç ôîðìèðîâàòåëÿ è ïðèåìíîãî óñòðîéñòâà êîäà ñ ïðîâåðêîé íà ÷åòíîñòü, ïîçâîëÿþùåãî îáíàðóæèâàòü îäèíî÷íûå îøèáêè, à òàêæå øèôðàòîðà è äåøèôðàòîðà êîäà Õýììèíãà, èñïðàâëÿþùåãî îäèíî÷íûå îøèáêè. Øèôðàòîðû è äåøèôðàòîðû â óçêîì çíà÷åíèè ýòèõ ïîíÿòèé, ò. å. êàê ïðåîáðàçîâàòåëè êîäà «1 èç m» â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé è îáðàòíî, èçó÷àþòñÿ â âîñüìîé ãëàâå, ãäå òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ íàçíà÷åíèå è ïðèìåíåíèå ïðèîðèòåòíûõ øèôðàòîðîâ. Ñâåäåíèÿ î ìóëüòèïëåêñîðàõ è äåìóëüòèïëåêñîðàõ è èõ ïðèìåíåíèè èçëîæåíû â äåâÿòîé ãëàâå.  äåñÿòîé ãëàâå ðàññìîòðåíû îäíî- è ìíîãîðàçðÿäíûå àðèôìåòè÷åñêèå è àëãåáðàè÷åñêèå ñóììàòîðû, ïðåäñòàâëåííûå â ôîðìàòå ñ ôèêñèðîâàííîé è ïëàâàþùåé çàïÿòûìè, ïðèâåäåíû êðàòêèå ñâåäåíèÿ îá àðèôìåòè÷åñêèõ óìíîæèòåëÿõ.  îäèííàäöàòîé ãëàâå ñèíòåçèðóþòñÿ îäíî- è ìíîãîðàçðÿäíûå êîìïàðàòîðû, ïîêàçàíû ñïîñîáû íàðàùèâàíèÿ ðàçðÿäíîñòè è ïðèâåäåíû ïðèìåðû èõ èñïîëüçîâàíèÿ. Äâåíàäöàòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà âîçìîæíîñòè ðåàëèçàöèè êîìáèíàöèîííûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâ íà îñíîâå ïðîãðàììèðóåìûõ èíòåãðàëüíûõ ñõåì. Îñîáîå âíèìàíèå çäåñü óäåëåíî ïåðñïåêòèâíûì â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîãðàììèðóåìûì ëîãè÷åñêèì èíòåãðàëüíûì ñõåìàì (ÏËÈÑ).  òðåòüåì ðàçäåëå ïîñëå îáùèõ ñâåäåíèé, ïðèâåäåííûõ â ãë. 13, ðàññìîòðåíû âî âñåì èõ ðàçíîîáðàçèè íàèáîëåå âàæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòíûå öèôðîâûå óñòðîéñòâà, òàêèå êàê òðèããåðû (ãë. 14), ñ÷åò÷èêè (ãë. 15) è ðåãèñòðû (ãë. 16).  ÷åòâåðòîì ðàçäåëå îïèñàíû ìèêðîïðîöåññîðû: èõ êëàññèôèêàöèÿ è àðõèòåêòóðà (ãë. 17), ñèñòåìû êîìàíä (ãë. 18), øèííûå ïðèåìîïåðåäàò÷èêè (ãë. 19), ñòðóêòóðà è îñíîâíûå ýëåìåíòû àðèôìåòèêî-ëîãè÷åñêîãî óñòðîéñòâà (ãë. 20), äàíû ñâåäåíèÿ î ðàçðàáîòêå ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ (ãë. 21), ìèêðîêîíòðîëëåðàõ (ãë. 22) è íåêîòîðûõ ôóíêöèîíàëüíûõ óçëàõ ìèêðîïðîöåññîðíûõ ñèñòåì (ãë. 23).  êîíöå êàæäîé ãëàâû ïðåäëàãàþòñÿ êîíòðîëüíûå âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ. 9 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ è ñèñòåìàõ èñïîëüçóåòñÿ öèôðîâàÿ òåõíèêà. Ýòî ñâÿçàíî ñ öåëûì ðÿäîì ïðåèìóùåñòâ öèôðîâûõ ñèãíàëîâ ïåðåä àíàëîãîâûìè è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ñ òî÷íîñòüþ, ïîìåõîóñòîé÷èâîñòüþ è âîçìîæíîñòüþ õðàíåíèÿ èíôîðìàöèè. Óòî÷íèì íåêîòîðûå îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïîíÿòèÿ, èñïîëüçóÿ ýíöèêëîïåäè÷åñêèé [6] è òîëêîâûå ñëîâàðè [10, 32]. Öèôðû (îò ïîçäíåëàòèíñêîãî cifra) çíàêè äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ÷èñåë. Ïåðâûå öèôðû ïîÿâèëèñü ó åãèïòÿí è âàâèëîíÿí. Ó ðÿäà íàðîäîâ (äðåâíèõ ãðåêîâ, ôèíèêèÿí, åâðååâ, ñèðèéöåâ) öèôðàìè ñëóæèëè áóêâû àëôàâèòà, ÷òî ñîõðàíèëîñü ÷àñòè÷íî â øåñòíàäöàòåðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ; àíàëîãè÷íàÿ ñèñòåìà äî XVI â. ïðèìåíÿëàñü è â Ðîññèè.  ñðåäíèå âåêà â Åâðîïå ïîëüçîâàëèñü ñèñòåìîé ðèìñêèõ öèôð (I, II, III, IV, V, VI è ò. ä.), îñíîâàííîé íà óïîòðåáëåíèè îñîáûõ çíàêîâ äëÿ äåñÿòè÷íûõ ðàçðÿäîâ I = 1, X = 10, C = 100, M = 1000 è èõ ïîëîâèí V = 5, L = 50, D = 500. Ñîâðåìåííûå öèôðû (àðàáñêèå), ïåðåíåñåííûå â Åâðîïó àðàáàìè â XIII â. (ïî-âèäèìîìó, èç Èíäèè), ïîëó÷èëè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå âî âòîðîé ïîëîâèíå XV â.  óçêîì ñìûñëå ñëîâà öèôðàìè íàçûâàþòñÿ çíàêè: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ñ÷èñëåíèå (íóìåðàöèÿ) âûðàæåíèå è îáîçíà÷åíèå ÷èñåë.  ðàçâèòûõ ñèñòåìàõ ñ÷èñëåíèÿ íåêîòîðîå ÷èñëî n åäèíèö (íàïðèìåð, äåñÿòü) îáúåäèíÿåòñÿ â îäíó åäèíèöó 2-ãî ðàçðÿäà (äåñÿòîê), òî æå ÷èñëî åäèíèö 2-ãî ðàçðÿäà îáúåäèíÿåòñÿ â åäèíèöó 3-ãî ðàçðÿäà (ñîòíþ) è ò. ä. ×èñëî åäèíèö n íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ, à çíàêè, óïîòðåáëÿåìûå äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîëè÷åñòâà åäèíèö êàæäîãî ðàçðÿäà, öèôðàìè. Íàèáîëåå ïðèìåíÿåìàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ äåñÿòè÷íàÿ, ñ öèôðàìè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ïðîèñõîæäåíèå äåñÿòè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ñâÿçàíî ñ ïàëüöåâûì ñ÷åòîì. Íåêîòîðûå íàðîäû ïîëüçîâàëèñü ïÿòåðè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ; â Äðåâíåì Âàâèëîíå áûëà ðàñïðîñòðàíåíà øåñòèäåñÿòåðè÷íàÿ ñèñòåìà, ñëåäû êîòîðîé ñîõðàíèëèñü â äåëåíèè ÷àñà è ãðàäóñà íà 60 ìèíóò è ìèíóòû íà 60 ñåêóíä.  ýëåêòðîííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèíàõ (ÝÂÌ) ïðèìåíÿåòñÿ äâîè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ, â êîòîðîé êàæäîå ÷èñëî âûðàæàåòñÿ 10 ïðè ïîìîùè äâóõ öèôð 0 è 1.  ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ýëåêòðîííûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâàõ èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ êîìáèíèðîâàííûå (ñìåøàííûå) ñèñòåìû, â êîòîðûõ êàæäûé ðàçðÿä èìååò ñâîé èíäèâèäóàëüíûé âåñîâîé êîýôôèöèåíò. Íàïðèìåð, â êîäå 321 ñòàðøèé ðàçðÿä èìååò âåñîâîé ìíîæèòåëü 3, ñðåäíèé 2 è ìëàäøèé 1. Óñòðîéñòâî êîíñòðóêòèâíî çàêîí÷åííîå òåõíè÷åñêîå ñðåäñòâî, èìåþùåå îïðåäåëåííîå ôóíêöèîíàëüíîå íàçíà÷åíèå. Öèôðîâîå óñòðîéñòâî (ÖÓ) îáðàáàòûâàåò öèôðîâûå âîçäåéñòâèÿ ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû. Ïåðâûå àðèôìåòè÷åñêèå ÖÓ áûëè ïîçèöèîííîãî òèïà ìåõàíè÷åñêîãî äåéñòâèÿ è íàçûâàëèñü àáàêè (îò ãðå÷. àbax äîñêà). Àáàê äîñêà, ðàçäåëåííàÿ íà ïîëîñû, ãäå ïåðåäâèãàëèñü êàìåøêè, êîñòè (êàê â ðóññêèõ ñ÷åòàõ), èñïîëüçîâàëàñü äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé â Äðåâíåé Ãðåöèè, Ðèìå, à çàòåì è â Çàïàäíîé Åâðîïå äî XVIII â.  50-å ãîäû XX â. åùå øèðîêî ïðèìåíÿëèñü àðèôìîìåòðû «Ôåëèêñ» ìåõàíè÷åñêîãî òèïà è íà÷èíàëè ïðèìåíÿòüñÿ êëàâèøíûå è ñ÷åòíî-ïåðôîðàöèîííûå ìàøèíû íà ýëåêòðîííûõ ëàìïàõ. Èñêëþ÷èòåëüíî âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ âñåãî ïîñëåäóþùåãî ðàçâèòèÿ ýëåêòðîííûõ öèôðîâûõ óñòðîéñòâ èìåëî îòêðûòèå, ñäåëàííîå â 1918 ã. ñîâåòñêèì ó÷åíûì Ì. À. Áîí÷-Áðóåâè÷åì, îáíàðóæèâøèì, ÷òî íàïðÿæåíèå è òîê â àïåðèîäè÷åñêîì óñèëèòåëå ñ çàìêíóòîé ïåòëåé ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè ïðèîáðåòàþò ñïîñîáíîñòü ê ñêà÷êàì (ðåãåíåðàòèâíûì ïðîöåññàì, ò. å. î÷åíü áûñòðûì èçìåíåíèÿì). Èçîáðåòåííîå èì ñïóñêîâîå óñòðîéñòâî, â êîòîðîì èñïîëüçîâàëîñü ýòî îòêðûòèå, ÿâèëîñü îñíîâîé äëÿ ïîëó÷èâøèõ øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ òåõíèêè (â òîì ÷èñëå è âû÷èñëèòåëüíîé) âñÿêîãî ðîäà ðåëå (òðèããåðîâ) è ðåëàêñàöèîííûõ ãåíåðàòîðîâ (ìóëüòèâèáðàòîðîâ è äðóãèõ óñòðîéñòâ).  öèôðîâîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå èñïîëüçóþòñÿ öèôðîâûå ñèãíàëû, êîòîðûå â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó áûñòðûìè ïåðåïàäàìè ïðèíèìàþò ëèøü îïðåäåëåííûå êâàíòîâàííûå çíà÷åíèÿ.  