ÒÅÌÀ 7. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë Öåëü è çàäà÷è Öåëü êîíòåíòà òåìû 7 ââåñòè ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà è îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ ïðèëîæåíèÿìè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ê ýêîíîìè÷åñêèì çàäà÷àì. Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 7: • Äàòü îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà è ðàññìîòðåòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. • Èçëîæèòü îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. • Ïðèâåñòè îñíîâíóþ òåîðåìó èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ î âû÷èñëåíèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. • Ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëåé ñ îñíîâíûìè ìåòîäàìè âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. • Ðàññìîòðåòü çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. • Îáîáùèòü ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà è íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè. • Ïðèâåñòè ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ è ìåòîäû åãî ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ. Îãëàâëåíèå 7.1. Îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. 7.2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 7.3. Èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Òåîðåìà ÍüþòîíàËåéáíèöà. 7.4. Îñíîâíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ: çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. 7.5. Èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. 1 7.6. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû è ïðèçíàêè èõ ñõîäèìîñòè. 7.7. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ. 7.8. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ìåòîäû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé. 7.1. Îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èñòîðè÷åñêè áûëî ââåäåíî â ñâÿçè ñ çàäà÷àìè âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû è íàõîæäåíèÿ ïóòè, ïðîéäåííîãî òî÷êîé ïðè åå ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè ñ ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ. Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå è ðàçëè÷íûõ åãî ïðèëîæåíèÿõ. Îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) çàäàíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] íà n ïðîèçâîëüíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a = x0 < x1 < . . . < xn = b è íà êàæäîì îòðåçêå [xk−1 , xk ], 1 ≤ k ≤ n, âûáåðåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì òî÷êó ξk . Ñîñòàâèì ñóììó: Sn = f (ξ1 )(x1 −x0 )+f (ξ2 )(x2 −x1 )+f (ξ3 )(x3 −x2 )+· · ·+f (ξn )(xn −xn−1 ) = = n X f (ξk )(xk − xk−1 ). k=1 Ñóììà Sn íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé èëè ñóììîé Ðèìàíà. Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà Sn çàâèñèò îò âûáîðà ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] è îò âûáîðà òî÷åê ξ1 , ξ2 , . . . , ξn . Îáîçíà÷èì ∆xk = xk − xk−1 , ò. å. äëèíó k -ãî îòðåçêà, è λn = max ∆xk 1≤k≤n íàçîâåì ðàíãîì ðàçáèåíèÿ δn = {x1 , x2 , . . . , xn }. Ðàññìîòðèì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé {δn }, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå lim λn = lim ( max ∆xk ) = 0. n→∞ n→∞ 1≤k≤n (7.1.1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé {δn }, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (7.1.1), ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðàëüíûõ ñóìì Sn . Åñëè ñóùåñòâîâàíèå è âåëè÷èíà lim Sn n→∞ íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé {δn }, à òàêæå îò âûáîðà òî÷åê ξk â êàæäîé èç èíòåãðàëüíûõ ñóìì, òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ 2 îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] è îáîçíà÷àåòñÿ Zb f (x)dx. Òàêèì îáðàçîì, a Zb f (x)dx = a lim (max ∆xk )→0 k n X f (ξk )∆xk , (7.1.2) k=1 Ïðè ýòîì x íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ; f (x) ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé; a íèæíèì, b âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ; îòðåçîê [a, b] ïðîìåæóòêîì èíòåãðèðîâàíèÿ. Za Zb Za Äîïîëíèòåëüíî ïîëàãàþò, ÷òî f (x)dx = 0 è f (x)dx =− f (x)dx. a a b Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå [a, b], åñëè äëÿ íåå ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7.1.2), ò. å. ñóùå- Zb ñòâóåò f (x)dx. a Òåîðåìà 7.1.1 (Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè). • Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. • Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà íà [a, b] è èìååò íà íåì êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. • Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà è ìîíîòîííà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Çàìå÷àíèå 7.1.