Òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ òîðîâ íàä ôóíêöèîíàëüíûì ïîëåì è äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà. Êóáðàê Äìèòðèé Êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ ÷èñëîâîãî ïîëÿ K ñâÿçûâàåò ðîñò ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëà êëàññîâ è ðåãóëÿòîðà hK RK ñ ðîñòîì äèñêðèìèíàíòà DK . Öèìåðìàí â ñâîåé ñòàòüå [11] ñôîðìóëèðîâàë è äîêàçàë àíàëîã òåîðåìû Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä Q. Ýòà ðàáîòà îáîáùàåò ðåçóëüòàò Öèìåðìàíà íà ñëó÷àé ôóíêöèîíàëüíûõ ïîëåé. Òàêæå ìû äîêàçûâàåì íåêîòîðóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ñåìåéñòâà ïóëë-áýêîâ ôèêñèðîâàííîãî òîðà, è èç íå¼ âûâîäèì ãèïîòåçó ÊóíÿâñêîãîÖôàñìàíà, ïðåäïîëîæåííóþ èìè â ñòàòüå [5]. 1 Íàïîìèíàíèå îá àðèôìåòè÷åñêèõ òîðàõ 1.1 1.2 1.3 Àðèôìåòè÷åñêèå òîðû . . . . . . . . . . . . . Îãðàíè÷åíèå ñêàëÿðîâ . . . . . . . . . . . . . Èíâàðèàíòû àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ . . . . . 1.3.1 ×èñëî êëàññîâ hT . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wT . . . . . . . . . 1.3.3 L-ôóíêöèÿ è êâàçè-âû÷åò ρT . . . . . 1.3.4 Ìåðû è ÷èñëî Òàìàãàâû τT . . . . . . 1.3.5 Êâàçè-äèñêðèìèíàíò DT . . . . . . . . 1.3.6 Ôîðìóëà Øèðà äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ïîëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 3 Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà êëàññîâ è äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà 12 Êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ ÷èñëîâîãî ïîëÿ K ñâÿçûâàåò ðîñò ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëà êëàññîâ è ðåãóëÿòîðà hK RK ñ ðîñòîì äèñêðèìèíàíòà DK , ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïîëå K , íàïðèìåð íà îãðàíè÷åííîñòü åãî ðàçìåðíîñòè íàä K . Äëÿ ýòîãî, c îäíîé ñòîðîíû èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà Äèðèõëå äëÿ âû÷åòà äçåòà-ôóíêöèè ζK (s) â òî÷êå s = 1, à ñ äðóãîé ñòîðîíû îãðàíè÷èâàåòñÿ ðîñò L(χ, 1) äëÿ âñåõ íåòðèâèàëüíûõ õàðàêòåðîâ ãðóïïû Gal(K, Q). Öèìåðìàí â ñâîåé ñòàòüå [11] ñôîðìóëèðîâàë è äîêàçàë àíàëîã òåîðåìû Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä Q äëÿ ôèêñèðîâàííûõ ðàçìåðíîñòè òîðà è ñòåïåíè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ. Îí çàìåíèë ôîðìóëó Äèðèõëå íà íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíóþ ôîðìóëó Øèðà è 1 ïîêàçàë, ÷òî ïîÿâëÿþùèåñÿ â ýòîé ôîðìóëå íîâûå âåëè÷èíû òàêæå ðàñòóò íå ñëèøêîì áûñòðî. Ýòà ðàáîòà îáîáùàåò ðåçóëüòàò Öèìåðìàíà íà ñëó÷àé ôóíêöèîíàëüíûõ ïîëåé.  ôóíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå óäà÷íûé àíàëîã ðåçóëüòàòà ÁðàóýðàÇèãåëÿ äà¼òñÿ ôîðìóëîé Öôàñìàíà-Âëýäóöà [1, 3.2]. Èñïîëüçóÿ åå, ìîæíî óñïåøíî àäàïòèðîâàòü ðàññóæäåíèÿ Öèìåðìàíà äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîëåé, ÷òî è äåòàëüíî ðàçáèðàåòñÿ â ýòîé ðàáîòå. Äàëåå ìû äîêàçûâàåì äðóãîé àñèìïòîòè÷åñêèé ðåçóëüòàò, â îáùåì-òî èìåþùèé ñòîëüêî æå ïðàâ íàçûâàòüñÿ òåîðåìîé Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ òîðîâ, ñêîëüêî ðåçóëüòàò Öèìåðìàíà. À èìåííî, äîêàçûâàåòñÿ ãèïîòåçà ÊóíÿâñêîãîÖôàñìàíà, ïðåäïîëîæåííàÿ èìè â ñòàòüå [5]. Äëÿ ýòîãî ìû, èñïîëüçóÿ Ql ïó÷êè íà êðèâûõ, äîêàçûâàåì àñèìïîòè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ L-ôóíêöèè è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Øèðà, âûâîäèì èç íå¼ àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ïðî òîðû (ôîðìóëà (12)), èç êîòîðîãî óæå ñëåäóåò óïîìèíàåìàÿ ãèïîòåçà.  ïåðâîé ÷àñòè äà¼òñÿ êðàòêîå, íî ïî âîçìîæíîñòè ìàêñèìàëüíî èíôîðìàòèâíîå íàïîìèíàíèå î òîðàõ. Áîëüøîå ñïàñèáî Ëåøå Çûêèíó è Ìèøå Ôèíêåëüáåðãó çà ìíîæåñòâî êðàéíå ïîëåçíûõ äëÿ ìåíÿ áåñåä, áåç êîòîðûõ ÿ ñîâåðøåííî òî÷íî íè÷åãî áû íå ñäåëàë. Âñå êðèâûå â òåêñòå áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ ãëàäêèìè ïðîåêòèâíûìè, K áóäåò îáîçíà÷àòü ñåïåðàáåëüíîå çàìûêàíèå ïîëÿ K , è âñå ðàñøèðåíèÿ, èçîãåíèè, è ò.ä., äëÿ ïðîñòîòû òàêæå áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ ñåïåðàáåëüíûìè. Âñå èñïîëüçóåìûå óòâåðæäåíèÿ âðîäå áû òàêæå ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû è íà íåñåïåðàáåëüíûé ñëó÷àé (ñì. [9]), íî âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé è âåðîÿòíûõ îøèáîê, âñå æå íå áóäåì åãî êàñàòüñÿ. 1 Íàïîìèíàíèå îá àðèôìåòè÷åñêèõ òîðàõ 1.1 Àðèôìåòè÷åñêèå òîðû Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà Gm íàä ïîëåì K ýòî àôôèííàÿ ãðóïîâàÿ ñõåìà, çàäàâàåìàÿ àëãåáðîé Õîïôà K[t, t−1 ] ñ êîåäèíèöåé ε : K[t, t−1 ] → K , ε(t) = 1, êîóìíîæåíèåì ∆ : K[t, t−1 ] → K[t, t−1 ]⊗K[t, t−1 ], ∆(t) = t⊗t, è àíòèïîäîì ι : K[t, t−1 ] → K[t, t−1 ], i(t) = t−1 . Êàê ñõåìà íàä K , Gm ïðîñòî èçîìîðôíà A1 {0}, à ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ýòà ñõåìà ÿâëÿåòñÿ â ñìûñëå ôóíêòîðà òî÷åê. À èìåííî, ôóíêòîð M èç êàòåãîðèè ñõåì íàä K â àáåëåâû ãðóïïû, îòïðàâëÿþùèé ñõåìó X â Γ(X, OX )× , ïðåäñòàâèì SpecK[t, t−1 ] (òî åñòü M (−) ∼ = MorK−Sch (−, SpecK[t, t−1 ])), à âûøå îïðåäåëåííûå êîåäèíèöà, êîóìíîæåíèå è àíòèïîä íà K[t, t−1 ] çàäàþò ôóíêòîðèàëüíûå ïî X åäèíèöó, óìíîæåíèå è îáðàòíûé ýëåìåíò â MorK−Sch (X, SpecK[t, t−1 ]), ñîâïàäàþùèå ñî ñòàíäàðòíûìè åäèíè÷íûì ñå÷åíèåì, óìíîæåíèåì ñå÷åíèé è îáðàòíûì ñå÷åíèåì â Γ(X, OX )× . Àðèôìåòè÷åñêèé òîð T ðàçìåðîñòè d íàä ïîëåì K ýòî àôôèííàÿ ãðóïïîâàÿ ñõåìà, òàêàÿ ÷òî T ×K K ∼ = Gdm . Ñ áîëåå ãåîìåòðè÷íîé òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî àðèôìåòè÷åñêèé òîð ýòî Gdm -òîðñîð íàä SpecK , îáëàäàþùèé åäèíè÷íûì ñå÷åíèåì. Ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ AutK (Gdm ) èçîìîðôíà GLd (Z), ïðè÷åì åñòåñòâåííîå äåéñòâèå ãðóïïû Ãàëóà Gal(K/K) íà íåé òðèâèàëüíî, òàê êàê âñå àâòîìîðôèçìû ðåàëüíî îïðåäåëåíû íàä K . 2 Íà óðîâíå àëãåáðû Õîïôà ìàòðèöà A = (aij ) ∈ GLd (Z) îïðåäåëÿåò îòîáQd aij ± ± ± ðàæåíèå ϕA : K[t± 1 , . . . , td ] → K[t1 , . . . , td ], ϕA (ti ) = j=1 tj . Ïîýòîìó d-ìåðíûå òîðû íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ êîãîìî1 ëîãèÿìè Het (SpecK, GLd (Z)) ñïåêòðà ïîëÿ k â ïîñòîÿííîì ïó÷êå GLd (Z), êîòîðûå åñòåñòâåííûì îáðàçîì èçîìîðôíû (êàê ìíîæåñòâà ñ îòìå÷åííûì ýëåìåíòîì) ïåðâûì êîãîìîëîãèÿì H 1 (Gal(K/K)), GLd (Z)) ãðóïïû Ãàëóà â òðèâèàëüíîì ìîäóëå GLd (Z). Òàê êàê äåéñòâèå ãðóïïû òðèâèàëüíî, òî ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ãðóïïîâûõ ãîìîìîðôèçìîâ èç àáñîëþòíîé ãðóïïû Ãàëóà â GLd (Z), òî åñòü ñî ìíîæåñòâîì d-ìåðíûõ öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Gal(k/k). Ó ïîëó÷åííîãî ñîîòâåòñòâèÿ òîðîâ ñ öåëî÷èñëåííûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè åñòü áîëåå ÿâíîå îïèñàíèå. À èìåííî, ñ êàæäûì òîðîì ñâÿçàíà ãðóïïà ìóëüòèïëèêàòèâíûõ õàðàêòåðîâ X(T ), ðàâíàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ãðóïïå ñõåìíî-ãðóïïîâûõ ãîìîìîðôèçìîâ HomK (T, Gm ). X(T ) ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïîé ðàíãà d è ñíàáæàåòñÿ ñòðóêòóðîé ìîäóëÿ íàä àáñîëþòíîé ãðóïïîé Ãàëóà Gal(K/K): χσ (t) = χ(σ −1 )σ . Ýòîò ìîäóëü íåñåò â ñåáå ðîâíî ñòîëüêî èíôîðìàöèè ñêîëüêî è ñàì òîð, à èìåííî ôóíêòîð X , îòïðàâëÿþùèé òîð T â Gal(K/K)-ìîäóëü X(T ) ÿâëÿåòñÿ àíòè-ýêâèâàëåíòíîñòüþ êàòåãîðèé àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ è öåëî÷èñëåííûõ êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Gal(K/K) ñîîòâåòñòâåííî Òîð T íàçûâàåòñÿ ðàçëîæèìûì íàä ïîëåì L, åñëè ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííûé íàä L èçîìîðôèçì T ñ Gdm , èëè ýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì, åñëè ãðóïïà õàðàêòåðîâ X(T ) ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì ìîäóëåì äëÿ ïîäãðóïïû Gal(K/L). Ïîëåì ðàçëîæåíèÿ òîðà T íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå òàêîå ðàñøèðåíèå L ïîëÿ K . Çàìåòèì, ÷òî òàêèì îáðàçîì êàòåãîðèÿ ðàçëîæèìûõ íàä L òîðîâ àíòè-ýêâèâàëåíòíà êàòåãîðèè öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Gal(L/K). Ìîðôèçì òîðîâ (êàê ãðóïïîâûõ ñõåì) ϕ : T → T 0 íàçûâàåòñÿ èçîãåíèåé, åñëè ÿäðî ϕ êîíå÷íàÿ ãðóïïîâàÿ ñõåìà èëè ýêâèâàëåíòíî, åñëè ìîðôèçì èõ õàðàêòåðîâ X(ϕ) : X(T 0 ) → X(T ) èìååò êîíå÷íîå êîÿäðî. Ñòåïåíü èçîãåíèè degϕ ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà ïîðÿäêó ýòîãî êîÿäðà. Êàê õîðîøî èçâåñòíî, äëÿ òàêîãî ìîðôèçìà ϕ íàéäóòñÿ ìîðôèçìû Z[Gal(K/K)]-ìîäóëåé ψ1 , ψ2 : X(T ) → X(T 0 ), òàêèå, ÷òî X(ϕ) ◦ ψ1 = (×n), ψ2 ◦ X(ϕ) = (×n) óìíîæåíèþ íà n äëÿ X(T ) è X(T 0 ), äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî ÷èñëà n, ïî ìîäóëþ ìåíüøåãî ÷åì degϕ. Åñëè âçÿòü ìîðôèçìû X −1 (ψ1 ) è X −1 (ψ2 ), òî êîìïîçèöèè X −1 (ψ1 ) ◦ ϕ è ϕ ◦ X −1 (ψ2 ) áóäóò ðàâíû îòîáðàæåíèÿì âîçâåäåíèÿ â n-óþ ñòåïåíü äëÿ T è T 0 . Íàëè÷èå ýòèõ ìîðôèçìîâ íàì â äàëüíåéøåì î÷åíü ïðèãîäèòñÿ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî X(φ)Q óæå îñóùåñòâëÿåò èçîìîðôèçì ìåæäó X(T 0 ) ⊗Z Q è X(T ) ⊗Z Q, òàê êàê êîÿäðî X(ϕ) êîíå÷íî, à Q ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì Z-ìîäóëåì. È íàîáîðîò, åñëè X(ψ)Q èçîìîðôèçì äëÿ íåêîòîðîãî ìîðôèçìà òîðîâ ψ , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó X(ψ) êîÿäðî êîíå÷íî, à çíà÷èò ψ èçîãåíèÿ. Ïîýòîìó èçîãåíè÷íûå òîðû îòâå÷àþò öåëî÷èñëåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ èçîìîðôíûìè ïîñëå òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ íà Q. 1.2 Îãðàíè÷åíèå ñêàëÿðîâ Ïóñòü L êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K . Åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé êàòåãîðèè òîðîâ íàä L è K ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðåõîäÿ ê ãðóïïàì õàðàêòåðîâ X(T ) ìû âèäèì, ÷òî èìååòñÿ åñòåñòâåííîå âëîæå3 íèå ôóíêòîðîì èíäóöèðîâàíèÿ êàòåãîðèè ïðåäñòàâëåíèé H = Gal(K/L) â êàòåãîðèþ ïðåäñòàâëåíèé G = Gal(K/K): IndG H : Z[H]−M od → Z[G]−M od, IndG H (M ) = M ⊗Z[H] Z[G]. Ïðè âçãëÿäå íà òîð êàê íà ãðóïïîâûþ ñõåìó, ýòîò ôóíêòîð îêàçûâàåòñÿ ñîâïàäàþùèì ñ äðóãèì åñòåñòâåííûì ôóíêòîðîì: ôóíêòîðîì îãðàíè÷åíèÿ ñêàëÿðîâ ResL/K èç êàòåãîðèè ñõåì íàä L â êàòåãîðèþ ñõåì íàä K . Ïóñòü X ñõåìà íàä L, òîãäà ResL/K (X) ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäñòàâëÿåò ôóíêòîð MorL−Sch (Y ×K L, X) êàê ôóíêòîð ïî Y ∈ K − Sch.  ñëó÷àå, êîãäà X àôôèííà, ResL/K (X) ñóùåñòâóåò è îïèñûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ÿâíî. Êîíñòðóêöèÿ áîëåå èëè ìåíåå çàêëþ÷àåòñÿ â äîáàâëåíèè ôîðìàëüíûõ ïåðåìåííûõ, îòâå÷àþùèõ áàçèñó L/K ñ ñîîòíîøåíèÿìè èõ óìíîæåíèÿ â ýòîì ïîëå. À èìåííî, ïóñòü 1, e1 . . . , edim(L/K)−1 P ýòî áàçèñ ïîëÿ K íàä ïîëåì K è ïóñòü gij (y1 , . . . , ydim(L/K)−1 ) = yi yj − bij − k aijk yk , ãäå bij è aijk îïðåäåëÿþòñÿ òåì êàê óìíîæàþòñÿ ìåæäó ñîáîé áàçèñíûå âåêP òîðà: ei ej = bij + k aijk ek . Ïóñòü òàêæå L[X] ∼ = L[x1 , . . . , xn ]/(f1 , . . . , fm ). Òîãäà K[ResL/K (X)] âûãëÿäèò êàê K[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ydim(L/K)−1 ]/(f˜s , gij ) ïî âñåì s, i è j , ãäå f˜s ïîëó÷àþòñÿ èç fs ïîäñòàíîâêîé âèåñòî ýëåìåíòîâ èç L ñîîòâåòñòâóþùèõ K -ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé yi . Íîðìåííûì òîðîì ðàñøèðåíèÿ L/K ïî îïðåäåëåíèþ íàçûâàåòñÿ òîð ResL/K Gm . Òåîðåìà Áðàóýðà îá èíäóêöèè ãîâîðèò, ÷òî åñëè ρ : G → GLd (Q) ðàöèîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â âåêòîðíîì ïðîñòàíñòâå Vρ , òî íàéäóòñÿ ïîäãðóïïû Hi , Kj è ÷èñëà m, ni , mj òàêèå, ÷òî M M ∼ IndG IndG ρm Hi I = Kj I, i j ãäå I òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ïîýòîìó, ïåðåâîäÿ ýòî óòâåðæäåíèå íà ÿçûê òîðîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî ëþáîé òîð â íåêîòîðîé ñòåïåíè "âèðòóàëüíî"èçîãåíåí íîðìåííûì, à èìåííî, åñëè Li ïîëÿ èíâàðèàíòîâ ïîäãðóïï Hi , Mj ïîäãðóïï Kj , à T òîð ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäñòàâëåíèþ ρ, òî ñóùåñòâóåò èçîãåíèÿ M M Tm ResLi /K Gm ∼ ResMj /K Gm . i j Ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ íàñ êðàéíå âàæíî, îíî ïîçâîëÿåò, ïðè ïðàâèëüíîé îöåíêå íà èçìåíåíèÿ ïðè èçîãåíèè, ñâîäèòü çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ðàçëè÷íûõ èíâàðèàíòîâ òîðà ê ñëó÷àþ íîðìåííûõ íîðìåííûõ òîðîâ, êîòîðûå â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àþòñÿ îò Gm . 1.3 Èíâàðèàíòû àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ Íàñ äàëåå áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé, êîãäà K ýòî Fq (C) ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íåêîòîðîé êðèâîé C íàä Fq . Ïóñòü x çàìêíóòàÿ òî÷êà íà êðèâîé, Fq,x = Fqdeg x ïîëå âû÷åòîâ â òî÷êå x, qx = |Fq,x | ÷èñëî òî÷åê â í¼ì, Kx ïîïîëíåíèå K ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó äèñêðåòíîìó íîðìèðîâàíèþ, à Ox ýëåìåíòû Kx ñ íîðìîé ìåíüøå 1. Îïðåäåëèì Tx êàê çàìåíó áàçû T ×K Kx (êàê ãðóïïîâóþ ñõåìó íàä Kx , òàê è çíà÷åíèÿ å¼ íà 4 Kx , ÷òî èìåííî áóäåò ïîíÿòíî èç êîíòåêñòà), è X(T )x êàê HomK x (Tx , Gm ). Îáîçíà÷èì çà T (Ox ) ìàêñèìàëüíóþ êîìïàêòíóþ ïîäãðóïïó â Tx , èëè ýêâèâàëåíòíî, íî áîëåå ÿâíî, ìíîæåñòâî t ∈ Tx òàêèõ, ÷òî äëÿ ëþáîãî χ ∈ X(T )x , × χ(t) ëåæèò â Ox . Âñå ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ K ÿâëÿþòñÿ ïîëÿìè ôóíêöèé L = Fqs (X), êðèâûõ X íàä Fqs äëÿ íåêîòîðîãî s, ãäå ñàìî ðàñøèðåíèå çàäà¼òñÿ cõåìíûì ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì X → C .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ResL/K ìû äëÿ ïðîñòîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèå ResX/C .  ýòîé ÷àñòè ìû îïðåäåëèì ðàçëè÷íûå èíâàðèàíòû äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä ôóíêöèîíàëüíûìè ïîëÿìè. Îïðåäåëÿåìûå íàìè èíâàðèàíòû ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè Îíî, ÷òî îçíà÷àåò ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îãðàíè÷åíèÿ ñêàëÿðîâ è ìóëüòèïëèêàòèâíû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ñóììû òîðîâ. Èíâàðèàíòíîñòü èõ îòíîñèòåëüíî ôóíêòîðà Res ñëåäóåò èëè èç àäåëüíîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ (hT è wT ), èëè áëàãîäàðÿ íîðìèðîâî÷íûì ìíîæèòåëÿì (τT è DT ), èëè êàê ñëåäñòâèå ãåîìåòðè÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ (ρT ). Òàêæå çäåñü ìû äîêàæåì àíàëîã ôîðìóëû Øèðà â ôóíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå. Ïîäðîáíåå îáî âñåõ ýòèõ èíâàðèàíòàõ íàïèñàíî â [7] èëè [9]. 1.3.1 ×èñëî êëàññîâ hT Ïóñòü |C| ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ òî÷åê êðèâîé C íàä Fq . Àäåëè T (AC ) òîðà T íàä ïîëåì K = Fq (C) îïðåäåëÿþòñÿ êàê òî÷êè T íàä K -àëãåáðîé àäåëåé AC êðèâîé C . Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî îãðàíè÷åííîå ïðîèçâåäåíèå T (AC ) = Y , T (Kx ) x∈|C| îòíîñèòåëüíî íàáîðà ïîäãðóïï T (Ox ), ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a = (ax ), ax ∈ T (Kx ) ëåæèò â T (AC ), åñëè âñå ax êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà ëåæàò â T (Ox ). T (AC ) îáëàäàåò åñòåñòâåííîé òîïîëîãèåé îãðàíè÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ãäå áàçà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ âèäà Y Y U= Ux × T (Ox ), x∈S x∈|C|\S ãäå S ⊂ |C| íåêîòîðîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî òî÷åê, à Ux ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Q T (Kx ). Ïóñòü T c (AC ) = x∈|C| T (Ox ) ìàêñèìàëüíàÿ êîìïàêòíàÿ ïîäãðóïïà â T (AC ), íàçûâàåìàÿ êîíå÷íûìè àäåëÿìè. Ïîäãðóïïà èíâàðèàíòîâ X(T )Gal(K/K) ÿâëÿåòñÿ â òî÷íîñòè ïîäãðóïïîé õàðàêòåðîâ îïðåäåëåííûõ íàä ïîëåì K , è êàæäûé òàêîé õàðàêòåð χ îïðåäåëÿåò îïðåäåëåííûé íàä Kx õàðàêòåð χx × äëÿ ëþáîãî x ∈ |C|. Âñå âìåñòå îíè äàþò õàðàêòåð χA : T (AC ) → A× C . Èç AC â ñâîþ P î÷åðåäü åñòü îòîáðàæåíèå ord â Z, îòïðàâëÿþùåå ýëåìåíò (fx ) ∈ AC â x ord(fx ) · degx, ãäå degx ðàçìåðíîñòü Fq,x íàä Fq . Âûáèðàÿ áàçèñ χ1 , . . . , χr â X(T )Gal(K/K) ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå ordT èç T (AC ) â Zr , îòïðàâëÿþùåå ýëåìåíò a = (ax ) â (ord ◦ χ1 (ax ), . . . , ord ◦ χr (ax )). Åäèíè÷íûå èäåëè T 1 (AC ) òîðà T ýòî ïðîñòî ÿäðî îòîáðàæåíèÿ ordT . Ãðóïïà êëàññîâ CLT òîðà T îïðåäåëÿåòñÿ êàê äâîéíîé ôàêòîð: 5 CLT := T (K)\T 1 (AC )/T c (AC ). Ãðóïïà CLT âñåãäà êîíå÷íà ïî ðåçóëüòàòó Îíî [6], è ÷èñëî êëàññîâ hT îïðåäåëÿåòñÿ êàê å¼ ïîðÿäîê. Ïóñòü òåïåðü L = Fq (X) ⊃ K ðàñøèðåíèå ïîëåé ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçâåòâëåííîìó íàêðûòèþ ϕ : X → C è T òîð íàä L. Òîãäà íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî èìåþòñÿ èçîìîðôèçìû Y (ResX/C T )(Kx ) ∼ T (Ky ) = y∈ϕ−1 (x) Y (ResX/C T )(Ox ) ∼ = T (Oy ) y∈ϕ−1 (x) , êîòîðûå äàþò èçîìîðôèçì àäåëüíûõ ãðóïï T (AX ), T c (AX ), T 1 (AX ), ñ àäåëüíûìè ãðóïïàìè (ResX/C T )(AC ), (ResX/C T )c (AC ), (ResX/C T )1 (AC ) ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ÷èñëî êëàññîâ íå ìåíÿåòñÿ ïðè îãðàíè÷åíèè ñêàëÿðîâ.  ñëó÷àå, êîãäà òîð T = Gm , ãðóïïà êëàññîâ èçîìîðôíà ãðóïïå JacC (Fq ) òî÷åê ßêîáèàíà êðèâîé C , îïðåäåëåííûõ íàä Fq , à ÷èñëî êëàññîâ hC ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëó ýòèõ òî÷åê. 1.3.2 Ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wT Ãðóïïà êðó÷åíèÿ T tors (AC ) òîðà T îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïåðåñå÷åíèå T (K) ∩ T c (AC ), à wT êàê å¼ ïîðÿäîê.  ñëó÷àå Gm îíî ïðîñòî ðàâíî ïîäãðóïïå Fq (C)tors êîðíåé èç åäèíèöû â Fq (C)× , òî åñòü âëîæåííîìó òóäà F× q . Ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wT íå ìåíÿåòñÿ ïðè îãðàíè÷åíèè ñêàëÿðîâ ðîâíî ïî òîé æå ïðè÷èíå, ÷òî è ÷èñëî êëàññîâ. 1.3.3 L-ôóíêöèÿ è êâàçè-âû÷åò ρT Ïóñòü ρ : Gal(Fq (C), Fq (C)) → GLd (Z) öåëî÷èñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå òîðó T íàä Fq (C). Âûáåðåì ïðîñòîå l - q , ïîìíîæèì òåíçîðíî ρ íàä Z íà Ql è íàçîâåì ïîëó÷åííîå ïðåäñòàâëåíèå Vρ . Çàôèêñèðóåì êàêîå-íèáóäü âëîæåíèå Ql â C. Èíòåðåñóþùàÿ íàñ ôóíêöèÿ L(Vρ , s) îïðåäåëÿåòñÿ òàê: Y Y L(Vρ , s) := Lx (Vρ , s) := det(1 − Frx qx−s |VρIx ), x∈C x∈C ãäå F rx ýëåìåíò Ôðîáåíèóñà, qx ïîðÿäîê ïîëÿ âû÷åòîâ, VρIx èíâàðèàíòû Vρ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû èíåðöèè. Vρ çàäà¼ò êîíñòðóêòèâíûé Ql ïó÷îê íà C , êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûêèíåì èç C âñå òî÷êè âåòâëåíèÿ (òî÷êè x òàêèå, ÷òî ρ(Ix ) 6= 1, ãäå Ix ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå x ïîäãðóïïà èíåðöèè) ïðåäñòàâëåíèÿ ρ. Ïóñòü U ïîëó÷èâøååñÿ îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî è i : U ,→ C åãî åñòåñòâåííîå âëîæåíèå. Òîãäà íà U ïðåäñòàâëåíèå ρ çàäàåò ÷åñòíóþ Ql -ëîêàëüíóþ ñèñòåìó Lρ , êîòîðóþ íàäî ïðîäîëæèòü ôóíêòîðîì i∗ íà âñþ C . Ïîäïðåäñòàâëåíèå V Ix ïðîñòî ÿâëÿåòñÿ ñëîåì ïó÷êà Fρ = i∗ Lρ â òî÷êå x, ïîýòîìó ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ 6 L-ôóíêöèè èñêëþ÷èòåëüíî â òåðìèíàõ ýòîãî ïó÷êà: Y L(Vρ , s) = det(1 − Frx qx−s |Fρ,x ), x∈C ãäå x ëþáàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ íàä òî÷êîé x, à Fρ,x ñëîé ïó÷êà F â ýòîé òî÷êå, íà êîòîðîì åñòåñòâåííûì äåéñòâóåò Ôðîáåíèóñ Frx . Âûðàæåíèÿ ïîäîáíîãî ñîðòà äëÿ ëþáîãî êîíñòðóêòèâíîãî Ql -ïó÷êà ñâîðà÷èâàþòñÿ â êîãîìîëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó Ãðîòåíäèêà ([2],[3]): L(Vρ , s) = 1 (C, Fρ )) det(1 − Fr q −s |Het 0 2 (C, F )) , det(1 − Fr q −s |Het (C, Fρ ))det(1 − Fr q −s |Het ρ (1)  ñëó÷àå, êîãäà T = Gm , ïó÷îê Fρ = Ql îäíîìåðíûé ïîñòîÿííûé, è â êà÷åñòâå L-ôóíêöèè ìû ïîëó÷àåì ïðîñòî L-ôóíêöèþ êðèâîé C . L-ôóíêöèÿ óâàæàåòñÿ ôóíêòîðîì Res: åñëè ϕ : X → C ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå, ñîîòâåòñòâóþùåå Fq (C) = K ⊂ L = Fq (X), è T òîð íàä L ñ ïðåäñòàâëåíèåì ρ, òî èìååòñÿ åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì ∼ FIndG = ϕ∗ Fρ , Hρ ãäå H è G ðàâíû êàê è ðàíüøå Gal(K/L) è Gal(K/K) ñîîòâåòñòâåííî. Êîãîìîëîãèè Fρ ýòî ïðîèçâîäíûå ôóíêòîðû ïðÿìîãî îáðàçà ïðè ìîðôèçìå â òî÷êó pX :X → Spec Fq , êîòîðûé ìîæíî ïðîïóñòèòü ñ ïîìîùüþ ϕ ÷åðåç pC : C → Spec Fq . Ïîñêîëüêó ó ϕ∗ ñòàðøèå ïðîèçâîäíûå ôóíêòîðû ðàâíû i i (X, Fρ ). À çíà(C, ϕ∗ Fρ ) ∼ íóëþ, èìååì åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì Het = Het ÷èò, áëàãîäàðÿ êîãîìîëîãè÷åñêîé ôîðìóëå, L(Vρ , s) = L(VIndG , s). Hρ Ïóñòü òåïåðü r ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòíîé ÷àñòè â ïðåäñòàâëåíèè Vρ . Òîãäà L(Vρ , s) èìååò ïîëþñ â òî÷êå s = 1 ïîðÿäêà r. Äëÿ òîðîâ âèäà ResX/C ýòî òàê, ïîñêîëüêó è ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòîâ , è ïîðÿäîê ïîëþñà â òî÷êå s = 1 ó L-ôóíêöèè ðàâíû 1. À äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû îá èíäóêöèè Áðàóýðà, ïîñêîëüêó L-ôóíêöèÿ î÷åâèäíî ìóëüòèïëèêàòèâíà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ñóììû ïðåäñòàâëåíèé. Êâàçè-âû÷åò ρT L(Vρ ,s) òåïåðü îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòî êàê lims→1 (s−1) r . 1.3.4 Ìåðû è ÷èñëî Òàìàãàâû τT Çàôèêñèðóåì èíâàðèàíòíóþ ôîðìó îáúåìà ω íà òîðå T , îïðåäåëåííóþ íàä K = Fq (C). Îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì â åäèíèöå, òî Vd ∗ åñòü íåêîòîðûì ýëåìåíòîì (t ), ãäå t àëãåáðà Ëè òîðà T . Ôîðìà ω èíäóöèðóåò èíâàðèàíòíóþ ôîðìó îáúåìà ωx íà Tx äëÿ ëþáîé òî÷êè x íà C , êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü äà¼ò íà Tx ìåðó Õààðà. Êîíñòðóêöèÿ ïîñòðîåíèÿ ìåðû ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ñòàðøåé ñòåïåíè äëÿ ïðîèçâîëüíîé àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû ïîäðîáíî îïèñàíà â [9], ÿ æå âêðàòöå å¼ ïðèâåäó. Vd Ôîðìà ωx òàêæå çàäàåòñÿ ýëåìåíòîì vx ∈ (t∗x ), ãäå tx çàìåíà áàçû íà Kx àëãåáðû Ëè t. Îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ â tx ýòî Ox -ðåøåòêà 7 ïîëíîãî ðàíãà, è vx çàäà¼ò íà tx ìåðó νx , ïðèíèìàþùóþ íà ðåøåòêå L = Ox e1 + · · · + Ox ed çíà÷åíèå νx (L) = qxordx (vx (e1 ,...,ed )) . Äàëåå, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîé îêðåñòíîñòè L, êîððåêòíî îïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå exp : tx → Tx . È çíà÷åíèå ìåðû ωx íà îòêðûòîì ìíîæåñòâå Im(exp(L)) ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì νx (L). Ìåðà Õààðà ýòèì ÷èñëîì îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ. Âíå òî÷åê âåòâëåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ ñóùåñòâóåò ñïåöèàëèçàöèÿ T(x) òîðà T â òî÷êå x, íàïðèìåð ïîòîìó, ÷òî êîððåêòíî îïðåäåëåí ýëåìåíò Ôðîáåíèóñà è äëÿ ïîëó÷åíèÿ òîðà íóæíî ïðîñòî îãðàíè÷èòü öåëî÷èñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå íà ïîäãðóïïó èì ïîðîæäåííóþ.  ýòîì ñëó÷àå òàêæå êîððåêòíî îïðåäåëåíà ðåøåòêà ox ⊂ tx , ñîîòâåòñòâóþùàÿ T (Ox ). Ïóñòü mx ìàêñèìàëüíûé èäåàë êîëüöà Ox , òîãäà íà mx ox îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå ýêñïîíåíòû è å¼ îáðàç ýòî ïîäãðóïïà T (1 + mx ), ðàâíàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ÿäðó îòîáðàæåíèÿ T (Ox ) → T(x) (Fq,x ), ãäå òîð T(x) íàä Fq,x ýòî ñïåöèàëèçàöèÿ èëè ðåäóêöèÿ òîðà T â òî÷êó x. Åñëè x ïðè ýòîì íå ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì èëè íóëåì ω , òî νx (ox ) = 1, à çíà÷èò νx (mx ox ) = qx−d , è ωx (T (Ox )) = |T (Fq,x )| · ωx (T (1 + mx )) = |T (Fq,x )| . qxd C äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ òîðà íàä Fq , det(1 − Fr q −1 |Vρ ) = q −d |TQ (Fq )| ([7]). Ïîýòîìó Lx (Vρ , 1)ωx (T (Ox )) = 1 äëÿ ïî÷òè âñåõ x, è ìåðà q (1−g)d x∈C Lx (Vρ , 1)ωx , ãäå g ðîä êðèâîé C , çàäàåò ìåðó Õààðà ωT íà T (A). Áîëåå òîãî, ýòà ìåðà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âûáîðà ω â ñèëó ôîðìóëû ïðîèçâåäåíèÿ. Íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü q (1−g)d ââîäèòñÿ äëÿ ñîãëàñîâàííîñòè ìåðû ωT ñ Q ôóíêòîðîì Res, q g−1 ýòî îáúåì AC /Fq (C), åñëè îáúåì x Ox = 1 è íàáîð ìåð νx äëÿ ðàçíûõ ïîëåé Fq (C) äîëæåí áûòü îòíîðìèðîâàí òàê, ÷òîáû ìåðû tAC /t äëÿ ðàçíûõ C ñîâïàäàëè. Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ T (A)/T 1 (A) ∼ = Zd . Ñíàáæàÿ Zd ñ÷èòàþùåé ìå1 ðîé, âûáåðåì ìåðó µT íà T (A) òàê, ÷òîáû âìåñòå îíè ñêëåèâàëèñü â ìåðó ρ−1 T ωT . ×èñëî Òàìàãàâû τT îïðåäåëÿåòñÿ êàê îáú¼ì ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè T 1 (AC )/T (Fq (C)) îòíîñèòåëüíî ìåðû µT .  ñëó÷àå T = Gm , ÷èñëî Òàìàãàâû ðàâíî 1.(ñì. [8]) 1.3.5 Êâàçè-äèñêðèìèíàíò DT Êâàçè-äèñêðèìèíàíò DT ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì ωT (T c (AC ))−2 .  ñëó÷àå T = Gm êâàçè-äèñêðèìèíàíò îêàçûâàåòñÿ ðàâåí q 2g−2 ïîcêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå âåòâëåíèÿ âîîáùå íåò è ïî ôîðìóëå ïðîèçâåäåíèÿ (òàê êàê ω ýòî ïðîñòî ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, êàê ýëåìåíò îäíîìåðíîãî íàä Fq (C) âåêòîðíîãî Vd ∗ Q ïðîñòðàíñòâà (t )) ïîëó÷àåì, ÷òî x∈C Lx (Vρ , 1)ωx (T (Ox )) = 1. Ïîýòîìó îñòà¼òñÿ òîëüêî íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü q 1−g â ñòåïåíè −2. 1.3.6 Ôîðìóëà Øèðà äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ïîëÿ. Ôîðìóëà Øèðà áûëà äîêàçàíà Øèðîì [12] òîëüêî â ñëó÷àå ÷èñëîâîãî ïîëÿ, íî âåðíà è íàä ôóíêöèîíàëüíûì, õîòÿ óïîìèíàíèÿ îá ýòîì â ëèòåðàòóðå ÿ íå âñòðå÷àë: 8 Òåîðåìà 1.3.1. Ïóñòü T àðèôìåòè÷åñêèé òîð íàä ôóíêöèîíàëüíûì ïîëåì Fq (C). Òîãäà 1/2 hT = ρT · wT · τT · DT . Äîêàçàòåëüñòâî: Ìû çíàåì, ÷òî ìåðà ωT = ρT · µT . Òåïåðü ïðîñòî ïîñ÷èòàåì, îáúåìû T c (A) îòíîñèòåëüíî ýòèõ äâóõ ìåð. Äëÿ ωT ýòîò îáú¼ì −1/2 ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí DT . Ñ äðóãîé ñòîðîíû T (Fq (C))\T 1 (AC ) ðàñïàäàåòñÿ â îáúåäèíåíèå ñìåæíûõ êëàññîâ ïî äåéñòâèþ óìíîæåíèÿìè ñïðàâà ïîäãðóïïû T c (AC ), ïðè ýòîì ÷èñëî îðáèò ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ hT , è, òàê êàê ÿäðî ýòîãî äåéñòâèÿ ðàâíî T tors (AC ), îáú¼ì êàæäîé îðáèòû ðàâåí wT−1 îò îáú¼ìà T c (AC ). Íî îáú¼ì ïî ìåðå µT ãðóïïû T (Fq (C))\T 1 (AC ) ðàâåí ïî −1/2 îïðåäåëåíèþ ÷èñëó Òàìàãàâû τT . Òàêèì îáðàçîì DT = ρT wT h−1 T τT , ÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå.¤ 2 Òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ Èòàê, ïóñòü T òîð íàä K = Fq (C), L = Fqs (X) åãî ïîëå ðàçëîæåíèÿ, n = [L : K], d åãî ðàçìåðíîñòü, gX ðîä êðèâîé X , è ïîëîæèì äèñêðèìèíàíò DL ôóíêöèîíàëüíîãî ïîëÿ L ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíûì q −χ(C)s . Òàêæå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ on,d è On,d . Ïóñòü x áåãàåò ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó M (n, d), çàâèñÿùåìó îò ïàðàìåòðîâ n è d. (x) Òîãäà ôóíêöèÿ f (x) = on,d (g(x)), åñëè ïðè g(x) → ∞ âåëè÷èíà fg(x) ñòðåìèòñÿ ê 0, è f (x) = On,d (g(x)), åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíñòà Cn,d òàêàÿ, ÷òî f (x) ≤ Cn,d g(x) äëÿ ëþáîãî x ∈ M (n, d).  íàøåì ñëó÷àå M (n, d) áóäåò ìíîæåñòâîì òîðîâ ðàçìåðíîñòè d è ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ñòåïåíè n íàä K , f îáû÷íî êàêèì-íèáóäü èíâàðèàíòîì, à g ðîäîì ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé X èëè åäèíèöåé. Äàëåå ìû áóäåì íàáëþäàòü çà ïîâåäåíèåì âåëè÷èíû 1/2 ρT · wT · uT · DT , ðàâíîé ïî ôîðìóëå Øèðà èíòåðåñóþùåìó íàñ ÷èñëó êëàññîâ hT . Ðàçîáðàâ êàæäûé èç èíâàðèàíòîâ ïî îòäåëüíîñòè ìû ïîêàæåì, ÷òî 1/2 ïðè DL → ∞, îñíîâíîé ïîðÿäîê ðîñòà äàåò èìåííî DT , à òàêæå äîêàæåì, ÷òî logq DT âåäåò ñåáÿ ïðàêòè÷åñêè òàêæå êàê −χ(Fρ ). Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ íàñ áóäóò äâà óòâåðæäåíèÿ: òåîðåìà îá èíäóêöèè Áðàóýðà è óòâåðæäåíèå î êîíå÷íîñòè ÷èñëà öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ïðåäëîæåíèå 2.0.2. Ñóùåñòâóåò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êëàññîâ èçîìîðôèçìà öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï ïîðÿäêà n ðàçìåðíîñòè d. Äîêàçàòåëüñòâî: ñì. [11] Ñëåäñòâèå 2.0.3. Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä K = Fq (C), ñ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X), [L : K] = n. Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà k , l è m âñå ðàâíûå On,d (1) òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåò èçîãåíèÿ Tm k M ResXi /K Gm ∼ i=1 l M ResYj /K Gm . j=1 Òàêæå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òîðàìè èç îäíîãî êëàññà èçîãåíèè ñóùåñòâóåò èçîãåíèÿ ñòåïåíè On,d (1). 9 Äîêàçàòåëüñòâî: Ýòî óòâåðæäåíèå èñêëþ÷èòåëüíî î ïðåäñòàâëåíèÿõ. Èç òåîðåìû Áðàóýðà îá èíäóêöèè òàêàÿ èçîãåíèÿ åñòü äëÿ ëþáîãî òîðà, íî òàê êàê öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé âñåãî êîíå÷íîå ÷èñëî, òî â êà÷åñòâå On,d (1) ìîæíî âçÿòü ïðîñòî ìàêñèìóì ïî m, k è l ïî íèì âñåì. Òî æå ñàìîå ìîæíî ñäåëàòü è äëÿ ñòåïåíè èçîãåíèè. ¤ Íåñìîòðÿ íà ñâîþ î÷åâèäíîñòü, ýòî ñëåäñòâèå ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû. Ïðåäëîæåíèå 2.0.4. Ïóñòü X̃ = {Xi } ñåìåéñòâî êðèâûõ íàä ïîëÿìè Fqsi , ðàçâåòâëåííî íàêðûâàþùèõ C , ñî ñõåìíîé ñòåïåíüþ íàêðûòèÿ n. Òîãäà logq hXi − si gXi = on,d (gXi ). Äîêàçàòåëüñòâî: Òàê êàê ñòåïåíü íàêðûòèÿ ðàâíà n, òî si ≤ n è äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ si ðàâíîìó ôèêñèðîâàííîìó s. Äëÿ ýòîãî ìû âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé [1, 3.2] äëÿ ÷èñëà êëàññîâ: ïóñòü gXi ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òîãäà µ sm ¶ ∞ X logqs hXi q −1 =1− βsm (X̃ ) logqs , i→∞ gXi q sm m=1 lim m (Xi ) ãäå βm (X̃ ) = limi→∞ Bg(X , à Bm (X) ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó òî÷åê ïîðÿäêà m i) (îòíîñèòåëüíî Fq ) íà êðèâîé X .  íàøåì ñëó÷àå, òàê êàê ëþáàÿ êðèâàÿ Xi ðàçâåòâëåííî íàêðûâàåò ñî ñòåïåíüþ n êðèâóþ C , âñå âåëè÷èíû Bm îãðàíè÷åíû (òî÷êà ïîðÿäêà n ìîæåò òîëüêî â òî÷êó ìåíüøåãî Pîòîáðàæàòüñÿ m ïîðÿäêà íà C , îòêóäà Bm (X) ≤ n( i=1 Bi (C))), à çíà÷èò âñå βm (X̃ ) ðàâíû íóëþ. Çíà÷èò logq hXi logqs hXi lim = lim s =s i→∞ i→∞ gXi gXi , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ¤ Ñëåäñòâèå 2.0.5. Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä K = Fq (C), ñ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X), [L : K] = n. Òîãäà log ρT = on,d (gX ). Äîêàçàòåëüñòâî: Ïî òåîðåìå Áðàóýðà îá èíäóêöèè: Tm k M ResXi /K Gm ∼ i=1 l M ResYj /K Gm . j=1 äëÿ íåêîòîðûõ êðèâûõ Xi , Yj , íàä Fqsi è Fqsj ñîîòâåòñòâåòñòâåííî, íàêðûâàþùèõ êðèâóþ C è íàêðûâàåìûõ êðèâîé X íàä Fqs , è ÷èñåë m, k, l ðàâíûõ On,d (1). Äëÿ T = ResXi /K ρT = q si (1−g(Xi )) hXi . q si − 1 Ïîýòîìó k l X ¡ ¢ X ¡ ¢ m logq ρT = logq hXi − si g(Xi ) − logq hYj − sj g(Yj ) + on,d (g(X)). i=1 j=1 10 Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ïðåäûäóùèì ïðåäëîæåíèåì, ïîëó÷àåì logq ρT = k X on,d (g(Xi )) − i=1 l X on,d (g(Yj )) + on,d (g(X)) = on,d (g(X)), j=1 ïîñêîëüêó, òàê êàê X íàêðûâàåò âñå Xi è Yj , g(X) íå ìåíüøå, ÷åì g(Xi ) è g(Yj ). ¤ Ïðåäëîæåíèå 2.0.6. Êðó÷åíèå wT = On,d (1) Äîêàçàòåëüñòâî: Ïóñòü L = Fqs (X), òîãäà îíî îãðàíè÷èâàåòñÿ ïîðÿäêîì d ãðóïïû êðóïïû êðó÷åíèÿ òîðà T ×K L, ðàâíîé (F× q s ) . À ïîðÿäîê ýòîò, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâåí (q s − 1)d î÷åâèäíî On,d (1).