Ëåêöèÿ 7. Îáîãàù¼ííûå êàòåãîðèè. À. Þ. Ôåòèñîâ 24 àïðåëÿ 2012 ã. Ñîäåðæàíèå 1 Ìîíîèäàëüíî çàìêíóòûå êàòåãîðèè. 1 2 Âíóòðåííèé hom. 3 3 Îáîãàù¼ííûå êàòåãîðèè. 5 4 Íåîáû÷íàÿ åñòåñòâåííîñòü. 9  ïðîøëûé ðàç ìû ââåëè êàòåãîðèþ êîìïàêòíî ïîðîæä¼ííûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. ż ïðåèìóùåñòâî, ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûìè òîïîëîãè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè, â òîì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâî çàìêíóòîé, è ëþáîå ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé ñàìî ïðèîáðåòàåò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.  ýòîò ðàç ìû ðàññìîòðèì ýëåìåíòû îáùåé òåîðèè êàòåãîðèé ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé íà ìíîæåñòâàõ ìîðôèçìîâ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ýòîò ñëó÷àé ìîæíî ïåðåíåñòè ôàêòè÷åñêè âñå ñòðóêòóðû îáû÷íûõ êàòåãîðèé. 1 Ìîíîèäàëüíî çàìêíóòûå êàòåãîðèè. Ìîíîèäàëüíàÿ êàòåãîðèÿ ýòî êàòåãîðèÿ V , ñíàáæ¼ííàÿ áèôóíêòîðîì ⊗ : V ×V → V (òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå), òàê ÷òî Îïðåäåëåíèå 1. 1. ⊗ àññîöèàòèâåí ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà, ò. å. çàäàí åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì αA,B,C : (A ⊗ B)⊗ C ' A ⊗ (B ⊗ C); 2. çàäàí îáúåêò I ∈ V (ìîíîèäàëüíàÿ åäèíèöà ) è åñòåñòâåííûå ïî X èçîìîðôèçìû lX : I ⊗ X ' X , rX : X ⊗ I ' X ; 3. ñëåäóþùèå äèàãðàììû êîììóòàòèâíû: (a) òîæäåñòâî ïÿòèóãîëüíèêà: ((W ⊗ X) ⊗ Y ) ⊗ Z / (W ⊗ X) ⊗ (Y ⊗ Z) α α / W ⊗ (X ⊗ (Y ⊗ Z)) O α⊗1 1⊗α (W ⊗ (X ⊗ Y )) ⊗ Z / W ⊗ ((X ⊗ Y ) ⊗ Z) α (b) α (X ⊗ I) ⊗ Y & x X ⊗Y r⊗1 / X ⊗ (I ⊗ Y ) 1⊗l Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ[1, ãëàâà 7], ÷òî ëþáîå ïðîèçâåäåíèå íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê è äîáàâëåíèÿ åäèíèö ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà. 1 Ïðèìåð 1. 1. Ëþáàÿ êàòåãîðèÿ ñ êîíå÷íûìè ïðîèçâåäåíèÿìè ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäàëüíîé, ⊗ = ×, I = 1. ` 2. Àíàëîãè÷íî äëÿ ëþáîé êàòåãîðèè ñ êîïðîèçâåäåíèÿìè: ⊗ = , I = 0. 3. Êàòåãîðèÿ R-ìîäóëåé ìîíîèäàëüíà, äëÿ ëþáîãî êîëüöà R. Ïðè ýòîì ⊗ åñòü òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîäóëåé, à I = R. 4. Êàòåãîðèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ öåïíûõ êîìïëåêñîâ àáåëåâûõ ãðóïï èìååò ìîíîèäàëüíóþ ñòðóêòóðó, â êîòîðîé ⊗ åñòü òîòàëüíûé êîìïëåêñ áèêîìïëåêñà, ïîëó÷àþùåãîñÿ èç ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñîâ, à ìîíîèäàëüíàÿ åäèíèöà åñòü êîìïëåêñ ñ åäèíñòâåííîé íåíóëåâîé ãðóïïîé Z â íóëåâîé êîìïîíåíòå. Êàòåãîðèÿ íàçûâàåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé, åñëè äëÿ ëþáîãî Y ôóíêòîð · ⊗ Y èìååò ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé [Y, ·], åñòåñòâåííûé ïî Y , ò. å. èìååòñÿ åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì Îïðåäåëåíèå 2. V (X ⊗ Y, Z) ' V (X, [Y, Z]) Èíîãäà äëÿ êðàòêîñòè ìû áóäåì ïèñàòü Z Y âìåñòî [Y, Z]. Òàêæå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî [·, ·] ñîïðÿæ¼í ñïðàâà ê ⊗, ïîäðàçóìåâàÿ óêàçàííûé âûøå èçîìîðôèçì (à íå ñîïðÿæ¼ííîñòü êàê ôóíêòîðîâ A×A → A è A → A × A). Ïðèìåð 2. 1. Ìîíîèäàëüíî çàìêíóòàÿ êàòåãîðèÿ ñ êîíå÷íûìè ïðîèçâåäåíèÿìè è ⊗ = × íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâî çàìêíóòîé. Ïðèìåðàìè ÿâëÿþòñÿ Set è CGHaus. ` 2. Ìîíîèäàëüíàÿ êàòåãîðèÿ ⊗ = îáû÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé. 3. Äëÿ ëþáîãî êîëüöà R êàòåãîðèÿ R − mod ìîíîèäàëüíî çàìêíóòà. Ìíîæåñòâî ãîìîìîðôèçìîâ R-ìîäóëåé Hom (M, N ) ñàìî èìååò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó R-ìîäóëÿ, ïîýòîìó [·, ·] åñòü ìîäóëü ãîìîìîðôèçìîâ. 4. Êàòåãîðèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ öåïíûõ êîìïëåêñîâ ñ óêàçàííîé âûøå ñòðóêòóðîé ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé. 5. Êàòåãîðèÿ 2 = {0 → 1} ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîðÿäêîì, ñîîòâåòñòâóþùåå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî åñòü {0, 1} ñ 0 < 1.  íåé ⊗ = ∧ ìèíèìóì äâóõ ýëåìåíòîâ, à ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé îïåðàöèÿ èìïëèêàöèè ⇒, ïðè ýòîì a ∧ b 6 c ⇐⇒ a 6 b ⇒ c. 6. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ R+ . Ýòî ïðåäïîðÿäîê, îáúåêòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 0 6 x 6 +∞, à ìîðôèçì a → b ñóùåñòâóåò òîëüêî òîãäà, êîãäà a > b. Íà íåé çàäàí áèôóíêòîð + : R+ × R+ → R+ , íà îáúåêòàõ ÿâëÿþùèéñÿ ñëîæåíèåì ÷èñåë. Îí èìååò ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé [·, ·], çàäàííûé ïî ïðàâèëó [t, s] = max (s − t, 0). Óñëîâèå ñîïðÿæ¼ííîñòè ñïðàâà ïðè ýòîì ïðèíèìàåò âèä r + t > s ⇐⇒ r > [t, s] Êàòåãîðèÿ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìîíîèäàëüíîé, åñëè èìååòñÿ åñòåñòâåííûé èçîσ ìîðôèçì X ⊗ Y ' Y ⊗ X , òàêîé ÷òî êîììóòàòèâíû äèàãðàììû Îïðåäåëåíèå 3. X ⊗Y σ / Y ⊗X σ X ⊗Y (X ⊗ Y ) ⊗ Z α / X ⊗ (Y ⊗ Z) σ α σ⊗1 (Y ⊗ X) ⊗ Z / (Y ⊗ Z) ⊗ X α / Y ⊗ (X ⊗ Z) 2 1⊗σ / Y ⊗ (Z ⊗ X) / X ⊗I σ I ⊗X l # X { r Ïðèìåð 3. 1. Âñå ïðèâåä¼ííûå âûøå ïðèìåðû ìîíîèäàëüíûõ êàòåãîðèé ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè. 2. Ïðèìåð íåñèììåòðè÷íîé êàòåãîðèè: êàòåãîðèÿ ýíäîôóíêòîðîâ C C , ìîíîèäàëüíîé îïåðàöèåé íà êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè. F ⊗G=F ◦G Åñëè C ïîëíà, òî êàòåãîðèÿ ýíäîôóíêòîðîâ îêàçûâàåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé.  ñëó÷àå C = Set ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé îïèñûâàåòñÿ îñîáåííî ëåãêî. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà äîêàçàíà â ñëåäóþùåé ëåêöèè. Ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé îáîçíà÷àåòñÿ RanG è çàäà¼òñÿ íà îáúåêòàõ ïî ïðàâèëó (RanG T ) (x) = [Hom (x, G) , T ] 3. Ïðèìåð êàòåãîðèè ñ íåòðèâèàëüíûì èçîìîðôèçìîì ñèììåòðèè σ : êàòåãîðèÿ ñóïåðàëãåáð SAlg. ż îáúåêòû Z/2-ãðàäóèðîâàííûå àëãåáðû ñ ãðàäóèðîâàííî êîììóòàòèâíûì óìíîæåíèåì ab = (−1) |a||b| ba Çäåñü |a| = deg a. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñòðîèòñÿ êàê îáû÷íî, íî óìíîæåíèå â í¼ì äà¼òñÿ ôîðìóëîé |a ||b | (a1 ⊗ b1 ) (a2 ⊗ b2 ) = (−1) 2 1 a1 a2 ⊗ b1 b2 Èçîìîðôèçì σ äà¼òñÿ ôîðìóëîé a ⊗ b = (−1) |a||b| b⊗a |a||b| Êîýôôèöèåíò (−1) åäèíñòâåííûé, ñîâìåñòèìûé ñ óìíîæåíèåì â òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè è ñ óñëîâèåì ñóïåðêîììóòàòèâíîñòè. Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèììåòðè÷íóþ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòóþ êàòåãîðèþ V . 2 Âíóòðåííèé hom. Áèôóíêòîð [·, ·], ñîïðÿæ¼ííûé ñïðàâà ê ⊗, íàçûâàþò ÷àñòî âíóòðåííèì hom-ôóíêòîðîì. Ýòî íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ åãî ñâîéñòâàìè, ôîðìàëüíî ñëåäóþùèìè èç óñëîâèé ñîïðÿæ¼ííîñòè è àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé X Y . Äîêàæåì íåêîòîðûå èç íèõ. Ïðåäëîæåíèå 1. [A ⊗ B, C] ' [A, [B, C]], ò. å. åñëè ⊗ è [·, ·] ñîïðÿæåíû êàê ôóíêòîðû, òî îíè ñîV -ôóíêòîðû. ïðÿæåíû è ¾â îáîãàù¼ííîì ñìûñëå¿ êàê Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé, òðåòèé è ÷åòâ¼ðòûé èçîìîðôèçìû ïî îïðåäåëåíèþ. Âòîðîé èçîìîðôèçì àññîöèàòèâíîñòè äëÿ ⊗. 1 V (D, [A ⊗ B, C]) ' V (D ⊗ (A ⊗ B) , C) 2 ' V ((D ⊗ A) ⊗ B, C) 3 ' V (D ⊗ A, [B, C]) 4 ' Ïðåäëîæåíèå 2. Ôóíêòîð V (D, [A, [B, C]]) [·, ·] ñîõðàíÿåò ïðåäåëû ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, ò. å. [X, Lim F ] ' Lim [X, F ], [Colim F, Y ] ' Lim [F, Y ]. 3 Ïî âòîðîìó àðãóìåíòó óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ñîïðÿæ¼ííîñòè ñïðàâà. Ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåå: Äîêàçàòåëüñòâî. V (X, [Colim F, Y ]) 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' V (X ⊗ Colim F, Y ) V ((Colim F ) ⊗ X, Y ) V (Colim (F ⊗ X) , Y ) V (Colim X ⊗ F, Y ) 5 ' Lim V (X ⊗ F, Y ) 6 ' Lim V (X, [F, Y ]) 7 ' V (X, Lim [F, Y ]) Èçîìîðôèçìû 1, 6 ñîïðÿæ¼ííîñòü. Èçîìîðôèçìû 2, 4 ñëåäóþò èç ñèììåòðè÷íîñòè ⊗. Èçîìîðôèçì 3 ñëåäóåò èç ñîõðàíåíèÿ êîïðåäåëîâ ëåâûì ñîïðÿæ¼ííûì ôóíêòîðîì. Èçîìîðôèçìû 5, 7 ñëåäóþò èç ñîõðàíåíèÿ ïðåäåëîâ ïðåäñòàâèìûìè ôóíêòîðàìè. Èìååòñÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå (îòîáðàæåíèå îöåíêè) evA : [A, B] ⊗ A → B . Ýòî êîåäèíèöà ñîïðÿæåíèÿ · ⊗ A a [A, ·].  