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà [a, b], òî îíà íå èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èñòîðè÷åñêè âîçíèêëî èç çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) íåïðåðûâíóþ è íåîòðèöàòåëüíóþ íà îòðåçêå [a, b]. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Sn = n X f (ξk )∆xk (7.1.3) k=1 3 åñòü ñóììà ïëîùàäåé âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îñíîâàíèÿìè ∆xk è âûñîòàìè f (ξk ) ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 7.1.1). ×åì ìåíüøå ðàíã äðîáëåíèÿ, ò. å. ÷åì ìåíüøå äëèíà êàæäîãî îòðåçêà [xk−1 , xk ], òåì òî÷íåå èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Sn ïðèáëèæàåò S ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), îñüþ àáñöèññ è âåðòèêàëÿìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.1). y 6 ξ1 ξi 0 a = x0 x1 · · · xi−1 xi ··· ξn xn−1b = xn x Ðèñ. 7.1.1 Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ñóììå (7.1.3), ïîëó÷èì Zb S= f (x)dx = n→∞ lim σn . λn →0 a Rb a Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà f (x)dx äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé è íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè f (x) ñî- ñòîèò â òîì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), îñüþ àáñöèññ è ïðÿìûìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.2). Çàìå÷àíèå 7.1.2. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b] è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó f (x) ≤ 0 ïðè âñåõ x ∈ [a, b], òî S ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ýòîé ôóíêöèè, îñüþ àáñöèññ è ïðÿìûìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.3), ðàâíà ÷èñëó, ïðîòèâîïîëîæíîìó ïî çíàêó Zb f (x)dx, ò. å. a Zb S=− f (x)dx. a 4 y y 6 6 0 a y = f (x) @ @ @@ @ @ @ @@ @@ @@ @@ @@ @ @@ @ @ @ @ @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 0 a x - y = f (x) - b x Ðèñ. 7.1.2 7.2. b ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡ Ðèñ. 7.1.3 Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Zb Zb Zb • (c1 f (x)+c2 g(x))dx = c1 f (x)dx+c2 g(x)dx, ãäå c1 , c2 íåêîòîðûå a a ÷èñëà. a Zb Zc Zb • f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Za • Åñëè f (x) íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ íà [−a, a], òî f (x)dx = 0. −a Za Za • Åñëè f (x) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ íà [−a, a], òî f (x)dx = 2 f (x)dx. −a 0 Çàìå÷àíèå 7.2.1. Êàæäîå èç âûøåïðèâåäåííûõ ñâîéñòâ ñïðàâåäëèâî ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ âñåõ âñòðå÷àþùèõñÿ â íåì îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Òåîðåìà 7.2.1 (Îá èíòåãðèðîâàíèè íåðàâåíñòâ). Åñëè f (x) ≥ g(x), x ∈ [a, b] è ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà [a, b], òî Zb Zb f (x)dx ≥ g(x)dx. a a 5 Òåîðåìà 7.2.2 (Îá îöåíêå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà). • Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷åì äëÿ âñåõ x ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî m ≤ f (x) ≤ M, ãäå m è M íåêîòîðûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâî Zb m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a). a • Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî ¯ b ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ ≤ |f (x)|dx. ¯ ¯ ¯ ¯ a a Òåîðåìà 7.2.3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè). Ïóñòü f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà [a, b], òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå c ∈ (a, b), ÷òî Zb f (x)dx = f (c)(b − a). a 1 Ïðè ýòîì çíà÷åíèå f (c) = b−a ôóíêöèè f (x) íà [a, b]. 7.3. Zb f (x)dx íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì a Èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Òåîðåìà ÍüþòîíàËåéáíèöà Êàê ìû âèäåëè â 7.1, îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì è íå äàåò ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ.  äàííîì ïàðàãðàôå áóäóò ïðèâåäåíû îñíîâíûå òåîðåìû èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ äëÿ áîëüøîãî êëàññà ôóíêöèé. Òåîðåìà 7.3.1 (Áàððîó î äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ôóíêöèÿ Zx Φ(x) = f (t)dt a 6 äèôôåðåíöèðóåìà ïðè ëþáîì x ∈ [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî d Φ0 (x) = dx Zx f (t)dt = f (x), x ∈ [a, b]. a Ñëåäñòâèå 7.3.1. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f , íåïðåðûâíàÿ íà [a, b], èìååò íà [a, b] ïåðâîîáðàçíóþ Zx Φ(x) = f (t)dt a Òåîðåìà 7.3.2 (Îñíîâíàÿ òåîðåìà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé åå ïåðâîîáðàçíîé íà ýòîì îòðåçêå, òî èìååò ìåñòî ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà Zb f (x)dx = F (b) − F (a). (7.3.1) a Çàìå÷àíèå 7.3.1. Ðàçíîñòü F (b) − F (a) ÷àñòî îáîçíà÷àþò ñèìâî- ¯b ¯ ëîì F (x)¯ . a Ïðèìåð 7.3.1. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà (7.3.1) è ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå èíòåãðàëû: ¶ Z1 Z2 µ √ 7 2 3 à) dx. xdx; á) −√ x 1 + x2 −8 1 Ðåøåíèå. à)  ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ îäíîé √ èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f (x) = 3 x íà [−8, 1] ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ 3 4 F (x) = x 3 . Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷èì 4 ¯1 Z1 √ 4¯ 4 3 3 3 45 3 xdx = x 3 ¯¯ = − (−8) 3 = − . 4 −8 4 4 4 −8 á) Èñïîëüçóÿ ïåðâîå ñâîéñòâî îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ èç 7.2 è ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷èì Z2 µ ¶ Z2 Z2 7 2 dx dx −√ dx = 7 −2 √ = x x x2 + 1 1 + x2 1 1 1 √ ¯2 ¯ p ¯ ¯2 5 2 + √ . = 7 ln |x|¯¯ − 2 ln |x + x2 + 1|¯¯ = 7 ln 2 − 2 ln 1+ 2 1 1 7 7.4. Îñíîâíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ: çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû íàó÷èëèñü âû÷èñëÿòü îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû, ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ ïîäûíòåãðàëüíûìè ôóíêöèÿìè òàáëè÷íûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ èëè èõ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ðàñøèðèò ìíîæåñòâî îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðûå ìû ñìîæåì âû÷èñëèòü. Òåîðåìà 7.4.1 (î çàìåíå ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå). Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è ôóíêöèÿ x = ϕ(t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà îòðåçêå [α, β], ïðè÷åì a = ϕ(α), b = ϕ(β), òîãäà Zb Zβ f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt. f (x)dx = a (7.4.1) α Çàìå÷àíèå 7.4.1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîâûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ, ò. å. α è β , óäîáíî îò ôîðìóëû x = ϕ(t) ïåðåéòè ê ôîðìóëå t = ψ(x), ãäå ψ(x) åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ôóíêöèè ϕ(t) íà [α, β]. Òîãäà ïðåäåëû α è β îïðåäåëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ðàâåíñòâ α = ψ(a), β = ψ(b). (7.4.2) Îòìåòèì, ÷òî åñëè α > β , òî ïîä ñèìâîëîì [α, β] ïîíèìàåòñÿ îòðåçîê [β, α]. Z2 dx 1 Ïðèìåð 7.4.1. Âû÷èñëèì √ , èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêó x= . 2 t √ x x−1 2 Ðåøåíèå. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû î çàìåíå ïåðåìåííîé 1 . t √ íåïðåðûâíà íà [a, b] = [ 2, 2]. â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå äëÿ ïðåäëàãàåìîé ïîäñòàíîâêè x = ϕ(t) = 1 x x2 − 1 Äëÿ íàõîæäåíèÿ íîâûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ âûðàçèì ïåðåìåííóþ t 1 1 ÷åðåç ïåðåìåííóþ x. Åñëè x = , òî t = . Òåïåðü ïîî÷åðåäíî ïîäñòàâëÿÿ t x √ â ïîñëåäíþþ ôîðìóëó âìåñòî x èñõîäíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ a = 2 1 1 1 1 è b = 2, íàéäåì íîâûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ α = = √ , β = = . a b 2 2 1 Äàëåå îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(t) = íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è t Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) = √ 8 · ¸ µ ¶ µ ¶ √ 1 1 1 1 ìîíîòîííà íà [α, β] = √ , , ïðè÷åì ϕ √ = 2, ϕ = 2. Ñëå2 2 2 2 äîâàòåëüíî, âñå óñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíåíû, è ìû èìååì ïðàâî âîñïîëü1 çîâàòüñÿ ôîðìóëîé (7.4.1), ïðåäâàðèòåëüíî âû÷èñëèâ ϕ0 (t) = − 2 : t Z2 dx = x x2 − 1 √ √ ¡ 1 Z2 √1 2 2 1 t − t12 q 1 t2 ¢ 1 Z2 √ dt = − −1 √1 2 dt = 1 − t2 ¯1 ¯2 π π 1 1 π = − arcsin t¯¯ = − arcsin + arcsin √ = − + = . 2 6 4 12 2 √1 2 Òåîðåìà 7.4.2 (îá èíòåãðèðîâàíèè ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå). Åñëè ôóíêöèè u(x) è υ(x) äèôôåðåíöèðóåìû íà [a, b], ïðè÷åì u0 (x) è υ 0 (x) íåïðåðûâíû íà [a, b], òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà: Zb ¯b Z b ¯ u(x)υ 0 (x)dx = u(x)υ(x)¯¯ − υ(x)u0 (x)dx. a a (7.4.3) a Çàìå÷àíèå 7.4.2. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè df (x) = f 0 (x)dx, ôîðìóëó (7.4.3) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: Zb ¯b Z b ¯ u(x)dυ(x) = u(x)υ(x)¯¯ − υ(x)du(x). a a (7.4.4) a Z3 Ïðèìåð 7.4.2. Âû÷èñëèì (2x − 1) ln xdx. 1 Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó (7.4.4), ïîëîæèâ u(x) = ln x, dυ = (2x − 1)dx, òîãäà Z3 1 ¯3 Z3 ¯ 1 (2x − 1) ln xdx = (x2 − x) ln x¯¯ − (x2 − x) dx = x 1 u = ln x Z3 Z3 xdx + 1 1 dx x υ = x2 − x du = dυ = (2x − 1)dx = 6 ln 3 − 1 1 ¯3 x2 ¯¯ + 2 = 6 ln 3 − 2. dx = 6 ln 3 − 2 ¯1 9 7.5. Èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð  7.1 áûë ðàññìîòðåí ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, êîòîðûé ñîñòîèò â òîì, ÷òî S ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè f (x), îñüþ àáñöèññ è ïðÿìûìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.2), ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå: Z b S= f (x)dx. a Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ôóíêöèè f (x) è g(x) , íåïðåðûâíûå íà [a, b]. Îòêàæåìñÿ îò óñëîâèÿ íåîòðèöàòåëüíîñòè ýòèõ ôóíêöèé, íî ïîòðåáóåì, ÷òîáû f (x) ≥ g(x) ïðè âñåõ x ∈ [a, b] (ðèñ. 7.5.1). y 0 6 y = f (x) ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ b ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ y = g(x) ¢ ¢ ¢ - x Ðèñ. 7.5.1  ýòîì ñëó÷àå áóäåò ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 7.5.1 (î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû). Åñëè f (x) è g(x) íåïðåðûâíû íà [a, b] è ïðè âñåõ x ∈ [a, b] óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó f (x) ≥ g(x), òî S ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè ýòèõ ôóíêöèé è âåðòèêàëÿìè x = a è x = b, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: Zb S= (f (x) − g(x))dx. (7.5.1) a Ïðèìåð 7.5.1. Ïîñòðîèì ôèãóðó, îãðàíè÷åííóþ ëèíèÿìè, çàäàííûìè óðàâíåíèÿìè y = x2 , y = x. Íàéäåì ïëîùàäü ýòîé ôèãóðû. Ðåøåíèå. Íà ðèñ. 7.5.2 ïîñòðîåíû ðàññìàòðèâàåìûå êðèâûå. Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìàÿ ïëîùàäü S åñòü ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé 10 ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé f (x) = x è g(x) = x2 è âåðòèêàëÿìè x = 0 è x = 1. Ïîñêîëüêó x ≥ x2 ïðè âñåõ x ∈ [0, 1], òî âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 7.5.1 âûïîëíåíû è ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (7.5.1): Z1 S= Z1 Z1 (x − x2 )dx = (f (x) − g(x))dx = 0 0 Z1 x2 dx = xdx − 0 0 ¯1 ¯1 x3 ¯¯ 1 1 1 x2 ¯¯ − = = − = . 2 ¯0 3 ¯0 2 3 6 y 6 A 1 ,, y = x,, , , 0 7.6. , , y= x2 B 1 Ðèñ. 7.5.2 , - x Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû è ïðèçíàêè èõ ñõîäèìîñòè  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîãî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ è íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå èíòåãðèðîâàíèÿ. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå [a, +∞] è èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a, b], b > a, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò: Zb Z+∞ f (x)dx. f (x)dx = lim (7.6.1) b→+∞ a a Z+∞ Åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x)dx íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèìñÿ. a 11 Za Çàìå÷àíèå 7.6.1. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû Z+∞ f (x)dx è f (x)dx: −∞ −∞ Za Za f (x)dx; f (x)dx = lim b→−∞ −∞ (7.6.2) b Za Zb Z+∞ f (x)dx + lim f (x)dx, f (x)dx = lim B→−∞ −∞ b→+∞ (7.6.3) a B ãäå a ëþáîå ÷èñëî, ò. å. Z+∞ Za Z+∞ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ a Ïðèìåð 7.6.1. Âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû èëè äîêàçàòü èõ ðàñõîäèìîñòü: Z+∞ a) 2 dx ; á) (3x − 2)2 Z+∞ √ −3 1 dx. 4+x 1 èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [2, b], ãäå (3x − 2)2 b > 2 êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.1) ïîëó÷èì b Zb Z Z+∞ dx 1 dx (3x−2)−2 d(3x−2)= = lim = lim 2 2 (3x − 2) b→+∞ (3x − 2) b→+∞ 3 a) Ôóíêöèÿ f (x) = 2 2 à = lim b→+∞ 2 ¯b ! µ ¶ −1 ¯¯ 1 1 1 + = lim − = . ¯ b→+∞ 3(3x − 2) 2 3(3b − 2) 3 · 4 12 1 èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [−3, b], 4+x ãäå b > −3 êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.1) ïîëó÷èì á) Ôóíêöèÿ f (x) = √ Z+∞ −3 1 √ dx = lim b→+∞ 4+x Zb −3 1 √ dx = lim b→+∞ 4+x Zb 1 (4 + x)− 2 d(4 + x) = −3 12 µ = lim b→+∞ ¯b ¶ 1 ¯ 2(4 + x) ¯ = lim (2(4 + b) 2 − 2) = +∞. 1 2 b→+∞ −3 Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå èíòåãðèðîâàíèÿ. • Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè a ≤ x < b, èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a, b−ε], 0 < ε < b−a, è íåîãðàíè÷åíà íà ïðîìåæóòêå (b−ε, b), òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò: Zb Zb−ε f (x)dx = lim f (x)dx. ε→+0 a (7.6.4) a Åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèìñÿ. • Àíàëîãè÷íî, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåîãðàíè÷åíà íà ïðîìåæóòêå (a, a+ε), òî ïîëàãàþò Zb Zb f (x)dx = lim f (x)dx. (7.6.5) ε→+0 a+ε a • Íàêîíåö, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êè c îòðåçêà [a, b], òî ïîëàãàþò Zb Zc f (x)dx = a Zb f (x)dx + a f (x)dx. (7.6.6) c Ïðèìåð 7.6.2. Âû÷èñëèì ñëåäóþùèå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû èëè äîêàæåì èõ ðàñõîäèìîñòü: Z4 a) 3 dx √ ; á) 4−x Ze 1 dx . x ln x 1 íåîãðàíè÷åíà â îêðåñò4−x íîñòè òî÷êè x = 4. Íà ëþáîì æå îòðåçêå [3, 4 − ε], ãäå 0 < ε < 1, îíà èíòåãðèðóåìà â ñèëó ñâîåé íåïðåðûâíîñòè. Ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.4) a) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) = √ Z4 √ 3 dx = lim 4 − x ε→+0 Z4−ε √ 3 dx 4−x Z4−ε 1 (−(4 − x)− 2 )d(4 − x) = = lim ε→+0 3 13 µ ¯4−ε ¶ 1 ¯ −2(4 − x) ¯ = lim (−2ε 2 + 2) = 2. 