áîëåå óçêîì ñìûñëå ñëîâà, áûñòðûå ïåðåïàäû öèôðîâûõ ñèãíàëîâ äîëæíû ïðîèñõîäèòü â ñòðîãî îïðåäåëåííûå ìîìåíòû âðåìåíè, çàäàííûå ñèñòåìîé ñèíõðîíèçàöèè. Äâîè÷íûé öèôðîâîé ñèãíàë èìååò äâà ôèêñèðîâàííûõ óðîâíÿ, óñëîâíî îáîçíà÷àåìûå íóëåì x 0 è åäèíèöåé x1, ðàçäåëåííûå ìåæäó ñîáîé ïîðîãîâûì óðîâíåì xïîð. Ðàçëè÷àþò ïîòåíöèàëüíîå è èìïóëüñíîå êîäèðîâàíèå. Ïðè ïîòåíöèàëüíîì êîäèðîâàíèè ñèãíàë, ïðåâûøàþùèé ïîðîãîâûé óðîâåíü (x > xïîð), îáîçíà÷àåòñÿ ëîãè÷åñêîé åäèíèöåé (ëîã. 1), à ñèãíàë, êîòîðûé íèæå ïîðîãîâîãî óðîâíÿ (x < xïîð) îáîçíà÷àåòñÿ ëîãè÷åñêèì íóëåì (ëîã. 0). Ïðè èìïóëüñíîì êîäèðîâàíèè ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ íå àáñîëþòíûé óðîâåíü ñèãíàëà, à çíàê (íàïðàâëåíèå) ïåðåïàäà. Åñëè 11 ïðèíÿòî, ÷òî ðàáîòà ïðîèñõîäèò ïî ïîëîæèòåëüíîìó ïåðåïàäó, ôðîíò èìïóëüñà êîäèðóåòñÿ ëîãè÷åñêîé åäèíèöåé, à âñÿ îñòàëüíàÿ ÷àñòü ñèãíàëà ëîãè÷åñêèì íóëåì. Ïðè ðàáîòå ïî îòðèöàòåëüíîìó ïåðåïàäó ñðåç èìïóëüñà êîäèðóåòñÿ ëîãè÷åñêîé åäèíèöåé, à âñå îñòàëüíîå ëîãè÷åñêèì íóëåì. Òàêèì îáðàçîì, êîäèðîâàíèå öèôðîâîãî ñèãíàëà èíôîðìàöèîííûìè (ëîãè÷åñêèìè) ñèìâîëàìè ÿâëÿåòñÿ óñëîâíûì è òðåáóåò îáÿçàòåëüíîé îãîâîðêè. Öèôðîâàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà (ÖÂÌ) âûïîëíÿåò ïî çàäàííîé ïðîãðàììå îáðàáîòêó èíôîðìàöèè, ïðåäñòàâëåííîé â öèôðîâîé ôîðìå. Êàæäîé öèôðå â ÖÂÌ ñîîòâåòñòâóåò îäèí èëè íåñêîëüêî äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ, íàïðèìåð ýëåêòðè÷åñêèõ èìïóëüñîâ. Ïðîöåññ îáðàáîòêè èíôîðìàöèè íà ÖÂÌ ñâîäèòñÿ ê òàêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñèãíàëîâ, ïðè êîòîðîì ðåçóëüòèðóþùèé ñèãíàë ÷èñëåííî ðàâåí èòîãó ñîîòâåòñòâóþùåé âû÷èñëèòåëüíîé îïåðàöèè. Ïðèíöèïèàëüíî ÖÂÌ ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ óñòðîéñòâ: àðèôìåòè÷åñêîãî, ïàìÿòè, óïðàâëåíèÿ è ââîäà-âûâîäà äàííûõ. Áëîê ÖÂÌ, êîòîðûé óïðàâëÿåò åå ðàáîòîé, íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîðîì. Ïðîöåññîð, ñîçäàííûé íà îñíîâå èíòåãðàëüíîé ìèêðîñõåìû, íàçûâàåòñÿ ìèêðîïðîöåññîðîì (ÌÏ). Èçîáðåòåíèå òðàíçèñòîðà Ä. Áàðäèíûì, Ó. Áðàòòåéíîì è Ó. Øîêëè (ÑØÀ) â êîíöå 40-õ ãîäîâ XX â. ïðîèçâåëî ðåâîëþöèîííîå äåéñòâèå â ýëåêòðîíèêå, ðàäèîòåõíèêå è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå ïðèáîðû, èìåþùèå çíà÷èòåëüíî ìåíüøèå ãàáàðèòû è ìàññû, ÷åì ðàäèîëàìïû, îáóñëîâèëè ïîâûøåíèå íàäåæíîñòè ðàáîòû ðàäèîàïïàðàòóðû, ñ÷åòíî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è äðóãèõ óñòàíîâîê.  ðàäèîòåõíèêå öèôðîâûå âû÷èñëèòåëüíûå óñòðîéñòâà îáåñïå÷èâàþò: 1) ôîðìèðîâàíèå è îáðàáîòêó ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ ðàäèîëîêàöèè, òåëåâèäåíèÿ, ðàäèîíàâèãàöèè, ðàäèîóïðàâëåíèÿ, ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè; 2) ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ, ñèñòåì è êîìïëåêñîâ; 3) àíàëèç è îïòèìèçàöèþ õàðàêòåðèñòèê îòäåëüíûõ óñòðîéñòâ (íàïðèìåð, ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â áëèæíåé çîíå ðàñêðûâà àíòåííû); 4) ðàáîòó ñèñòåì àâòîìàòèçèðîâàííîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. Âñå ïåðå÷èñëåííûå çàäà÷è, çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîé, ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ óíèâåðñàëüíûõ öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí. ×òî êàñàåòñÿ ïåðâîé çàäà÷è, êàê ïðàâèëî, îíà ðåøàåòñÿ ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ êàê ñïåöèàëèçèðîâàííûõ öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ (ñèíõðîíèçàòîðîâ, ôîðìèðîâàòåëåé çîíäèðóþùèõ øèðîêîïîëîñíûõ ñèãíàëîâ, àíàëîãî-öèôðîâûõ è öèôðîàíàëîãîâûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé, óñòðîéñòâ ïåðâè÷íîé ïî îäíîìó öèêëó îáçîðà îáðàáîòêè èíôîðìàöèè, ò. å. óñòðîéñòâ îáíàðóæåíèÿ è îöåíêè ïàðà12 ìåòðîâ ñèãíàëà), òàê è óíèâåðñàëüíûõ (îò ìèêðî- äî áîëüøèõ ÝÂÌ). Âñå ïðîáëåìû âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè ñêëàäûâàþòñÿ èç òðåõ îñíîâíûõ êîìïîíåíòîâ: ñîçäàíèÿ ýëåìåíòíîé áàçû; ðàçðàáîòêè ñàìèõ ÝÂÌ è ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ê íèì; ýêîíîìè÷åñêè âûãîäíîãî èñïîëüçîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè â íàðîäíîì õîçÿéñòâå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåçêîå èçìåíåíèå ýëåìåíòíîé áàçû ïóòåì ïåðåõîäà îò ñõåì íà äèñêðåòíûõ ýëåìåíòàõ ê èíòåãðàëüíûì ìèêðîñõåìàì ðàçëè÷íîé ñòåïåíè èíòåãðàöèè ïðèâåëî ê êà÷åñòâåííîìó ñêà÷êó â îáëàñòè èíæåíåðíûõ ìåòîäîâ ñèíòåçà öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ íà èõ îñíîâå. Ïîíèìàíèå ðàáîòû öèôðîâûõ óñòðîéñòâ, à òåì áîëåå èõ ðàçðàáîòêà, íåâîçìîæíû áåç ãëóáîêîãî çíàíèÿ îñíîâ àëãåáðû ëîãèêè. Àëãåáðà ëîãèêè ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëîãè÷åñêèõ çàäà÷; â óçêîì ñìûñëå ýòî òàáëè÷íîå, ìàòðè÷íîå ïîñòðîåíèå ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, îïðåäåëÿþùåå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íèìè. Èñòîðè÷åñêèå êîðíè àëãåáðû ëîãèêè îáíàðóæèâàþòñÿ â Äðåâíåé Ãðåöèè è ñâÿçàíû â ïåðâóþ î÷åðåäü ñ èìåíåì ôèëîñîôà Ãåðàêëèòà (êîíåö VI íà÷àëî V ââ. äî í. ý.), îäíîãî èç îñíîâàòåëåé äèàëåêòèêè. Çàêîí, êîòîðûì ñâÿçàíî âñÿêîå èçìåíåíèå è äâèæåíèå, Ãåðàêëèò íàçûâàåò Ëîãîñîì (îò ãðå÷. logos ðå÷ü, ñëîâî, ðàçóìíîå îñíîâàíèå). Ýòîò òåðìèí âïåðâûå ââîäèòñÿ â ôèëîñîôèþ Ãåðàêëèòîì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé ñâÿçè âåùåé [5]. Äèàëåêòèêà (îò ãðå÷. dialektike èñêóññòâî âåñòè áåñåäó, ñïîð) ýòî ôèëîñîôñêîå ó÷åíèå î ñòàíîâëåíèè è ðàçâèòèè áûòèÿ è ïîçíàíèÿ è îñíîâàííûé íà ýòîì ó÷åíèè ìåòîä ìûøëåíèÿ.  èñòîðèè ôèëîñîôèè âûäâèãàëèñü ðàçëè÷íûå òîëêîâàíèÿ äèàëåêòèêè: êàê ó÷åíèÿ î âå÷íîì ñòàíîâëåíèè è èçìåí÷èâîñòè áûòèÿ (Ãåðàêëèò); èñêóññòâà äèàëîãà, äîñòèæåíèÿ èñòèíû ïóòåì ïðîòèâîáîðñòâà ìûñëåé (Ñîêðàò, 470 399 ãã. äî í. ý.); ìåòîäà ðàñ÷ëåíåíèÿ è ñâÿçûâàíèÿ ïîíÿòèé ñ öåëüþ ïîñòèæåíèÿ ñâåðõ÷óâñòâåííîé (èäåàëüíîé) ñóùíîñòè âåùåé (Ïëàòîí, 428/427 348/347 ãã. äî í. ý.) è äð. [6]. Àëãåáðà (àðàáñêîå ñëîâî) ÷àñòü ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííàÿ ñ ðåøåíèåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ïðèðàâíèâàíèåì äâóõ àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé).  ñîâðåìåííîé àëãåáðå èçó÷àþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿì íàä ÷èñëàìè. Òàêèå îïåðàöèè ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ íàä ìíîãî÷ëåíàìè, âåêòîðàìè, ìàòðèöàìè è ò. ä. Àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëÿåòñÿ èç áóêâ è ÷èñåë, ñîåäèíåííûõ èëè îòìå÷åííûõ çíàêàìè àëãåáðàè÷åñêèõ äåéñòâèé è çíàêàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíåíèÿ ýòèõ äåéñòâèé. Ëîãèêà (îò ãðå÷. logike) íàóêà î ñïîñîáàõ äîêàçàòåëüñòâ è îïðîâåðæåíèé; ñîâîêóïíîñòü íàó÷íûõ òåîðèé, â êàæäîé èç êî13 òîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ îïðåäåëåííûå ñïîñîáû äîêàçàòåëüñòâ è îïðîâåðæåíèé. Îñíîâàòåëåì ëîãèêè ñ÷èòàåòñÿ ó÷åíèê Ïëàòîíà, äðåâíåãðå÷åñêèé ôèëîñîô è ó÷åíûé Àðèñòîòåëü1 (384 322 ãã. äî í. ý.). Ñèëëîãèñòèêà (îò ãðå÷. syllogistikos âûâîäÿùèé óìîçàêëþ÷åíèå) èñòîðè÷åñêè ïåðâîå, ñîçäàííîå Àðèñòîòåëåì ó÷åíèå î ëîãè÷åñêîé äåäóêöèè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàññóæäåíèÿ â ôîðìå ñèëëîãèçìîâ. ×òîáû îòëè÷èòü ëîãè÷åñêèå ôîðìû îò ñîäåðæàíèÿ è ëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû îò ëîãè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, Àðèñòîòåëü ïåðâûé ââåë ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ òåõ è äðóãèõ: ëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû îí îáîçíà÷àë ñëîâåñíî, à ëîãè÷åñêèå ïåðåìåííûå áóêâàìè ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà2.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ïðèâåñòè âûðàæåíèå ïåðâîé ôèãóðû ñèëëîãèçìà: «Åñëè À ñêàçûâàåòñÿ î âñÿêîì Â, à  ñêàçûâàåòñÿ î âñÿêîì Ã, òî À íåîáõîäèìî ñêàçûâàåòñÿ î âñÿêîì û. Çäåñü ñëîâàìè «åñëè ..., òî» è «ñêàçûâàåòñÿ î âñÿêîì» âûðàæàþòñÿ ëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû ñëåäîâàíèÿ è ñóæäåíèÿ, ò. å. ëîãè÷åñêèå ñâÿçè çàêîí÷åííûõ ìûñëåé äðóã ñ äðóãîì è ýëåìåíòîâ îòäåëüíûõ çàêîí÷åííûõ ìûñëåé ïîñûëîê, à áóêâàìè ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà îáîçíà÷àþòñÿ ëîãè÷åñêèå ïåðåìåííûå, äîïóñêàþùèå ïîäñòàíîâêó íà èõ ìåñòî îïðåäåëåííûõ òåðìèíîâ [5]. 1 Àðèñòîòåëü ðîäèëñÿ â 384 ã. äî í. ý. â Ñòàãèðå ãðå÷åñêîé êîëîíèè íà Ôðàêèéñêîì ïîáåðåæüå. Åãî îòåö Íèêîìàõ áûë ïðèäâîðíûì âðà÷îì è äðóãîì ìàêåäîíñêîãî öàðÿ Àìèíòû II.  343 ã. ìàêåäîíñêèé öàðü Ôèëèïï ïðèãëàøàåò Àðèñòîòåëÿ çàíÿòüñÿ âîñïèòàíèåì ñâîåãî ñûíà Àëåêñàíäðà (áóäóùåãî Àëåêñàíäðà Ìàêåäîíñêîãî), êîòîðîìó òîãäà èñïîëíèëîñü 13 ëåò. Àðèñòîòåëü îòïðàâëÿåòñÿ â Ïåëëó, ãäå è ðóêîâîäèò âîñïèòàíèåì Àëåêñàíäðà áîëåå òðåõ ëåò. Ïîñëå òîãî êàê Àëåêñàíäð ñòàë öàðåì, Àðèñòîòåëü ïåðååõàë â ñâîé ðîäíîé ãîðîä Ñòàãèð, à â 335 ã. âåðíóëñÿ ñíîâà â Àôèíû.  ïðåäìåñòüå Àôèí Ëèêåå (Ëèöåå) îêîëî õðàìà Àïîëëîíà Ëèêåéñêîãî îí ñîçäàåò ñâîþ ñîáñòâåííóþ øêîëó.  