ñëó÷àå ôóíêòîðà × íà Set èëè òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîäóëåé ýòî îòîáðàæåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â âû÷èñëåíèè êàæäîé ôóíêöèè èç [A, B] â êàæäîé òî÷êå èç A. Èìååòñÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå (êîìïîçèöèÿ) ◦ : [B, C] ⊗ [A, B] → [A, C]. Îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà ñîïðÿæåíèÿ ñëåäóþùåé ñòðåëêè: 1⊗ev ev A B [B, C] ⊗ [A, B] ⊗ A −−−−→ [B, C] ⊗ B −−→ C evB ◦ (1 ⊗ evA ) ∈ ◦ ∈ V ([B, C] ⊗ [A, B] ⊗ A, C) V ([B, C] ⊗ [A, B] , [A, C]) Äâîéñòâåííîé ê íåé îòíîñèòåëüíî ñîïðÿæåíèÿ · ⊗ [A, B] a [[A, B] , ·] ÿâëÿåòñÿ ñòðåëêà [A, ·] : [B, C] → [[A, B] , [A, C]], àíàëîãè÷íî ïî ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ ïîëó÷àåì ñòðåëêó [·, C] : [A, B] → [[B, C] , [A, C]]. Ýòî âûðàæàåò V -ôóíêòîðèàëüíîñòü ôóíêòîðà [·, ·] ïî ïåðâîìó (êîíòðàâàðèàíòíî) è ïî âòîðîìó (êîâàðèàíòíî) àðãóìåíòó. Ñìûñë ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòåí, åñëè ðàññìîòðåòü V = Set è [·, ·] = Set (·, ·).  ýòîì ñëó÷àå óêàçàííûå ñòðåëêè ñòàíîâÿòñÿ õîðîøî çíàêîìûìè îïåðàöèÿìè êîìïîçèöèè è ïðåäêîìïîçèöèè ìîðôèçìîâ, çàäàþùèìè ñòðóêòóðó áèôóíêòîðà íà Set (·, ·).  ñëó÷àå V = Set ìîíîèäàëüíàÿ åäèíèöà åñòü îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî I = ∗, ïðè ýòîì ôóíêòîð Set (∗, ·) ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì äëÿ òîæäåñòâåííîãî ôóíêòîðà 1 : Set → Set è èìååò ñìûñë ôóíêòîðà ýëåìåíòîâ îáúåêòà. Äëÿ V = Cat ôóíêòîð Cat (∗, ·) åñòü ôóíêòîð îáúåêòîâ êàòåãîðèè, ò. å. çàáûâàþùèé ôóíêòîð Cat → Set. Àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìååò, ñêàæåì, ôóíêòîð T op (∗, ·) ýòî ïðåäñòàâëåíèå äëÿ def çàáûâàþùåãî ôóíêòîðà T op → Set, èëè ôóíêòîð Ab (Z, ·). Ïî àíàëîãèè, ìû íàçûâàåì ôóíêòîð V = V (I, ·) : V → Set ôóíêòîðîì ýëåìåíòîâ íà êàòåãîðèè V , èëè çàáûâàþùèì ôóíêòîðîì. Çàìåòèì, ÷òî èç ïîýëåìåíòíîãî ñîâïàäåíèÿ îáúåêòîâ A, B ∈ V íå ñëåäóåò èõ èçîìîðôèçì. Ýòî âèäíî óæå íà ïðèìåðå T op, ò. ê. íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå ìîæåò áûòü çàäàíà ðàçíàÿ òîïîëîãèÿ. Ïðåäëîæåíèå 3. V ([X, Y ]) = V (X, Y ). Äîêàçàòåëüñòâî. V ([X, Y ]) = V (I, [X, Y ]) 1 ' 2 ' V (I ⊗ X, Y ) V (X, Y ) Èçîìîðôèçì 1 ñëåäóåò èç ñîïðÿæ¼ííîñòè, 2 èç èçîìîðôèçìà X ' I ⊗ X . Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòû [X, Y ] äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè X → Y . Çàìåòèì, ÷òî [X, Y ] íåñ¼ò ãîðàçäî áîëüøå èíôîðìàöèè, ÷åì ïðîñòî ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ V (X, Y ) è íå âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî íåìó. Ìîæíî ââåñòè òàêæå ¾îáîãàù¼ííûé îáúåêò ýëåìåíòîâ¿ ïî ïðàâèëó Ξ (X) = [I, X]. Ýòî åñòü îáîãàù¼ííîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ òîæäåñòâåííîãî ôóíêòîðà â ñèëó ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ: 4 Ïðåäëîæåíèå 4. [I, X] ' X . Äîêàçàòåëüñòâî. V (Y, [I, X]) ' V (Y ⊗ I, X) ' V (Y, X) Ìû âèäèì, ÷òî â îòëè÷èå îò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî ôóíêòîðà ýëåìåíòîâ V , ôóíêòîð V -ýëåìåíòîâ Ξ ïîìíèò âñþ èíôîðìàöèþ îá îáúåêòå. Ïîëåçíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ÷àñòíûõ ïðèìåðàõ êàòåãîðèé Cat, CGHaus, Ab óêàçàííûå ñòðåëêè è èçîìîðôèçìû äåéñòâèòåëüíî èìåþò ñìûñë êîìïîçèöèé ìîðôèçìîâ. 3 Îáîãàù¼ííûå êàòåãîðèè.  îïðåäåëåíèè êàòåãîðèè ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîå ìåñòî çàíèìàåò êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ, ò. ê. âñå homôóíêòîðû ïðèíèìàþò â íåé çíà÷åíèÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îáùåé ôèëîñîôèè òåîðèè êàòåãîðèé, ò. ê. ñ å¼ òî÷êè çðåíèÿ êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ íå ôóíäàìåíòàëüíûì îáúåêòîì, à âñåãî ëèøü îäíîé èç ìíîãèõ êàòåãîðèé, õîòÿ è ÷ðåçâû÷àéíî õîðîøî óñòðîåííîé.  ÷àñòíîñòè, ñàìà êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ îïðåäåëåíà íå îäíîçíà÷íî, òàê æå, êàê âîçìîæíû ðàçíûå àêñèîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ, ïîòåíöèàëüíî ñ ðàçëè÷íûìè ñëåäñòâèÿìè. Òåì íå ìåíåå ÿñíî, ÷òî ïîäîáíûå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîíêîñòè íå äîëæíû âëèÿòü íà íàøè ýëåìåíòàðíûå ðåçóëüòàòû. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî îò âñåé êàòåãîðèè ìíîæåñòâ íàì íóæíà ëèøü íåçíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ñòðóêòóðû, à èìåííî äåêàðòîâà çàìêíóòîñòü.  