2. Ðåàëèçàöèÿ ôîðìàëüíûõ ãðóïï 2.1. Ïðîáëåìà. Èòàê, ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ (ãðàäóèðîâàííîå) êîëüöî ïîâûì çàêîíîì íà íåì è ñîîòâåòñòâóþùèì ãîìîìîðôèçìîì h òèðîâàííóþ ìóëüòèïëèêàòèâíóþ) òåîðèþ êîãîìîëîãèé R âìåñòå ñ ôîðìàëüíûì ãðóï- Laz = ΩU → R. Êàê ïîñòðîèòü (îðèåí- ñ òàêèì êîëüöîì ñêàëÿðîâ (è ôîðìàëüíûì ãðóïïîâûì çàêîíîì)? N. B. Ïîëíîñòüþ ýòà çàäà÷à íå ðåøåíà, íàñêîëüêî ìíå èçâåñòíî. Ïåðâàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äîñòàòî÷íî ïðîñòî âçÿòü h(−) = U (−) ⊗ΩU R. Ê ñîæàëåíèþ, h ìîæåò íå áûòü òåîðèåé êîãîìîëîãèé òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå âîîáùå ãîâîðÿ ôóíêòîð íå òî÷íûé, ïîýòîìó òåíçîðíîå äîìíîæåíèå íà R ðàçðóøèò òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàð. Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå îñòàëüíûå àêñèîìû ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ. 2.2. Êðèòåðèé ïëîñêîñòè. Åñëè Laz -ïëîñêèì ) R ïëîñêî íàä ΩU (ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íà ðàçóìíûé âíóòðåííèé êðèòåðèé Ïóñòü íà êîëüöå R Laz -ïëîñêîñòè [x]n = F ([x]n−1 ) è ðåãóëÿðíàäëÿ n Z[β, β −1 ] U (−) ⊗T d Çàäàäèì ôîðìàëüíîå óìíîæå- [x]p = px + · · · + a1 xp + · · · + an xp + . . . . Åñëè êàæäîãî ïðîñòîãî p, òî çàêîí F ÿâëÿåòñÿ Laz -ïëîñêèì. Îòñþäà ìãíîâåííî ñëåäóåò, íàïðèìåð, ÷òî ôîðìàëüíàÿ ãðóïïà è F. [x]1 = x. Òåîðåìà (Landweber). Ïóñòü Laz -ïëîñêîé ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà. çàôèñêèðîâàí ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íèå íà öåëûå ÷èñëà ñîîòíîøåíèÿìè p, a1 , a2 , . . . R ýòîò ìåòîä âñå æå ðàáîòàåò. Íî äëÿ òîãî, ÷òîáû èì ïîëüçîâàòüñÿ íåïëîõî áû èìåòü = K(−) x + y + βxy ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà Z[β, β −1 ] ÿâëÿåòñÿ (òåîðåìà ÊîííåðàÔëîéäà). Ìûñëè âñëóõ. Ïðè ïåðâîì âçãëÿäå íà ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû êàæåòñÿ, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íóæíî ïîëüçîâàòüñÿ âåùàìè âðîäå óíèâåðñàëüíîñòè ôîðìàëüíîé ãðóïïû íà êîëüöå Z(p) [xp−1 , . . . , xpn −1 , . . . ] (íó òàì, ïðîâåðÿòü ïëîñêîñòü îòäåëüíî äëÿ ðàçíûõ ïðîñòûõ ÷èñåë. . . ). Ìîæíî ëè ðåàëèçîâàòü ýòîò, ãì, ïëàí (êàæåòñÿ, ÷òî èñõîäíîå äîêàçàòåëüñòâî Ëàíäâåáåðà óñòðîåííî ñîâåðøåííî ïî-äðóãîìó)? Ïðèìåíèì òåïåðü òåîðåìó Ëàíäâåáåðà ê ïîñòðîåíèþ ýëëèïòè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé. Îáîçíà÷èì êîëü- Z[ 21 ][δ, ε] çà M . Äëÿ p = 2 óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíåíî òàâòîëîãè÷åñêè óæå M/(2) = 0. Äëÿ p > 2 â êîëüöå M/(p) = Fp [δ, ε] îòñóòñòâóþò äåëèòåëè íóëÿ, ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü p, a1 çàâåäîìî öî 1 ðåãóëÿðíà . 