ýòîò ïåðèîä ó Àðèñòîòåëÿ ñîçðåâàåò êðèòè÷åñêîå îòíîøåíèå ê ó÷åíèþ Ïëàòîíà (â ÷àñòíîñòè, ê ó÷åíèþ îá èäåÿõ) [6]. Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî ñî÷èíåíèÿ Àðèñòîòåëÿ îõâàòûâàþò âñå îáëàñòè òîãäàøíèõ çíàíèé. Àðèñòîòåëü âèäåë ñâîþ çàñëóãó ãëàâíûì îáðàçîì â òîì, ÷òî îí îòêðûë ñèëëîãèçì, êîòîðûé åñòü ïðåæäå âñåãî ñðåäñòâî äîêàçûâàíèÿ îáúåêòèâíîé èñòèíû. Ëîãèêà Àðèñòîòåëÿ îñíîâàíà íà îáúåêòèâíîì ðàçëè÷åíèè èñòèíû è ëæè (îò ãðå÷. pseudos ïñåâäî). Èñòèíà ïîíèìàåòñÿ Àðèñòîòåëåì ìàòåðèàëèñòè÷åñêè êàê ñîîòâåòñòâèå óòâåðæäåíèÿ èëè îòðèöàíèÿ áûòèÿ, äåéñòâèòåëüíîñòè, íåçàâèñèìîé îò ñîçíàíèÿ, à ëîæü êàê íåñîîòâåòñòâèå. Èíäóêöèÿ ïî Àðèñòîòåëþ ýòî òà æå ñèëëîãèñòè÷åñêàÿ ñâÿçü, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå: ýòî íå âûâîä ÷åðåç çíàíèå ïðè÷èíû èëè ñëåäñòâèÿ, à âûâîä î ïðè÷èíå è ñëåäñòâèè ÷åðåç çíàíèå íîñèòåëåé ïðè÷èíû è ñëåäñòâèÿ. Îñóùåñòâëÿåòñÿ ëè ïîçíàíèå â íàïðàâëåíèè îò îáùåãî ê åäèíè÷íîìó (â ñèëëîãèçìå) èëè îò åäèíè÷íîãî ê îáùåìó (â èíäóêöèè), ñâÿçü ìåæäó îáùèì è åäèíè÷íûì, îïðåäåëÿþùèì è îïðåäåëÿåìûì îñòàåòñÿ îäíîé è òîé æå. 2 Áóêâû, óïîòðåáëÿåìûå Àðèñòîòåëåì ïåðâîíà÷àëüíî äëÿ ñîêðàùåíèÿ ñëîâ (âïîñëåäñòâèè èõ ñòàëè íàçûâàòü àááðåâèàòóðîé), ïîçæå ñòàëè èñïîëüçîâàòüñÿ èì â êà÷åñòâå íàñòîÿùèõ ëîãè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ. 14  ñîîòâåòñòâèè ñ ó÷åíèåì î I ñóæäåíèè êàê óòâåðæäåíèè èëè x1x2x3 îòðèöàíèè Àðèñòîòåëü ðàçëè÷àåò â ñóæäåíèè äâà ýëåìåíòà: ïîäx1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 ëåæàùåå òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî ÷òî-òî ñêàçûâàåòñÿ, ðàçóìåÿ ïîä ïîäëåæàùèì òî, íà ÷òî íàx1x2x3 x1x2x3 ïðàâëåíà ìûñëü, è ñêàçóåìîå, ò. å. âñå òî, ÷òî óòâåðæäàåòñÿ èëè x1x2x3 x1x2x3 îòðèöàåòñÿ [5]. Âïîñëåäñòâèè Áîýöèé1 îáúåäèíèë âñå âîçìîæíûå ÷åòûðå Ðèñ. Â.1. Äèàãðàììà Ýéëåðà ñëó÷àÿ îòðèöàíèÿ ÷ëåíîâ ñîåäèíåíèÿ êîííåêñèè (îòðèöàíèå îòñóòñòâèÿ äâóõ ÷ëåíîâ êîííåêñèè; îòðèöàíèå ñîñóùåñòâîâàíèÿ äâóõ ÷ëåíîâ êîííåêñèè; îòðèöàíèå íàëè÷èÿ îäíîãî è îòñóòñòâèÿ äðóãîãî; îòðèöàíèå îòñóòñòâèÿ îäíîãî è íàëè÷èÿ äðóãîãî) è ñîçäàë ó÷åíèå îá ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðì êîííåêñèè, äèçúþíêöèè è óñëîâíîé ñâÿçè [5] ýòî òî, ÷òî òåïåðü íàçûâàþò ôîðìóëàìè Ìîðãàíà [6] 2. Ëåîíàðä Ýéëåð3 ïðåäëîæèë èçîáðàæàòü ëîãè÷åñêèå îáúåêòû â âèäå äèàãðàìì (ðèñ. Â.1). Ñïóñòÿ áîëåå ÷åì 100 ëåò ýòî æå ïðåäëîæèë Äæîí Âåíí4. Òàêèå äèàãðàììû èëëþñòðèðóþò îòíîøåíèÿ â àëãåáðå êëàññîâ. Åñëè ïðÿìîóãîëüíèê, êðóã, êâàäðàò è òðåóãîëüíèê îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñòâåííî I, x1, x2, x3, òî äèàãðàììà ïîêàçûâàåò, ÷òî âñÿêàÿ ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îò x1, x2, x3 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê îáúåäèíåíèå ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ (ìèíòåðìîâ) îò x1, x2, x3 [13]. Ýòî ïî ñóùåñòâó ïðåäâîñõèùàåò òåîðåìó Êëîäà Øåííîíà5 î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â êàíîíè÷åñêîì âèäå: â ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå (ÑÄÍÔ) èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, òåîðåìó î ðàçëîæåíèè ëîãè÷åñêèõ 1 Áîýöèé (Bo¸tius) Àíèöèé Ìàíëèé Ñåâåðèí (470525) õðèñòèàíñêèé ôèëîñîô è ðèìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé äåÿòåëü. Ïåðåâåë íà ëàòèíñêèé ÿçûê ëîãè÷åñêèå ñî÷èíåíèÿ Àðèñòîòåëÿ è Ïîðôèðèÿ, «Àðèôìåòèêó» Íèêîìàõà, «Íà÷àëà» Åâêëèäà. 2 Ìîðãàí (De Morgan) Îãàñòåñ (Àâãóñòóñ) (1806 1871) øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Ñîçäàë òðóäû ïî àëãåáðå, òåîðèè ðÿäîâ. Íåçàâèñèìî îò Äæ. Áóëÿ ïðèøåë ê îñíîâíûì èäåÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. 3 Ýéëåð (Euler) Ëåîíàðä (1707 1783) ìàòåìàòèê, ìåõàíèê, ôèçèê è àñòðîíîì, øâåéöàðåö ïî ïðîèñõîæäåíèþ, â 1726 ã. áûë ïðèãëàøåí â Ïåòåðáóðãñêóþ Àêàäåìèþ Íàóê è â 1727 ã. ïåðååõàë â Ðîññèþ. Âïîñëåäñòâèè àêàäåìèê Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. 4 Âåíí (Venn) Äæîí (1834 1923) àíãëèéñêèé ëîãèê, ðàçðàáîòàë ãðàôè÷åñêèé àïïàðàò äèàãðàìì, ôàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûé ëîãèêå êëàññîâ. Ñîçäàë òðóäû â îáëàñòè âåðîÿòíîñòíîé è èíäóêòèâíîé ëîãèêè. 5 Øåííîí (Shannon) Êëîä Ýëâóä (1916 2001) àìåðèêàíñêèé èíæåíåð è ìàòåìàòèê. Îäèí èç ñîçäàòåëåé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè èíôîðìàöèè. Åãî îñíîâíûå òðóäû ïî òåîðèè ðåëåéíî-êîíòàêòíûõ ñõåì, ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ñâÿçè, êèáåðíåòèêå. 15 ôóíêöèé â ðÿä ïî ìèíòåðìàì. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XX â. ýòè äèàãðàììû ïðèîáðåëè ìàòðè÷íûé âèä è ñòàëè íàçûâàòüñÿ â ÷åñòü èõ ñîçäàòåëåé êàðòàìè Êàðíî è äèàãðàììàìè Âåé÷à1. È íàêîíåö («Last of list is not last of means!»), î Äæîðäæå Áóëå2, îáîáùèâøåì àëãåáðó ëîãèêè, êîòîðàÿ ïîýòîìó, êàê ïðàâèëî, íàçûâàåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé. Âîïðîñ î òîì, â êàêèõ îòíîøåíèÿõ íàõîäÿòñÿ ñòàðàÿ ëîãèêà è ëîãèêà íîâàÿ, ñîâðåìåííàÿ, âñåãäà èíòåðåñîâàë èññëåäîâàòåëåé è äî ñèõ ïîð ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì äèñêóññèé è îáñóæäåíèé. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ðå÷ü èäåò î òîì, êàê âïèñûâàþòñÿ â ñîâðåìåííóþ ëîãèêó ðåçóëüòàòû ìíîãîâåêîâîãî îïûòà ïî èññëåäîâàíèþ ñèëëîãèñòèêè, è íà ýòîò âîïðîñ â êàêîé-òî ìåðå îòâå÷àåò àíàëèç, ïðåäïðèíÿòûé â [7]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ è îáðàòíàÿ çàäà÷à óòî÷íåíèå òîãî, êàêàÿ ÷àñòü ñîâðåìåííîé ëîãèêè ìîæåò áûòü îïèñàíà ñèëëîãèñòè÷åñêè. Ïðåäëàãàåìûé â [7] îòâåò ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ÷òî «âñÿ ýëåìåíòàðíàÿ áóëåâà àëãåáðà îêàçûâàåòñÿ ñîäåðæàùåéñÿ â íåêîòîðîé ñèëëîãèñòè÷åñêîé òåîðèè. À òàê êàê ýëåìåíòàðíàÿ áóëåâà àëãåáðà ýêâèâàëåíòíà îäíîìåñòíîìó ïåðâîïîðÿäêîâîìó èñ÷èñëåíèþ ïðåäèêàòîâ, òî äàííûé îòâåò îçíà÷àåò, ÷òî îäíîìåñòíûé ôðàãìåíò èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ ñîäåðæèòñÿ â ñèëëîãèñòèêå». Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Êòî ÿâëÿåòñÿ îñíîâàòåëåì àëãåáðû ëîãèêè? 2. Ïðèâåäèòå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ àëãåáðû ëîãèêè. 3. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ñèëëîãèçìà. 4. ×åì îòëè÷àåòñÿ èíäóêöèÿ îò ñèëëîãèçìà? 1 Ïðåäëàãàåòñÿ îòëè÷íèêàì ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçãàäàòü ïðèíöèï, ïî êîòîðîìó êàæäîìó ó÷àñòêó äèàãðàììû íà ðèñ. Â.1 ïðèñâîåíà íàäïèñü èç òðåõ áóêâ, ñ ÷åðòî÷êàìè íàä íåêîòîðûìè. 2 Áóëü (Bool ) Äæîðäæ (1815 1864) àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê, îäèí èç îñíîâîïîëîæíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, óñîâåðøåíñòâîâàâøèé åå äî ñîâðåìåííîãî ñîñòîÿíèÿ [5,7,13]. Êñòàòè, îí îòåö èçâåñòíîé ðîìàíèñòêè Ýòåëü Ëèëèàí Âîéíè÷, àâòîðà «Îâîäà». 16 ÐÀÇÄÅË I ÎÑÍÎÂÛ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ * ÃËÀÂÀ 1 ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÏÎÑÒÓËÀÒÛ 1.1. Îñíîâíûå âûñêàçûâàíèÿ è ïåðåìåííûå Êàæäîå âûñêàçûâàíèå â áèíàðíîé (àðèñòîòåëåâîé) àëãåáðå ëîãèêè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ëàòèíñêèìè ñòðî÷íûìè áóêâàìè x èëè y. Âûñêàçûâàíèÿ ìîãóò áûòü óòâåðäèòåëüíûìè (îïðåäåëåííûìè) è íåîïðåäåëåííûìè (áåçðàçëè÷íûìè). Óòâåðäèòåëüíûõ âûñêàçûâàíèé äâà: èñòèííîå è ëîæíîå, íåîïðåäåëåííîå òîëüêî îäíî (òàáë. 1.1). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âûñêàçûâàíèÿ Ëîæü è Èñòèíà â ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàììàõ òàêæå èñïîëüçóþòñÿ êàê îáîçíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè â WinWord êóðñîðîì ìûøè â ñòðîêå ìåíþ íàæàòü êíîïêó Òàáëèöà, à çàòåì Ôîðìóëà è Âñòàâèòü ôóíêöèþ è âûáðàòü îäíó èç ôóíêöèé: FALSE èëè TRUE, íà ýêðàíå áóäåò íàïå÷àòàíî 0 èëè 1. Ïîïðîáóéòå ýòî ñàìè ïðîâåðèòü. Îáîçíà÷åíèå íåîïðåäåëåííîñòè ïîêà åùå íå óñòàíîâëåíî. Ïðåäëîæåíèå èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ñèìâîëà ½ (èëè 0,5) îáîñíîâàíî äàëåå. Ò à á ë è ö à 1.1 Îáîçíà÷åíèå ëîãè÷åñêèõ âûñêàçûâàíèé è ïåðåìåííûõ Âûñêàçûâàíèå Îáîçíà÷åíèå Ëîæü (False) ëîã.0 (log.0); 0 Èñòèíà (True) ëîã.1 (log.1); 1 Íåîïðåäåëåííîñòü (Uncertainty) x, *, ½ *  çàðóáåæíûõ èçäàíèÿõ àëãåáðó ëîãèêè â ïðèìåíåíèè ê öèôðîâûì óñòðîéñòâàì íàçûâàþò àëãåáðîé ïåðåêëþ÷àòåëüíûõ ôóíêöèé (algebra of the switching functions). 