1 2 = lim ε→+0 ε→+0 3 1 íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè x ln x òî÷êè x = 1 è èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [1 + ε, e], ãäå 0 < ε < e − 1 êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.5) ¯e ¶ µ Ze Ze Ze ¯ dx d ln x dx = lim = lim = lim ln | ln x| ¯¯ = x ln x ε→+0 x ln x ε→+0 ln x ε→+0 1+ε á) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) = 1+ε 1 1+ε = lim (ln ln e − ln ln(1 + ε)) = − lim ln ln(1 + ε) = +∞. ε→+0 ε→+0 Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ñ áåñêîíå÷íûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Òåîðåìà 7.6.1 (ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ). Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) îïðåäåëåíû íà [a, +∞), è ïóñòü íåðàâåíñòâà 0 ≤ f (x) ≤ g(x) âûïîëíåíû äëÿ âñåõ x ∈ [a, +∞), òîãäà: Z+∞ 1) èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà g(x)dx ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà a Z+∞ Z+∞ Z+∞ f (x)dx, ïðè÷åì f (x)dx ≤ g(x)dx; a a a Z+∞ Z+∞ 2) åñëè ðàñõîäèòñÿ f (x)dx, òî ðàñõîäèòñÿ è g(x)dx. a a Ñëåäñòâèå 7.6.1 (Ïðåäåëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Åñëè f (x) > 0 è g(x) > 0 ïðè âñåõ x ≥ a è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë f (x) lim = C, òî ïðè C 6= 0 èíòåãðàëû x→+∞ g(x) Z+∞ Z+∞ f (x)dx è g(x)dx ñõîäÿòñÿ èëè a a Z+∞ ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. Åñëè C = 0, òî èç ñõîäèìîñòè g(x)dx ñëåäóåò a Z+∞ ñõîäèìîñòü f (x)dx. a Çàìå÷àíèå 7.6.2.  âûøåïðèâåäåííûõ ïðèçíàêàõ äëÿ ñðàâíåíèÿ ÷àñòî Z+∞ èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàë âèäà: a dx dx, ãäå p > 0, a > 0. Ýòîò èíòåãðàë xp 14 ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ, åñëè p ≤ 1. Òåîðåìà 7.6.2 (Àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ). Åñ- Z+∞ Z+∞ ëè ñõîäèòñÿ |f (x)|dx, òî ñõîäèòñÿ è f (x)dx, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïðè a a ýòîì íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ. Ïðèìåð 7.6.3. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, èñïîëüçóÿ ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè: Z+∞ a) 1 Z+∞r dx √ ; á) x2 e x a) Îáîçíà÷èì f (x) = íåðàâåíñòâà 3 ln x dx; â) x Z+∞ 1 ln(1 + )dx. x 1 1 1 √ , g(x) = , òîãäà ïðè âñåõ x ≥ 1 âûïîëíÿþòñÿ x2 x2 e x 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Z+∞ Z+∞ 1 Ïîñêîëüêó g(x)dx = dx ñõîäèòñÿ, ÷òî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ x2 1 1 7.6.1, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 7.6.1) ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë Z+∞ Z+∞ 1 √ . f (x)dx = x2 e x 1 r á) Îáîçíà÷èì g(x) = íåðàâåíñòâà ò. ê. 1 ln x 1 , f (x) = √ , òîãäà ïðè âñåõ x ≥ 3 ñïðàâåäëèâû x x 0 ≤ f (x) ≤ g(x), √ ln x ≥ 1 ïðè x ≥ 3. Z+∞ Z+∞ 1 √ ðàñõîäèòñÿ, ÷òî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ Ïîñêîëüêó f (x)dx = x 3 3 7.6.1, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 7.6.1) ðàñõîäèòñÿ è èíòåãðàë Z+∞ Z+∞r ln x dx. g(x)dx = x 3 3 â) Èç òàáëèöû ýêâèâàëåíòíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî ln(1 + α) ∼ α ïðè 1 1 α → 0, òîãäà ln(1 + ) ∼ ïðè x → +∞. x x 15 Åñëè îáîçíà÷èòü f (x) = ln(1 + ïðè âñåõ x > 1 è lim ln(1 + x1 ) 1 x x→+∞ 1 1 ), g(x) = , òî f (x) > 0, g(x) > 0 x x = 1, ò. å. ôóíêöèè f (x) è g(x) óäîâëåòâî- ðÿþò óñëîâèÿì ïðåäåëüíîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 7.6.2). Îòêóäà Z+∞ Z+∞ 1 1 ïîëó÷èì, ÷òî èíòåãðàëû ln(1 + )dx è dx ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòx x 1 1 ñÿ îäíîâðåìåííî, íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ â ñèëó óòâåðæäåíèÿ, ïðèâåäåííîãî â çàìå÷àíèè 7.6.1. Z+∞ 1 Ñëåäîâàòåëüíî, ln(1 + )dx òàêæå ðàñõîäèòñÿ. x 1 7.7. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ Íàèáîëåå ïðîñòûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêîì àíàëèçå ñâÿçàíû ñ âû÷èñëåíèåì ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ê òàêèì ïðèìåðàì ìîæíî îòíåñòè îïðåäåëåíèå èçìåíåíèÿ èçëèøêà ïîòðåáèòåëÿ (ïðîèçâîäèòåëÿ) ïðè èçìåíåíèè öåíû òîâàðà, îöåíêó îáùåñòâåííûõ ïîòåðü îò ìîíîïîëèçàöèè ðûíêà è ò. ä. Çàäà÷è òàêîãî ðîäà äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàþòñÿ â ëþáîì ñåðüåçíîì ó÷åáíèêå ïî ìèêðîýêîíîìèêè. Íèæå ìû ïðåäñòàâèì ÷óòü áîëåå ñëîæíûé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å ïåðèîäà îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ïóòè, ïðîéäåííîãî òî÷êîé. Ïóñòü òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ñ ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ υ(t). Äâèæåíèå íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè T1 è çàêàí÷èâàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè T2 . Íàéäåì äëèíó ïóòè, ïðîéäåííîãî òî÷êîé ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿ ñêîðîñòè υ(t) íåïðåðûâíà íà [T1 , T2 ]. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê [T1 , T2 ] íà n ÷àñòåé òî÷êàìè T1 < t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t n = T2 è âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ξk ∈ [tk−1 , tk ], 1 ≤ k ≤ n. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà êàæäîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [tk−1 , tk ] òî÷êà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ðàâíîé υ(ξk ). Òîãäà ïóòü, ïðîéäåííûé îò ìîìåíòà âðåìåíè tk−1 äî tk , ðàâåí υ(ξk ) · (tk − tk−1 ) = υ(ξk ) · ∆tk , ãäå ∆tk = (tk − tk−1 ). Íåòðóäíî 16 âèäåòü, ÷òî ñóììà Sn = n X υ(ξk ) · ∆tk k=1 ïðèáëèæåííî ðàâíà ðåàëüíî ïðîéäåííîìó ïóòè S îò ìîìåíòà âðåìåíè t = T1 äî t = T2 . Ïðèáëèæåíèå òåì òî÷íåå, ÷åì ìåíüøå âðåìåííûå ïðîìåæóòêè [tk−1 , tk ], 1 ≤ k ≤ n. Îòñþäà ïóòü S ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå: S= lim n→∞ ( max ∆tk )→0 1≤k≤n n X υ(ξk ) · ∆tk . (7.7.1) k=1 Ñóììà ïîä çíàêîì ïðåäåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè υ(x) ïî ïðîìåæóòêó [T1 , T2 ]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåë â ïðà- ZT2 âîé ÷àñòè (7.7.1) ñóùåñòâóåò è ðàâåí υ(t)dt. T1 ZT2 υ(t)dt. Òàêèì îáðàçîì, S = T1 Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé.  ïðèìåðå 2.7.1 òåìû 2 áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î âû÷èñëåíèè âåëè÷èíû âêëàäà ÷åðåç ãîä ïðè íà÷èñëåíèè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ n ðàç â ãîä. Ïåðâîíà÷àëüíûé âêëàä ñîñòàâëÿë K0 äåíåæíûõ åäèíèö, âåëè÷èíà áàíêîâñêîé íîðp ìû ïðîöåíòà áûëà ðàâíà i. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè óñëîâèè p% ãîäîâûõ i = . 100 Åñëè áàíê ïðîèçâîäèò íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ n ðàç â ãîä è íà÷èñëÿåò µ ¶nêàæi p K0 . äûé ðàç ïî %, òî ÷åðåç ãîä âêëàä ñòàíåò ðàâíûì K1 = 1 + n n ×åì áîëüøå n ÷àñòîòà íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ, òåì áîëüøå âåëè÷èíà K1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàíê îáúÿâèë î "íåïðåðûâíîì" íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åðåç ãîä âêëàä÷èê ïîëó÷èò µ ¶n i K1 = lim 1 + K0 = K0 ei äåí. åäèíèö. n→∞ n ×åðåç t ëåò âåëè÷èíà âêëàäà ñòàíåò ðàâíîé Kt = K0 eit . Âûðàçèâ K0 ÷åðåç Kt , ïîëó÷èì K0 = Kt e−it . Âåëè÷èíà K0 = Kt e−it íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåííîé ñòîèìîñòüþ âåëè÷èíû Kt ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè. Ýòà âåëè÷èíà Kt e−it ðàâíà âêëàäó, êîòîðûé íàäî âëîæèòü â áàíê â íàñòîÿùèé ìîìåíò, ÷òîáû ÷åðåç t ëåò îí ñòàë ðàâíûì Kt äåíåæíûõ åäèíèö ïðè "íåïðåðûâíîì" íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ. Ïîïûòàåìñÿ îöåíèòü ñðîê îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé â óñëîâèÿõ "íåïðåðûâíîãî" íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ ñ áàíêîâñêîé íîðìîé ïðîöåíòà, ðàâíîé i. 17 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t0 = 0 â ïðåäïðèÿòèå áûëè âëîæåíû èíâåñòèöèè â îáúåìå A äåíåæíûõ åäèíèö.  ðåçóëüòàòå ýòîãî âûïóñê ïðåäïðèÿòèÿ çà 1 åäèíèöó âðåìåíè óâåëè÷èëñÿ è â ìîìåíò âðåìåíè t (t ≥ 0) äîïîëíèòåëüíûé âûïóñê ñîñòàâèë b(t) ðóáëåé (ò. å. b(t) ñêîðîñòü ðîñòà äîïîëíèòåëüíîãî âûïóñêà â ìîìåíò âðåìåíè t). Èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å î âû÷èñëåíèè ïóòè, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóììàðíîå óâåëè÷åíèå äîïîëíèòåëüíîãî âûïóñêà çà ïåðèîä [0, T ], ïðèâåäåííîå ê ìîìåíòó âðåìåíè t0 = 0, ðàâíî ZT e−it b(t)dt. 0 Ïðèáûëü ν(T ), ïîëó÷åííàÿ îò èíâåñòèöèé çà ïåðèîä [0, T ], âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ZT e−it b(t)dt − A. ν(T ) = 0 Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ôóíêöèÿ b(t) ïîñòîÿííà è ðàâíà ÷èñëó b, ïîëó÷èì ZT ZT e−it bdt − A = b ν(T ) = 0 0 ¯ ¶¯T ¯ e 1 − e−iT −it ¯ e dt − A = b − − A. −A = b i ¯¯ i µ −it 0 Äëÿ òîãî ÷òîáû èíâåñòèöèè îêóïèëèñü, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ν(T ) ≥ 0, ò. å. b 1 − e−iT − A ≥ 0. i 1 b ln ïðè i b − ai óñëîâèè, ÷òî b − ai > 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåðèîä îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé 1 b â óñëîâèÿõ çàäà÷è ðàâåí ln . i b − ai Çàäà÷à î íàõîæäåíèè ìàêñèìàëüíîé ïðèáûëè îò èíâåñòèöèé. Âûÿñíèì, êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ïðèáûëü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ìîæåò ïîëó÷èòü èíâåñòîð. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì, êàêîâà áóäåò ïðèáûëü ν(T ) ïðè T → ∞. Ðàññìîòðèì T Z ZT ν = lim ν(T ) = lim e−it bdt − A = lim b e−it dt − A = Ðåøåíèå ýòîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî T äàåò íàì T ≥ T →+∞ T →+∞ T →+∞ 0 = 0 b b lim (1 − e−iT ) − A = − A. i T →+∞ i 18 Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìûõ óñëîâèÿõ íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü b − A. i Îòìåòèì, ÷òî îöåíêà áûëà ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ íåñîáñòâåííîãî èíòåZ+∞ ZT ãðàëà be−it dt = lim be−it dt. ïðèáûëü áîëüøóþ, ÷åì T →+∞ 0 7.8. 