Формулы первого порядка, сохраняющиеся при минимальной

Ôîðìóëû ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîõðàíÿþùèåñÿ ïðè ìèíèìàëüíîé
ôèëüòðàöèè.
Êèêîòü Ñ. Ï.
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ÐÀÍ,
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò,
staskikotx@gmail.com,
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû äàåì ñèíòàêñè÷åñêîå îïèñàíèå ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà,
ñîõðàíÿþùèõñÿ ïðè ìèíèìàëüíûõ ôèëüòðàöèÿõ.
Àííîòàöèÿ
Êëþ÷åâûå ñëîâà:
1
òåîðèÿ ìîäåëåé, òåîðåìû î õàðàêòåðèçàöèè, ôèëüòðàöèè
Ââåäåíèå
Òåîðåòèêî-ìîäåëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ ôèëüòðàöèè áûëà ïðèäóìàíà â 1960å [18] äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîíå÷íûõ ìîäåëåé èç áåñêîíå÷íûõ ïðè ïîìîùè ôàêòîðèçàöèè, òî åñòü ñêëåèâàíèÿ îäíîòèïíûõ òî÷åê â
îäíó. Ìèíèìàëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ åå ñàìûé ïðîñòîé ÷àñòíûé ñëó÷àé.  íåñêîëüêèõ íåäàâíûõ ðàáîòàõ óñòîé÷èâîñòü ìîäàëüíûõ ôîðìóë îòíîñèòåëüíî ôèëüòðàöèé áûëà èñïîëüçîâàíà â êà÷åñòâå
äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè äëÿ ïðîèçâîäíûõ ìîäàëüíûõ ëîãèê [3], [6], [10].
Çàäà÷è îá îïèñàíèè â òî÷íîñòè âñåõ ìîäàëüíûõ è ýëåìåíòàðíûõ ìîäàëüíûõ ôîðìóë, ñîõðàíÿþùèõñÿ ïðè ìèíèìàëüíîé ôèëüòðàöèè, ñôîðìóëèðîâàííûå Â. Øåõòìàíîì, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ
äëÿ òåîðèè ìîäåëåé ïðîñòîòîé ïîñòàíîâêè è íåîæèäàííîé ñëîæíîñòüþ. Êðîìå òîãî, íà îñíîâå ýòîãî
îïèñàíèÿ ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü íîâûå ðàçðåøèìûå ìîäàëüíûå ëîãèêè. Åñòåñòâåííàÿ ãèïîòåçà,
÷òî ñîõðàíÿþùèåñÿ ýëåìåíòàðíûå ìîäàëüíûå ôîðìóëû ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè èìåþò âèä
3p → φ, ãäå φ ïîçèòèâíà, îêàçûâàåòñÿ íåâåðíîé áåç òðåáîâàíèÿ ýëåìåíòàðíîñòè ôîðìóë. Êîíòðïðè-
ìåðîì ÿâëÿþòñÿ àïïðîêñèìàíòû Õîäêèíñîíà [7] ýêçèñòåíöèàëüíî-êîíúþíêòèâíûõ ôîðìóë ïåðâîãî
ïîðÿäêà
γm = 2(p1 ∨ . . . ∨ pm ) →
m
_
(3(pi ∧ 3pj ) ∧ 3(pj ∧ 3pi ))
i,j=1
èç ðàáîòû [9]. Òàêèì îáðàçîì, ïîäòâåðæäåíèå èëè îïðîâåðæåíèÿ ýòîé ãèïîòåçû ñâÿçàíî ñ íàõîæäåíèåì íîâûõ âèäîâ ýëåìåíòàðíûõ ìîäàëüíûõ ôîðìóë. Èç óïîìÿíóòîé ãèïîòåçû òàêæå ñëåäóåò
êðèòåðèé ìîäàëüíîé îïðåäåëèìîñòè äëÿ êîíúþíêòèâíûõ ýêçèñòåíöèàëüíûõ ôîðìóë èç ðàáîòû [11].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû äàåì ñèíòàêñè÷åñêîå îïèñàíèå ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîõðàíÿþùèõñÿ
ïðè ìèíèìàëüíûõ ôèëüòðàöèÿõ, îïðåäåëåíèå êîòîðûõ àäàïòèðîâàíî ê ðàññìàòðèâàåìó ÿçûêó. Íàø
ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òèïè÷íóþ òåîðåìó î õàðàêòåðèçàöèè, ñâÿçûâàþùóþ ñèíòàêñè÷åñêèé
âèä ôîðìóëû ñ åå èíâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî ìîðôèçìîâ ñïåöèàëüíîãî âèäà (êîòîðûìè ïî ñóòè
ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûå ôèëüòðàöèè). Òàêîãî ðîäà òåîðåìû ïîÿâèëèñü â 1950å, ìîìåíò ñîçäàíèÿ
òåîðèè ìîäåëåé è óíèâåðñàëüíîé àëãåáðû â ðàáîòàõ Ëîñÿ [12], Òàðñêîãî [20], Ëèíäîíà [14], ×åíà
[5], Õîðíà [8], Ìàëüöåâà [15] è Òàéìàíîâà [19]. Â êîíöå 1970õ âàí Áåíòåì [2] ïåðåíåñ ìíîãèå èç íèõ
íà ìîäàëüíûå ôîðìóëû.  òå÷åíèè ïîñëåäíèõ 20 ëåò â ëèòåðàòóðå áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ
îáîáùåíèÿì ýòèõ òåîðåì íà ñëó÷àé êîíå÷íûõ ìîäåëåé [16], [1], [17]. Åñòü ó íèõ è ïîòåíöèàëüíûå
ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåíåíèÿ â êîìïüþòåðíûõ íàóêàõ. Íàïðèìåð, â ðàáîòå [13] îíè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ
ïîñòðîåíèÿ è èçó÷åíèÿ ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ, ïðîâåðÿþùèõ, ìîæåò ëè îíòîëîãèÿ, çàäàííàÿ â áîëåå
øèðîêîì ÿçûêå, áûòü ïåðåïèñàíà â áîëåå óçêîì.
2
Ñîãëàøåíèå îá îáîçíà÷åíèÿõ
Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ áàçîâûìè ïîíÿòèÿìè òåîðèè ìîäåëåé, òàêèìè êàê ôîð-
ìóëà ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïàðàìåòðû ôîðìóëû, èíòåðïðåòàöèÿ, êîíñòàíòû, èñòèííîñòü ôîðìóëû
635
â èíòåðïðåòàöèè, èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ è òåîðåìàìè î åãî êîððåêòíîñòè è ïîëíîòå, â îòíîøåíèè êîòîðûõ ìû ñëåäóåì êíèãå [4].  õîäå äîêàçàòåëüñòâà ìû áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü ëåììó î
ñâåæèõ êîíñòàíòàõ, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ âûâîäèìà ôîðìóëà
φ
ñ êîíñòàíòîé
c,
òî òîãäà âûâîäèìà è ôîðìóëà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç
íîâóþ ïåðåìåííóþ, íå âõîäÿùóþ â
φ.
φ
çàìåíîé âñåõ âõîæäåíèé
c
íà
Òàê êàê ìû ðàáîòàåì òîëüêî ñ áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè, äëÿ
xRy .
(W, R), ãäå R áèíàðíîå îòíîøåíèå íà W . Ïóñòü
G
G
F
F
G
äàíû äâå ðåëÿöèîííûå ñòðóêòóðû G = (W , R ) è F = (W , R ). Îòîáðàæåíèå f : W
→ WF
1
áóäåì íàçûâàòü ìèíèìàëüíîé ôèëüòðàöèåé , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(1) f ñþðúåêòèâíî;
G
G
F
(2) åñëè x, y ∈ W
è xR y , òî f (x)R f (y) (ìîíîòîííîñòü);
0 0
F
0 F 0
G
0
(3) åñëè x , y ∈ W
è x R y , òî íàéäóòñÿ òàêèå òî÷êè x, y ∈ W , ÷òî f (x) = x , f (y) = y è
G
xR y (ñëàáûé âàðèàíò óñëîâèÿ ïîäúåìà).
