ÒÅÌÀ 3. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Öåëü è çàäà÷è. Öåëü êîíòåíòà òåìû 3 ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ îñíîâíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ (ðåøåíèÿ) ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 3: • Ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèè ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè ëèíåéíûõ ñèñòåì (òåîðåìû Êðîíåêåðà-Êàïåëëè). • Ïðîäåìîíñòðèðîâàòü âû÷èñëèòåëüíóþ ñõåìó ìåòîäà Ãàóññà (ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ) íà ðÿäå ÷èñëåííûõ ïðèìåðîâ, à òàêæå ïðåäñòàâèòü ôîðìàëèçîâàííûé àëãîðèòì ýòîãî ìåòîäà â îáùåì ñëó÷àå. • Èçó÷èòü ñòðóêòóðó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé è íåîäíîðîäíîé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. • Ïðåäñòàâèòü ìåòîä Êðàìåðà ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû. Îãëàâëåíèå. 3.1. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè. 3.2. Ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. 3.3. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. 3.4. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. 3.5. Êâàäðàòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Òåîðåìà Êðàìåðà. 3.1 Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè. Óæå â 1.2 ïðè èçó÷åíèè âîïðîñà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè (íåçàâèñèìîñòè) ñèñòåì âåêòîðîâ èç ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ñòîëêíóëèñü ñ íåîáõîäèìîñòüþ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. 1 Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì âîñòðåáîâàíû âî ìíîãèõ ðàçäåëàõ ìèêðî- è ìàêðîýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà. Äîñòàòî÷íî óïîìÿíóòü ïîèñê ÷àñòè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ íà ðûíêå ñ ëèíåéíûì ñïðîñîì è ïðåäëîæåíèåì, ëèíåéíóþ ìîäåëü Ëåîíòüåâà ìíîãîîòðàñëåâîé ýêîíîìèêè, IS-LMìîäåëü â ìàêðîýêîíîìèêå è äð. Êðîìå òîãî, èññëåäîâàíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ëåæèò â îñíîâå òàêèõ âàæíûõ è âîñòðåáîâàííûõ â ýêîíîìèêå è ìåíåäæìåíòå ðàçäåëîâ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, êàê ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ýêîíîìåòðèêà. Ïåðåéäåì ê ôîðìàëèçîâàííîìó îïèñàíèþ îñíîâ òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. À èìåííî, ðàññìîòðèì ñèñòåìó m ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xn : a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a x + a x + · · · + a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 . .. a x + a x + · · · + a x = b . m1 1 m2 2 mn n m (3.1.1) ×èñëà aij ïðèíÿòî íàçûâàòü êîýôôèöèåíòàìè (ïðè íåèçâåñòíûõ), à ÷èñëà bi ñâîáîäíûìè ÷ëåíàìè. Ìàòðèöà A[m×n] = (aij ), ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñèñòåìû (3.1.1). Åñëè ê ýòîé ìàòðèöå äîáàâèòü (ñïðàâà) ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b = (b1 , b2 , . . . , bm )T , òî ïîëó÷èì ìàòðèöó (A, b)[m × (n + 1)], íàçûâàåìóþ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (3.1.1). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîì ñòîëáöå āj ìàòðèöû ñèñòåìû åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà (3.1.1) íå íåñåò â ñåáå íèêàêîé èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî âîçìîæíûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé íåèçâåñòíîãî xj . Ëèíåéíóþ ñèñòåìó (3.1.1) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå: Ax = b, (3.1.2) ãäå x = (x1 , x2 . . . . , xn )T ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ, ëèáî: 1 2 n x1 ā + x2 ā + · · · + xn ā = n X xj āj = b. (3.1.3) j=1 Åñëè âñå ñâîáîäíûå ÷ëåíû b1 , b2 , . . . , bm â ñèñòåìå (3.1.1) ðàâíû íóëþ, ëèíåéíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé. Ðåøåíèåì ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.1.1) áóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë x̄ = (x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n ), ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðûõ â ñèñòåìó êàæäîå èç m óðàâíåíèé îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî. 2 Ñèñòåìà, èìåþùàÿ õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé. Ñèñòåìà, íå èìåþùàÿ ðåøåíèé, íàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòíîé. Ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííîé, åñëè îíà èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå, è íåîïðåäåëåííîé, åñëè ðåøåíèé áîëüøå. Çàìå÷àíèå 3.1.1. Çàäà÷à ïîèñêà êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.1.1) ýêâèâàëåíòíà â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.3) çàäà÷å ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà b ïî âåêòîðàì ā1 , . . . , ān , ò. å. ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðà b â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ā1 , . . . , ān . Ðîëü êîýôôèöèåíòîâ â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè èãðàþò íåèçâåñòíûå x1 , . . . , xn . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö āj ìàòðèöû ñèñòåìû àññîöèèðîâàí ñî "ñâîåé" íåèçâåñòíîé xj . Äâå ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îäíèõ è òåõ æå íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xn ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (âîçìîæíî, ïóñòîå). Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëî óðàâíåíèé â ðàâíîñèëüíûõ ñèñòåìàõ íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò. Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñâÿçàíû ñ ïåðåâîäîì èñõîäíîé ñèñòåìû (3.1.1) â áîëåå ïðîñòóþ ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó. Ýòîò ïåðåâîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òàê íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèñòåìû, ê êîòîðûì ìû îòíåñåì ñëåäóþùèå: • îáìåí ìåñòàìè äâóõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå; • óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ íà ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ; • ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî óðàâíåíèÿ òîé æå ñèñòåìû, óìíîæåííîãî ïðåäâàðèòåëüíî íà íåêîòîðîå ÷èñëî; • èñêëþ÷åíèå èç ñèñòåìû òîæäåñòâ. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò èñõîäíóþ ñèñòåìó â ðàâíîñèëüíóþ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ñðàâíèòü îòìå÷åííûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ñ ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè íàä ñòðîêàìè ìàòðèöû. Ëåììà 3.1.1. Ïóñòü âåêòîðû {ā1 , ā2 , . . . , ār } ëèíåéíî íåçàâèñèìû è âåêòîð b̄ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýòèõ âåêòîðîâ. Òîãäà rang {ā1 , ā2 , . . . , ār , b̄} = r. Ëåììà 3.1.2. Åñëè âåêòîð b̄ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ ā1 , ā2 , . . . , ān , òî rang {ā1 , ā2 , . . . , ān } = rang {ā1 , ā2 , . . . , ān , b̄}. 3 Ëåììà 3.1.3. Ïóñòü V è W äâå ñèñòåìû âåêòîðîâ èç íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, è V ⊂ W . Åñëè rang V = rang W , òî êàæäûé áàçèñ ñèñòåìû V ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ñèñòåìû W , à êàæäûé âåêòîð èç W ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç V . Ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.1.1) êëþ÷åâûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î åå ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè. Îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ ïîìîãàþò ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû, íàçûâàåìûå òåîðåìàìè Êðîíåêåðà Êàïåëëè. Òåîðåìà 3.1.1(óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè). Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.1.1) áûëà ñîâìåñòíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû ñîâïàäàë ñ ðàíãîì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû: rang A = rang (A, b). Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè ñëåäóåò èç ëåììû 3.1.2, à äîñòàòî÷íîñòè èç ëåììû 3.1.3. Îòìåòèì, ÷òî åñëè óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ, òî rang (A, b) = rang A + 1. Òåîðåìà 3.1.2(óñëîâèå îïðåäåëåííîñòè). Ïóñòü ñèñòåìà (3.1.1) ñîâìåñòíà, òî åñòü rang (A, b) = rang A = r(A). Åñëè ðàíã ìàòðèöû ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ðàâåí ÷èñëó íåèçâåñòíûõ (òî åñòü r(A) = n), ñèñòåìà (3.1.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Åñëè ðàíã ìàòðèöû ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ (òî åñòü r(A) < n), ñèñòåìà (3.1.1) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. 3.2 Ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ìåòîä Ãàóññà (èëè ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ) ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì àëãîðèòìîì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðîñòåéøóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñõåìó ýòîãî ìåòîäà ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì ñíà÷àëà íà ðÿäå ïðèìåðîâ. Ïðèìåð 3.2.1. Ðåøèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé: x1 + x2 + x3 = 2, 3x1 + 2x2 + 2x3 = 1, 4x1 + 3x2 + 2x3 = 4. 