2 Ìîæíî ïîêàçàòü , ÷òî ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì ýëåìåíòîì â −1 ]/(p, a , a ) ðåãóëÿðíà, è M [ε 1 2 (p, a1 , a2 ) U (−) ⊗ M [ε−1 ] ÿâëÿåòñÿ äîâàòåëüíîñòü ÷òî a2 = 0. M [ε−1 ]/(p, a1 ). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå- Òåïåðü òåîðåìà Ëàíäâåáåðà ãàðàíòèðóåò, òåîðèåé êîãîìîëîãèé (ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ëîêàëèçàöèþ íàñòîÿùèõ ýëëèïòè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé). 2.3. Êîáîðäèçìû ñ îñîáåííîñòÿìè. Èìååòñÿ è äðóãîé ìåòîä ðåàëèçàöèè ôîðìàëüíûõ ãðóïï, êîòîðûé ïðèìåíèì (èíîãäà) è ê ãîìîìîðôèçì (êîëåö) ΩU → R Laz -íåïëîñêèì ôîðìàëüíûì ãðóïïàì. Ðàáîòàåò îí â ñèòóàöèè, êîãäà ñþðúåêòèâåí. Ïóñòü çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ñòàáèëüíî êîìïëåêñíûõ, íàïðèìåð) ìíîãîîáðàçèé Σ = (Pi )i . P1 ÷àñòü òîPi (íàïðèìåð, Rm × Cone P2 èëè Ìîæíî ðàññìîòðåòü (ñòàáèëüíî êîìïëåêñíûå) ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòÿìè òèïà ÷åê â íèõ ìîãóò èìåòü îêðåñòíîñòü âèäà Rn × Cone P1 . Äîáàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî âñå Rl × Cone P1 , îñîáåííîñòÿìè òèïà Σ. ïîñëå âòîðîãî øàãà âñå îñîáûå òî÷êè äîëæíû èìåòü îêðåñòíîñòè âèäà Rn × Cone P1 × Cone P2 ) ìîæíî ïðèéòè ê ìíîãîîáðàçèÿì ñ Çàìå÷àíèå. Òåõíè÷åñêè óäîáíåå ïðè ýòîì ãîâîðèòü íå î íàñòîÿùåì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòÿìè, à îá åãî ðåãóëÿðíîé ÷àñòè, íà ãðàíèöå êîòîðîé çàïèñàíà èíôîðìàöèÿ î òîì, êàê ê íåé ïðèêëåèâàþòñÿ êîíóñû. Íàïðèìåð çàäàòü ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòÿìè òèïà 2 òî æå ñàìîå, ÷òî çàäàòü (ãëàä- êîå) ìíîãîîáðàçèå, ãðàíèöà êîòîðîãî ïðåäñòàâëåíà â âèäå (íåñâÿçíîãî) îáúåäèíåíèÿ äâóõ îäèíàêîâûõ ìíîãîîáðàçèé. 1Îáðàç a 1 â M/(p) ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàïèøåì 1 1 R(x)− 2 = (1 − δx2 + εx4 )− 2 = òîãäà x X Pn (δ, ε)x2n , x2n+1 . 2n +1 0 p p −1 Íàñ èíòåðåñóåò a1 êîýôôèöèåíò ïðè x â âûðàæåíèè [x]p = g (pg(x)). Òàê êàê P(p−1)/2 xp ïåðâûé ÷ëåí g(x), ñîäåðæàùèé p â çíàìåíàòåëå, u1 = P(p−1)/2 (δ, ε) mod p.  ÷àñòíîñòè, òàê êàê Pn (1, 1) = 1, ýòî íåòðèâèàëüíûé ýëåìåíò. 2Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ (ÿ åùå íå), íàïðèìåð, ÷òî â M/(p, u ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî u = (−1)(p−1)/2 ε(p2 −1)/4 . 1 2 Z g(x) = 1 R(t)− 2 dt = x + 1 X Pn (δ, ε) Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî X ìîæíî ðàññìîòðåòü êîáîðäèçìû X ñ îñîáåííîñòÿìè UΣ (−) ∼ UΣ (pt) = ΩU /(Σ). Òåîðåìà (Baas). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà îñîáåííîñòåé Åñëè Σ ðåãóëÿðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íà UΣ (X). U -ìîäóëüíàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé. R çàäàåò ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì èç êîëü- öà Ëàçàðà, à ÿäðî ýòîãî ãîìîìîðôèçìà ïîðîæäàåòñÿ ðåãóëÿðíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, òî èìååòñÿ U -ìîäóëüíàÿ òåîðèÿ, ýòîò ãîìîìîðôèçì ðåàëèçóþùàÿ. Ìûñëè âñëóõ. Âñå ýòî áåçóìíî ïîõîæå íà ðåçîëüâåíòó Êîøóëÿ (êàê áóäòî ó íàñ åñòü íåêèé êîìïëåêñ, ê êîòîðîìó ìû äîáàâëÿåì ôîðìàëüíûå íå÷åòíûå ïåðåìåííûå Cone Pi ñ äèôôåðåíöèàëîì ðàâíûì Pi ). Ìîæíî ëè ýòîé àíàëîãèè ïðèäàòü êàêîé-íèáóäü òî÷íûé ñìûñë? À ãëàâíîå, ñóùåñòâóþò ëè ãåîìåòðè÷åñêèå ðåàëèçàöèè êàêèõ-íèáóäü äðóãèõ ðåçîëüâåíò? 3 Íåÿñíî, îäíàêî, ïî÷åìó â ýòîé òåîðèè äîëæíî ñóùåñòâîâàòü óìíîæåíèå. . Ìèðîíîâ ïîêàçàë, ÷òî (â óíèòàðíîì ñëó÷àå) ðàçóìíîå (àññîöèàòèâíîå, ñîãëàñîâàííîå ñ óìíîæåíèåì â êîáîðäèçìàõ áåç îñîáåííîñòåé) óìíîæåíèå èìååòñÿ âñåãäà, îäíàêî èìåþòñÿ ïðåïÿòñòâèÿ ê åãî êîììóòàòèâíîñòè. Ê ñ÷àñòüþ, ïðè äîáàâëåíèè ê êîëüöó ñêàëÿðîâ 1 2 îíè èñ÷åçàþò. Êîáîðäèçìû ñ îñîáåííîñòÿìè ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ (óæå íàñòîÿùèõ, íå ëîêàëèçîâàíûõ) ýëëèïòè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé. Äëÿ ýòîãî íóæíî âûáðàòü ñèñòåìó îáðàçóþùèõ â ÿäðå ýëëèïòè÷åñêîãî ðîäà. ΩU = Z[x1 , x2 , . . . ], òàêîé ÷òî φ(x2 ) = δ (íàïðèìåð x2 = CP2 ), ϕ(x4 ) = ε (íàïðèìåð ìîæíî âçÿòü ëþáîå x4 êîáîðäàíòíîå HP 2 â ΩSO ). Ïóñòü φ(xn ) = Qn (δ, ε); ïîëîæèì x0n = xn − Qn (x2 , x4 ).  ÿäðå ýëëèïòè÷åñêîãî ðîäà ëåæàò âñå x0n . Íî ÿñíî, ÷òî {xi }i64 , {x0j }j>4 ñóòü ïîë0 0 0 íûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ îáðàçóþùèõ êîëüöà ΩU , à çíà÷èò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (x1 , x3 ; x5 , x6 , x7 , . . . ) Çàôèêñèðóåì â êîëüöå Ëàçàðà áàçèñ: ðåãóëÿðíà è ïîðàæäàåò ÿäðî ýëëèïòè÷åñêîãî ðîäà. Èòîãî. Ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíî-îðèåíòèðîâàííàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé M = Z[ 21 ][δ, ε], òàêàÿ ÷òî ãîìîìîðôèçì ΩU → M −1 ] = U (−) ⊗ M [ε−1 ]. èçîìîðôèçì M (−)[ε ϕ 3Ïðîáëåìà M è N ñ êîëüöîì ñêàëÿðîâ çàêëåèâàëèñü ïðè ïîìîùè êîíóñîâ íàä íåÿñíî. 2 ϕ. Èìååò ìåñòî ∂(M × N ) = ∂M × N t∂M ×∂N M × ∂N . Pi , êàê çàêëåèâàòü èìè ãðàíèöó M × N â òîì, ÷òî äëÿ ìíîãîîáðàçèé íå âûïîëíÿåòñÿ ïðàâèëî Ëåéáíèöà: Ïîýòîìó, äàæå åñëè ãðàíèöû M (−) ñîâïàäàåò ñ ýëëèïòè÷åñêèì ðîäîì