Ðàññìîòðèì ÿçûê ïåðâîãî ïîðÿäêà L â ñèãíàòóðå ñ îäíèì äâóìåñòíûì ðåëÿöèîííûì ñèìâîëîì
R è ðàâåíñòâîì. Ìû ãîâîðèì, ÷òî çàìêíóòàÿ ôîðìóëà ýòîãî ÿçûêà φ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ìèíèìàëüíûõ
ôèëüòðàöèÿõ, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû ðåëÿöèîííûõ ñòðóêòóð G = (W G , RG ) è F = (W F , RF ), òàêèõ,
÷òî ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ f : G → F , èç òîãî, ÷òî G |= φ, ñëåäóåò, ÷òî F |= φ.
çàïèñè àòîìîâ ìû èñïîëüçóåì èíôèêñíóþ ôîðìó âèäà
Áóäåì íàçûâàòü ðåëÿöèîííîé ñòðóêòóðîé ïàðó
Íåñêîëüêî áîëåå ãðîìîçäêî ñîîòâåòñòâóþùåå îïðåäåëåíèå äëÿ ôîðìóë ñ ïàðàìåòðàìè: ôîðìóëà
φ(x1 , . . . , xn ) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ìèíèìàëüíûõ ôèëüòðàöèÿõ, åñëè äëÿ ëþáûõ ðåëÿöèîííûõ ñòðóêG
F
F
F
F
G
G
G
G
→ W F ìèíèìàëüíàÿ
òóð G = (W , R , x1 , . . . , xn ) è F = (W , R , x1 , . . . , xn ), åñëè f : W
F
F
G
F
G
G
ôèëüòðàöèÿ, è åñëè f (xi ) = xi äëÿ 1 ≤ i ≤ n, òî G |= φ(x1 , . . . , xn ) âëå÷åò F |= φ(x1 , . . . , xn ).
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé êëàññ ôîðìóë ÿçûêà L, îïðåäåëÿåìûé ïî èíäóêöèè:
ψ ::= xRy | x = y | ψ1 ∨ ψ2 | ψ1 ∧ ψ2 | ∀vψ | ∃vψ | ∀x∀y(xRy → ψ).
Áóäåì ýòîò êëàññ îáîçíà÷àòü
FP,
à êëàññ, ïîëó÷àþùèéñÿ èç
âõîäÿùèå â íåãî ôîðìóëû, áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç
FP
íàâåøèâàíèåì îòðèöàíèé íà âñå
¬F P .
Çàìåòèì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ òî ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìóë â ýòîì êëàññå äîïóñòèìû ñëîæíûå êâàíòîðû âèäà
∀x1 ∀y1 . . . ∀xn ∀yn (x1 Ry1 ∧ . . . ∧ xn Ryn → ψ),
òàê êàê ôîðìóëà, ýêâèâàëåíòíàÿ (1), ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû
ψ
ïîñëå
(1)
n
ïðèìåíåíèé ïîñëåäíåãî
ïðàâèëà êîíñòðóèðîâàíèÿ ôîðìóëû.
Îáîçíà÷åíèå P C
3
`
îçíà÷àåò âûâîäèìîñòü â êëàññè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò
ÒÅÎÐÅÌÀ 1. Çàìêíóòàÿ ôîðìóëà
φ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ìèíèìàëüíûõ ôèëüòðàöèÿõ òîãäà è òîëüêî
FP.