áîëåå ïðàâèëüíîì ïîäõîäå ê òåîðèè êàòåãîðèé äîëæíà áûòü âîçìîæíà ëþáàÿ (äîñòàòî÷íî õîðîøàÿ) êàòåãîðèÿ çíà÷åíèé äëÿ Hom-ôóíêòîðà. Òàêàÿ òåîðèÿ èçó÷àåòñÿ â îáîãàù¼ííîé òåîðèè êàòåãîðèé. Ïîìèìî ëîãè÷åñêîé ñòðîéíîñòè, ïðåèìóùåñòâîì ÿâëÿåòñÿ ÿâíîå ýëåìåíòàðíîå îïèñàíèå äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðû, êîòîðóþ âîçìîæíî èñïîëüçîâàòü. Èìåííî ýòî ìû èñïîëüçîâàëè â ëåêöèè 6 ïðè ïîñòðîåíèè òåîðèè ãîìîòîïèé. Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå îáîãàù¼ííîé òåîðèè êàòåãîðèé ìîæíî íàéòè â êíèãå [2]. Îáðàùàþ âíèìàíèå, ÷òî íàøè îáîçíà÷åíèÿ íåñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ. Ïóñòü V ìîíîèäàëüíî çàìêíóòàÿ êàòåãîðèÿ. Êàòåãîðèÿ C íàçûâàåòñÿ îáîãàù¼ííîé V (èëè ïðîñòî V -êàòåãîðèåé ), åñëè çàäàí áèôóíêòîð C [·, ·] : C op × C → V , îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè M : C [B, C] ⊗ C [A, B] → C [A, C], àññîöèàòèâíàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî åñòåñòâåííîãî èçîìîðôèçìà, è äëÿ êàæäîãî îáúåêòà A ∈ C ìîðôèçì jA : I → C [A, A] (åäèíè÷íàÿ ñòðåëêà ), ÿâëÿþùàÿñÿ åäèíèöåé îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè M ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî êîììóòàòèâíû ñëåäóþùèå äèàãðàììû: Îïðåäåëåíèå 4. íàä / C [C, D] ⊗ (C [B, C] ⊗ C [A, B]) α (C [C, D] ⊗ C [B, C]) ⊗ C [A, B] M ⊗1 1⊗M C [B, D] ⊗ C [A, B] C [C, D] ⊗ C [A, C] M ) M C [B, B] ⊗ C [A, B] O j⊗1 l I ⊗ C [A, B] C [A, D] M u / C [A, B] o 6 h M C [A, B] ⊗ C [A, A] O r 1⊗j C [A, B] ⊗ I Åñëè ÿñíî, î êàêîé êàòåãîðèè èä¼ò ðå÷ü, òî ìû áóäåì äëÿ êðàòêîñòè ïèñàòü [A, B] âìåñòî C [A, B]. Ïðèìåð 4. 1. Ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòàÿ êàòåãîðèÿ V ÿâëÿåòñÿ V -êàòåãîðèåé. 5 2. Êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííûå íàä êàòåãîðèåé àáåëåâûõ ãðóïï Ab, íàçûâàþò àääèòèâíûìè. Òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííûå íàä ëþáîé êàòåãîðèåé ìîäóëåé R-M od. Î íèõ òàêæå çà÷àñòóþ ãîâîðÿò êàê îá àääèòèâíûõ, ìîë÷àëèâî ïîäðàçóìåâàÿ ñòðóêòóðó R-ìîäóëåé íà îáúåêòàõ ìîðôèçìîâ çàäàííîé. 3. Òîïîëîãè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ ýòî êàòåãîðèÿ, îáîãàù¼ííàÿ íàä CGHaus. Òàêèå êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ îáùèì êîíòåêñòîì äëÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè ãîìîòîïèé. Çàìåòèì, ÷òî îíè íå ìîäåëèðóþò íåêîòîðûå òîíêèå ãîìîòîïè÷åñêèå ýôôåêòû, ïîýòîìó â ñîâðåìåííîé òåîðèè ãîìîòîïèé èõ ñòðåìÿòñÿ çàìåíèòü ïîíÿòèåì ∞-êàòåãîðèé, êîòîðûå ìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàåì. 4. Ëþáîé ïðåäïîðÿäîê èìååò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííîé íàä êàòåãîðèåé 2 = {0 → 1}. Ïóñòûì hom-ìíîæåñòâàì ñîîòâåòñòâóåò îáúåêò 0 ∈ 2, à íåïóñòûì îáúåêò 1 ∈ 2. Íàëè÷èå îïåðàöèé êîìïîçèöèè ñâîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó ôàêòó 0 ⇒ 1, 1 ⇒ 1, 0 ⇒ 0, 1 6⇒ 0. 5. Êàòåãîðèÿ M, îáîãàù¼ííàÿ íàä R+ , ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè a äî òî÷êè b ïðè ýòîì åñòü M (a, b). Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà M (a, b) + M (b, c) > M (a, c) ïðè ýòîì åñòü â òî÷íîñòè óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîìïîçèöèè.  îòëè÷èå îò îáû÷íûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, äëÿ òàêèõ êàòåãîðèé íå îáÿçàòåëüíà ñèììåòðè÷íîñòü ìåòðèêè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ðàçëè÷íûìè òî÷êàìè ìîæåò áûòü ðàâíî íóëþ. Îäíàêî äëÿ òåîðèè êàòåãîðèé â ýòîì íåò íè÷åãî ïëîõîãî: ðàçíûå îáúåêòû âïîëíå ìîãóò áûòü èçîìîðôíû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îáùåé ôèëîñîôèè. Íåñèììåòðè÷íîñòü ìåòðèêè æå íåñ¼ò ñóùåñòâåííóþ ÷àñòü èíôîðìàöèè î êàòåãîðèè. Êðîìå òîãî, áîëüøèíñòâî ñòàíäàðòíûõ êîíñòðóêöèé ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ èçíà÷àëüíî äàþò íåñèììåòðè÷íóþ ìåòðèêó, êîòîðóþ ïîòîì äîïîëíèòåëüíî ñèììåòðèçóþò. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè êàòåãîðèé, òàêèå ïðîñòðàíñòâà êàê ìèíèìóì ñòîëü æå õîðîøè, êàê è êëàññè÷åñêèå. Îíè íàçûâàþòñÿ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè Ëîâåðà (F. W. Lawvere, [3]). 