17 1.2. Îñíîâíûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè Âñåãî ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé òðè: îäíà óíàðíàÿ èíâåðñèÿ è äâå áèíàðíûõ äèçúþíêöèÿ è êîíúþíêöèÿ (òàáë. 1.2). ×àùå âñåãî èíâåðñèÿ (îò ëàò. inversio ïåðåñòàíîâêà) îáîçíà), äèçúþíêöèÿ (îò ëàò. disjunctio ÷àåòñÿ ÷åðòîé íàä àðãóìåíòîì (x ðàçîáùåíèå) çíà÷êîì ∨, à êîíúþíêöèÿ (îò ëàò. conjunctio ñîþç, ñâÿçü) ñèìâîëîì îáû÷íîãî óìíîæåíèÿ (⋅) [6]. Ñìûñë ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé ðàñêðûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì Ýéëåðà (ðèñ. 1.1) è ïåðåáîðà âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ, íàä êîòîðûìè ïðîâîäÿòñÿ ýòè îïåðàöèè (òàáë. 1.3). Ïðîàíàëèçèðóåì äàííûå òàáë. 1.3. Èíâåðñèÿ. Ñîïîñòàâëåíèå ñòîëáöîâ òàáëèöû x1 ñ x 1 è x0 ñ x 0 ïîêàçûâàåò, ÷òî îïåðàöèþ èíâåðñèè ìîæíî âûïîëíÿòü ÷èñòî àðèôìåòè÷åñêè: 0 = 1 − 0; 1 = 1 − 1 è àëãåáðàè÷åñêè: x = 1 − x. Îòñþäà è âîçíèêëî åùå îäíî íàçâàíèå ýòîé îïåðàöèè äîïîëíåíèå.  ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîñòè (åñëè åå îáîçíà÷èòü ½), ïîëó÷èì ½ = 1 − ½ = ½, ò. å. èíâåðñèÿ íåîïðåäåëåííîñòè ðàâíà ñàìîé íåîïðåäåëåííîñòè, ÷òî î÷åâèäíî. Îòñþäà æå ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äâîéíàÿ èíâåðñèÿ ïðèâîäèò ê èñõîäíîìó àðãóìåíòó, ò. å. x= 1 − x = 1 − (1 − x) = x, è ýòî íàçûâàåòñÿ çàêîíîì äâîéíîãî îòðèöàíèÿ. Ò à á ë è ö à 1.2 Íàçâàíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé Íàçâàíèå îïåðàöèè Ñëîâî Èíâåðñèÿ, îòðèöàíèå, äîïîëíåíèå Äèçúþíêöèÿ, ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå, îáúåäèíåíèå Kîíúþíêöèÿ, ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå, ïåðåñå÷åíèå Çíàê ÍÅ (NOT ) ÈËÈ (OR) ∨, ∪, + È (AND) ∧, ∩, ⋅ , , ~ Ò à á ë è ö à 1.3 Òàáëèöà èñòèííîñòè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé Àðãóìåíòû 18 Ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè N1 N0 N1 N0 N1 ∨ N0 N1 · N0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 x x x1 x0 x 1 x0 x1 x1 x0 x1· x 0 x1 x0 x0 à á â Ðèñ. 1.1. Äèàãðàììû Ýéëåðà äëÿ îñíîâíûõ îïåðàöèé àëãåáðû ëîãèêè: à èíâåðñèÿ; á äèçúþíêöèÿ; â êîíúþíêöèÿ Çàêîí ëîæíîãî ïîëîæåíèÿ, ò. å. åñëè x1 = x0, òî è x1 = x 0, ìîæåò áûòü äîêàçàí ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñêîëüêó 1 = 1, òî âû÷èòàÿ èç ëåâîé è ïðàâîé åäèíèöû ðàâíûå çíà÷åíèÿ x1 è x0, ïîëó÷èì x1 = x 0. 1 − x1 = 1 − x0, ÷òî è ñîîòâåòñòâóåò èñêîìîìó Äèçúþíêöèÿ.  îòëè÷èå îò îáû÷íîãî àðèôìåòè÷åñêîãî èëè àëãåáðàè÷åñêîãî ñóììèðîâàíèÿ çäåñü íàëè÷èå äâóõ åäèíèö äàåò â ðåçóëüòàòå åäèíèöó. Èìåííî ïîýòîìó ïðè îáîçíà÷åíèè ëîãè÷åñêîãî ñóììèðîâàíèÿ íå ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü çíàê ñëîæåíèÿ (+). Îïåðàöèåé, ýêâèâàëåíòíîé äèçúþíêöèè, ÿâëÿåòñÿ âûáîð ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ èç äâóõ: MAX(x1; x0). Ýòî ñïðàâåäëèâî è ïðè îáîçíà÷åíèè íåîïðåäåëåííîñòè ÷èñëîì ½. Àíàëèç òàáë. 1.3 ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê ñîêðàùåííîé åå ôîðìå àëãåáðàè÷åñêîé òàáëèöå èñòèííîñòè (òàáë. 1.4). Ïåðâûå äâå ñòðîêè òàáë. 1.3 (x1 = 0) îïðåäåëÿþò çàêîí ñëîæåíèÿ ñ íóëåì: x ∨ 0 = x, à âòîðûå äâå ñòðîêè (x 1 = 1) çàêîí ñëîæåíèÿ ñ åäèíèöåé: x ∨ 1 = 1. Êîíúþíêöèÿ. Òàáë. 1.3 óáåäèòåëüíî ïîêàçûâàåò òîæäåñòâåííîñòü îïåðàöèé îáû÷íîãî è ëîãè÷åñêîãî óìíîæåíèé. Ýêâèâàëåíòíîé îïåðàöèåé â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ âûáîð íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ èç äâóõ: MIN(x1; x0), ÷òî òàêæå ñïðàâåäëèâî è ïðè îáîçíà÷åíèè íåîïðåäåëåííîñòè ÷åðåç ½.  ýòîì ñëó÷àå óìåñòåí ïåðåõîä ê ñîêðàùåííîé àëãåáðàè÷åñêîé òàáë. 1.4. Ïåðâûå äâå ñòðîêè òàáë. 1.3 äîêàçûâàþò çàêîí óìíîæåíèÿ íà íóëü: x ⋅ 0 = 0 è âòîðûå äâå çàêîí óìíîæåíèÿ íà åäèíèöó: x ⋅ 1 = x. Åùå íåñêîëüêî çàêîíîâ ìîæÒ à á ë è ö à 1.4 íî èçâëå÷ü èç àíàëèçà òàáë. 1.3, Àëãåáðàè÷åñêàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè ïðèðàâíÿâ â îäíîì ñëó÷àå îáà äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè àðãóìåíòà äðóã äðóãó: x1 = x0 = x ýòî çàêîí èäåìïîòåíòíîñòè 1, N1 N1 ∨ N0 N1 · N0 èëè òàâòîëîãèè, à â äðóãîì ñëóN0 ÷àå îäèí àðãóìåíò èíâåðñíî0 0 ìó çíà÷åíèþ äðóãîãî: x 1 = x0 N0 1 1 (òàáë. 1.5). 1 Îò ëàò. idem òî æå ñàìîå è potente ìîãó÷èé, ìîùíûé, âëàñòü èìóùèé, ò. å. â öåëîì, èìåþùèé òî æå ñàìîå çíà÷åíèå. 19 Ò à á ë è ö à 1.5 Çàêîíû òàâòîëîãèè è äîïîëíèòåëüíîñòè Íàçâàíèå çàêîíà Èäåìïîòåíòíûé, òàâòîëîãèè Äîïîëíèòåëüíîñòè Èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî Ïðîòèâîðå÷èÿ Äèçúþíêöèÿ Kîíúþíêöèÿ N∨N=N N⋅N=N N∨N=1 N⋅N=0 Ò à á ë è ö à 1.6 Òàáëèöà èñòèííîñòè, ïîäòâåðæäàþùàÿ çàêîííîñòü çàìåíû îïåðàöèé èíâåðòèðîâàíèÿ, äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè N1 N0 N1 ∨ N0 MAX (N1; N0) N1 ⋅ N0 MIN (N1; N0) N1 1 − N1 N0 1 − N0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 ½ ½ ½ 0 0 1 1 ½ ½ 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 ½ 0 ½ ½ 0 0 ½ ½ 1 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 1 1 ½ ½ ½ ½ 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 ½ 1 1 ½ ½ 0 0 ½ ½ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â òàáë. 1.5 ïðèâåäåíû äàííûå, ñïðàâåäëèâûå òîëüêî äëÿ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé x. Îäíàêî çàêîí òàâòîëîãèè âûïîëíÿåòñÿ òàêæå è â ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ x = ½. Çàêîíû æå èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî è ïðîòèâîðå÷èÿ ïðè x = ½ íå äåéñòâóþò, ïîñêîëüêó íåîïðåäåëåííîñòü ñîõðàíÿåòñÿ: x ∨ x = ½ è x ⋅ x = ½. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñïðàâåäëèâîñòè çàìåíû îïåðàöèè èíâåðñèè x íà 1 − x, äèçúþíêöèè íà îïðåäåëåíèå ìàêñèìóìà è êîíúþíêöèè íà âû÷èñëåíèå ìèíèìóìà ïðèâåäåíà òàáë. 1.6. 1.3. Îñíîâíûå ïîñòóëàòû àëãåáðû ëîãèêè Ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî óÿñíèòü ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé. Åñëè íåò ñêîáîê, ñíà÷àëà ïðîèçâîäèòñÿ èíâåðòèðîâàíèå îòäåëüíûõ ïåðåìåííûõ, ïîòîì êîíúþíêöèÿ è çàòåì 20 Ò à á ë è ö à 1.7 Îñíîâíûå ïîñòóëàòû Íàçâàíèå ïîñòóëàòà Ïåðåìåñòèòåëüíûé (êîììóòàòèâíû é) Ôîðìóëû x 1 ⋅ x0 = x0 ⋅ x1 ; x 1 ∨ x 0 = x1 ∨ x 0 Ñî÷åòàòåëüíûé (àññîöèàòèâíûé) x2 ⋅ (x1 ⋅ x0) = (x2 ⋅ x1) ⋅ x0; x2 ∨ (x1 ∨ x0) = (x2 ∨ x1) ∨ x0 Ðàñïðåäåëèòåëüíûé (äèñòðèáóòèâíû é) x2 ⋅ (x1 ∨ x0) = x2 ⋅ x1 ∨ x2 ⋅ x0 äèçúþíêöèÿ. Èíâåðñèÿ ôóíêöèé, ñîñòîÿùèõ èç íàáîðà àðãóìåíòîâ, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé äðóãèìè îïåðàöèÿìè, îñóùåñòâëÿåòñÿ â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü. Ïðè íàëè÷èè ñêîáîê ñíà÷àëà âûïîëíÿþò îïåðàöèè âíóòðè íèõ, ò. å. çäåñü íàáëþäàåòñÿ ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ñ ïîðÿäêîì âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé â îáû÷íîé àëãåáðå, òîëüêî âîçâåäåíèå â ñòåïåíü çàìåíÿåòñÿ èíâåðñèåé, óìíîæåíèå êîíúþíêöèåé, à ñëîæåíèå äèçúþíêöèåé. Îñòàëüíûå ïîñòóëàòû íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò îáû÷íîé àëãåáðû (òàáë. 1.7). 1.4. Îáðàòíûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè Ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè, ðàññìîòðåííûå â ïîäðàçä. 1.2, ïîçâîëÿþò ñëåäîâàòü îò àðãóìåíòîâ ê ôóíêöèè, ò. å. îò ïðè÷èí ê ñëåäñòâèþ. Îäíàêî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê áûâàåò â ñëåäñòâåííûõ îðãàíàõ, ãäå èñõîäÿ èç ñîáûòèÿ èùóò ïðè÷èíû, òàê è ïðè ïðîåêòèðîâàíèè è ýêñïëóàòàöèè öèôðîâûõ óñòðîéñòâ è ñèñòåì, ÷àñòî òðåáóåòñÿ ïî çàäàííûì âûõîäíûì ñèãíàëàì ïðè èçâåñòíîì âûõîäíîì óñòðîéñòâå îïðåäåëèòü ñèãíàëû, êîòîðûå íåîáõîäèìî ïîäàòü íà åãî âõîäû, ÷òîáû ñïðîåêòèðîâàòü óñòðîéñòâî, ñîãëàñóþùåå îñíîâíûå âõîäû ñèñòåìû ñ âõîäàìè âûõîäíîãî óñòðîéñòâà. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè, îáðàòíûå ðàññìîòðåííûì ðàíåå. Ïîäîáíî òîìó, êàê â îáû÷íîé àëãåáðå âû÷èòàíèå ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèåé, îáðàòíîé ñëîæåíèþ, à äåëåíèå óìíîæåíèþ, òàê è â àëãåáðå ëîãèêè îïåðàöèåé, îáðàòíîé äèçúþíêöèè, ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêîå âû÷èòàíèå (óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå \), à îïåðàöèåé, îáðàòíîé êîíúþíêöèè, ëîãè÷åñêîå äåëåíèå (óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå /). ×òî êàñàåòñÿ èíâåðñèè, òî çäåñü íåò íåîáõîäèìîñòè ïðèäóìûâàòü íîâóþ îáðàòíóþ îïåðàöèþ, ïîñêîëüêó, âûðàæàÿñü ðàäèîòåõíè÷åñêèì ÿçûêîì, îíà ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îáðàòèìîé. Äëÿ òîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü â îòíîøåíèè îáðàòíûõ îïåðàöèé ñîîòâåòñòâóþùèå çàêîíîìåðíîñòè, ñîñòàâèì äëÿ íèõ òàáëèöó èñòèííîñòè (òàáë. 1.8), èñïîëüçóÿ òàáë. 1.3. 21 Ò à á ë è ö à 1.8 Òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ îáðàòíûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé y x0 x 1 = y \ x0 x1 = y / x0 0 0 0 Íåîïðåäåëåííîñòü 0 1 Çàïðåò 0 1 0 1 Çàïðåò 1 1 Íåîïðåäåëåííîñòü 1 Êàê âèäíî èç ïåðâîé ñòðîêè òàáë. 1.8, ðåçóëüòàò îïåðàöèè ëîãè÷åñêîãî äåëåíèÿ ïîëó÷èëñÿ íåîïðåäåëåííûì, ÷òî àíàëîãè÷íî ðåçóëüòàòó îáû÷íîãî äåëåíèÿ íóëÿ íà íóëü. Âòîðàÿ ñòðîêà ëîãè÷åñêîãî âû÷èòàíèÿ íèêàê íå ñâÿçàíà ñ òàáë. 1.3, òàê êàê åå èñõîäíûå äàííûå ïðîòèâîðå÷àò çàêîíó äèçúþíêöèè. Òàêîé ðåçóëüòàò â àëãåáðå ëîãèêè íàçûâàåòñÿ çàïðåùåííûì.  òðåòüåé ñòðîêå òàáë. 1.8 ðåçóëüòàò ëîãè÷åñêîãî äåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çàïðåùåííûì àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ðåçóëüòàò îáû÷íîãî äåëåíèÿ ÷èñëà, îòëè÷íîãî îò íóëÿ, íà íóëü ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. È íàêîíåö, â ÷åòâåðòîé ñòðîêå òàáëèöû â ðåçóëüòàòå ëîãè÷åñêîãî âû÷èòàíèÿ ïîëó÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü, âïîëíå îáúÿñíèìàÿ ïðèðîäîé äèçúþíêöèè: 1 ∨ x = 1.  îòìå÷åííûõ çäåñü íåîïðåäåëåííûõ è çàïðåùåííûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñèìâîë ½. Äðóãèå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x1 âïîëíå îáúÿñíèìû çàêîíàìè äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè.  çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ïîêà áåç âûâîäà (ñì. ïîäðàçä. 2.2) ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå îñóùåñòâëÿòü îïåðàöèè ëîãè÷åñêîãî âû÷èòàíèÿ è ëîãè÷åñêîãî äåëåíèÿ: x 0 ∨ ½ ⋅ x 0; x1 = y \ x0 = y ⋅ x 0. x1 = y / x0 = y ⋅ x0 ∨ ½ ⋅ Ñ ó÷åòîì íåîïðåäåëåííîñòåé ýòè ôîðìóëû ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü: x1 = y \ x0 = y / x0 = y. Óêàçàííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîãî çíà÷åíèÿ ðåçóëüòàòà äèçúþíêöèè èëè êîíúþíêöèè ïðè îäíîì èçâåñòíîì îïåðàíäå, çíà÷åíèå êîòîðîãî íå ïðîòèâîðå÷èò çíà÷åíèþ çàäàííîé ôóíêöèè, äðóãîé îïåðàíä äîëæåí ðàâíÿòüñÿ çíà÷åíèþ ýòîé ôóíêöèè. Âûâåäåííûå ôîðìóëû áóäóò ñïðàâåäëèâû, åñëè â íèõ x1 è x0 ïîìåíÿòü ìåñòàìè. 22 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Êàêàÿ îïåðàöèÿ ñâÿçûâàåò èñòèííîå è ëîæíîå âûñêàçûâàíèÿ? Êàêèìè çíàêàìè îíè îáîçíà÷àþòñÿ? 2. Ñîñòàâüòå òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ òðåõ îñíîâíûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé. 3.  êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîëæíû ïðîèçâîäèòüñÿ ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè? 4. ×åì îòëè÷àåòñÿ äèçúþíêöèÿ îò îáû÷íîãî ñóììèðîâàíèÿ? 5. Ïîÿñíèòå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íà äèàãðàììàõ Ýéëåðà. 6. ×òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ? 7. Íà êîìïüþòåðå â ñèñòåìå Word îïðåäåëèòå çíà÷åíèÿ NOT(FALSE), NOT(0), NOT(TRUE), NOT(1), OR(0;0), OR(0;1), OR(1;1), AND(0;0), AND(0;1), AND(1;1). Óáåäèòåñü â ýêâèâàëåíòíîñòè îïåðàöèé OR è MAX, AND è MIN ñ âêëþ÷åíèåì ñèìâîëà íåîïðåäåëåííîñòè ½. 8. Êàê äîêàçàòü çàêîí ëîæíîãî ïîëîæåíèÿ? 9. Îáúÿñíèòå çàêîí òàâòîëîãèè. 10. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîíû äîïîëíèòåëüíîñòè. 11.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñìûñë îáðàòíûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé? 12. ×òî òàêîå ïåðåìåñòèòåëüíûå çàêîíû? 13. Îáúÿñíèòå ñî÷åòàòåëüíûå çàêîíû. 14.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí? ÃËÀÂÀ 2 ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÎÐÌÛ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ 2.1. Ñîâåðøåííàÿ äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ÑÄÍÔ, íàçûâàåìàÿ åùå êàíîíè÷åñêîé, ïîçâîëÿåò ëåãêî ïðîèçâîäèòü ñ÷èòûâàíèå â àíàëèòè÷åñêîì âèäå ôóíêöèè, ïðåäñòàâëåííîé â òàáëè÷íîé ôîðìå. Ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó âûïîëíÿåòñÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå, îñíîâàíî íà òåîðåìå Øåííîíà, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ëþáóþ ñêîëü óãîäíî ñëîæíóþ ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ m àðãóìåíòîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü äèçúþíêöèåé äâóõ êîíúþíêöèé, ò. å. y (xm−1, xm−2, ¾ , xi, ¾ , x1, x0) = xi ∨ = y (xm−1, xm−2, ¾ , 0, ¾ , x1, x0) ⋅ ∨ y (xm−1, xm−2, ¾ , 1, ¾ , x1, x0) ⋅ xi. (2.1) Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé òåîðåìû óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîé ïîäñòàíîâêîé âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé xi. 23 Ò à á ë è ö à 2.1 Òàáëèöà èñòèííîñòè ôóíêöèè O(: ) Íîìåð âàðèàíòà xi z1 z0 y (X ) Ïðèìå÷àíèÿ 0 0 0 0 0 Äîëæíî áûòü y (xi = 0) 1 0 0 1 y (xi = 1) Äîëæíî áûòü y (xi = 0) 2 0 1 0 y (xi = 0) z 1 = xi 3 0 1 1 y (xi = 0) ∨ y (xi = 1) Äîëæíî áûòü y (xi = 0) 4 1 0 0 0 Äîëæíî áûòü y (xi = 1) 5 1 0 1 y (xi = 1) z0 = xi 6 1 1 0 y (xi = 0) Äîëæíî áûòü y (xi = 1) 7 1 1 1 y (xi = 0) ∨ y (xi = 1) Äîëæíî áûòü y (xi = 1) Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (2.1) íàïîìèíàåò ôîðìóëó, âûâåäåííóþ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îáðàòíûõ ôóíêöèé, ãäå â îäíî ñëàãàåìîå âõîäèò îïðåäåëåííàÿ ïåðåìåííàÿ x0 â ïðÿìîé ôîðìå, à â äðóãîå â èíâåðñíîé. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ïðåäñòàâèì èñõîäíóþ ôóíêöèþ â âèäå äèçúþíêöèè äâóõ êîíúþíêöèé, â êàæäîé èç êîòîðûõ ñîìíîæèòåëÿìè âîçüìåì íåîïðåäåëåííûå ôóíêöèè z1 è z0: y (xm−1, ¾ , xi, ¾, x0) = = y (xm−1, ¾, 0, ¾, x0) ⋅ z1 ∨ y (xm−1, ¾ , 1, ¾ , x0) ⋅ z0. Ñîñòàâèì òàáëèöó, ñîîòâåòñòâóþùóþ óêàçàííîìó ñîîòíîøåíèþ (òàáë. 2.1). Àíàëèç âñåõ âîñüìè âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ èç òàáë. 2.1 ïîêàçûâàåò, ÷òî òîëüêî äâà èç íèõ (âòîðîé è ïÿòûé) ïîäõîäÿò äëÿ òðåáóåìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè. Âî âòîðîì âàðèàíòå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ xi è z1 íå ñîâïàäàþò, ïîýòîìó îäèí èç íèõ äîëæåí áûòü ïðîèíâåðòèðîâàí.  ïÿòîì âàðèàíòå çíà÷åíèÿ xi è z0 ñîâïàäàþò, ò. å. îíè ðàâíû. Ïðè÷èíû íåãîäíîñòè îñòàëüíûõ øåñòè âàðèàíòîâ ïðèâåäåíû â ïðèìå÷àíèÿõ òàáëèöû. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äîêàçàííîé. Òåïåðü íå ñîñòàâèò òðóäà äîêàçàòü òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Âñÿêàÿ ñêîëü óãîäíî ñëîæíàÿ ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y îò m ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ÑÄÍÔ, ò. å. äèçúþíêöèåé ïðî24 èçâåäåíèé çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè yX íà ìèíòåðìû MnX, ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðàì àðãóìåíòîâ X: X max y = ∨ y X ⋅ Mn X , X =0 ãäå X ïîðÿäêîâûé íîìåð íàáîðà àðãóìåíòîâ (âåêòîð àðãóìåíòîâ); Xmax = 2m − 1 ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íîìåðà íàáîðà àðãóìåíòîâ; MnX ìèíòåðì, ÿâëÿþùèéñÿ êîíúþíêöèåé âñåõ àðãóìåíòîâ, ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ êîòîðûõ (ïðÿìàÿ èëè èíâåðñíàÿ) çàâèñèò îò òîãî, ÷åìó ðàâåí äàííûé àðãóìåíò xi â äàííîì íàáîðå X: åñëè îí ðàâåí íóëþ â èíâåðñíîé, åñëè åäèíèöå â ïðÿìîé. Ïðèìåíèì òåîðåìó Øåííîíà, ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (2.1) âìåñòî xi ñàìûé ìëàäøèé àðãóìåíò x0, çàòåì ðàñêðîåì ôóíêöèþ ïî ñëåäóþùåìó àðãóìåíòó x1 è òàê äàëåå äî ñàìîãî ïîñëåäíåãî çíà÷åíèÿ xm-1 âêëþ÷èòåëüíî: y (xm−1, ¾ , x1, x0) = y (xm−1, ¾ , x1, 0) ⋅ x 0 ∨ y (xm−1, ¾ , x1, 1) ⋅ x0 = x 1 ⋅ x 0 ∨ y (xm−1, ¾ , 0, 1) ⋅ x 1 ⋅ x0 ∨ = y (xm−1, ¾ , 0, 0) ⋅ ∨ y (xm−1, ¾ , 1, 0) ⋅ x1 ⋅ x 0 ∨ y (xm−1, ¾ , 1, 1) ⋅ x1 ⋅ x0 = .................. = y (0, ¾ , 0, 0) ⋅ x m − 1 ⋅ ... ⋅ x 1 ⋅ x 0 ∨ ¾ ∨ y (1, ¾ , 1, 1) ⋅ xm−1 ⋅ ¾ ⋅ x1 ⋅ x0 = X max = ∨ y X ⋅ Mn X , X =0 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ÑÄÍÔ àíàëîãè÷íà èçâåñòíûì ðàçëîæåíèÿì ôóíêöèé â ðÿäû Ôóðüå, Óîëøà è äð. Ïîýòîìó ðàññìîòðåííóþ òåîðåìó ìîæíî íàçâàòü òåîðåìîé î ðàçëîæåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â ðÿä ïî ìèíòåðìàì. Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ìèíòåðìû. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì èõ òàáëèöó èñòèííîñòè (òàáë. 2.2). Ò à á ë è ö à 2.2 Òàáëèöà èñòèííîñòè ìèíòåðìîâ Àðãóìåíòû Ìèíòåðìû : N1 N0 Mn0 Mn1 Mn2 Mn3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 3 1 1 0 0 0 1 25 Ò à á ë è ö à 2.3 Òàáëèöà èñòèííîñòè ïðåîáðàçîâàòåëÿ êîäà «1 èç 4» â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä Àðãóìåíòû Ôóíêöèè : N3 N2 N1 N0 O1 O0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 4 0 1 0 0 1 0 8 1 0 0 0 1 1 Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî àðãóìåíòû x1 è x0 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâîè÷íûå ðàçðÿäû ÷èñëà X. Êðîìå òîãî, êàæäûé ìèíòåðì ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì åäèíèöå òîëüêî â îäíîì èç íàáîðîâ, à èìåííî â òîì, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò åãî íîìåð. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî, âî-ïåðâûõ, ðîäíèò äîêàçàííóþ òåîðåìó ñ òåîðåìîé îòñ÷åòîâ, èçâåñòíóþ ó íàñ ïîä íàçâàíèåì òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà. Âîâòîðûõ, ïîçâîëÿåò îòíåñòè ìèíòåðìû ê êîäàì «îäèí èç m» è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ÷èòàòü òàáë. 2.2 òàáëèöåé èñòèííîñòè ïðåîáðàçîâàòåëÿ íàòóðàëüíîãî äâîè÷íîãî êîäà â êîä «1 èç m» (â äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå â êîä «1 èç 4»).  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ðàññìîòðåííîé òåîðåìû ïîëó÷èì àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ â ÑÄÍÔ ïðåîáðàçîâàòåëÿ êîäà «1 èç 4» â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä. Ñîñòàâèì äëÿ íà÷àëà òàáëèöó èñòèííîñòè òàêîãî êîäîïðåîáðàçîâàòåëÿ (òàáë. 2.3). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî òàáë. 2.3 ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåííîé, òàê êàê â íåé îòñóòñòâóþò çàïðåùåííûå êîìáèíàöèè àðãóìåíòîâ, ïîýòîìó ïðèâåäåì äëÿ íàãëÿäíîñòè ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîëíóþ òàáëèöó (òàáë. 2.4). Èç òàáë. 2.4 âèäíî, ÷òî çàïðåùåííûìè ÿâëÿþòñÿ òå íàáîðû àðãóìåíòîâ, êîòîðûå íå ñîîòâåòñòâóþò êîäó «1 èç 4». Ðàçðåøåííûå íàáîðû àðãóìåíòîâ çäåñü âûäåëåíû ñåðûì ôîíîì.  ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññìîòðåííîé òåîðåìîé çàïèøåì â ÑÄÍÔ âûðàæåíèÿ äëÿ äâóõ èñêîìûõ ôóíêöèé, îïóñêàÿ ìèíòåðìû, ñîîòâåòñòâóþùèå íóëåâûì çíà÷åíèÿì ýòèõ ôóíêöèé â íàáîðàõ àðãóìåíòîâ, è óìíîæàÿ èõ íà ½ ïðè çàïðåùåííûõ íàáîðàõ àðãóìåíòîâ, êàê ýòî áûëî îãîâîðåíî ðàíåå: x 3 · x 2 · x 1 · x0 ∨ x 3 · x 2 · x1 · x 0 ∨ ½ x 3 · x 2 · x1 · x 0 ∨ ½ x 3 · x2 · x 1 · x0 ∨ y0 = ½ x 0 ∨ ½ x 3 · x 2 · x1 · x 0 ∨ x 3 · x 2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x0 ∨ ∨ ½ x 3 · x 2 · x1 · ∨ ½ x3 · x 2 · x1 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x1 · x 0 ∨ ½ x 3 · x2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x0 ∨ 26 Ò à á ë è ö à 2.4 Ïîëíàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè ïðåîáðàçîâàòåëÿ êîäà «1 èç 4» â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä Àðãóìåíòû Ôóíêöèè : N3 N2 N1 N0 O1 O0 0 0 0 0 0 ½ ½ 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 3 0 0 1 1 ½ ½ 4 0 1 0 0 1 0 5 0 1 0 1 ½ ½ 6 0 1 1 0 ½ ½ 7 0 1 1 1 ½ ½ 8 1 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 ½ ½ 10 1 0 1 0 ½ ½ 11 1 0 1 1 ½ ½ 12 1 1 0 0 ½ ½ 13 1 1 0 1 ½ ½ 14 1 1 1 0 ½ ½ 15 1 1 1 1 ½ ½ ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x 3 · x 2 · x 1 · x 0; x 3 · x 2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x 3 · x 2 · x1 · x 0 ∨ x 3 · x2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x 3 · x2 · x 1 · x0 ∨ y1 = ½ x 0 ∨ ½ x 3 · x2 · x 1 · x 0 ∨ x 3 · x 2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x0 ∨ ∨ ½ x 3 · x2 · x1 · x 2 · x1 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x 0 ∨ ½ x3 · x2 · x 1 · x0 ∨ ∨ ½ x3 · x 0 ∨ ½ x3 · x 2 · x 1 · x0 . ∨ ½ x 3 · x 2 · x1 · Íåðåäêî ïðèìåíÿþò óñëîâíûå âûðàæåíèÿ ôóíêöèé â ÑÄÍÔ. Íàïðèìåð, äëÿ ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ ìîæíî çàïèñàòü y0 = ∨ (2, 8, ½ (0, 3, 5 ... 7, 9 ... 15)); y1 = ∨ (4, 8, ½ (0, 3, 5 ... 7, 9 ... 15)). 27  êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ðàññìîòðåííîé òåîðåìû ïîëó÷èì â ÑÄÍÔ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ äèçúþíêöèåé. Èç òàáë. 1.3 èìååì y = x 1 · x0 ∨ x 1 · x 0 ∨ x 1 · x 0. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà äèçúþíêöèè, ìîæíî ïåðåéòè îò ÑÄÍÔ ê áîëåå êîðîòêèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèÿì.  ðàçâèòèå çàêîíà ëîæíîãî ïîëîæåíèÿ è â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ òåîðåìû î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â ÑÄÍÔ ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî èíâåðñèÿ îòñ÷åòîâ ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ïðèâîäèò ê èíâåðñèè ñàìîé ôóíêöèè: X max y ( X ) = ∨ y X ⋅ Mn X . X =0 Ýòî ñâîéñòâî áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîìèìî ÑÄÍÔ ïðèìåíÿåòñÿ (õîòÿ è íå ÷àñòî) è ñîâåðøåííàÿ êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà (ñì. ïîäðàçä. 2.3). 2.2. Ñîêðàùåííûå, òóïèêîâûå è ìèíèìàëüíûå äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè, ïðåäñòàâëåííûå â ÑÄÍÔ, óäîáíû ïðè èõ ñ÷èòûâàíèè ñ òàáëèö èñòèííîñòè, îäíàêî â îáùåì îíè ãðîìîçäêè è äëÿ èõ ñîêðàùåíèÿ èñïîëüçóþò ìåòîäû ìèíèìèçàöèè. Ïðè÷åì ìèíèìèçàöèþ ïðîâîäÿò â òðè ýòàïà, ïîëó÷àÿ íà ïåðâîì ýòàïå ñîêðàùåííûå ôóíêöèè, íà âòîðîì òóïèêîâûå è íà òðåòüåì ìèíèìàëüíûå. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíî ýòè ýòàïû. Íà ïåðâîì ýòàïå ïðîèçâîäèòñÿ ñêëåèâàíèå ñîñåäíèõ ìèíòåðìîâ è èìïëèêàíò, íà âòîðîì èñêëþ÷åíèå èçáûòî÷íûõ1 èìïëèêàíò, íà òðåòüåì âûáîð íàèìåíüøåãî âàðèàíòà òóïèêîâîé ôóíêöèè, ïîëó÷åííîãî â ðåçóëüòàòå âòîðîãî ýòàïà. Ñîïðÿæåííûìè2 (ñîñåäíèìè, èëè ñìåæíûìè)3 ÿâëÿþòñÿ ìèíòåðìû, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî îäíîé ïåðåìåííîé (ò. å. â îäèí ìèíòåðì ïåðåìåííàÿ xi âõîäèò â ïðÿìîé ôîðìå, à â äðóãîé â èíâåðñíîé). Íàïðèìåð, åñëè ìèíòåðì âåêòîðà àðãóìåíòîâ X 1 Èçáûòî÷íûìè îíè íàçûâàþòñÿ ïîòîìó, ÷òî â ñîâîêóïíîñòè ñ äðóãèìè ìèíòåðìàìè è èìïëèêàíòàìè íå îêàçûâàþò íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ åå àðãóìåíòîâ. 2 Ñîïðÿæåííûìè îíè íàçûâàþòñÿ ïî àíàëîãèè ñ êîìïëåêñíûìè ïåðåìåííûìè, ñóììà êîòîðûõ ïðè ðàâåíñòâå èõ ìíèìûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ è ðàçëè÷èè òîëüêî â çíàêàõ ëèøåíà ìíèìîé ñîñòàâëÿþùåé. 3 Ñîñåäíèìè, èëè ñìåæíûìè, îíè íàçûâàþòñÿ ïîòîìó, ÷òî ïðè âíåñåíèè â òàáëèöó èñòèííîñòè êîäà Ãðåÿ, èõ ñòðîêè îêàçûâàþòñÿ ñîñåäíèìè. 