òîãäà, êîãäà îíà ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîé ôîðìóëå èç êëàññà
A = (W A , RA ) è B = (W B , RB ). Çàïèñü A FP B îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ôîðìóëû φ êëàññà F P , èç òîãî, ÷òî A |= φ, ñëåäóåò, ÷òî B |= φ. Ëåãêî
âèäåòü, ÷òo åñëè A FP B , φ ∈ ¬F P è B |= φ, òî A |= φ.
Ðàññìîòðèì äâå ðåëÿöèîííûå ñòðóêòóðû
B
B
B
A = (W A , RA , (cA
λ : λ ∈ Λ)), B = (W , R , (cλ : λ ∈ Λ)) è A FP B . Òîãäà
0
0
A
ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå B øêàëû B è îòîáðàæåíèå f : A → B , ïåðåâîäÿùåå cλ
A
0
A
(A, (a : a ∈ W )) FP (B , (f a : a ∈ W )).
ËÅÌÌÀ 2. Ïóñòü
íàéäåòñÿ òàêîå
â
cB
λ,
òàêîå ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî.. Ðàññìîòðèì ÿçûê ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîäåðæàùèé â êà÷åñòâå êîíñòàíò, êðîìå èñõîäíûõ êîíñòàíò
cλ ,
ýëåìåíòû
a ∈ WA
è
b ∈ WB .
Ðàññìîòðèì òåîðèþ ýòîãî ÿçûêà
T = {ψ(a1 , . . . , an ) | ψ ∈ F P ; A |= ψ(a1 , . . . , an )} ∪ {φ(b1 , . . . , bm ) | B |= φ(b1 , . . . , bm )}.
Ïîêàæåì, ÷òî
T
íåïðîòèâîðå÷èâà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òàê êàê
êîíúþíêöèè, ýòî çíà÷èò, ÷òî íàéäóòñÿ ôîðìóëû
1
ψ ∈ F P , φ ∈ L,
Òàêèå îòîáðàæåíèå òàêæå èçâåñòíû êàê ñëàáûå ãîìîìîðôèçìû.
636
FP
çàìêíóò îòíîñèòåëüíî
òàêèå, ÷òî
A |= ψ(a1 , . . . , an ),
B |= φ(b1 , . . . , bm ), íî P C ` ψ(a1 , . . . , an ) → ¬φ(b1 , . . . , bm ). Â ñèëó ïðàâèëà îáîáùåíèÿ2 , P C `
∀ā(ψ(a1 , . . . , an ) → ¬φ(b1 , . . . , bm )), ÷òî ýêâèâàëåíòíî P C ` (∃āψ(a1 , . . . , an )) → ¬φ(b1 , . . . , bm ). Çàìêíóòàÿ ôîðìóëà ∃āψ(ā) ∈ F P , A |= ∃āψ(ā). Îòñþäà, òàê êàê A FP B , B |= ∃āψ(ā). Êðîìå òîãî,
B |= (∃āψ(a1 , . . . , an )) → ¬φ(b1 , . . . , bm ), îòêóäà B |= ¬φ(b1 , . . . , bm ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî
B |= φ(b1 , . . . , bm ).
0
0
Ïóñòü B ìîäåëü äëÿ òåîðèè T . Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ T , B ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå B .
Îòîáðàæåíèå f çàäàåòñÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî îíî ïåðåâîäèò êàæäûé ýëåìåíò a ∈ WA â èíòåðïðåòà0
A
0
A
öèþ êîíñòàíòû a â ìîäåëè B , è ýòî ãàðàíòèðóåò, ÷òî (A, (a : a ∈ W )) FP (B , (f a : a ∈ W )), è ÷òî
A
B
f ïåðåâîäèò cλ â cλ . 2
B
B
B
A = (W A , RA , (cA
λ : λ ∈ Λ)), B = (W , R , (cλ : λ ∈ Λ)) è A FP B . Òîãäà
0
0
B
íàéäåòñÿ òàêîå ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå A øêàëû A è îòîáðàæåíèå g : B → A , ïåðåâîäÿùåå cλ
A
0
B
B
B
â cλ , òàêîå ÷òî (A , (gb : b ∈ W )) FP (B, (b : b ∈ W )), è, êðîìå òîãî, äëÿ ëþáûõ b1 , b2 ∈ W , åñëè
B |= b1 Rb2 , òî A0 |= g(b1 )Rg(b2 ).