¤ Ïðåäëîæåíèå 2.0.7. τT = On,d (1) è τT−1 = On,d (1). Äîêàçàòåëüñòâî: Ïî ðåçóëüòàòó Îíî [8], âåðíî äîêàçàííîìó â ôóíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå Îñòåðëå [9] τT = |H 1 (Gal(L/K), X(T ))| , |X(T )| ãäå X(T ) ãðóïïà Øàôàðåâè÷à-Òåéòà òîðà T , ðàâíàÿ ÿäðó îòîáðàæåíèÿ ´ ´ ´ ´ ³ ³ ³ ³ Y H 1 Gal Fq (C)/Fq (C) , T → H 1 Gal Fq (C)x /Fq (C)x , Tx . x∈C I-ûå êîãîìîëîãèè ãðóïïû èç n ýëåìåíòîâ ïðè i > 0 çàíóëÿþòñÿ óìíîæåíèåì íà n, ñ äðóãîé ñòîðîíû îíè ïî îïðåäåëåíèþ èçîìîðôíû Exti (Z, X(T )), äëÿ òðèâèàëüíîãî ìîäóëÿ Z â êàòåãîðèè G = Z[Gal(L/K)]-ìîäóëåé. Ó òðèâèàëüíîãî ìîäóëÿ Z åñòü BG-ðåçîëüâåíòà F i = Z[Gi+1 ]: d dn−1 d d n 1 0 . . . −→ Z[Gn ] −−−→ . . . −→ Z[G] −→ Z → 0, ãäå, êàê ìû âèäèì, ðàíã rk(F i ) = ni+1 . Ïîýòîìó H 1 (Gal(L/K), X(T )) ÿâëÿåòñÿ ïîäôàêòîðîì â HomZ (F 1 , X(T )) ⊗Z Z/nZ, à çíà÷èò ýëåìåíòîâ òàì íå áîëüøå ÷åì n2 d. Ãðóïïà SH(T ) ñ ïîìîùüþ äâîéñòâåííîñòè Òåéòà-Íàêàÿìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ôàêòîðà H 2 (Gal(L/K), X(T )) (ñì. [10, 6.3, 6.4]), ïîðÿäîê êîòîðîé íå áîëüøå n3 d, îòêóäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.¤ Ïðåäëîæåíèå 2.0.8. Ïóñòü T è T 0 èçîãåíè÷íûå òîðû íàä K ñ îäèíàêîâûì ïîëåì ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X). Òîãäà ¶ µ DT = on,d (g(X)). log DT 0 Äîêàçàòåëüñòâî: Èç êîíå÷íîñòè ÷èñëà ïðåäñòàâëåíèé cóùåñòâóåò èçîãåíèÿ λ ñòåïåíè m = On,d (1) èç T â T 0 . Òîãäà λ èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå λcx : |Cokerλc | T (Ox ) → T 0 (Ox ) äëÿ ëþáîé òî÷êè x. Ïóñòü qx (λ) = |Kerλc x| , òîãäà, òàê x êàê L-ôàêòîðû îò èçîãåíèè íå çàâèñÿò, à ωx (T (Ox )) î÷åâèäíî èçìåíÿþòñÿ èìåííî òàê, èìååì ðàâåíñòâî Y DT = qx (λ) DT 0 x∈C 11 Ïî [7] qx (λ) = 1 âíå òî÷åê âåòâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî K ðàçâåòâëåííîìó íàêðûòèþ. Êàê ëþáàÿ èçîãåíèÿ, λ ïðîäîëæàåòñÿ äî îòîáðàæåíèÿ ×m âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü m èç T â ñåáÿ, ïîýòîìó |Coker(λcx )| ≤ |T (Ox )[m]| ≤ md . Ïóñòü S ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ íàêðûòèÿ ϕ : X → C , Sn ⊂ S ïîäìíîæåñòâî òî÷åê ñòåïåíè n. Èç ôîðìóëû Ãóðâèöà X 2g(X) ≥ 2 + (2g(C) − 2)·n + |Si | · i. P Êàæäîå èç Si îãðàíè÷åíî (íàïðèìåð Bi (X)), ïîýòîìó |S| = |Si | åñòü on,d (g(X)) (èç ôîðìóëû, ïðè ðàñòóùåì |S| âåëè÷èíà g(X) ñòàíîâèòñÿ áîëüDT = On,d (md|S| ), îòêóäà øå ÷åì i|S| äëÿ ëþáîãî i). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, D 0 T µ log DT DT 0 ¶ = On,d (|S|) = on,d (gX ). ¤ Ñëåäñòâèå 2.0.9. Ïóñòü â ïðåäûäóùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ Fρ àññîöèèðîâàííûé ñ T ïó÷îê. Òîãäà −χ(Fρ ) − logq DT = on,d (gX ) Äîêàçàòåëüñòâî: Äëÿ òîðîâ òèïà ResX/C Gm ýòè äâå âåëè÷èíû ñîâïàäàþò, òàê êàê Fρ â ýòîì ñëó÷àå ýòî p∗ Ql ïðè ñõåìíîì ìîðôèçìå X → C è åãî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà s · χ(X), åñëè X áûëà íàä Fqs . Íî ýòî è åñòü ëîãàðèôì äèñêðèìèíàíòà ïîëÿ Fqs (X). Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Áðàóýðà îá èíäóêöèè è ïðåäûäóùèì ïðåäëîæåíèåì.¤ Òåîðåìà 2.0.10. (Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä ôóíêöè- îíàëüíûì ïîëåì) Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä K = Fq (C) ñ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X) ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè [L : K] = n. Òîãäà 1 logq hT = − · χ(Fρ ) + on,d (gX ) 2 Äîêàçàòåëüñòâî: Èç ôîðìóëû Øèðà ìû çíàåì, ÷òî logq hT = 1 logq DT + logq ρT + logq wT + logq τT 2 Òåïåðü, ïîëüçóÿñü äîêàçàííûìè ïðåäëîæåíèÿìè, ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ñëàãàåìûå êðîìå ïåðâîãî ðàâíû on,d (gX ), à ïåðâîå ðàâíî − 21 χ(Fρ ) + on,d (gX ). ¤ 3 Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà êëàññîâ è äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû ÊóíÿâñêîãîÖôàñìàíà Ïóñòü X̃ = {Xi } = . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C áàøíÿ íàêðûòèé êðèâîé C , à T ïðîèçâîëüíûé òîð íàä Fq (C).  ýòîé ÷àñòè äîêàçûâàåòñÿ 12 àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà êëàññîâ òîðà T×Fq (C)Fq (Xi ). Ýòà ôîðìóëà ïðåâðàùàåòñÿ â ïðåäïîëîæåííóþ â ñòàòüå [5] Êóíÿâñêèì è Öôàñìàíîì, åñëè òîð T áûë ïîäíÿò ñ Fq . Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ íàñ áóäóò ÿâëÿòüñÿ ãèïîòåçû Âåéëÿ äëÿ Ql -ïó÷êîâ íà êðèâûõ, îáû÷íàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà Öôàñìàíà-Âëýäóöà è ýëåìåíòàðíàÿ ôîðìóëà Ãóðâèöà. Ñåìåéñòâî êðèâûõ X̃ = {Xi } íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íûì, åñëè gXi → ∞ è äëÿ íåãî îïðåäåëåíû ÷èñëà βm (X̃ ) = limi→∞ BmgX(Xi ) , ãäå Bm (X) i ÷èñëî òî÷åê ïîðÿäêà m íà êðèâîé X . Âåëè÷èíà Bgm äëÿ ëþáîãî m ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíà ïðè ïîìîùè ãðàíèöû Âåéëÿ, îòêóäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî â ëþáîì ñåìåéñòâå êðèâûõ ðàñòóùåãî ðîäà åñòü àñèìòîòè÷åñêè òî÷íîå ïîäñåìåéñòâî.  ÷àñòíîñòè, åñëè . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C áàøíÿ ðàçâåòâëåííûõ íàêðûòèé, òî ñåìåéñòâî Xi àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íî (ñì. [1]). Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä ïîëåì Fq ñ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ Fqn . Ìû èìååì ïðåäñòàâëåíèå ρ = X(T ) ãðóïïû Gal(Fqn /Fq ) ∼ = Z/nZ, ïîðîæäåííîé Ôðîáåíèóñîì. Ïðåäñòàâëåíèå Vρ = X(T ) ⊗Z Ql îïðåäåëÿåò Ql -ïó÷îê Vρ íàä Spec Fq . Ïóñòü òåïåðü Xi êðèâàÿ íàä Fq , pXi : Xi → Spec Fq ñòðóêòóðíûé ìîðôèçì. Ðàññìîòðèì òîð Ti = T ×Fq Fq (Xi ) íàä Fq (Xi ). Äëÿ íåãî ïðåäñòàâëåíèå ρi = X(Ti ) åñòü ïðîñòî ρ ◦ s, ãäå îòîáðàæåíèå s : Gal(Fq (Xi )/Fq (Xi )) → Gal(Fq /Fq ) åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå îãðàíè÷åíèÿ. À àññîöèèðîâàííûé ïó÷îê Fρi íà Xi òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ èçîìîðôíûì p∗Xi Vρ . Ýòî íàì ïðèãîäèòñÿ â äàëüíåéøåì. Ïóñòü äàëåå T ýòî âñ¼-òàêè ïðîèçâîëüíûé òîð íàä Fq (C) ðàçìåðíîñòè d è X̃ = {(Xi , ϕi )} áàøíÿ íàêðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C êðèâîé C , à ϕi ïîëó÷àþùèåñÿ íàêðûòèÿ Xi → C . Ïóñòü òàêæå Ti = T ×Fq (C) Fq (Xi ). Ïóñòü B≤m (X) ìíîæåñòâî òî÷åê ñòåïåíè ìåíüøå ëèáî ðàâíîé m íà êðèâîé X , à Bm (X) ñîîòâåòñâåííî ðàâíîé m. Ïóñòü òàêæå äëÿ òî÷êè x ∈ |C| ìíîæåñòâî Bm,x (Xi ) ðàâíî φ−1 i (x) ∩ Bm (Xi ), à Bm,x (Xi ) ñîîòâåòñòâåííî êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ â í¼ì. Ïóñòü òåïåðü ρ ðàöèîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå àáñîëþòíîé ãðóïïû Ãàëóà ïîëÿ K = Fq (C), ïðîïóñêàþùååñÿ ÷åðåç êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå L/K , è S ⊂ |C| òî÷êè âåòâëåíèÿ ρ. Ïóñòü S≤m ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ ñòåïåíè íå áîëüøå m. Ïóñòü äëÿ òî÷êè y ∈ S ãðóïïà Iy îáîçíà÷àåò ïîäãðóïïó èíåðöèè òî÷êè y â ãðóïïå Gal(L/K). Ãðóïïà Ãàëóà êîìïîçèòà Gal(L · Ki /Ki ) äëÿ ïîëÿ Ki = Fq (Xi ) åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàåòñÿ â òó æå ãðóïïó Gal(L/K). Ïóñòü òåïåðü H íåêîòîH ðàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû Iy ∩ Gal(L · Ki /Ki ). Ìíîæåñòâî Sm,y (Xi ) −1 ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê ñòåïåíè m íà êðèâîé Xi , ëåæàùèõ â φi (y), òàêèõ, ÷òî èõ ãðóïïà èíåðöèè Ix , åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàþùàÿñÿ â H Iy , ñîâïàäàåò ñ H . ×èñëî Sm,y (Xi ) ýòî ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â í¼ì. Îïðåäåëåíèå 3.0.11. Ñåìåéñòâî ðàçâåòâëåííûõ íàêðûòèé X̃ = {(Xi , φi )} íàçûâàåòñÿ ïîòî÷å÷íî àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íûì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ, åñëè ñóùåñòâóþò ïðåäåëû βm,x (X̃ ) = lim i→∞ 13 Bm,x (Xi ) gXi äëÿ âñåõ òî÷åê x ∈ |C|, è, äîïîëíèòåëüíî, ïðåäåëû H Sm,y (Xi ) i→∞ gXi H σm,y (X̃ ) = lim äëÿ âñåõ òî÷åê y ∈ S è íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï H â Iy ∩ Gal(L · Ki /Ki ). H Çàìåòèì, ÷òî åñëè deg x áîëüøå m, òî Bm,x (Xi ) = Sm,y (Xi ) = 0, ïîñêîëüêó â ïðîîáðàçåP òî÷êå x ïðè íàêðûòèè ëåæàò òî÷êè íå ìåíüøåãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìó βm = x∈B≤m (C) βm,x è ïîòî÷å÷íàÿ òî÷íîñòü äëÿ ñåìåéñòâà âëå÷åò ïðîñòî òî÷íîñòü. Îáðàòíîå ñêîðåå âñåãî íåâåðíî, õîòÿ ñïåöèàëüíî ÿ ýòîãî è íå ïðîâåðÿë. Íî, êàê áû òàì íè áûëî, äëÿ áàøíè íàêðûòèé âåðíî è òî, è äðóãîå: Ïðåäëîæåíèå 3.0.12. Ïóñòü ñåìåéñòâî X̃ = {Xi , φi } ýòî áàøíÿ íà- êðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C . Òîãäà îíî ïîòî÷å÷íî àñèìïòîòè÷åñêè òî÷ío äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ρ. Äîêàçàòåëüñòâî: Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ai = Bm,x (Xi ) . gXi B≤m,x (Xi ) gXi −1 ñõî- äèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è Ïóñòü ni ñòåïåíü íàêðûòèÿ Xi+1 → Xi . Èç ôîðìóëû Ãóðâèöà 2(gXi+1 − 1) = 2ni (gXi − 1) + âåòâëåíèå , îòêóäà gXi+1 − 1 ≥ ni . gXi − 1 Íî B≤m,x (Xi+1 ) ≤ ni B≤m,x (Xi ), ïîýòîìó ai ≥ ai+1 , à çíà÷èò ïîñëåëåäîâàòåëüíîñòü ai ñõîäèòñÿ. Àíàëîãè÷íî âûáèðàÿ äëÿ âåòâëåíèÿ âìåñòî B≤m,x ìíîæåñòâà òî÷åê ïðîîáðàçà ñòåïåíè íå áîëüøå m, à â ñëó÷àå ðàâåíñòâà, ñ ïîäãðóïïîé âëîæåííîé â äàííóþ, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ H äëÿ σm,x .¤ Èòàê, ìû èìååì òîð T íàä K = Fq (C), ñëåäîâàòåëüíî ïó÷îê Fρ íà C . Òàêæå ìû èìååì áàøíþ íàêðûòèé X̃ . Îïåðàöèÿ çàìåíû áàçû, äåëàþùàÿ èç òîðà T òîð Ti , íà óðîâíå ïðåäñòàâëåíèé ñîîòâåòñòâóåò îãðàíè÷åíèþ íà ïîäãðóïïó, à íà óðîâíå ïó÷êîâ îáðàòíîìó îáðàçó: Fρi = φ∗i Fρ . L-ôóíêöèÿ òîðà Ti ýòî L-ôóíêöèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïó÷êà. Ïîñìîòðèì òåïåðü êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé L-ôóíêöèè Fρ è Fρi . Ïóñòü U = C \ S äîïîëíåíèå äî âåòâëåíèÿ è x òî÷êà â íåì. Åñëè z ∈ Xi îòîáðàæàåòñÿ â x ïðè îòîáðàæåíèè φi , òî ðîñòêè Fρi ,z = p∗ Fρ,x , ãäå p : Spec Fqdegz → Spec Fqdegx ïðîåêöèÿ degz èç z â x. Ïîýòîìó L-ìíîæèòåëü äëÿ òî÷êè z ðàâåí det(1 − Frxdegx q −degz·s |Vρ ) è çàâèñèò òîëüêî îò ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ âû÷åòîâ, ðàâíîìó îòíîøådegz . Ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê èç Bm,x (Xi ) ðîñòêè è ëîêàëüíûå íèþ degx L-ìíîæèòåëè âûãëÿäÿò îäèíàêîâî. Äëÿ òî÷êè y ∈ S ñëîé ïó÷êà Fρ èçîìîðI ôåí èíâàðèàíòàì Vρ y îòíîñèòåëüíî ãðóïïû èíåðöèè. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé degz H òî÷êè z ∈ Sm,y (Xi ) ñëîé Fρi ðàâåí VρH , è äåéñòâèå Frz = Frxdegx ñíîâà çàâèñèò degz H . Ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè ïî ìíîæåñòâàì Sm,y (Xi ) òîëüêî îò îòíîøåíèÿ degx 14 è Bm,x (Xi ), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ L-ôóíêöèè ïó÷êà Fρi : L(Fρi , s) ∞ YY Y = H ¯ ³ ´ Sm m ,y (Xi ) ¯ det 1 − Frydeg y q −ms ¯VρH · m=1 y∈S H ∞ Y Y ¯ ´Bm,x (Xi ) ³ m ¯ det 1 − Frxdeg y q −ms ¯Vρ . · (2) m=1 x∈U È äëÿ ëîãàðèôìà log (L(Fρi , s)) = ∞ XX X m=1 y∈S H ∞ X X + ¯ ³ ³ ´´ m ¯ H Sm,y (Xi ) log det 1 − Frydeg y q −ms ¯VρH + ¯ ´´ ³ ³ m ¯ Bm,x (Xi ) log det 1 − Frxdeg x q −ms ¯Vρ . (3) m=1 x∈U Ïîäñòàâëÿÿ s = 1, äåëÿ íà gXi è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïî i, ìû êàê áû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî logq (L(Fρi , 1)) i→∞ gXi lim = ∞ X X ¯ ³ ³ ´´ m ¯ H σm,y (X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH + m=1 y,H + ∞ X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ . m=1 x∈U Íî ê ñîæàëåíèþ òàêîãî ðîäà ðàññóæäåíèÿ íå ìîãóò áûòü âåðíû íè äëÿ êàêîãî ïó÷êà Fρ , äàæå åñëè L-ôóíêöèÿ íå èìååò â ïîëþñà â åäèíèöå, è çíà÷åíèå ñëåâà êîððåêòíî îïðåäåëåíî. Ôîðìóëû (2) è (3) âåðíû â ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäàõ îò ïåðåìåííîé t = q −s , íî êàê òîëüêî ìû ïîëàãàåì s ðàâíûì åäèíèöå, áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå, à ðàâíî è ñóììà â âûðàæåíèè äëÿ ëîãàðèôìà, ïåðåñòàþò ñõîäèòüñÿ, ïîýòîìó ãîâîðèòü î êàêîì-òî ïðåäåëå ñòàíîâèòñÿ ñîâåðøåííî áåññìûñëåííî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷óäåñíûì îáðàçîì ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà âñ¼-òàêè îêàçûâàåòñÿ âåðíà: logq ρTi i→∞ gXi lim = ∞ X X ¯ ³ ³ ´´ m ¯ H + σm,y (X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH m=1 y,H + ∞ X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ . (4) m=1 x∈U ż ìû ñåé÷àñ è íà÷íåì äîêàçûâàòü. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ T = Gm ýòà ôîðìóëà ñîâïàäàåò ñ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé Öôàñìàíà-Âëýäóöà, òàê êàê âåòâëåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå íåò, ïîýòîìó P H âñå σm,x = 0 è x βm,x = βm , Vρ îäíîìåðíî, Ôðîáåíèóñ äåéñòâóåò åäèíèöåé è îïðåäåëèòåëü ïðîñòî ðàâåí 1 − q −m . Äëÿ j > i ãëîáàëüíûå ñå÷åíèÿ H 0 (Xi , Fρi ) åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàþòñÿ â H 0 (Xj , Fρj ), òàê êàê Fρj ýòî îáðàòíûé îáðàç Fρi ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ìîðôèçìå Xj → Xi . Òàê êàê ðàçìåðíîñòü dim H 0 íå áîëüøå ðàçìåðíîñòè òîðà, H 0 (Xi , Fρi ) äëÿ áîëüøèõ i ñòàáèëèçèðóåòñÿ è ðàâíÿåòñÿ 15 íåêîòîðîìó Ql -ïó÷êó Hρ0 íà Spec Fq . Ïóñòü Iρ ýòî ïîñòîÿííûé ïîäïó÷îê èíâàðèàíòîâ â Hρ0 (åñëè ðàññìàòðèâàòü åãî êàê ïðåäñòàâëåíèå Gal(Fq /Fq ), òî ýòî ïðîñòî ìàêñèìàëüíîå òðèâèàëüíîå ïîäïðåäñòàâëåíèå). Ïóñòü Iρi ýòî åãî îáðàòíûé îáðàç ïðè ïðîåêöèè êðèâîé Xi â òî÷êó Spec Fq . Òîãäà ïó÷îê Iρi ïîñòîÿííûé, è åñòåñòâåííî âêëàäûâàåòñÿ â Fρi â êà÷åñòâå ñå÷åíèÿ. Áîëåå òîãî, òàê êàê îáà ïó÷êà ñîîòâåòñòâóþò ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóïïû Gal(Fq (Xi )/Fq (Xi )) (ïó÷îê Iρi ýòî èíâàðèàíòû), à êàòåãîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé íàä ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè 0 ïîëóïðîñòà, ýòî âëîæåíèå äà¼ò ðàñùåïëåíèå Fρi ∼ = Iρi ⊕ Fρ0i . Òàê êàê ëîãàðèôì êâàçè-âû÷åòà àääèòèâåí ïðè ïðÿìîé ñóììå ïó÷êîâ, à äëÿ ïîñòîÿííîãî ïó÷êà (ñîîòâåòñòâóþùåãî Gm ) ôîðìóëà (4) âåðíà, òî äîñòàòî÷íî å¼ äîêàçàòü (çàìåíÿÿ C íà Xi äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî i, è Fρ íà Fρ0i ) äëÿ ïó÷êîâ Fρ ó êîòîðûõ Fr-èíâàðèàíòíûå ãëîáàëüíûå ñå÷åíèÿ H 0 Fr ðàâíû íóëþ äëÿ âñåõ Fρi . Ïðåäëîæåíèå 3.0.13. Ïóñòü Fρ Ql -ïó÷îê íà C , ïîñòðîåííûé ïî ïðåä- ñòàâëåíèþ ρ ðàçìåðíîñòè d, X̃ = {Xi , ϕi } ýòî áàøíÿ íàêðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C , ñ êîìïîçèöèÿìè ϕi : Xi → C . Ïóñòü òàêæå H 0 (ϕ∗i Fρ )Fr = 0 äëÿ ëþáîãî i. Òîãäà ôóíêöèÿ L(ϕ∗i Fρ , s) ãîëîìîðôíà äëÿ ëþáîãî i è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî: lim − i→∞ logq (L(ϕ∗i Fρ , 1)) gXi = ∞ X X ¯ ³ ³ ´´ m ¯ H (X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH σm,y + m=1 y,H + ∞ X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ . m=1 x∈U Äîêàçàòåëüñòâî: Ïóñòü êàê ðàíüøå Fρi = ϕ∗i Fρ . Êàê îáñóæäàëîñü ðàíåå, íóëåâûå êîãîìîëîãèè ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà ñòàáèëèçèðóþòñÿ è ðàâíû íåêîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèþ Hρ0 ãðóïïû Gal(Fq /Fq ). Ýòî ïðåäñòàâëåíèå åñòü ïîäïðåäñòàâëåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ ρ, êîòîðîå ñîñòîèò èç èíâàðèàòîâ âñåõ ÿäåð åñòåñòâåííûõ ïðîåêöèé Gal(Fq (Xi )/Fq (Xi )) → Gal(Fq /Fq ). Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð Ôðîáåíèóñà, äåéñòâóÿ íà í¼ì, ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå è åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êàêèå-òî êîðíè èç åäèíèöû. Òàê êàê ïðè ýòîì èíâàðèàíòîâ îòíîñèòåëüíî Fr íåò, òî ñðåäè íèõ íåò åäèíèöû. Ïî äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå H 2 (Fρi ) ∼ = H 0 (Fρi ⊗ Ql (1)), ãäå Ql (1) ïîäêðóòêà Òåéòà (ñì. [4] èëè [2]). Ïîýòîìó ñðåäè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Fr âî âòîðûõ êîãîìîëîãèÿõ íåòó q . Ñëåäîâàòåëüíî, èç êîãîìîëîãè÷åñêîé ôîðìóëû (1) ôóíêöèÿ L(Fρi , s) åñòü ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ îò t = q −s , è çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè s = 1. Ïî ãèïîòåçå Ðèìàíà, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Ôðîáåíèóñà íà i-ûõ êîãîìîëîãèÿõ ðàâíû ïî ìîäóëþ q i/2 . Ïóñòü i = 0 èëè 1, òîãäà ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè α åãî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî ðÿä µ ¶ ∞ X α αm logq 1 − =− q m · qm m=1 îãðàíè÷èâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé c ïîêàçàòåëåì q −1/2 è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ðÿäû ∞ ∞ X X ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ 1 1 Tr Frm q −m ¯H 0 (Xi , Fρi ) è Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) m m m=1 m=1 16 òàêæå ñõîäÿòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî íà÷èíàÿ ñ òîãî i, êîãäà ñòàáèëèçèðîâàëèñü ãëîáàëüíûå ñå÷åíèÿ, çíàìåíàòåëü L-ôóíêöèè íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó ¯ ¡ ¢ logq det 1 − Fr q −1 ¯H 1 (Xi , Fρi ) logq (L(ϕ∗i Fρ , 1)) = lim = lim i→∞ i→∞ gXi gXi ∞ ¯ ¡ ¢ 1 X 1 = lim Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) . (5) i→∞ gXi m m=1 Äàëåå, ïî ôîðìóëå Ëåôøåöà äëÿ Fρi : 2 X ¯ ¡ ¢ (−1)s Tr Frm q −m ¯H s (Xi , Fρi ) = s=0 X ¯ ¡ ¢ Tr Frmq −m ¯Fρi ,x x∈Xi (Fqm) Ñëàãàåìûå äëÿ x, ïðèøåäøèõ èç îäíîé è òîé æå çàìêíóòîé òî÷êè x0 ∈ |Xi | m ñòåïåíè d àâòîìàòè÷åñêè äåëÿùåé m, ñîâïàäàþò è ðàâíû Tr(Frxd0 q −m |Fρi ,x0 ) ([2]).  ñâîþ î÷åðåäü, ýòî âûðàæåíèå çàâèñèò òîëüêî îò ðîñòêîâ Fρi ,x0 è m, H (Xi ). Ïîýòîìó è ïîýòîìó çàâèñèò òîëüêî îò ìíîæåñòâà Bm,x (Xi ) èëè Sm,y ôîðìóëà Ëåôøåöà òàêæå äàåò ðàâåíñòâî 2 X ¯ ¡ ¢ X n (−1)s Tr Frm q −m ¯H s (Fρi ) = s=0 n|m + X x∈B≤n(U ) X n n|m ¯ ³ ´ m ¯ Bn,x (Xi ) · Tr Frxdeg xq −m ¯Fρ,x + X X ¯ ³ ´ m ¯ H Sn,y (Xi ) · Tr Frydeg yq −m ¯Fρ,y . y∈S≤n(C) H Ïîëîæèì äëÿ óäîáñòâà ¯ ³ ´ m ¯ Trm,x (Xi ) = Tr Frxdeg xq −m ¯Fρ,x . . Ïóñòü f (g) ôóíêöèÿ èç N â N òàêàÿ, ÷òî f (g) → ∞, ïðè g → ∞, è lim g→∞ f (g) = 0. log g Ïóñòü òàêæå îíà ðàñò¼ò òàê ìåäëåííî, ÷òîáû äëÿ íàøåãî ñåìåéñòâà X̃ ðàçíèöà ìåæäó βm,x (X̃ ) è Bm,x (Xi ) , gXi H Sm,x (Xi ) , äëÿ âñåõ m, gXi ε(gXi ) B≤m (C) äëÿ õîòü êàêîé-òî H è ìåæäó σm,y (X̃ ) è ìåíüøèõ f (gXi ), áûëà ïî ìîäóëþ ìåíüøå ÷åì ôóíêöèè ε(g), ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ ïðè g → ∞. Òàêàÿ ôóíêöèÿ ñ ëåãêîñòüþ íàõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî ñ÷¼òíîãî íàáîðà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî äëÿ òàêîé ôóíêöèè f (g): f (gXi ) X 1X X Bn,x (Xi )Trm,x (Xi ) = n m m=1 n|m f (gXi ) = X x∈B≤n X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ + o(gXi ), m=1 x∈B≤m 17 (6) H à òàêæå, ÷òî âåðíî òî æå ñàìîå óòâåðæäåíèå, íî ñ Sm,x . Ñíà÷àëà âûâåäåì èç ýòèõ ðàâåíñòâ óòâåðæäåíèå ïðåäëîæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî, âî-ïåðâûõ, äîêàæåì, ÷òî f (gX ) logq L(Fρi , 1) 1 Xi 1 X X = − lim n Bn,x (Xi )Trn,x (Xi ) − i→∞ gXi i→∞ gXi m m=1 lim n|m − lim i→∞ 1 gXi x∈B≤n f (gXi) X 1 X X X H n Sn,y (Xi )Trn,y (Xi ). m m=1 n|m y∈S≤n H Âûðàæåíèå âíóòðè ïðåäåëà ñ ïðàâîé ñòîðîíû ðàâåíñòâà ïî ôîðìóëå Ëåôøåöà åñòü ïðîñòî f (gXi) 2 X X ¯ ¡ ¢ (−1)s Tr Frm q −m ¯H s (Fρi ) . m=1 s=0 Èç ôîðìóëû (5) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî f (gX ) ¯ ¡ ¢ ¯¯ 1 ¯¯ Xi 1 lim · Tr Frm q −m ¯H 0 (Xi , Fρi ) ¯ = 0 ¯ i→∞ gXi m 1 f (gX ) ¯ ¡ ¢ ¯¯ 1 ¯¯ Xi 1 · Tr Frm q −m ¯H 2 (Xi , Fρi ) ¯ = 0 lim ¯ i→∞ gXi m 1 ∞ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯¯ 1 ¯ X 1 · Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) ¯ = 0 lim ¯ i→∞ gXi m (7) (8) (9) f (gXi)+1 Äëÿ (7): âñÿ ñóììà ñëåäîâ àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, è îíà ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà íå çàâèñèò îò i ïîýòîìó ïðåäåë è ðàâåí íóëþ. Äëÿ (8): ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Fr íà H 2 (Xi , Fρi ) åñòü êîðíè èç åäèíèöû, ïîìíîæåííûå íà q , è, òàê êàê dim H 2 = dim H 0 ≤ dim ρ = d, ïîëó÷àåì, ÷òî f (gX ) ¯ ¡ ¢ ¯¯ 1 ¯¯ Xi 1 f (gXi) lim · Tr Frm q −m ¯H 2 (Xi , Fρi ) ¯ ≤ lim d=0 ¯ i→∞ gXi i→∞ gXi m 1 Äëÿ (9): èç ãèïîòåçû Ðèìàíà, ïîëàãàÿ h1i ðàâíûì dim H 1 (Xi , Fρi ), ìû èìååì ¯ ¡ ¯ ¢ ¯¯ m ¯ ¯Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) ¯ ≤ h1i · q − 2 Ïîýòîìó ìîäóëü ðÿäà â (9) îãðàíè÷èâàåòñÿ ñóììîé h1i ∞ X m q 2 = h1i q −f (gXi)−1 f (gXi)+1 q 1/2 = o(gXi ), q 1/2 − 1 òàê êàê f (g) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à h1i ïî ñëåäóþùåé ëåììå åñòü O(gXi ). Îòñþäà è ñëåäóåò (9). Ëåììà 3.0.14. dim H 1 (Xi , ϕ∗i Fρ ) = O(gXi ). 18 Äîêàçàòåëüñòâî: Èç òåîðåìû îá èíäóêöèè Áðàóýðà ëþáîå ïðåäñòàâëåíèå â íåêîòîðîé ñòåïåíè åñòü âèðòóàëüíàÿ ïðÿìàÿ ñóììà èíäóöèðîâàííûõ. Ïîýòîìó íàøå äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ èíäóöèðîâàííûõ ïðåäñòàâëåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ òîðàì T = ResX/C Gm .  ýòîì ñëó÷àå Fρ = p∗ Ql ïðÿìîé îáðàç ïîñòîÿííîãî ïó÷êà ïðè íåêîòîðîì îòîáðàæåíèè p : X → C è ïóñòü n åãî ñòåïåíü. À ïó÷îê Fρi ðàâåí ñîîòâåòñòâåííî pi ∗ Ql , ãäå pi : Xi ×C X → Xi åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ ðàññëîåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ïåðâûé ìíîæèòåëü. Xi ×C X ðàñïàäàåòñÿ â äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå s êîïèé îäíîé êðèâîé Yi , ãäå s < n. Òàê êàê H 1 (Xi , pi ∗ Ql ) ∼ = H 1 (Yi , Ql ), è 1 1 dim H (Yi , Ql ) ðàâíà 2gYi − 2, òî dim H (Xi , Fρi ) = s · (2gYi − 2). Ñîîòâåòñòâåííî âîïðîñ òîëüêî â îãðàíè÷åííîñòè ðîñòà gYi îòíîñèòåëüíî gXi . Ïóñòü ni = ns < n ñòåïåíü pi , Si ⊂ Yi òî÷êè âåòâëåíèÿ pi , à ex äëÿ x ∈ Si èíäåêñ âåòâëåíèÿ òî÷êè x . Òîãäà, ïî ôîðìóëå Ãóðâèöà, X 2gYi − 2 = ni (2gXi − 2) + deg x(ex − 1). x∈Si Òàê êàê deg x ex ≤ ni ≤ n, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ |Si | åñòü O(gXi). Ïóñòü di ýòî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ ϕi : Xi → C , à Ri ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ di . Òîãäà ñíîâà èç ôîðìóëû Ãóðâèöà. P 2gXi − 2 − x∈Ri deg x(ex − 1) 2gXi − 2 di = ≤ = O(gXi ) 2gC − 2 2gC − 2 Íî ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ Si ìîðôèçìà pi âëîæåíî â ìíîæåñòâî ïàð (y, x) ∈ Xi ×C X , òàêèõ, ÷òî x òî÷êà âåòâëåíèÿ p. Íî òàêèõ ïàð íå áîëüøå ÷åì r · |Ri | = O(gXi ), ãäå r ÷èñëî òî÷åê âåòâëåíèÿ p è íå çàâèñèò îò i. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû. ¤ Âî-âòîðûõ, äîêàæåì, ÷òî lim i→∞ 1 gXi f (gXi ) X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ = m=1 x∈B≤m = ∞ X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ . (10) m=1 x∈B≤m  [1, 3.2] äîêàçàíî, ÷òî 1≥ ∞ ∞ X X mβm (X̃ ) m ≥ m/2 − 1 m/2 − 1 q q m=1 m=1 X βm,x (X̃ ) x∈B≤m (U ) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ¯ ´´ ³ ³ m ¯ ≤ d · logq (1 − q −m ) ≤ dq −m logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ 19 qm ≤ 2dq −m −1 qm Ïîýòîìó ðÿä ñ βm,x â (10) ñõîäèòñÿ, à â ñèëó ñâîéñòâ ôóíêöèè f : ¯ Xi ) ¯ 1 f (g ¯ ´´ ³ ³ m X X ¯ ¯ Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ − ¯ ¯ gXi m=1 x∈B≤m f (gXi ) − X ³ X βm,x (X̃ ) logq m=1 x∈B≤m ¯ ¯ ´´ ¯ ³ m ¯ deg x −m ¯ det 1 − Frx q ¯Vρ ¯≤ ¯ f (gXi ) ≤ 2 ε(gXi ) d X q −m ≤ 2 ε(gXi ) d m=1 q → 0, ïðè i → ∞. q−1 Òàêèì îáðàçîì ôîðìóëà (10) äîêàçàíà. Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ àíàH H ëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ Sm,x è σm,x . Ïîýòîìó îñòàëîñü äîêàçàòü ðàâåíñòâî (6). Äëÿ ýòîãî èçìåíèì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ m è n ñëåâà: f (gXi ) X 1X X n Bn,x (Xi )Trm,x (Xi ) = m m=1 n|m f (gXi ) X = x∈B≤n X n=1 x∈B≤n b f (g) n c X 1 Bn,x (Xi ) Trmn,x (Xi ), m m=1 H è òî æå ñàìîå äëÿ Sn,x . Ðàñêðîåì òàêæå ëîãàðèôì ñïðàâà: f (gXi ) X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ = Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ X m=1 x∈B≤m f (gXi ) = X X Bm,x (Xi ) m=1 x∈B≤m ∞ X 1 Trnm,x (Xi ). n n=1 H è ñäåëàåì òî æå ñàìîå äëÿ Sn,x . Êàê ìû âèäèì ðàçíîñòü ðàâíà f (gXi ) X X m=1 x∈B≤m (U ) f (gXi ) + X ∞ X Bm,x (Xi ) X X n=b f (g) m c+1 ∞ X H Sm,x (Xi ) m=1 x∈S≤m H 1 Trnm,x (Xi ) + n n=b f (g) m c+1 1 Trnm,x (Xi ) n Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ x ∈ B≤m (U ) ¯ ¯ ¯ ³ nm ¯ ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Trnm,x (Xi )¯ = ¯Tr Frxdeg x q −nm ¯Fρ,x = Vρ ¯ ≤ dq −nm , è äëÿ x ∈ S≤m ¯ ¯ ¯ ³ nm ¯ ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Trnm,x (Xi )¯ = ¯Tr Frxdeg x q −nm ¯VρH ¯ ≤ dq −nm 20 Ïîýòîìó ¯ f (gX ) ¯ Xi ¯ ¯ ¯ X m=1 x∈B≤m (U ) f (gXi ) + X n=b X X m=1 n=b f (g) m c+1 ¯ ¯ 1 ¯ Trnm,x (Xi ) ¯ ≤ ¯ n f (gXi ) X Bm (Xi ) 1 Trnm,x (Xi ) + n ∞ X n=b f (gXi ) ≤d f (g) m c+1 H Sm,x (Xi ) m=1 x∈S≤m H X ∞ X Bm,x (Xi ) q −nm ≤ 2d X Bm (Xi )q −b f (g) m cm−m  [1, 3.2] òàêæå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé f (g), òàêîé, ÷òî âåðõíèé ïðåäåë lim i→∞ (g) Òàê êàê b fm cm íå ìåíüøå lim i→∞ 1 gXi f (gXi ) 2d X Bm (Xi )q −b 1 . m=1 f (g) m c+1 f (g) log g → 0, f (gXi ) X mBm (Xi ) ≤ 1. q m/2 − 1 m=1 gXi f (g) 2 , äëÿ m ≤ f (g), òî f (g) m cm−m ≤ lim q −f (g) i→∞ m=1 1 gXi f (gXi ) X Bm (Xi )q −m = 0. m=1 Òàêèì îáðàçîì (6) äîêàçàíî, à êàê ñëåäñòâèå, äîêàçàíî è âñ¼ ïðåäëîæåíèå. ¤ Ñëåäñòâèå 3.0.15. Äëÿ ëþáîãî ρ : Gal(Fq (C)/Fq (C)) → GLd (Ql ) ïðåäñòàâëåíèÿ, ïðîïóñêàþùåãîñÿ ÷åðåç íåêîòîðóþ êîíå÷íóþ ïîäãðóïïó, è ñîîòâåòñòâóþùåãî ïó÷êà Fρ , à òàêæå ïðîèçâîëüíîé áàøíè íàêðûòèé X̃ = {Xi , ϕi } = . . . → Xn+1 → Xn → . . . → C , ñ êîìïîçèöèÿìè ϕi : Xi → C âåðíà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà: logq ρTi i→∞ gXi lim = − ∞ X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ H σm,y (X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH −(11) m=1 y,H − ∞ X X ¯ ´´ ³ ³ m ¯ βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ , (12) m=1 x∈U ãäå ρTi êâàçèâû÷åò ñîîòâåòñòâóþùåé L-ôóíêöèè L(ϕ∗i Fρ , s).¤ Âåðíåìñÿ òåïåðü ê òîðàì. Äëÿ òîðà T , äëÿ òî÷åê x ∈ C íå ëåæàùèõ â âåòâëåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ ρ: ¯ ´ |T (F m )| ³ m q (x) ¯ det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ = q m dim T ïî ðåçóëüòàòó Îíî [7], ãäå T(x) ýòî òîð íàä ïîëåì âû÷åòîâ Fqx òî÷êè x, ÿâëÿþùèéñÿ ñïåöèàëèçàöèåé (èëè ðåäóêöèåé) òîðà T â ýòîé òî÷êå. Âî âòîðîé ÷àñòè ìû îãðàíè÷èëè ÷èñëî Òàìàãàâû è ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ èñêëþ÷èòåëüíî â òåðìèíàõ ñòåïåíè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ è ðàçìåðíîñòè òîðà, ïîýòîìó ÷èñëî 21 Òàìàãàâû τTi è ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wTi îñòàþòñÿ îãðàíè÷åííûìè äëÿ òîðîâ Ti . Cëåäîâàòåëüíî, èç ôîðìóëû Øèðà: logq hTi logq DTi logq ρTi 1 = · lim + lim i→∞ i→∞ gXi 2 i→∞ gXi gXi lim È, íàêîíåö, ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Òåîðåìà 3.0.16. Ïóñòü T òîð íàä Fq (C) ðàçìåðíîñòè d ñ ïðåäñòàâëå- íèåì ρ. Ïóñòü X̃ = {Xi , ϕi } áàøíÿ íàêðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . → C êðèâîé C , è Ti = T ×Fq (C) Fq (Xi ). Òîãäà logq hTi lim i→∞ gXi = ∞ X logq DTi 1 · lim − 2 i→∞ gXi m=1 + ∞ X X X X µ βm,x (X̃ ) logq x∈B≤m(U ) |T(x) (Fqm )| q m dim T ¶ − ¯ ³ ³ ´´ m ¯ H σm,y (X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH . m=1 y∈S≤m H Ñëåäñòâèå 3.0.17. (Ãèïîòåçà Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà) Ïóñòü T òîð íàä Fq , X̃ = {Xi } áàøíÿ íàêðûòèé . . . → X3 → X2 → X1 è Ti = T ×Fq Fq (Xi ). Òîãäà ¶ µ ∞ X logq hTi |T (Fqm )| lim = dim T − βm (X̃ ) logq . i→∞ gXi q m dim T m=1 H Äîêàçàòåëüñòâî: Ó òîðîâ Ti âåòâëåíèÿ íåò, ïî ýòîé ïðè÷èíå âñå σm,y ðàâíû 0. Äàëåå, òàê êàê Ti ïîäíÿò ñ F , òîð T åñòü ïðîñòî T × F deg x, è q x F q q P T(x) (Fqm ) = T (Fqm ). Òàê êàê x βm,x = βm êîãäà íåò âåòâëåíèÿ, îñòà¼òñÿ äîêàçàòü òîëüêî, ÷òî logq DTi 1 · lim = dim T. i→∞ 2 gXi Q Íî îïÿòü æå, òàê êàê íåòó âåòâëåíèÿ, x∈Xi Lx (Vρi , 1)ωx (Ti (Ox )) ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå, è äèñêðèìèíàíò ðàâåí q dim T (2gXi −2) . Áåðÿ ëîãàðèôì, äåëÿ íà gXi , óñòðåìëÿÿ ê ïðåäåëó, à ïîòîì ñíîâà äåëÿ, íî óæå ïîïîëàì, ïîëó÷àåì ðîâíî dim T .¤ Ïðèìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå óñëîâèå òîãî, ÷òî X̃ = {Xi } ÿâëÿåòñÿ áàøíåé íàêðûòèé äëÿ ôîðìóëû Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà íå íóæíî. Åäèíñòâåííîå ìåñòî â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû, ãäå ýòî èñïîëüçîâàëîñü, ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî H 0 (Fρi ) â ýòîì ñëó÷àå ñòàáèëèçèðîâàëîñü. Íî åñëè T ïîäíÿò ñ Fq , òî H 0 (Fρi ) ïðîñòî èçîìîðôíî èñõîäíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ρ. Ïîýòîìó ãèïîòåçà âåðíà è êîãäà X̃ ïðîèçâîëüíîå àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íîå ñåìåéñòâî. Òåïåðü î òåîðåìå. Åñëè, íàïðèìåð, äîëÿ âåòâëåíèÿ â ïðåäåëå íàñòîëüêî H ìàëà, ÷òî âñå σm,y = 0, òî ôîðìóëà çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ î÷åíü ïîõîæà íà ôîðìóëó Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà: ∞ X logq DTi logq hTi 1 = · lim − lim i→∞ gXi 2 i→∞ gXi m=1 X x∈B≤m(U ) 22 µ βm,x (X̃ ) logq |T(x) (Fqm )| q m dim T ¶ . Ê ñîæàëåíèþ, íå î÷åíü ïîíÿòíî êàê íàéòè ïðåäåë ñ ëîãàðèôìîì äèñêðèìèíàíòà. Òåïåðü óæå íåëüçÿ òàê ïðîñòî îöåíèòü èçìåíåíèå äèñêðèìèíàíòà ïðè èçîãåíèè, êàê ìû ñäåëàëè ýòî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Áðàóýðà-Çèãåëÿ, òàê êàê êîëè÷åñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ ìîæåò ñèëüíî ðàñòè. Ïîýòîìó íåëüçÿ âñ¼ ñâåñòè ê ñëó÷àþ íîðìåííûõ òîðîâ. Ñîáñòâåííî è äëÿ íîðìåííûõ òîðîâ ôîðìóëû Ãóðâèöà óæå íå õâàòàåò, ÷òîáû ïîñ÷èòàòü ýòîò ïðåäåë. Íî, âîçìîæíî ìåíåå ëîáîâîé àíàëèç ãåîìåòðèè ïðîèñõîäÿùåãî èëè áîëåå äåòàëüíîå èçó÷åíèå (çäåñü ïðÿìî ñêàæåì íå áûëî ïî÷òè íèêàêîãî) ïîâåäåíèÿ òîðîâ â òî÷êàõ âåòâëåíèÿ ïîçâîëèò ïîëó÷èòü âðàçóìèòåëüíûé îòâåò è íà ýòî. [1] Ñ. Ã. Âëýäóö, Ä. Þ. Íîãèí, Ì. À. Öôàñìàí, Àëãåáðîãåîìåòðè÷åñêèå êîäû. Òîì 1: Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. M.: ÌÖÍÌÎ, 2003. 504 ñòð. [2] P. Deligne, La conjecture de Weil. I, IHES, Publications Mathematique No. 43, p.273-307, 1974 [3] P. Deligne, La conjecture de Weil. II, IHES, Publications Mathematique No. 52, p.137-252, 1980 [4] J. M. Fontaine,Y. Ouyang, Theory of p-adic Galois Representations (book in preparation) sta.ustc.edu.cn/ yiouyang/galoisrep.pdf [5] B. E. Kunyavskii, M. A. Tsfasman, Brauer-Siegel theorem for elliptic surfaces, arXiv:0705.4257 [6] T. Ono, On some arithmetic properties of linear algebraic groups, Annals of Mathematics, Vol. 70, 1959, p. 266290. [7] T. Ono, Arithmetic of Algebraic Tori, Annals of Mathematics, Vol. 74, No. 1, July, 1961. [8] T. Ono, On the Tamagawa Number of Algebraic Tori, Annals of Mathematics, Vol. 78, No. 1, July, 1963 [9] J. Oesterle, Nombres de Tamagawa et groupes unipotents en caracte'ristique p, Inventiones mathematicae 1984, Volume 78, Issue 1, pp 13-88 [10] V. P. Platonov, A.S.Rapinchuk, Algebraic Groups and Number Theory, Vol.139, Academic Press, 1994 [11] J. Tsimerman, Brauer-Siegel for arithmethic tori and lower bounds for galois orbits of special points, arXiv 1103.5619v3. 12 Jun 2011 ' [12] J. Shyr, On Some Class Number Relations of Algebraic Tori, Michigan Math Journal, Vol. 24, Issue 3, 1977, pp. 365-377 23