6. 2-êàòåãîðèÿ ýòî êàòåãîðèÿ A, îáîãàù¼ííàÿ íàä Cat. Ìîðôèçìû â îáúåêòàõ A (X, Y ) íàçûâàþòñÿ 2-ìîðôèçìàìè ìåæäó X è Y , à îáúåêòû 1-ìîðôèçìàìè. Òàê êàê â A èìåþòñÿ íå òîæäåñòâåííûå èçîìîðôèçìû ìåæäó ìîðôèçìàìè, òî â íåé èìåþò ñìûñë ïîíÿòèÿ ñîïðÿæ¼ííîñòè 1-ìîðôèçìîâ è ýêâèâàëåíòíîñòè îáúåêòîâ A, òàê æå êàê è äëÿ êàòåãîðèé. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ òåîðèÿ ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêòîðîâ èñïîëüçóåò åñòåñòâåííóþ 2-êàòåãîðíóþ ñòðóêòóðó íà Cat. 2-êàòåãîðèè òàêæå èãðàþò ðîëü â òåîðèè ãîìîòîïèé, ãäå 2-ìîðôèçìû èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê ãîìîòîïèè ìåæäó 1ìîðôèçìàìè. Çàìå÷àíèå 1. Ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå ñëàáóþ âåðñèþ ïîíÿòèÿ 2-êàòåãîðèè, íàçûâàåìóþ îáû÷íî áèêàòåãîðèÿ. Ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû äèàãðàììû, âõîäÿùèå â îïðåäåëåíèå îáîãàù¼ííîé êàòåãîðèè, áûëè êîììóòàòèâíû ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè êàòåãîðèé, èëè â íåêîòîðîì äðóãîì ñëàáîì ñìûñëå. Òàêîé ïîäõîä áîëüøå ñîîòâåòñòâóåò äóõó òåîðèè êàòåãîðèé, â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì áèêàòåãîðèè èãðàþò áî ëüøóþ ðîëü, ÷åì 2-êàòåãîðèè. Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæèòü: ðàññìîòðåòü 3-êàòåãîðèè, ò. å. êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííûå íàä 2-êàòåãîðèÿìè, è â îáùåì ñëó÷àå n-êàòåãîðèè è äàæå ∞-êàòåãîðèè, êàê ïðåäåë ïðè n → ∞. Òàê êàê ïðè ýòîì îñíîâíóþ ðîëü íà÷èíàåò èãðàòü êîììóòàòèâíîñòü äèàãðàìì ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî èçîìîðôèçìà, òî â íåêîòîðûõ èñòî÷íèêàõ ãîâîðÿ î 2-êàòåãîðèÿõ ïîäðàçóìåâàþò òî, ÷òî ìû íàçâàëè áèêàòåãîðèÿìè. Îïðåäåëåíèå 5. V -ôóíêòîð T : A → B ìåæäó äâóìÿ V -êàòåãîðèÿìè ñîñòîèò èç îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ îáúåêòîâ T : Ob A → Ob B è îáúåêòîâ ìîðôèçìîâ TA,B : A [A, B] → B [T A, T B] òàê ÷òî êîììóòàòèâíû ñëåäóþùèå äèàãðàììû: A [B, C] ⊗ A [A, B] M T ⊗T B [T B, T C] ⊗ B [T A, T B] 6 / A [A, C] T M / B [T A, T C] A [A, B] : j I T j $ B [T A, T B] Ñìûñë ýòèõ äèàãðàìì ñòàíîâèòñÿ ÿñåí ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ê íèì ôóíêòîðà V . Íà ìîðôèçìàõ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêòîð ïåðåâîäèò êîìïîçèöèþ ìîðôèçìîâ â êîìïîçèöèþ è ñîõðàíÿåò åäèíè÷íûå ñòðåëêè. Åù¼ ðàç ïîä÷åðêíó, ÷òî óñëîâèå V -ôóíêòîðèàëüíîñòè ãîðàçäî ñèëüíåå, ÷åì ïðîñòî ôóíêòîðèàëüíîñòü, è ìîæíî ïðèäóìàòü ðàçíûå V -ôóíêòîðû, êîòîðûå áóäóò ñîâïàäàòü ïîòî÷å÷íî íà ìîðôèçìàõ. Íàïðèìåð, äëÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé êàòåãîðèè Cat ëþáîé Catýíäîôóíêòîð ñîñòîèò èç ôóíêòîðîâ ìåæäó ðàçëè÷íûìè êàòåãîðèÿìè ìîðôèçìîâ, íî äâà ðàçëè÷íûõ ôóíêòîðà ìîãóò ñîâïàäàòü íà îáúåêòàõ êàòåãîðèé Cat (A, B). Ïðèìåð 5. 1. V -ôóíêòîð ìåæäó 2-îáîãàù¼ííûìè êàòåãîðèÿìè òî æå ñàìîå, ÷òî è ôóíêòîð ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðåäïîðÿäêàìè. 2. V -ôóíêòîð ìåæäó àääèòèâíûìè êàòåãîðèÿìè íàçûâàåòñÿ àääèòèâíûì ôóíêòîðîì. 3. V -ôóíêòîð ìåæäó R+ -îáîãàù¼ííûìè êàòåãîðèÿìè ñîîòâåòñòâóåò îòîáðàæåíèþ ìåòðè÷åñêèõ ïðîop ñòðàíñòâ, íå óâåëè÷èâàþùåìó ðàññòîÿíèå. Êàòåãîðèÿ V -ôóíêòîðîâ V M äëÿ R+ -êàòåãîðèé ýòî êàòåãîðèÿ ôóíêöèé, íå óâåëè÷èâàþùèõ ðàññòîÿíèå. Îáúåêòû V -åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàop íèé íàäåëÿþò V M ñòðóêòóðîé ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåòðèêà åñòü sup ìåòðèêà íà ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé: op V M [F, G] = sup V [F x, Gx] , F, G : M → V x∈M Äëÿ îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé âåðåí îáîãàù¼ííûé âàðèàíò ëåììû Éîíåäû. Îäíî èç å¼ ñëåäñòâèé: op ôóíêòîð M → V M , a 7→ [·, a] ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ïîëíûì âëîæåíèåì. Äëÿ V = R+ ýòî çíà÷èò, op ÷òî ëþáîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M èçîìåòðè÷åñêè âêëàäûâàåòñÿ â êàòåãîðèþ V M . Áîëåå op òîãî, áèôóíêòîðû +, × : R+ × R+ → R+ íàäåëÿþò V M ñòðóêòóðîé ïîëóêîëüöà (íåò îáðàòíîãî ïî ñëîæåíèþ). Çàìå÷àíèå 2. Ïðåäûäóùèé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò îáùèé ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè ìåæäó ïðîop ñòðàíñòâàìè (êàòåãîðèÿìè) è êîëüöàìè ôóíêöèé íà íèõ (êàòåãîðèé ôóíêòîðîâ V A ). Ýòà äâîéñòâåííîñòü ëåæèò â îñíîâå ñîâðåìåííîé àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ×àñòíîé å¼ ôîðìàëèçàöèåé ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñõåìû â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè, ïîÿñíèì op å¼ äëÿ êàòåãîðèé. Êàòåãîðèÿ  = V A íàçûâàåòñÿ êàòåãîðèåé V -ïðåäïó÷êîâ íà A. Ïóñòü íà V åñòü êîíå÷íûå êîïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà èìåþòñÿ äâà àññîöèàòèâíûõ ñèììåòðè÷íûõ áèôóíêòîðà + : A ⊗ A → A, ⊗ : A ⊗ A → A. Ò. ê. ⊗ ñîõðàíÿåò êîïðåäåëû, òî âåðíà äèñòðèáóòèâíîñòü (A + B) ⊗ C ' A ⊗ C + B ⊗ C . Âîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêòîð + íå îáÿçàí èìåòü îáðàòíîãî (ñëîæåíèå íå îáðàòèìî), ïîýòîìó ïîëó÷åííàÿ ñòðóêòóðà íà V íå êîëüöî, à ïîëóêîëüöî. Çàìåòèì, ÷òî âñå ñòàíäàðòíûå àêñèîìû ïîëóêîëüöà ïðè ýòîì âûïîëíåíû ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Ýòî åñòåñòâåííîå òåîðåòèêî-êàòåãîðíîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé àëãåáðû. + è ⊗ çàäàþò íà êàòåãîðèÿõ ïðåäïó÷êîâ åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó ïîëóêîëüöà ñ ïîòî÷å÷íûìè îïåðàöèÿìè. Ýòî àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ êîëüöà ôóíêöèé íà ïðîñòðàíñòâå ïî êîëüöó ÷èñåë. Çàìåòèì, ÷òî ðàçíûå êàòåãîðèè ìîãóò èìåòü îäíó è òó æå êàòåãîðèþ ïðåäïó÷êîâ. Êëàññè÷åñêèì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ ñîâïàäåíèå êîëåö íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è åãî ïîïîëíåíèè. Ñîîòâåòñòâåííî, ïðî êàòåãîðèè A è B , òàêèå ÷òî  ' B̂ , ãîâîðÿò, ÷òî îíè èìåþò îäèíàêîâîå ïîïîëíåíèå ïî Êîøè.  àëãåáðå àíàëîãè÷íûì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ïî Ìîðèòå. Äëÿ ëþáîé V -êàòåãîðèè A ñóùåñòâóåò òàêàÿ V -êàòåãîðèÿ Ā, ÷òî  ' B̂ ⇐⇒ Ā ' B̄ Ñîîòâåòñòâåííî, V -êàòåãîðèþ Ā íàçûâàþò ïîïîëíåíèåì ïî Êîøè V -êàòåãîðèè A.  ñëó÷àå V = R+ ýòî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó ïîïîëíåíèþ ïî Êîøè ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. 7 Îïðåäåëåíèå 6. V -ôóíêòîð T ñòðîãî ïîëíûé, åñëè âñå TA,B ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôèçìàìè. Òàê æå êàê è ìåæäó îáû÷íûìè ôóíêòîðàìè, ìåæäó V -ôóíêòîðàìè èìåþòñÿ V -åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îáúåêò V -åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû îïðåäåëèì ïîçäíåå. Ñåé÷àñ îïèøåì åãî ýëåìåíòû. Îïðåäåëåíèå 7. V -åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå α : T → S ìåæäó V -ôóíêòîðàìè ýòî íàáîð ìîðôèçìîâ αA : T A → SA, òàêîé ÷òî êîììóòàòèâíû âñå äèàãðàììû âèäà T A [A, B] / B [T A, T B] B[T A,αB ] S B [SA, SB] / B [T A, SB] B[αA ,SB] Çäåñü A [A, B] åñòü âíóòðåííèé Hom â êàòåãîðèè A, àíàëîãè÷íî äëÿ B . Ñîãëàñíî 3, ìû îòîæäåñòâαB SB è αB : I → B [T B, SB]. Ñòðåëêè B [T A, αB ] è B [αA , SB] çàäàþòñÿ êàê êîìïîëÿåì ñòðåëêè T B −−→ çèöèè α B[T A,·] α B[·,SB] B B [T B, SB] −−−−−→ B [B [T A, T B] , B [T A, SB]] B [T A, αB ] : I −−→ A B [αA , SB] : I −−→ B [T A, SA] −−−−−→ B [B [SA, SB] , B [T A, SB]] ãäå B [T A, ·] è B [·, SB] îïèñàíû ðàíåå2. Äëÿ ïðîÿñíåíèÿ ñìûñëà îïðåäåëåíèÿ ðàññìîòðèì äèàãðàììó ïîýëåìåíòíî.  ýòîì ñëó÷àå èìååì äèàãðàììó îáû÷íûõ ôóíêòîðîâ T A (A, B) S B (SA, SB) / B (T A, T B) B(T A,αB ) / B (T A, SB) B(αA ,SB) Êîììóòàòèâíîñòü ýòîé äèàãðàììû ýêâèâàëåíòíà êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû TA αA / SA αB / SB Tf TB Sf Äåéñòâèòåëüíî, êîìïîçèöèÿ âåðõíèõ ñòðåëîê ïåðåâîäèò ýëåìåíò f ∈ A (A, B) â ýëåìåíò αB ◦ T f ∈ B (T A, SB), à íèæíèõ â ýëåìåíò Sf ◦ αA ∈ B (T A, SB). Êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû ââîäÿòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì, êàê ôóíêòîðû íà äâîéñòâåííîé êàòåãîðèè. V -êàòåãîðèÿ Aop , äâîéñòâåííàÿ ê V -êàòåãîðèè A, îïðåäåëÿåòñÿ êàê êàòåãîðèÿ ñ òåìè æå îáúåêòàìè è ïðîñòðàíñòâàìè ìîðôèçìîâ Îïðåäåëåíèå 8. def Aop [X, Y ] = A [Y, X] Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ôóíêòîðîâ îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå V -êàòåãîðèé, ïîäîáíî òîìó, êàê îáû÷íûé ôóíêòîð îò äâóõ ïåðåìåííûõ åñòü ôóíêòîð íà ïðîèçâåäåíèè êàòåãîðèé A × B .  