ËÅÌÌÀ 3. Ïóñòü
Äîêàçàòåëüñòâî.. Ðàññìîòðèì ÿçûê ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîäåðæàùèé â êà÷åñòâå êîíñòàíò, êðîìå
ýëåìåíòû
a ∈ WA
b ∈ WB .
è
cλ ,
Ðàññìîòðèì òåîðèþ
T = {φ(a1 , . . . , an ) | A |= φ(a1 , . . . , an )}∪
∪{ψ(b1 , . . . , bm ) | ψ ∈ ¬F P ; B |= ψ(b1 , . . . , bm )}∪
∪{b1 Rb2 | b1 , b2 ∈ WB ; b1 Rb2 }.
¬F P çàìêíóò îòíîñèòåëüíî
ψ ∈ ¬F P , φ ∈ L, è êîíñòàíòû b1 , . . . , b2k ∈ W B ,
òàêèå, ÷òî P C ` ψ(b1 , . . . , bm ) ∧ (b1 Rb2 ) ∧ . . . ∧ (b2k−1 Rb2k ) → ¬φ(a1 , . . . , an ). Ïî ïðàâèëó îáîáùåíèÿ,
P C ` ∀b̄(ψ(b1 , . . . , bm ) ∧ (b1 Rb2 ) ∧ . . . ∧ (b2k−1 Rb2k ) → ¬φ(a1 , . . . , an )), îòêóäà P C ` ∃b̄(ψ(b1 , . . . , bm ) ∧
(b1 Rb2 ) ∧ . . . ∧ (b2k−1 Rb2k )) → ¬φ(a1 , . . . , an )). Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà ζ = ∃b̄(ψ(b1 , . . . , bm ) ∧ (b1 Rb2 ) ∧
. . . ∧ (b2k−1 Rb2k )) ëåæèò â êëàññå ¬F P , òàê êàê åå îòðèöàíèå èìååò âèä (1). Íî ìû çíàåì, ÷òî B |= ζ .
Îòñþäà, òàê êàê A FP B , òî A |= ζ . Êðîìå òîãî, A |= ζ → ¬φ(a1 , . . . , an ), îòêóäà A |= ¬φ(a1 , . . . , an ),
÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî A |= φ(a1 , . . . , an ).
0
B
Âîçìüìåì â êà÷åñòâå A ìîäåëü äëÿ T , è îáúÿâèì íà ýëåìåíòàõ b ∈ W
g(b) ðàâíûì èíòåð0
0
ïðåòàöèè êîíñòàíòû b â ìîäåëè A . Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ A ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå A, è,
0
B
B
B
B
êðîìå òîãî, (A , (gb : b ∈ W )) FP (B, (b : b ∈ W )), è äëÿ ëþáûõ b1 , b2 ∈ W , b1 R b2 , âåðíî, ÷òî
0
A |= g(b1 )Rg(b2 ). 2
Ïîêàæåì, ÷òî
T
íåïðîòèâîðå÷èâà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òàê êàê
êîíúþíêöèè, ýòî çíà÷èò, ÷òî íàéäóòñÿ ôîðìóëû
A = (W A , RA ), B = (W B , RB ), è A FP B . Òîãäà
B ≺ B ∗ è ìèíèìàëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ f : A∗ → B ∗ .