28 MnX = xm−1 · xm−2 · ... · xi+1 · xi · xi−1· ... · x1 · x0, òî ñîïðÿæåííûì åìó ïî ïåðåìåííîé xi áóäåò ìèíòåðì MnX*(i ) = xm−1 · xm−2 · ... · xi+1 · x i · xi−1 · ... · x1 · x0. Äèçúþíêöèÿ äâóõ ñîïðÿæåííûõ ìèíòåðìîâ (ñêëåèâàíèå) ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ èìïëèêàíòû ïåðâîãî óðîâíÿ ïðîñòîé êîíúþíêöèè, ñîäåðæàùåé (m − 1) ïåðåìåííóþ: MnX ∨ MnX*(i ) = xm−1 · xm−2 · ... · xi+1 · (xi ∨ x i) · xi−1 · ... · x1 · x0 = = xm−1 · xm−2 · ... · xi+1 · xi−1 · ... · x1 · x0 = ImpX (i ). Àíàëîãè÷íî îñóùåñòâëÿåòñÿ äàëüíåéøàÿ ìèíèìèçàöèÿ ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ïóòåì ïîèñêà è ñêëåèâàíèÿ ñîïðÿæåííûõ èìïëèêàíò ïåðâîãî, âòîðîãî, òðåòüåãî óðîâíåé è ò. ä.  ðåçóëüòàòå ïåðâîãî ýòàïà ìèíèìèçàöèè ìîãóò îáðàçîâàòüñÿ èçáûòî÷íûå èìïëèêàíòû, êîòîðûå íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü èç ñîñòàâà ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè, ÷òî è âûïîëíÿåòñÿ íà âòîðîì ýòàïå. Ïîÿñíèì ýòó ìåòîäèêó íà ïðèìåðå îáðàòíûõ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé: âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ. Íà îñíîâå òàáë. 1.8 ñîñòàâèì òàáëèöó èìïëèêàíò (òàáë. 2.5).  òàáë. 2.5 äëÿ íàãëÿäíîñòè ïðèâåäåíû ïàðû èìïëèêàíò, êîòîðûå ïî çàêîíó èäåìïîòåíòíîñòè ïðåâðàùàþòñÿ â îäèíî÷íûå. Èìïëèêàíòû ñ ñèìâîëîì íåîïðåäåëåííîñòè ½ â îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ êðàòêîñòè íå âíîñÿòñÿ. Îñòàþòñÿ ëèøü èìïëèêàíòû, ïðåäñòàâëåííûå çíà÷åíèåì ñàìîé ôóíêöèè y. Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê òðèâèàëüíîìó âûðàæåíèþ x1 = y \ x0 = y / x0 = y. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð îïðåäåëåíèÿ ìèíèìèçèðîâàííûõ ôóíêöèé ïðåîáðàçîâàòåëÿ íàòóðàëüíîãî äâîè÷íîãî êîäà â êîä Ãðåÿ (òàáë. 2.6). Êàê âèäíî èç òàáë. 2.6, êîä Ãðåÿ öèêëè÷åñêèé, ò. å. ìîæåò íåïðåðûâíî ïîâòîðÿòüñÿ. Êðîìå òîãî, â ñîñåäíèõ ñòðîêàõ òàáëèöû êîäîâûå íàáîðû ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé òîëüêî â îäíîì èç ðàçÒ à á ë è ö à 2.5 Òàáëèöà èìïëèêàíò ôóíêöèé ëîãè÷åñêîãî âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ Íîìåð Ìèíòåðì ìèíòåðìà Ëîãè÷åñêîå âû÷èòàíèå Ëîãè÷åñêîå äåëåíèå O5 Imp1(O) Imp2(N0) O5 Imp0(O) Imp2(N0) 0 O · N0 0 ½ ½ N0 1 O · N0 ½ ½ N0 0 2 O · N0 1 O ½ ½ N0 O 3 O · N0 ½ ½ N0 O 1 O 29 Ò à á ë è ö à 2.6 Òàáëèöà èñòèííîñòè êîäà Ãðåÿ X x x x y y y ! " # $ % ðÿäîâ, âñëåäñòâèå ÷åãî åãî íàçûâàþò ýâîëþöèîííûì. Áëàãîäàðÿ ýòèì ñâîéñòâàì êîä Ãðåÿ øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â àíàëîãî-öèôðîâûõ ïðåîáðàçîâàòåëÿõ è êîäîâûõ äèàãðàììàõ (ñì. ãë. 4).  äàííîì ïðèìåðå ïðåäñòàâëåí òðåõðàçðÿäíûé êîä, ñëåäîâàòåëüíî, è ôóíêöèé òîæå òðè. Ñîñòàâèì ñîîòâåòñòâóþùóþ òàáëèöó ìèíòåðìîâ è èìïëèêàíò (òàáë. 2.7). Óáðàâ ïîâòîðíûå èìïëèêàíòû, ïîëó÷èì 1 ∨ x1) ∨ x2(x 0 ∨ x0 ) = x2 ; y2 = x2 x 1 ∨ x2 x1 ∨ x2 x 0 ∨ x2 x0 = x2(x x 2 x1 ∨ x2 x 1 = x2 ⊕ x1; y0 = x 1 x0 ∨ x1 x 0 = x 1 ⊕ x 0. y1 = Ò à á ë è ö à 2.7 Òàáëèöà ìèíòåðìîâ è èìïëèêàíò êîäà Ãðåÿ 30 : Mn: O2 Imp(0) Imp(1) O1 Imp(0) O0 Imp(2) 0 N2 N1 N0 0 0 0 1 N2 N1 N0 0 0 1 N1 N0 2 N2 N1 N0 0 1 N2 N1 1 N1 N0 3 N2 N1 N0 0 1 N2 N1 0 4 N2 N1 N0 1 N2 N1 N2 N0 1 N2 N1 0 5 N2 N1 N0 1 N2 N1 N2 N0 1 N2 N1 1 N1 N0 6 N2 N1 N0 1 N2 N1 N2 N0 0 1 N1 N0 7 N2 N1 N0 1 N2 N1 N2 N0 0 0 Ïîñëåäíèå äâå ôóíêöèè èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ íåðàâíîçíà÷íîñòè, èëè ñóììèðîâàíèÿ ïî ìîäóëþ äâà, è ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå êðåñòèê âíóòðè êðóæêà. Âûâåäåííûå âûðàæåíèÿ ìîæíî îáîáùèòü íà áîëåå ìíîãîðàçðÿäíûé êîäîïðåîáðàçîâàòåëü: yi = xi+1 ⊕ xi;  êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ìèíèìèçàöèþ ôóíêöèè îïåðàöèè äèçúþíêöèè, ïîëó÷åííîé ðàíåå â ÑÄÍÔ: y = x 1 · x0 ∨ x 1 · x 0 ∨ x 1 · x0 = x 1 · x 0 ∨ x 1 · x0 ∨ x 1 · x 0 ∨ x1 · x 0 = 1 ∨ x1) ⋅ x0 ∨ x1 · (x 0 ∨ x0) = x0 ∨ x1. = (x Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, â ðåçóëüòàòå ìèíèìèçàöèè ïîëó÷èëè â ÷èñòîì âèäå äèçúþíêöèþ. Áîëåå ñëîæíûå ôóíêöèè ïðîùå ìèíèìèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ (ñì. ãë. 3) èëè ñïåöèàëüíûõ ãðàôè÷åñêèõ ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà ïðèìåíåíèè äèàãðàìì (ñì. ãë. 4). 2.3. Ñîâåðøåííàÿ êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ÑÊÍÔ, íàçûâàåìàÿ òàê æå, êàê è ÑÄÍÔ, åùå è êàíîíè÷åñêîé, óäîáíà òåì, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî ïðîèçâîäèòü ñ÷èòûâàíèå â àíàëèòè÷åñêîì âèäå ôóíêöèè, ïðåäñòàâëåííîé â òàáëè÷íîé ôîðìå. Ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó âûïîëíÿåòñÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: ëþáóþ ñêîëü óãîäíî ñëîæíóþ ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ m àðãóìåíòîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êîíúþíêöèåé äâóõ äèçúþíêöèé, ò. å. y (xm−1, xm−2, ... , xi, ... , x1, x0) = = [y (xm−1, xm−2, ... , 0, ... , x1, x0) ∨ xi] ½ ½ [y (xm−1, xm−2, ... , 1, ... , x1, x0) ∨ x i]. (2.2) Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé òåîðåìû óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîé ïîäñòàíîâêîé âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé xi, (ñì. ïîäðàçä. 2.1). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ïðåäñòàâèì èñõîäíóþ ôóíêöèþ â âèäå êîíúþíêöèè äâóõ äèçúþíêöèé, â êàæäîé èç êîòîðûõ ñîìíîæèòåëÿìè âîçüìåì íåîïðåäåëåííûå ôóíêöèè z1 è z0: y (xm−1, ... , xi, ... , x0) = = [y (xm−1, ... , 0, ... , x0) ∨ z1] ⋅ [y (xm−1, ... , 1, ... , x0) ∨ z0]. 31 Ò à á ë è ö à 2.8 Òàáëèöà èñòèííîñòè ôóíêöèè O (: ) Íîìåð âàðèàíòà xi z1 z0 y (X) Ïðèìå÷àíèÿ 0 0 0 0 y (xi = 0) ⋅ y (xi = 1) Äîëæíî áûòü y (xi = 0) 1 0 0 1 y (xi = 0) z1 = xi 2 0 1 0 y (xi = 1) Äîëæíî áûòü y (xi = 0) 3 0 1 1 1 Äîëæíî áûòü y (xi = 0) 4 1 0 0 y (xi = 0) ⋅ y (xi = 1) Äîëæíî áûòü y (xi = 1) 5 1 0 1 y (xi = 1) z0 = xi 6 1 1 0 y (xi = 0) Äîëæíî áûòü y (xi = 1) 7 1 1 1 1 Äîëæíî áûòü y (xi = 1) Ñîñòàâèì òàáëèöó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðèâåäåííîìó âûðàæåíèþ (òàáë. 2.8). Àíàëèç âñåõ âîñüìè âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ èç òàáë. 2.8 ïîêàçûâàåò, ÷òî òîëüêî äâà èç íèõ (ïåðâûé è ïÿòûé) ïîäõîäÿò äëÿ òðåáóåìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè.  ïåðâîì âàðèàíòå çíà÷åíèÿ xi è z1 ñîâïàäàþò, ÷òî è îòîáðàæåíî èõ ðàâåíñòâîì.  ïÿòîì âàðèàíòå çíà÷åíèÿ xi è z 0 íå ñîâïàäàþò, ïîýòîìó òðåáóåòñÿ èíâåðñèÿ. Ïðè÷èíû íåãîäíîñòè îñòàëüíûõ øåñòè âàðèàíòîâ ïðèâåäåíû â ïðèìå÷àíèÿõ òàáëèöû. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äîêàçàííîé. Òåïåðü äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü åùå îäíîãî ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðîå ïîíàäîáèòñÿ ïðè âûâîäå ôîðìóëû ñîâåðøåííîé êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû: (a ∨ c) ⋅ (b ∨ c) = a ⋅ b ∨ c. (2.3) Èñïîëüçóåì äëÿ ëåâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (2.3) ñâîéñòâî ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà, ò. å. ðàñêðîåì ñêîáêè: (a ∨ c) ⋅ (b ∨ c) = a ⋅ b ∨ a ⋅ c ∨ b ⋅ c ∨ c ⋅ c. Ó÷òåì çàêîí òàâòîëîãèè (c ⋅ c = c) è çàêîí óìíîæåíèÿ íà åäèíèöó (c = c ⋅ 1) è ñíîâà èñïîëüçóåì ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí: a⋅b ∨ a⋅c ∨ b⋅c ∨ c⋅c = a⋅b ∨ a⋅c ∨ b⋅c ∨ c = = a ⋅ b ∨ a ⋅ c ∨ b ⋅ c ∨ c ⋅ 1 = a ⋅ b ∨ c ⋅ (a ∨ b ∨ 1). Ïðèìåíèâ ê ïîñëåäíåìó âûðàæåíèþ çàêîí ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ ñ åäèíèöåé (a ∨ b ∨ 1 = 1), çàïèøåì a ⋅ b ∨ c ⋅ (a ∨ b ∨ 1) = a ⋅ b ∨ c ⋅ 1. 32 Ñíîâà èñïîëüçîâàâ çàêîí óìíîæåíèÿ íà åäèíèöó (c ⋅ 1 = c), ïîëó÷èì èñêîìîå ñîîòíîøåíèå (2.3). Òåïåðü ïðèñòóïèì ê âûâîäó âûðàæåíèÿ â ÑÊÍÔ. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ñîîòíîøåíèå (2.2) ïðè i = 0: y (xm−1, xm−2, ... , x2, x1, x0) = x 0]. = [y (xm−1, xm−2, ... , x2, x1, 0) ∨ x0] ⋅ [y (xm−1, xm−2, ... , x2, x1, x0) ∨ Àíàëîãè÷íî ðàñêðîåì àðãóìåíò x1: y (xm−1, xm−2, ... , x2, x1, x0) = x 1] ∨ x0}½ = {[y (xm−1, xm−2, ... , x2, 0, 0) ∨ x1] ⋅ [y (xm−1, xm−2, ... , x2, 1, 0) ∨ ½{[y (xm−1, xm−2, ... , x2, 0, 1) ∨ x1] ⋅ [y (xm−1, xm−2, ... , x2, 1, 1) ∨ x 1] ∨ x 0}. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.3), îáîçíà÷èì ñîñòàâëÿþùèå, çàêëþ÷åííûå â ïåðâûõ ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ïîñëåäíåé ôîðìóëû, ñëåäóþùèì îáðàçîì: y (xm−1, xm−2, ... , x2, 0, 0) ∨ x1 = a; y (xm−1, xm−2, ... , x2, 1, 0) ∨ x 1 = b; x0 = c, à âî âòîðûõ ôèãóðíûõ ñêîáêàõ y (xm−1, xm−2, ... , x2, 0, 1) ∨ x1 = a; x 1 = b; y (xm−1, xm−2, ... , x2, 1, 1) ∨ x 0 = c. Ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: y (xm−1, xm−2, ... , x2, x1, x0) = = [y(xm−1, xm−2, ... , x2, 0, 0) ∨ x1 ∨ x0]⋅[y(xm−1, xm−2, ... , x2, 1, 0) ∨ x 1 ∨ x0]½ x 0]⋅[y(xm−1, xm−2, ... , x2, 1, 1) ∨ x 1 ∨ x 0]. ½[y(xm−1, xm−2, ... , x2, 0, 1) ∨ x1 ∨ Ðàñêðûâàÿ òàêèì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíî âñå îñòàëüíûå àðãóìåíòû, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå ôóíêöèè â ÑÊÍÔ: X max y (xm−1, xm−2, ... , x2, x1, x0) = ∧ X =0 [ yX ∨ Mx X ], ãäå yX çíà÷åíèå ôóíêöèè â íàáîðå àðãóìåíòîâ X; MxX ìàêñòåðì, ò. å. äèçúþíêöèÿ âñåõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèè, ïðè÷åì àðãó33 ìåíò â ïðÿìîé ôîðìå (xi), åñëè â äàííîì íàáîðå X îí ðàâåí íóëþ, i) åñëè îí ðàâåí åäèíèöå. è â èíâåðñíîé ôîðìå (x Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ìàêñòåðìû. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì èõ òàáëèöó èñòèííîñòè (òàáë. 2.9). Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî êàæäûé ìàêñòåðì ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ òîëüêî â îäíîì èç íàáîðîâ, à èìåííî â òîì, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò åãî íîìåð. Ýòî íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü x âûâîä î âçàèìîñâÿçè ìèíòåðìîâ è ìàêñòåðìîâ: MnX = M X. 2.4. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé ñ íå ïîëíîñòüþ çàäàííûìè àðãóìåíòàìè â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå Áûâàþò ñëó÷àè, êîãäà ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíà ñîêðàùåííîé òàáëèöåé èñòèííîñòè, è ïîýòîìó â íåêîòîðûõ åå ñòðîêàõ îòäåëüíûå àðãóìåíòû îêàçûâàþòñÿ çàäàííûìè ôàêóëüòàòèâíî.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ïðèîðèòåòíîãî øèôðàòîðà, îïðåäåëÿþùåãî ñòàðøèé ðàçðÿä, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ åäèíèöà, è ïðåîáðàçóþùåãî íîìåð ýòîãî ðàçðÿäà â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä (òàáë. 2.10). Äîêàæåì, ÷òî â ÄÍÔ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü ïðåäñòàâëåíà äèçúþíêöèåé èìïëèêàíò, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ òîëüêî îïðåäåëåííûå àðãóìåíòû: y0 = x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ∨ x3; y1 = x 3 ⋅ x2 ∨ x3. Äëÿ óäîáñòâà ïîëíóþ òàáëèöó èñòèííîñòè ïðèîðèòåòíîãî øèôðàòîðà (òàáë. 2.11) ðàçäåëèì ïîëóæèðíûìè ãîðèçîíòàëüíûìè ëèíèÿìè íà ñåêòîðû ñ îäèíàêîâûì ðàñïîëîæåíèåì ñòàðøèõ åäèíèö àðãóìåíòîâ. Ïðîèçâåäåì ñ÷èòûâàíèå ôóíêöèè â ÑÄÍÔ ñ ïîñëåäóþùèì ñêëåèâàíèåì ñîñåäíèõ (ñîïðÿæåííûõ) ìèíòåðìîâ è èìïëèêàíò: Ò à á ë è ö à 2.9 Òàáëèöà èñòèííîñòè ìàêñòåðìîâ Àðãóìåíòû Ò à á ë è ö à 2.10 Òàáëèöà èñòèííîñòè ïðèîðèòåòíîãî øèôðàòîðà Ìàêñòåðìû N3 N2 N1 N0 O1 O0 Mx0 Mx1 Mx2 Mx3 0 0 0 0 * * : N1 N0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 * 0 1 2 1 0 1 1 0 1 0 1 * * 1 0 3 1 1 1 1 1 0 1 * * * 1 1 34 Ò à á ë è ö à 2.11 Ïîëíàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè ïðèîðèòåòíîãî øèôðàòîðà n x3 x2 x1 x0 y1 y0 0 0 0 0 0 * * 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 3 0 0 1 1 0 1 4 0 1 0 0 1 0 5 0 1 0 1 1 0 6 0 1 1 0 1 0 7 0 1 1 1 1 0 8 1 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 1 12 1 1 0 0 1 1 13 1 1 0 1 1 1 14 1 1 1 0 1 1 15 1 1 1 1 1 1 y0 = x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ⋅ x0 ∨ x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ⋅ x0 ∨ x3 ⋅ x 2 ⋅ x 1 ⋅ x 0 ∨ x3 ⋅ x 2 ⋅ x 1 ⋅ x0 ∨ x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ⋅ x0 ∨ x 2 ⋅ x 1 ⋅ x0 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ⋅ x 0 ∨ x3 ⋅ x 2 ⋅ x 1 ⋅ x 0 ∨ x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ⋅ x 0 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ⋅ x 0 = ∨ x3 ⋅ 0 ∨ x0) ∨ x3 ⋅ 0 ∨ x0) ∨ x3 ⋅ 0 ∨ x0) ∨ x 2 ⋅ x1 ⋅ (x x 2 ⋅ x 1 ⋅ (x x 2 ⋅ x1 ⋅ (x = x 3 ⋅ 0 ∨ x0) ∨ x3 ⋅ x2 ⋅ x1 ⋅ (x 0 ∨ x0) = x 1 ⋅ (x ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ = x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ∨ x3 ⋅ x 2 ⋅ x 1 ∨ x3 ⋅ x 2 ⋅ x 1 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 = 1 ∨ x1) ∨ x3 ⋅ x2 ⋅ (x 1 ∨ x1) = x 2 ⋅ x1 ∨ x3 ⋅ x 2 ⋅ (x = x 3 ⋅ x 2 ⋅ x 1 ∨ x3 ⋅ x 2 ∨ x3 ⋅ x2 = = x 3 ⋅ 2 ∨ x2) = x 2 ⋅ x1 ∨ x3 ⋅ (x x 3 ⋅ x 2 ⋅ x1 ∨ x3. = x 3 ⋅ Ïîñêîëüêó ïîñëåäíèå âîñåìü ìèíòåðìîâ ó îáåèõ ôóíêöèé îäèíàêîâûå, ïðèâåäåì äëÿ y1 ñðàçó óïðîùåííûé âàðèàíò çàïèñè: 35 x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ⋅ x0 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ⋅ x0 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ⋅ x0 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x 1 ⋅ x 0 ∨ x3 = y1 = 0 ∨ x0) ∨ 0 ∨ x0) ∨ x3 = x 1 ⋅ (x x 3 ⋅ x2 ⋅ x1 ⋅ (x = x 3 ⋅ x2 ⋅ 1 ∨ x1) ∨ x3 = = x 3 ⋅ x2 ⋅ x1 ∨ x 3 ⋅ x2 ⋅ x1 ∨ x3 = x 3 ⋅ x2 ⋅ (x x 3 ⋅ x 2 ∨ x3 . Ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ìîæíî åùå áîëåå óïðîñòèòü, åñëè èñïîëüçîâàòü ðàññìîòðåííûé â ãë. 1 ïðèåì: a∨ a ⋅ b = a ⋅ (1 ∨ b) ∨ a ⋅b = a ∨ a⋅b ∨ a ⋅ b = a ∨ (a ∨ a ) ⋅ b = a ∨ b. Îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì: y0 = x3 ∨ x 2 ⋅ x1; y1 = x3 ∨ x2. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. ×òî òàêîå ìèíòåðì è êàêîâû åãî ñâîéñòâà? 2. Êàê âûðàæàåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â ÑÄÍÔ? 3. ×òî òàêîå ñîñåäíèå ìèíòåðìû? 4. ×òî òàêîå èìïëèêàíòû è êàê îíè ïîëó÷àþòñÿ? 5. Èç êàêèõ ýòàïîâ ñîñòîèò ïðîöåäóðà ìèíèìèçàöèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé? 6. Êàê ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèþ ïðåîáðàçîâàòåëÿ êîäà «1 èç 4» â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä? 7. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå òåîðåìó Øåííîíà î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé äèçúþíêöèåé äâóõ êîíúþíêöèé. 8. Äîêàæèòå òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â ÑÄÍÔ. 9. Ñîñòàâüòå òàáëèöó èñòèííîñòè äëÿ êîäà «1 èç 4». 10. Ñîñòàâüòå òàáëèöó èñòèííîñòè äëÿ øèôðàòîðà ïðåîáðàçîâàòåëÿ êîäà «1 èç 4» â íàòóðàëüíûé äâîè÷íûé êîä. 11. Çàïèøèòå â ÑÄÍÔ ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ äèçúþíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ. 12. ×òî íàçûâàåòñÿ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ? 13. Êàêàÿ ôîðìà ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ òóïèêîâîé? 14. Êàêàÿ ÄÍÔ ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé? 15. Ñîñòàâüòå òàáëèöó èñòèííîñòè êîäà Ãðåÿ. 16. Çàïèøèòå â ÑÄÍÔ è ìèíèìèçèðóéòå ðàçðÿäíûå ôóíêöèè êîäà Ãðåÿ. 17. Êàêàÿ èç ÷åòûðåõ ïðèâåäåííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ìèíòåðìîì: 1) x 0 ⋅ x 1 ∨ x2 ⋅ x3; 2) x0 ∨ x1 ∨ x2 ∨ x3; 3) x0 ⋅ x 1 ⋅ x2 ⋅ x3; 4) x0 ∨ x1 ∨ x2 ∨ x3? 18. Êàê âëèÿåò íà ñëîæíîñòü ìèíèìèçèðîâàííîé ôóíêöèè íàëè÷èå çàïðåùåííûõ êîìáèíàöèé (íå âëèÿåò; óïðîùàåò; óñëîæíÿåò)? 19. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé êîíúþíêöèåé äâóõ äèçúþíêöèé. 20. Äîêàæèòå òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé â ÑÊÍÔ. 21. Çàïèøèòå â ÑÊÍÔ ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíúþíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ. 22. Âûâåäèòå ôóíêöèè äëÿ ÷åòûðåõðàçðÿäíîãî ïðåîáðàçîâàòåëÿ íàòóðàëüíîãî äâîè÷íîãî êîäà â êîä Ãðåÿ. 36