êîíòåêñòå V -êàòåãîðèé îïðåäåëåíèå äîëæíî áûòü ñôîðìóëèðîâàíî â òåðìèíàõ ìîíîèäàëüíîé ñòðóêòóðû íà A è B . Ïðîèçâåäåíèå V -êàòåãîðèé A ⊗ B ýòî V -êàòåãîðèÿ, ìíîæåñòâîì îáúåêòîâ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ Ob A ⊗ B = (Ob A) ⊗ (Ob B), à hom-îáúåêòû äàþòñÿ ïî ïðàâèëó Îïðåäåëåíèå 9. [(A, B) , (A0 , B 0 )] = [A, A0 ] ⊗ [B, B 0 ] j(A,B) r jA ⊗jB Åäèíè÷íûé ìîðôèçì I −−−−→ [(A, B) , (A, B)] åñòü êîìïîçèöèÿ I ' I ⊗ I −−−−→ [A, A] ⊗ [B, B]. 8 Åñëè êàòåãîðèè A è B ñèììåòðè÷íû, òî èõ ïðîèçâåäåíèå òîæå ñèììåòðè÷íî. Ñòàíäàðòíûå áèôóíêòîðû ⊗ è [·, ·] íà îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèÿõ ÿâëÿþòñÿ V -áèôóíêòîðàìè. Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ⊗ ÿâëÿåòñÿ V -áèôóíêòîðîì íà êàòåãîðèè A. Ïðåäëîæåíèå 5. Èìååòñÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå [X, Y ] ⊗ [X 0 , Y 0 ] → [X ⊗ X 0 , Y ⊗ Y 0 ] Ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà ñîïðÿæåíèÿ ýòî åñòü ñòðåëêà evX ⊗ev 0 X →Y ⊗Y0 ([X, Y ] ⊗ [X 0 , Y 0 ]) ⊗ [X ⊗ X 0 ] ' ([X, Y ] ⊗ X) ⊗ ([X 0 , Y 0 ] ⊗ X 0 ) −−−−−−− Äëÿ [·, ·] äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî, ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåë¼ííûõ ðàíåå 2 ìîðôèçìîâ [A, ·] è [·, A]. 4 Íåîáû÷íàÿ åñòåñòâåííîñòü. Ñòàíäàðòíîå ïîíÿòèå åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ µ : F → G, F, G : A → B îõâàòûâàåò íå âñå èíòåðåñíûå ñëó÷àè. Îíî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êîâàðèàíòíûå ôóíêòîðû (A → B ) è êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû (Aop → B ), íî ïëîõî ïîäõîäèò äëÿ ðàáîòû ñ ôóíêòîðàìè, èìåþùèìè êàê êîâàðèàíòíûå, òàê è êîíòðàâàðèàíòíûå ïåðåìåííûå. Íàïðèìåð, õîòåëîñü áû, ÷òîáû åäèíèöà è êîåäèíèöà ñîïðÿæåíèÿ âñåãäà áûëè åñòåñòâåííûìè ïî âñåì âõîäÿùèì â îïðåäåëåíèå ïåðåìåííûì. Äëÿ ñîïðÿæåíèÿ ·⊗A a [A, ·] ýòî âûðàæàëîñü áû â åñòåñòâåííîñòè îòîáðàæåíèÿ îöåíêè ev : [A, B] ⊗ A → B ïî ïåðåìåííûì A è B . Îáû÷íîå ïîíÿòèå åñòåñòâåííîñòè íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïîäîáíîå óòâåðæäåíèå. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ íîâîå îïðåäåëåíèå.  êíèãå [2] ýòî íàçûâàåòñÿ íåîáû÷íîé ( extraordinary ) åñòåñòâåííîñòüþ.  êíèãå [1] àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíàÿ åñòåñòâåííîñòü. Ôîðìàëüíî ýòî áîëåå îáùåå ïîíÿòèå, îäíàêî íà ïðàêòèêå ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ îáùíîñòü îáû÷íî íå îêóïàåòñÿ. Ïóñòü F : A ⊗ B → C V -ôóíêòîð. Îïðåäåëèì äåéñòâèå íà hom-îáúåêòàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ V ôóíêòîðîâ ïðè ôèêñèðîâàííûõ àðãóìåíòàõ êàê ñëåäóþùèå êîìïîçèöèè: jA ⊗1 T 1⊗jB T T (A, ·) : [B, B 0 ] ' I ⊗ [B, B 0 ] −−−→ [A, A] ⊗ [B, B 0 ] − → [T (A, B) , T (A, B 0 )] T (·, B) : [A, A0 ] ' [B, B 0 ] ⊗ I −−−→ [A, A0 ] ⊗ [B, B] − → [T (A, B) , T (A0 , B)] Ïóñòü K ∈ B , T : Aop ⊗ A → B áèôóíêòîð. Åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå èç K â T ýòî ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ βA : K → T (A, A), òàêîå ÷òî êîììóòàòèâíû âñå äèàãðàììû âèäà Îïðåäåëåíèå 10. A [A, B] T (A,·) / B [T (A, A) , T (A, B)] T (·,B) B [T (B, B) , T (A, B)] B[βB ,1] (4.1) B[βA ,1] / B [K, T (A, B)] Äâîéñòâåííî, åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå èç T â K ýòî ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ γA : T (A, A) → K , äåëàþùåå êîììóòàòèâíîé âñå äèàãðàììû âèäà A [A, B] T (B,·) / B [T (B, A) , T (B, B)] B[1,γB ] T (A,·) B [T (B, A) , T (A, A)] B[1,γA ] / B [T (B, A) , K] Äëÿ ñðàâíåíèÿ, íàïîìíèì äèàãðàììó äëÿ åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ α : P → S . A [A, B] / B [P A, P B] P B[P A,αB ] S B [SA, SB] B[αA ,SB] 9 / B [P A, SB] Âèäíî, ÷òî äèàãðàììà 4.1 ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íà. ż ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ¾ñåìåéñòâî åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç êîâàðèàíòíîãî ôóíêòîðà T (A, ·) â êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð T (·, B), åñòåñòâåííîå ïî A è B ¿. Îñîáî ïðîñòîé âèä îíà ïðèíèìàåò