ËÅÌÌÀ 4. Ïóñòü
ðåíèÿ
A≺A
∗
,
íàéäóòñÿ ýëåìåíòàðíûå ðàñøè-
A0 = A, B0 = B , ïðèìåíèì Ëåììó 2, ïîëó÷èì ýëåìåíòàðíîå ðàñøèB1 ñòðóêòóðû B0 è îòîáðàæåíèå f0 : A0 → B1 , òàêîå, ÷òî (A0 , (a : a ∈ W A )) FP (B1 , (f0 (a) :
a ∈ W A )). . Òåïåðü ïðèìåíèì Ëåììó 3 ê ñòðóêòóðàì (A, (a : a ∈ W A )) è (B1 , (f a : a ∈ W A )),
è ïîëó÷èì ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå A1 ñòðóêòóðû A0 è îòîáðàæåíèå g1 : B1 → A1 , óäîâëåòâîÄîêàçàòåëüñòâî.. Ïîëîæèì
ðåíèå
ðÿþùåå çàêëþ÷åíèþ Ëåììû 3. Íà ñëåäóþùåì øàãå ìû áóäåì ïðèìåíÿòü Ëåììó 2 ê ñòðóêòóðàì
(A, (a : a ∈ W A ), (g1 (b) : b ∈ W B1 )) è (B, (f0 (a) : a ∈ W A ), (b : b ∈ W B1 )), ïîëó÷èì ñòðóêòóðó B2 è
A
B
A
0
îòîáðàæåíèå f1 : A1 → B2 òàêèå ÷òî (A, (a : a ∈ W ), (g1 (b) : b ∈ W 1 ), (a : a ∈ W 1 )) FP (B , (f0 (a) :
A
B1
A1
a ∈ W ), (b : b ∈ W ), (f1 (a) : a ∈ W )). Äåéñòâóÿ òàê äî áåñêîíå÷íîñòè, ïðèìåíÿÿ ïî î÷åðåäè
Ëåììû 1 è 2, ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ áàøíþ ðàñøèðåíèé
A0 ≺ A1 ≺ A2 ≺ . . .
f0
g1
f1
g2
B0 ≺ B1 ≺ B2 ≺ . . .
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé
2
fn
è
gn .
Çäåñü íåÿâíî èñïîëüçóåòñÿ ëåììà î ñâåæèõ êîíñòàíòàõ. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ìû çàìåíÿåì êîíñòàíòû ai íà
íîâûå ïåðåìåííûå xi , è óæå íà íèõ íàâåøèâàåì êâàíòîð âñåîáùíîñòè.
637
Áàøíÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
(A0 , (a : a ∈ W A )) FP (B0 , (f0 (a) : a ∈ W A )),
(A1 , (a : a ∈ W A ), (g1 (b) : b ∈ W B1 )) FP (B1 , (f0 (a) : a ∈ W A ), (b : b ∈ W B1 )),
(A, (a : a ∈ W A ), (g1 (b) : b ∈ W B1 ), (a : a ∈ W A1 )) FP
FP (B 0 , (f0 (a) : a ∈ W A ), (b : b ∈ W B1 ), (f1 (a) : a ∈ W A1 )),
...
fn óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì fn ⊆ fn+1 .
Aω = ∪{An | n ≥ 0}, Bω = ∪{Bn | n ≥ 0}, fω = ∪{fn | n ≥ 0}. Òîãäà fω ìèíèìàëüíàÿ
ôèëüòðàöèÿ èç Aω â Bω . Äåéñòâèòåëüíî, fω ñþðúåêòèâíî, òàê êàê åñëè b ∈ Bn , òî gn (b) ∈ An ,
è fn+1 (gn (b)) = b; fω ìîíîòîííî, òàê êàê âñå fn ìîíîòîííû, è åñëè b1 , b2 ∈ Bn , òî äëÿ i ∈ {1, 2}
fn+1 gn (bi ) = bi , è Aω |= gn (b1 )Rgn (b2 ). Ïî òåîðåìå îá ýëåìåíòàðíûõ öåïÿõ (Òåîðåìà 3.1.9 â [4]), Aω
è Bω ýëåìåíòàðíûå ðàñøèðåíèÿ A è B . 2
Êðîìå òîãî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé
Ïîëîæèì
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû
êëàññà
FP
1.
Èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ ôîðìóëû äîêàæåì, ÷òî âñå ôîðìóëû
(â òîì ÷èñëå, è ñ ïàðàìåòðàìè) ñîõðàíÿþòñÿ ïðè ìèíèìàëüíûõ ôèëüòðàöèÿõ. Âñå ïðà-
âèëà ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû, êðîìå ïîñëåäíåãî, ðàçáèðàþòñÿ àíàëîãè÷íî òåîðåìå î ïîçèòèâíûõ ôîðìóëàõ (Òåîðåìà 3.2.4 èç [4]). Äîêàæåì êîððåêòíîñòü ïîñëåäíåãî ïðàâèëà. Ðàññìîòðèì ôîðìóëó
ψ = ∀x∀y(xRy → ψ 0 (x, y, v1 , . . . , vn )), øêàëû G = (W G , RG , v1G , . . . , vnG ) è F = (W F , RF , v1F , . . . , vnF ),
G
è ìèíèìàëüíóþ ôèëüòðàöèþ f : W
→ W F , òàêóþ, ÷òî f (viG ) = viF äëÿ 1 ≤ i ≤ n. ÏðåäïîëîF
F
F
G
G
è
æèì, ÷òî G |= ψ(v1 , . . . , vn ), íî F 6|= φ(v1 , . . . , vn ). Ïîñëåäíåå çíà÷èò, ÷òî íàéäóòñÿ òî÷êè x
F
F F F
0 F
F
F
F
y , òàêèå, ÷òî x R y è F 6|= ψ (x , y , v1 , . . . , vn ). Òîãäà, òàê êàê f ìèíèìàëüíàÿ ôèëüòðàG G
öèÿ, òî íàéäóòñÿ òàêèå òî÷êè x , y
∈ W G , ÷òî xG RG y G , è f (xG ) = xF , f (y G ) = y F . Íî òàê êàê
G
G
0 G G G
G |= ψ(v1 , . . . , vn ), òî G |= ψ (x , y , v1 , . . . , vnG ), à îòñþäà, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè äëÿ ψ 0 ,
F |= ψ 0 (xF , y F , v1F , . . . , vnF ). Ïðîòèâîðå÷èå.
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, ñîõðàíÿþùàÿñÿ ïðè ôèëüòðàöèÿõ. Ïóñòü
F P C(φ) = {ψ | ψ ∈ F P, ψ çàìêíóòà, φ |= ψ}. Ïîêàæåì, ÷òî F P C(φ) |= φ. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå.
B
B
Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàøëàñü òàêàÿ ðåëÿöèîííàÿ ñòðóêòóðà B = (W , R ), ÷òî B |= F P C(φ) è B |= ¬φ.
Ðàññìîòðèì òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà
T = {φ} ∪ {ψ | ψ ∈ ¬F P, ψ
T
çàìêíóòà, B
|= ψ}.
P C ` φ → ¬ψ1 ∨ . . . ∨ ¬ψn , äëÿ íåêîòîðûõ ôîðìóë ψi ,
B |= ψi , îòêóäà ¬ψ1 ∨ . . . ∨ ¬ψn ∈ F P C(φ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
íåïðîòèâîðå÷èâà: â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
òàêèõ ÷òî äëÿ êàæäîãî
i ψi ∈ ¬F P
è
B |= F P C(φ).