0 Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ìåòîäû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé  îñíîâíîé òåîðåìå èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ (7.3) áûëà ïðèâåäåíà ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ê ñîæàëåíèþ, ïî ýòîé ôîðìóëå ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ëèøü íåáîëüøîé êëàññ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ïîñêîëüêó äëÿ ìíîãèõ íåïðåðûâíûõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé íå ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíîé, êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèáåãàþò ê ïðèáëèæåííîìó âû÷èñëåíèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Z b Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë a f (x)dx, ãäå f (x) íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà (7.1.2) ïîëó÷àåì Z n X b f (x)dx = a lim (max ∆xk )→0 k f (ξk )∆xk , k=1 ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f (x) íà [a, b]. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî Z b f (x)dx ≈ a n X f (ξk )∆xk , (7.8.1) k=1 ïðè÷åì ÷åì ìåíüøå êàæäîå ∆xk , òåì òî÷íåå ïðèáëèæåíèå.  çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] è òî÷åê ξk , 1 ≤ k ≤ n, ïîëó÷àþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 1. Ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïóñòü çàäàíî ÷èñëî n. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé (ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå) òî÷êàìè x0 = a, x1 = x0 + b−a b−a , . . . , x k = x0 + k , . . . , xn = b. n n 19 Çà òî÷êè ξk âûáåðåì ïðàâûå êîíöû ïðîìåæóòêîâ [tk−1 , tk ], ò. å. ξk = tk , 1 ≤ k ≤ n. Òàê êàê ðàçáèåíèå ðàâíîìåðíîå, òî ∆xk = xk − xk−1 = b−a , n 1 ≤ k ≤ n. Òîãäà ôîðìóëà (7.8.1) áóäåò èìåòü âèä: Z b n X b−a b−a f (x)dx ≈ f (ξk ) = (f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )) (7.8.2) n n a k=1 è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Åñëè òî÷êè ξk âçÿòü ñîâïàäàþùèìè ñ ëåâûìè êîíöàìè ïðîìåæóòêîâ [tk−1 , tk ], 1 ≤ k ≤ n, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ: Z b f (x)dx ≈ a b−a (f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn−1 )). n (7.8.3) Çàìå÷àíèå 7.8.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà [a, b], òî â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (7.8.2) è (7.8.3) ñòîÿò ïëîùàäè ñòóïåí÷àòûõ ôèãóð, ñîñòàâëåííûõ èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ (ðèñ. 7.1.1), ïðè÷åì â ôîðìóëå (7.8.2) òî÷êè ξk ñîâïàäàþò ñ ïðàâûì êîíöîì îòðåçêà [xk−1 , xk ], à â ôîðìóëå (7.8.3) ñ ëåâûì êîíöîì, îòñþäà è ñëåäóåò íàçâàíèå ýòèõ ôîðìóë. 2. Ôîðìóëà òðàïåöèé. Ïóñòü çàäàíî ÷èñëî n. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Ïîëîæèì Zb f (x)dx ≈ n X k=1 a n b−aX Sk = (f (xk ) + f (xk−1 )) = 2n k=1 ´ b − a ³ f (x0 ) + f (xn ) = + f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ) . n 2 Çàìå÷àíèå 7.8.2. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà [a, b], òî Sk = f (xk ) + f (xk−1 ) b − a · , 2 n 1 ≤ k ≤ n, åñòü ïëîùàäü ãåîìåòðè÷åñêîé òðàïåöèè, âïèñàííîé â êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ, ïîðîæäåííóþ ôóíêöèåé f (x) íà ïðîìåæóòêå [xk−1 , xk ]. Z9 Ïðèìåð 7.8.1. Âû÷èñëèì èíòåãðàë √ 6x − 5dx ïî ôîðìóëå Íüþòîíà 1 Ëåéáíèöà è ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé, ðàçáèâ èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íà 8 ðàâíûõ ÷àñòåé, îöåíèì â ïðîöåíòàõ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì. 20 Ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà Z9 I= √ 1 1 6x − 5dx = 6 Z9 1/2 (6x − 5) 1 ¯9 1 3/2 ¯ d(6x − 5) = (6x − 5) ¯ = 38. 1 9 Òåïåðü ðàçäåëèì èíòåðâàë [1, 9] íà 8 ðàâíûõ ÷àñòåé, íàéäåì äëèíó îäíîé ÷àñòè √ h = 1, òî÷êè äåëåíèÿ xi è çíà÷åíèÿ yi ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè y = 6x − 5 â ýòèõ òî÷êàõ: x0 x1 x2 x3 x4 = 1, = 2, = 3, = 4, = 5, √ y0 = √1 = 1,0000; y1 = √ 7 = 2,6458; y2 = √13 = 3,6056; y3 = √19 = 4,3589; y4 = 25 = 5,0000. x5 x6 x7 x8 = 6, = 7, = 8, = 9, y5 y6 y7 y8 √ = √31 = 5,5678; = √37 = 6,0828; = √43 = 6,5574; = 49 = 7,0000; Çàòåì âû÷èñëèì èíòåãðàë ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì. Ïî ôîðìóëå ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ I ≈ 7 P i=0 yi = 34,8183. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà 38 − 34,8183 = 3,1817, à îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 3,1817 · 100/38% ≈ 8,37%. Ïî ôîðìóëå ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ I ≈ 8 P i=1 yi = 40,8183. Çäåñü àáñî- ëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 40,8183 − 38 = 2,8183, à îòíîñèòåëüíàÿ ðàâíà 2,8183 · 100/38% ≈ 7,42%. Ïî ôîðìóëå òðàïåöèé I ≈ 4 + 7 P i=1 yi = 37,8183. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåø- íîñòü ýòîãî ðåçóëüòàòà ñîñòàâëÿåò 0,1817, à îòíîñèòåëüíàÿ ðàâíà 0,1817 · 100/38% ≈ 0,48%. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ íàäî ðàçáèòü íå íà âîñåìü, à íà áîëüøåå ÷èñëî ÷àñòåé. Âûâîäû • Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë åñòü ÷èñëî, ðàâíîå ïðåäåëó èíòåãðàëüíûõ ñóìì, ñîñòàâëåííûõ äëÿ åãî ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó èíòåãðèðîâàíèÿ. • Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå, òî îíà èíòåãðèðóåìà íà ýòîì îòðåçêå. 21 Z • Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà b a f (x)dx äëÿ íåïðå- ðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè f (x) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ïîðîæäåííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a, b]. • Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äàþò ïðàâèëà èíòåãðèðîâàíèÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé, ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ôóíêöèé è óñòàíàâëèâàþò ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. • Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà äàåò ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ áîëüøîãî êëàññà ôóíêöèé, ïåðâîîáðàçíûå êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè. • Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííûõ è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè ìåòîäàìè âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ ðàñøèðÿåò ìíîæåñòâî îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû. • Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîãî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ è íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Ýòè îáîáùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. • Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé èëè åå òðóäíî íàéòè, òî îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïðèáëèæåííî. Ïðîñòåéøèìè ôîðìóëàìè ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = C , ãäå C ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ, ñîñòàâüòå èíòåãðàëüíóþ Z ñóììó íà îòðåçêå [a, b] è óáåäèòåñü, ÷òî b a Cdx = C(b − a). 2.  ÷åì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè? 3. Ïåðå÷èñëèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. 4. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû îá èíòåãðèðîâàíèè íåðàâåíñòâ è îá îöåíêå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 22 5. Âîñïîëüçóéòåñü òåîðåìîé Áàððîó è íàéäèòå ñëåäóþùèå ïðîèçâîäíûå: Z Z d dx xp 2 1 + t2 dt, 6 d dx x cos 3tdt. 6. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíóþ òåîðåìó èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è ïî ôîðìóëå íàéäèòå ñëåäóþùèå îïðåäåëåííûå èíòåZ Z ÍüþòîíàËåéáíèöà 4 ãðàëû: 1 dx √ , x 3 0 (2x2 − 3)dx. 7. Âîñïîëüçóéòåñü òåîðåìîé î çàìåíå ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåZ 6 ãðàëå è âû÷èñëèòå 3 √ x x − 2dx, ñäåëàâ çàìåíó x = t2 + 2. 8. Côîðìóëèðóéòå òåîðåìó îá èíòåãðèðîâàíèè ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì Z 1 èíòåãðàëå è âû÷èñëèòå èíòåãðàë 0 (x − 3)ex dx. 9. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû íàéäèòå ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé y = x2 è ïðÿìîé y = 4. Z 5 dx dx ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà è ïî 2 4 x ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ðàçáèâ èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íà 5 ðàâíûõ ÷àñòåé. Îöåíèòå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ. 10. Âû÷èñëèòå èíòåãðàë Áèáëèîãðàôèÿ 1. Âåäèíà Î.È., Äåñíèöêàÿ Â.Í., Âàðôîëîìååâà Ã.Á., Òàðàñþê À.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç äëÿ ýêîíîìèñòîâ. Ì.: Äåëî, 2003. 2. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â ýêîíîìè÷åñêîì îáðàçîâàíèè. Ì.: Äåëî, 2001. 3. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ/ ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà. Ì.: ÞÍÈÒÈ, 2004. 4. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè/ ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà. Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005. 5. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ/ ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà. Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005. 23 6. Çåíêåâè÷ Í.À., Åâñååâ Å.À., Ëóêüÿíîâà À.Å., Ñìèðíîâà Å.Ë. Êîíñïåêò ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ýêîíîìèñòîâ è ìåíåäæåðîâ. ÑÏá.: ÌÁÈ, 2002. 7. Êóçþòèí Ä.Â., Áóäàãîâ À.Ñ., Êóëüòèíà Ì.Â., Ñóðâèëëî Ò.Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×. 1. ÑÏá.: ÌÁÈ, 1999. 8. Ñìèðíîâà Å.Ë. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×. 3: Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. ÑÏá.: ÌÁÈ, 2005. 24