â ñëó÷àå B = V . Èñïîëüçóÿ èçîìîðôèçì hom-ìíîæåñòâ V (X, [Y, Z]) ' V (X ⊗ Y, Z) ' V (Y, [X, Z]) è ïðîâîäÿ ñòàíäàðòíûå ðàññóæäåíèÿ ñ êîìïîçèöèÿìè ìîðôèçìîâ, ìîæíî ïðèâåñòè äèàãðàììó åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èç K â T ê ýêâèâàëåíòíîìó âèäó βB / T (A, A) βA K T (B, B) ρAB / [A (A, B) , T (A, B)] σAB Çäåñü ρAB îáðàç ìîðôèçìà T (A, ·) : A (A, B) → [T (A, A) , T (A, B)] ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà V (A (A, B) , [T (A, A) , T (A, B)]) ' V (T (A, A) , [A (A, B) , T (A, B)]) Àíàëîãè÷íî, σAB îáðàç ìîðôèçìà T (·, B) : A (A, B) → [T (B, B) , T (A, B)]. Èìåííî ýòà äèàãðàììà áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ íàìè â äàëüíåéøåì. Çàìå÷àíèå 3. Ïðîèçâîëüíûé ôóíêòîð îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü, êàê ôóíêòîð T : Aop ⊗ A ⊗ B ⊗ C op → D. Çäåñü â êàòåãîðèè A ëåæàò ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå îäíîâðåìåííî êîâàðèàíòíî è êîíòðàâàðèàíòíî, â êàòåãîðèÿõ B è C op òîëüêî êîâàðèàíòíûå è êîíòðàâàðèàíòíûå ïåðåìåííûå, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíóþ êîìïîçèöèþ åñòåñòâåííûõ è íåîáû÷íî åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî ïðåîáðàçîâàíèå, åñòåñòâåííîå â îáîáù¼ííîì ñìûñëå. Èìåííî ýòî ìû áóäåì èìåòü ââèäó, ãîâîðÿ î åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ â äàëüíåéøåì. Íåîáû÷íàÿ åñòåñòâåííîñòü ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàòåëüíûì ïîíÿòèåì íå òîëüêî äëÿ îáîãàù¼ííûõ, íî è äëÿ îáû÷íûõ êàòåãîðèé. Ãîðàçäî áîëåå êðàòêîå ââåäåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñì. â [1, ãë. 9]. ß èçëîæèë åãî â áîëåå îáùåì êîíòåêñòå ñ öåëüþ ýëåìåíòàðíîãî ââåäåíèÿ â òåîðèþ îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé. Êðîìå òîãî, ïðè èñïîëüçîâàííîì âûøå ôîðìàëèçìå ðàññìîòðåíèå îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé íè÷óòü íå ñëîæíåå, ÷åì îáû÷íûõ, à åãî ïðèìåíåíèå ïðîÿñíÿåò ñòðóêòóðó êàòåãîðèé, ïîýòîìó íåò ïðè÷èí äîïîëíèòåëüíî îãðàíè÷èâàòü ñåáÿ. Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííîñòè, äàííîå âûøå, ÿâíî ïîçâîëÿåò óìåíüøåíèå è óâåëè÷åíèå ÷èñëà ïåðåìåííûõ â ôóíêòîðå. Ïðèâåä¼ì íåêîòîðûå ïðèìåðû. Ïðèìåð 6. 1. Ëþáîå åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå åñòåñòâåííî è â íîâîì ñìûñëå. 2. Âñå êàíîíè÷åñêèå ìîðôèçìû, âõîäÿùèå â îïðåäåëåíèå îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé, åñòåñòâåííû ïî âñåì ïåðåìåííûì. Íàïðèìåð, åñòåñòâåííû ñëåäóþùèå ìîðôèçìû: αA,B,C : (A ⊗ B) ⊗ C ' A ⊗ (B ⊗ C) V (X ⊗ Y, Z) ' V (X, [Y, Z]) ev : [A, B] ⊗ A → B ◦ : [B, C] ⊗ [A, B] → [A, C] [A, ·] : [B, C] → [[A, B] , [A, C]] jA : I → A [A, A] 3. Ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ βA : I → B (T A, SA) åñòåñòâåííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðåëêè βA : T A → SA îïðåäåëÿþò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå β : T → S . T 4. T ÿâëÿåòñÿ V -ôóíêòîðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðåëêè A [A, B] − → B [T A, T B] îïðåäåëÿþò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå. 10 5. Ïóñòü A, B êàòåãîðèè. Êîâàðèàíòíûé ôóíêòîð F : A → B ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áèôóíêòîð F : A × Aop → B , ïîñòîÿííûé, ïî êîíòðàâàðèàíòíîé ïåðåìåííîé. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë F , òî êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå Lim F → F ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì èç êîíñòàíòû Lim F â áèôóíêòîð F . Äâîéñòâåííîå óòâåðæäåíèå äëÿ êîïðåäåëà òàêæå âåðíî. Îáîáùåíèåì ýòîé êîíñòðóêöèè íà áèôóíêòîð, ñóùåñòâåííî çàâèñÿùèõ îò îáîèõ ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ êîíöîì ôóíêòîðà è áóäåò ðàññìîòðåíî â ñëåäóþùåé ëåêöèè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ñ. Ìàêëåéí. Êàòåãîðèè äëÿ ðàáîòàþùåãî ìàòåìàòèêà. ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2å edition, 2004. [2] G.M. Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Reprints in Theory and Applications of Categories, 2005. [3] F.W. Lawvere. Metric spaces, generalized logic, and closed categories. Reprints in TAC, 1:137, 2002. 11