A ìîäåëü äëÿ T . Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ A FP B . Îòñþäà ïî Ëåììe 4 ñóùåñòâóþò ýëåìåí∗
∗
∗
∗
òàðíûå ðàñøèðåíèÿ A ≺ A è B ≺ B è ìèíèìàëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ f : A → B . À òàê êàê A |= φ,
∗
∗
òî A |= φ, B |= φ è B |= φ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî B |= ¬φ. 2
òîìó, ÷òî
Ïóñòü
4
Çàêëþ÷åíèå
 ýòîé ðàáîòå ìû îòòîëêíóëèñü îò îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíûõ ôèëüòðàöèé èç ìîäàëüíîé ëîãèêè,
ïîëó÷èëè êëàññ ìîðôèçìîâ ðåëÿöèîííûõ ñòðóêòóð è îïèñàëè ñèíòàêñè÷åñêè ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè èíâàðèàíòíûå ôîðìóëû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ìû íàäååìñÿ, ÷òî ýòî íàáëþäåíèå ïîìîæåò
îïèñàòü âñå ìîäàëüíûå ôîðìóëû, äîïóñêàþùèå ìèíèìàëüíûå ôèëüòðàöèè, è ïîñòðîèòü íîâûå ðàçðåøèìûå ìîäàëüíûå ëîãèêè.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. N. Alechina and Y. Gurevich. Syntax vs. semantics on nite structures. In Structures in logic and computer
science, pages 1433. Springer, 1997.
2. J. van Benthem. Modal correspondence theory. PhD thesis, University of Amsterdam, 1977.
3. N. Bezhanishvili and B. ten Cate. Transfer results for hybrid logic. Part I: The case without satisfaction
operators. J. of Logic and Computation, 16(2):177197, 2006.
638
4. C. Chang and J. Keisler. Model theory. Elsevier, 1990.
5. C. Chang. On unions of chains of models. Proceedings of the American Mathematical Society, 10(1):120127,
1959.
6. D. Gabbay, I. Shapirovsky, and V. Shehtman. Products of modal logics and tensor products of modal algebras.
Journal of Applied Logic, 2014. To appear.
7. I. Hodkinson. Hybrid formulas and elementarily generated modal logics. Notre Dame Journal of Formal
Logic, 47(4):443478, 2006.
8. A. Horn. On sentences which are true of direct unions of algebras. The Journal of Symbolic Logic, 16(01):14
21, 1951.
9. S. Kikot. A dichotomy for some elementarily generated modal logics. Studia Logica, to appear, 2015.
10. S. Kikot, I. Shapirovsky, and E. Zolin. Filtration safe operations on frames. In Advances in Modal Logic,
volume 10, pages 326330, Milton Keynes, UK, 2014. College Publication.
11. S. Kikot and E. Zolin. Modal denability of rst-order formulas with free variables and query answering.
Journal of Applied Logic, 11(2):190216, 2013.
12. J. Los. On the extending of models (i). Fundamenta Mathematicae, 42(1):3854, 1955.
13. C. Lutz, R. Piro, and F. Wolter. Description logic TBoxes: Model-theoretic characterizations and rewritability.
In IJCAI 2011, Proceedings of the 22nd International Joint Conference on Articial Intelligence, Barcelona,
Catalonia, Spain, July 16-22, 2011, pages 983988, 2011.
14. R. Lyndon. Properties preserved under algebraic constructions. Bulletin of the American Mathematical
Society, 65(5):287299, 1959.
15. À. Ìàëüöåâ. Î ïðîèçâîäíûõ îïåðàöèÿõ è ïðåäèêàòàõ. Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, òîì 116, ñòð. 2427, 1957.
16. E. Rosen. Modal logic over nite structures. Journal of Logic, Language and Information, 6(4):427439, 1997.
17. B. Rossman. Homomorphism preservation theorems. Journal of the ACM (JACM), 55(3):15, 2008.
18. K. Segerberg. Decidability of four modal logics. Theoria, 34:2125, 1968.
19. À. Òàéìàíîâ. Õàðàêòåðèñòèêà àêñèîìàòèçèðóåìûõ êëàññîâ ìîäåëåé. I. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì.,
25(4):601620, 1961.
20. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II. 1954.
639