4 Ñ öåëüþ èñêëþ÷èòü íåèçâåñòíóþ x1 èç âñåõ óðàâíåíèé, êðîìå ïåðâîãî, ïðèáàâèì êî âòîðîìó óðàâíåíèþ ïåðâîå óðàâíåíèå, óìíîæåííîå íà (−3), à ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ ïåðâîå, óìíîæåííîå íà (−4). Ïîëó÷èòñÿ ñëåäóþùàÿ ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà: x1 + x2 + x3 = 2, − x2 − x3 = −5, − x2 − 2x3 = −4. Ñ öåëüþ èñêëþ÷èòü íåèçâåñòíóþ x2 èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ, ïðèáàâèì ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ âòîðîå óðàâíåíèå, óìíîæåííîå íà (−1): x1 + x2 + − x2 − x3 = 2, x3 = −5, −x3 = 1. Îòìåòèì, ÷òî ìàòðèöà ïîñëåäíåé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé òðåóãîëüíîé, âñå ýëåìåíòû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè îòëè÷íû îò íóëÿ. Ïðîâåäåííàÿ âûøå öåïî÷êà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîñòàâëÿåò òàê íàçûâàåìûé ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà. Êðîìå òîãî, rang (A, b) = rang A = n = 3, è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìàìè Êðîíåêåðà Êàïåëëè ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Êîìïîíåíòû ýòîãî ðåøåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ èç ïîñëåäíåé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî îáðàòíîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà (íà÷èíàÿ ñ íèæíåãî óðàâíåíèÿ): x3 = −1, x2 = −x3 + 5 = 6, x1 = −x2 − x3 + 2 = −3. Ïðèìåð 3.2.2. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé: x1 + x2 + x3 = 2, 3x + 2x2 + 2x3 = 1, 1 4x1 + 3x2 + 3x3 = 4. Ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ (òî åñòü ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà) â äàííîì ñëó÷àå ïîâòîðÿåò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîäðîáíî ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.  ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà 5 Ãàóññà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîé ñèñòåìó ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû: x1 + x2 + x3 = 2, − x2 − x3 = −5, 0 = 1. Ïîíÿòíî, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíà.  äàííîì ñëó÷àå rang A = 2 < rang (A, b) = 3, è îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà íå èñïîëüçóåòñÿ. Ïðèìåð 3.2.3. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé: x1 + x2 + x3 = 2, 3x + 2x2 + 2x3 = 1, 1 4x1 + 3x2 + 3x3 = 3. Ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ â äàííîì ñëó÷àå ïîâòîðÿåò ïðåîáðàçîâàíèÿ, èñïîëüçîâàííûå â ïðèìåðàõ 3.2.1 è 3.2.2.  ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîé ñèñòåìó ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû: ½ x1 + x2 + x3 = 2, − x2 − x3 = −5. Îòìåòèì, ÷òî rang A = rang (A, b) = 2 < n = 3, è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìàìè Êðîíåêåðà Êàïåëëè äàííàÿ ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ïîñêîëüêó â ïîñëåäíåé ñèñòåìå ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé íà åäèíèöó ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå îäíîé èç êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (íàïðèìåð, x3 ) ìîæåò áûòü âûáðàíî èññëåäîâàòåëåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Íàçîâåì íåèçâåñòíóþ x3 ñâîáîäíîé è ïåðåíåñåì åå â ïðàâóþ ÷àñòü: ½ x1 + x2 = − x3 + 2, − x2 = x3 − 5. Çíà÷åíèÿ îñòàâøèõñÿ êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (x2 è x1 ) ïîñëåäîâàòåëüíî âûðàæàþòñÿ (÷åðåç ñâîáîäíóþ íåèçâåñòíóþ x3 ) ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà: x2 = −x3 + 5, x1 = −x2 − x3 + 2 = (x3 − 5) − x3 + 2 = −3. 6 Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû (èëè òàê íàçûâàåìîå îáùåå ðåøåíèå) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: x1 = −3, x2 = −x3 + 5, x3 ∈ R 1 . Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíîé íåèçâåñòíîé x3 êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü êîíêðåòíûå (÷àñòíûå) ðåøåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû. Íàïðèìåð, ïðè x3 = 2 ïîëó÷èì: x1 = −3 è x2 = 3, à ïðè x3 = 0 ñîîòâåòñòâåííî x1 = −3 è x2 = 5. Ïåðåéäåì ê ôîðìàëèçîâàííîìó îïèñàíèþ ìåòîäà Ãàóññà ðåøåíèÿ (èññëåäîâàíèÿ) ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.1.1). Ýòàï 1 (ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà). Íà äàííîì ýòàïå èñõîäíàÿ ñèñòåìà (3.1.1) ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (è, âîçìîæíî, èçìåíåíèÿ åñòåñòâåííîãî ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ íåèçâåñòíûõ â êàæäîì èç óðàâíåíèé ñèñòåìû) ïðèâîäèòñÿ ê ðàâíîñèëüíîé ñèñòåìå ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû (3.2.1): x1 + α12 x2 + . . . + α1r xr + α1,r+1 xr+1 + . . . + α1n xn = β1 , x2 + . . . + α2r xr + α2,r+1 xr+1 + . . . + α2n xn = β2 , .. . xr + αr,r+1 xr+1 + . . . + αrn xn = βr , 0 = βr+1 , .. . 0 = βm . Çäåñü r = r(A) ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû (3.1.1) è (3.2.1), r ≤ min{m, n}; x1 , x2 , . . . , xr íåèçâåñòíûå, ñòîÿùèå ñ åäèíè÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè íà "ãëàâíîé äèàãîíàëè"ìàòðèöû ñèñòåìû (3.2.1). Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî íå îáÿçàòåëüíî ïåðâûå ïî ïîðÿäêó r íåèçâåñòíûõ èñõîäíîé ñèñòåìû, õîòÿ îáîçíà÷åíèÿ â ñèñòåìå (3.2.1) îòâå÷àþò èìåííî ýòîìó ñëó÷àþ. Ýòàï 2. Àíàëèç ñèñòåìû (3.2.1). Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë βr+1 , . . . , βm â ïîñëåäíèõ (m − r) ñòðîêàõ ïðàâîé ÷àñòè (3.2.1) îòëè÷íî îò íóëÿ, òî ñèñòåìà (3.2.1), à çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíû (r(A) < r(A, b)).  ýòîì ñëó÷àå àíàëèç èñõîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû çàâåðøåí. Ïóñòü βr+1 = βr+2 = . . . = βm = 0. Òîãäà r = r(A) = r(A, b), è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1.1 ñèñòåìà ñîâìåñòíà. Åñëè, êðîìå òîãî, r = n, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1.2 ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, à ìàòðèöà ñèñòåìû (3.2.1) âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ. 7  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïåðåõîäèòü ê ýòàïó 3 (îáðàòíîìó õîäó ìåòîäà Ãàóññà). Åñëè æå r < n, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1.2 ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ðåêîìåíäóåì â äàííîì ñëó÷àå ïåðåíåñòè ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå xr+1 , . . . , xn , â ïðàâóþ ÷àñòü, òî åñòü ïåðåïèñàòü ñèñòåìó (3.2.1) â ñëåäóþùåì âèäå (3.2.2): x1 + α12 x2 + . . . + α1r xr = β1 − α1,r+1 xr+1 − . . . − α1n xn , x2 + . . . + α2r xr = β2 − α2,r+1 xr+1 − . . . − α2n xn , .. . x =β − α x − ... − α x . r r r,r+1 r+1 rn n  ïîñëåäíåé ñèñòåìå (n − r) íåèçâåñòíûõ xr+1 , . . . , xn íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè. Âûáîð êîíêðåòíûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ýòèõ íåèçâåñòíûõ ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ èññëåäîâàòåëåì ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî (ëèáî ñ ó÷åòîì êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, êîòîðûå íå îòðàæåíû èçíà÷àëüíî â ñèñòåìå (3.1.1)). Îñòàëüíûå r íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xr îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Ýòàï 3. Îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà. Íà äàííîì ýòàïå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xr (â îáðàòíîì ïîðÿäêå) ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû (3.2.1) (ñëó÷àé r = n) ëèáî èç ñèñòåìû (3.2.2) (ñëó÷àé r < n).  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû ðåøàþòñÿ, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíèõ (íèæíèõ) óðàâíåíèé. Ïðèìåð 3.2.4. Ðåøèì ìåòîäîì Ãàóññà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé x1 x1 2x 1 3x1 + + + + 4x2 3x2 8x2 10x2 + + + + 3x3 x3 6x3 5x3 + + + + 4x4 2x4 9x4 7x4 + + + + 5x5 x5 12x5 5x5 = = = = 1, 2, 1, 6. (3.2.3) 1) Ïðÿìîé õîä: x1 + ⇐⇒ (3.2.3) ⇐⇒ 4x2 + 3x3 + 4x4 x2 + 2x3 + 2x4 x4 −2x2 − 4x3 − 5x4 + 5x5 + 4x5 + 2x5 − 10x5 = 1, = −1, ⇐⇒ = −1, = 3. 8 x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 + x2 + 2x3 + 2x4 + ⇐⇒ x4 + − x4 − x1 + 4x2 + 4x4 + 3x3 x2 + 2x4 + 2x3 ⇐⇒ x4 5x5 4x5 2x5 2x5 = 1, = −1, (∗) ⇐⇒ = −1, = 1. + 5x5 + 4x5 + 2x5 0 = 1, = −1, = −1, = 0. (3.2.4) Ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà (3.2.4) èìååò ìàòðèöó òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû (÷òîáû äîáèòüñÿ ýòîãî, íàì ïðèøëîñü ïðè ðàâíîñèëüíîì ïåðåõîäå (∗) èçìåíèòü åñòåñòâåííîå ðàñïîëîæåíèå ñëàãàåìûõ ñ íåèçâåñòíûìè x3 è x4 â êàæäîì èç óðàâíåíèé ñèñòåìû). 2) Àíàëèç ñèñòåìû (3.2.4): Îòìåòèì, ÷òî r = r(A) = r(A, b) = 3, n = 5, ò. å. r < n. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (3.2.3) ñîâìåñòíà è èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ïåðåíåñåì äâå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå x3 è x5 â ïðàâóþ ÷àñòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñèñòåìó âèäà (3.2.2): x1 + 4x2 + 4x4 = 1 − 3x3 − 5x5 , x2 + 2x4 = −1 − 2x3 − 4x5 , x4 = −1 − 2x5 . (3.2.5) 3) Îáðàòíûé õîä: Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ x3 è x5 óæå âûáðàíû. Âûðàçèì çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ íåèçâåñòíûõ x4 , x2 è x1 ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå, ïîñëåäîâàòåëüíî (ñíèçó ââåðõ) ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.2.5). Ïîëó÷èì, ÷òî âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.2.3) èìåþò âèä: x1 x2 x3 x 4 x5 3.3 = = ∈ = ∈ 1 + 5x3 + 3x5 , 1 − 2x3 , R1 , −1 − 2x5 , R1 . Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà 9 Rn . Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ðàâíà êîëè÷åñòâó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ â ñèñòåìå. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó m ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé a11 x1 + . . . + a1n xn = 0, .. .. ⇐⇒ Ax = 0̄ (3.3.1) . . am1 x1 + . . . + amn xn = 0. è ñèñòåìó ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî òåõ æå íåèçâåñòíûõ è ñ òàêîé æå ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ a11 x1 + . . . + a1n xn .. . am1 x1 + . . . + amn xn = b1 , .. ⇐⇒ Ax = b. . = bm . (3.3.2)  ïîñëåäíåé ñèñòåìå õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë b1 , b2 , . . . , bm ïðåäïîëàãàåòñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ. Ëèíåéíûå ñèñòåìû (3.3.1) è (3.3.2) áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèìè äðóã äðóãó. Çàìå÷àíèå 3.3.1. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (3.3.1) âñåãäà ñîâìåñòíà, òàê êàê èìååò î÷åâèäíîå ðåøåíèå x̄ = (0, 0, . . . , 0)T , íàçûâàåìîå òðèâèàëüíûì. Ýòîò æå ôàêò ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.1.1, ïîñêîëüêó rang A = rang (A, 0̄). Ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.3.1) áóäåì íàçûâàòü íåòðèâèàëüíûì. Òåîðåìà 3.3.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû îäíîðîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà (3.3.1) èìåëà íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû áûë ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ (rang A < n). Äîêàçàòåëüñòâî: Äîñòàòî÷íîñòü ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.1.2. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ñèñòåìà (3.3.1) èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Êðîìå òîãî, îíà, áåçóñëîâíî, èìååò è òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, à çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé. Ñ ó÷åòîì òåîðåìû 3.1.2 ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû íå ìîæåò áûòü ðàâåí ÷èñëó íåèçâåñòíûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, r(A) < n. Ñëåäñòâèå 3.3.1. Åñëè ÷èñëî íåèçâåñòíûõ â îäíîðîäíîé ñèñòåìå (3.3.1) áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé (n > m), äàííàÿ ñèñòåìà îáÿçàòåëüíî èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Ïóñòü â îäíîðîäíîé ñèñòåìå (3.3.1) rang A = r < n; x̄, x̃ äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ (3.3.1); λ ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Òîãäà âåêòîðû (x̄ + x̃) è λx̄ òàêæå áóäóò ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèÿìè ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ëèíåéíîé îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.1) îáðàçóåò ïîäïðîñòðàíñòâî W ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Rn . Îòìåòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå r < n èñõîäíàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (3.3.1) èìååò (n − r) ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ è ñ ïîìîùüþ ýëå10 ìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó (3.2.2). Ïóñòü xr+1 , xr+2 , . . . , xn ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Íàïîìíèì, ÷òî îñòàëüíûå r íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xr îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñîâîêóïíîñòü èç k = n − r ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1): x̄1 = (x̄11 , . . . , x̄1r , 1, 0, 0, . . . , 0)T , x̄2 = (x̄2 , . . . , x̄2 , 0, 1, 0, . . . , 0)T , 1 r . .. x̄k = (x̄k , . . . , x̄k , 0, 0, 0, . . . , 1)T . 1 (3.3.3) r Êàæäîå èç ðåøåíèé ñîâîêóïíîñòè (3.3.3) ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðèäàâ îäíîé èç ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, à îñòàëüíûì çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî íàáîð ðåøåíèé (3.3.3) îáðàçóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ. Êðîìå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ðåøåíèå x̄ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè1 ðåøåíèé èç ñîâîêóïíîñòè (3.3.3): x̄ = c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + ck x̄k . (3.3.4) Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ x̄1 , x̄2 , . . . , x̄k îáðàçóþò áàçèñ ìíîæåñòâà W âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Îòìåòèì, ÷òî dimW = k = n − r. Áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà W = W n−r âñåõ ðåøåíèé ëèíåéíîé îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.1) ïðèíÿòî íàçûâàòü ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé. Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íàèáîëåå óäîáíîé (åñòåñòâåííîé) ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé (3.3.3) èçëîæåí âûøå. Ðåøåíèÿ x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r , ñîñòàâëÿþùèå ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, íàçûâàþò áàçèñíûìè ðåøåíèÿìè. Êîëè÷åñòâî áàçèñíûõ ðåøåíèé ðàâíî n − r. Ïóñòü ā1 , ā2 , . . . , āk âåêòîðû èç íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ (ñ ïðîèçâîëüíûìè âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè t1 , t2 , . . . tk ) ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ ā1 , ā2 , . . . , āk íàçûâàþò ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ýòèõ âåêòîðîâ è îáîçíà÷àþò Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk }: Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk } = = {t1 ā1 + t2 ā2 + . . . + tk āk | t1 ∈ R1 , . . . , tk ∈ R1 }. Ñâîéñòâî 3.3.1. Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk } ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ {ā1 , ā2 , . . . , āk } ëèíåéíî 1 Óòî÷íèì, ÷òî â ðàçëîæåíèè (3.3.4) ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1) x̄ = (x̄1 , x̄2 , . . . , x̄r , x̄r+1 , . . . , x̄n )T ïî âåêòîðàì x̄1 , x̄2 , . . . , x̄k êîýôôèöèåíòû c1 , c2 , . . . , ck ñîâïàäàþò ñ ÷èñëàìè x̄r+1 , x̄r+2 , . . . , x̄n , ò. å. ñ ïîñëåäíèìè (n − r) êîìïîíåíòàìè âåêòîðà x̄. 11 íåçàâèñèìà, òî îíà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ýòîãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, è ðàçìåðíîñòü Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk } ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì k èñõîäíûõ âåêòîðîâ. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r (3.3.5) áàçèñíûõ ðåøåíèé x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.1). Åñëè êîýôôèöèåíòàì c1 , c2 , . . . , cn−r ïðèäàòü êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (3.3.5) îïðåäåëÿåò êîíêðåòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.3.1), íàçûâàåìîå ÷àñòíûì ðåøåíèåì. Ïåðåáèðàÿ âñå âîçìîæíûå íàáîðû âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ c1 , c2 , . . . , cn−r , ìîæíî ïîëó÷èòü âñå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Òåîðåìà 3.3.2.(î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé). Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé (rang A = r < n) ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.3.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ îáîëî÷êó (n − r) áàçèñíûõ ðåøåíèé: W n−r = Lin{x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r }. Ïðèìåð 3.3.1. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: x1 − 2x2 + 2x3 −x4 = 0, x1 − 3x2 + x3 −4x4 = 0, 2x1 − 5x2 + 3x3 −5x4 = 0. Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé (ñì. ñëåäñòâèå 3.1.1). Ðåçóëüòàòîì ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà áóäåò ñëåäóþùàÿ ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà: ½ x1 x2 + 4x3 + 5x4 = 0, + x3 + 3x4 = 0. Ïåðåíåñåì (n − r) = 2 ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ x3 è x4 â ïðàâóþ ÷àñòü è ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé W 2 îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå: x1 x2 x 3 x4 = = ∈ ∈ −4x3 − 5x4 , −x3 − 3x4 , R1 , R1 . 12 Ïîñòðîèì áàçèñíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû: x̄1 = (−4, −1, 1, 0)T ; x̄2 = (−5, −3, 0, 1)T . Òîãäà îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.3.2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: W 2 = Lin{(−4, −1, 1, 0)T ; (−5, −3, 0, 1)T } = = {c1 (−4, −1, 1, 0)T + c2 (−5, −3, 0, 1)T | c1 ∈ R1 , c2 ∈ R1 }. 3.4 Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Óñòàíîâèì ñâÿçü ìíîæåñòâà âñåõ ðåøåíèé ñîâìåñòíîé íåîïðåäåëåííîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1.2) è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.1.1). Ïóñòü r(A) < n, x = (x1 , . . . , xn )T íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (3.3.2), íàçûâàåìîå ÷àñòíûì ðåøåíèåì, à x = (x1 , . . . , xn )T ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ýòîé æå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: x̄ = x − x. Òîãäà Ax̄ = A(x − x) = Ax − Ax = b − b = 0̄. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð x̄ = x − x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, x = x + x̄, ãäå x̄ ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.3.1). Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.3.2) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ îäíîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ x ýòîé æå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû è ïîäõîäÿùåãî ðåøåíèÿ x̄ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.2) ÷åðåç Ω. Òåîðåìà 3.4.1.(î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé). Ïóñòü â ñîâìåñòíîé ñèñòåìå (3.1.2) rang A = r < n. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû: Ω = x + W n−r = = {x + c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r | c1 ∈ R1 , . . . , cn−r ∈ R1 } . Îòìåòèì, ÷òî çíàê = â ïîñëåäíåé çàïèñè îçíà÷àåò ðàâåíñòâî äâóõ ìíîæåñòâ èç Rn . 13 Ïðèìåð 3.4.1. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ íåîäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: x1 − 2x2 + 2x3 −x4 = 0, x − 3x2 + x3 −4x4 = −5, 1 2x1 − 5x2 + 3x3 −5x4 = −5. Îòìåòèì, ÷òî ýòîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìå ñîîòâåòñòâóåò îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà, ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå 3.3.1 (ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ó íèõ îäèíàêîâûå). Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ìåòîäîì Ãàóññà ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ìíîæåñòâó ðåøåíèé: x1 x2 x 3 x4 = = ∈ ∈ 10 − 4x3 − 5x4 , 5 − x3 − 3x4 , R1 , R1 . Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû, íàïðèìåð, ïðèäàâ ñâîáîäíûì íåèçâåñòíûì çíà÷åíèÿ, ðàâíûå íóëþ: x = (10, 5, 0, 0)T . Òîãäà îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.4.1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: Ω = x + W2 = = {(10, 5, 0, 0)T + c1 (−4, −1, 1, 0)T + +c2 (−5, −3, 0, 1)T | c1 ∈ R1 , c2 ∈ R1 } . Ñëåäñòâèå 3.4.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû çàäàòü ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé (r < n) ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.3.2), äîñòàòî÷íî íàéòè îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû è (n − r) ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû. Çàìå÷àíèå 3.4.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîäîáðàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ëèíåéíîé ñèñòåìû, äîñòàòî÷íî: • ïðèâåñòè ýòó ñèñòåìó ê âèäó (3.2.2); • ïîëîæèòü â ïîñëåäíåé ñèñòåìå âñå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå ðàâíûìè íóëþ; • íàéòè çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ íåèçâåñòíûõ, ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.2.2), íà÷èíàÿ ñ íèæíåãî. 14 3.5 Êâàäðàòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Òåîðåìà Êðàìåðà Îòäåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ó êîòîðûõ êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ. À èìåííî, ðàññìîòðèì ñèñòåìó n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , .. . an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn . (3.5.1) Ñèñòåìó (3.5.1) ïðèíÿòî íàçûâàòü êâàäðàòíîé (òàê êàê ìàòðèöà ñèñòåìû A[n × n] êâàäðàòíàÿ). Çàìå÷àíèå 3.5.1. Âñå ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â 3.1-3.4 äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì îáùåãî âèäà, â ïîëíîé ìåðå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ è íà êâàäðàòíûå ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà. Òåì íå ìåíåå, ìû ïðåäñòàâèì â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì (èñïîëüçóåìûé, íàïðèìåð, ïðè ïðîâåäåíèè àíàëèçà íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ ìàêðîýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëåé). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: • ∆ = detA îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñèñòåìû (3.5.1); • ∆j = det(ā1 , . . . , āj−1 , b, āj+1 , . . . , ān ) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç A çàìåíîé ñòîëáöà āj íà ñòîëáåö b ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñèñòåìû (3.5.1). Òåîðåìà 3.5.1.(òåîðåìà Êðàìåðà). Åñëè îïðåäåëèòåëü ∆ ìàòðèöû êâàäðàòíîé ñèñòåìû (3.5.1) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà (3.5.1) ñîâìåñòíà è èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè: xj = ∆j , j = 1, n. ∆ (3.5.2) Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî r(A) ≤ r(A, b) ≤ n. Åñëè ∆ 6= 0, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 2.4.1 (ñì. 2.4) r(A) = n. Ñëåäîâàòåëüíî, r(A) = r(A, b) = n, è ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà Êàïåëëè ñèñòåìà (3.5.1) ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé è îïðåäåëåííîé. Êðîìå òîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2.3.1 (ñì. 2.3) ìàòðèöà ñèñòåìû A èìååò îáðàòíóþ. Äîìíîæèì îáå ÷àñòè ñèñòåìû (3.5.1) ñëåâà íà ìàòðèöó 15 A−1 : A−1 (Ax) = A−1 b x = A−1 b. ⇐⇒ Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.3.1) (ñì. 2.3), ïîñëåäíåå ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: 1 Ãb, (3.5.3) ∆ ãäå à ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà (ñì 2.3). Íàïîìíèì, ÷òî ñòðîêà j ìàòðèöû à ñîñòîèò èç àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ýëåìåíòîâ j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû A. Ñëåäîâàòåëüíî, j -å ñêàëÿðíîå ðàâåíñòâî â (3.5.3) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: x= 1 1 ãj b = (A1j , A2j , · · · , Anj ) · (b1 , b2 , · · · , bn )T = ∆ ∆ 1 = (b1 A1j + b2 A2j + · · · + bn Anj ). ∆ Ïî òåîðåìå çàìåùåíèÿ (ñì. 2.2) ïîñëåäíÿÿ ñóììà â ñêîáêàõ ðàâíà îïðåäåëèòåëþ ∆j . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî (3.5.3) ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé n ñêàëÿðíûõ ðàâåíñòâ (3.5.2). Çàìå÷àíèå 3.5.2. Ôîðìóëû (3.5.2) íàçûâàþò ôîðìóëàìè Êðàìåðà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (3.5.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðè÷íóþ çàïèñü ôîðìóë Êðàìåðà. Ñëåäñòâèå 3.5.1. Åñëè èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíàÿ ñèñòåìà (3.5.1) íåñîâìåñòíà, ëèáî ñîâìåñòíà, íî ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû òàêîé ñèñòåìû îáÿçàòåëüíî ðàâåí íóëþ. Ïðèìåð 3.5.1. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êâàäðàòíóþ ñèñòåìó: ½ −x1 + 2x2 = 5, 2x1 − x2 = 2. xj =  äàííîì ñëó÷àå ¯ ¯ −1 2 ∆ = ¯¯ 2 −1 ¯ ¯ ¯ = −3, ¯ è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êðàìåðà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå: ¯ ¯5 2 ¯ ¯ 2 −1 ∆1 = x1 = ∆ −3 ¯ ¯ −1 5 ¯ ¯ 2 2 ∆2 x2 = = ∆ −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 3, = 4. 16 Çàìå÷àíèå 3.5.3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû Êðàìåðà ìàòðèöà A ñèñòåìû (3.5.1) èìååò îáðàòíóþ A−1 , è ðåøåíèå ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x = A−1 b. (3.5.4)  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, êîãäà íåîáõîäèìî ðåøàòü ñåìåéñòâî êâàäðàòíûõ ñèñòåì ñ íåèçìåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ, íî ðàçëè÷íûìè ñòîëáöàìè ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ) öåëåñîîáðàçíî íåïîñðåäñòâåííî íàéòè ìàòðèöó A−1 è â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3.5.4). Âûâîäû • Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìîãóò áûòü íåñîâìåñòíûìè, ëèáî ñîâìåñòíûìè è îïðåäåëåííûìè (òî åñòü èìåòü îäíî ðåøåíèå), ëèáî ñîâìåñòíûìè è íåîïðåäåëåííûìè (òî åñòü èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé). •  êðèòåðèÿõ ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè ëèíåéíûõ ñèñòåì (òåîðåìû Êðîíåêåðà Êàïåëëè) èñïîëüçóþòñÿ òðè ïàðàìåòðà: ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû, ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ. • Ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà (ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ), ñîñòîÿùèé, â îáùåì ñëó÷àå, èç òðåõ ýòàïîâ: ïðÿìîé õîä, èññëåäîâàíèå ñèñòåìû (3.2.1) ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû è îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà. • Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé (òî åñòü îáùåå ðåøåíèå) îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé (r < n) ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Rn è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ îáîëî÷êó n−r áàçèñíûõ ðåøåíèé. • Îáùåå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé íåîïðåäåëåííîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû. • Ìåòîä Êðàìåðà ïîçâîëÿåò íàéòè åäèíñòâåííîå ðåøåíèå êâàäðàòíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. 17 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Âûïèøèòå ìàòðèöó ñèñòåìû è ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé èç ïðèìåðà 3.2.2. Íàéäèòå ðàíãè ýòèõ ìàòðèö ìåòîäàìè 2.4. 2. Çàïèøèòå ñèñòåìó èç ïðèìåðà 3.2.1 â ôîðìå (3.1.2) è (3.1.3). 3. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. 4. Äîêàæèòå ëåììû 3.1.1 3.1.3. 5. Äîêàæèòå óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (òåîðåìà 3.1.1). 6. Ïóñòü â ëèíåéíîé ñèñòåìå òðè óðàâíåíèÿ (m = 3) è òðè íåèçâåñòíûõ (n = 3). Ïåðå÷èñëèòå âîçìîæíûå âàðèàíòû ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: rang (A) è rang (A, b). Äëÿ êàæäîãî âàðèàíòà óêàæèòå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû. 7.  ÷åì ñîñòîèò öåëü ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà? 8. Ê êàêîìó ðåçóëüòàòó ïðèâîäèò ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà? 9.  ÷åì ñîñòîèò ðàçëè÷èå ìåæäó ñâîáîäíûìè íåèçâåñòíûìè â íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è îñòàëüíûìè íåèçâåñòíûìè? 10.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà? 11. Ïîÿñíèòå ðàâíîñèëüíûé ïåðåõîä, îòìå÷åííûé çâåçäî÷êîé, â ïðîöåññå ðåøåíèÿ ñèñòåìû èç ïðèìåðà 3.2.4. 12. Äîêàæèòå ñëåäñòâèå 3.3.1. 13. Ïî÷åìó íàáîð ðåøåíèé (3.3.3) îäíîðîäíîé ñèñòåìû îáðàçóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ? 14. Íàéäèòå áàçèñíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ íåîäíîðîäíûì ñèñòåìàì, ðàññìîòðåííûì â ïðèìåðàõ 3.2.3 è 3.2.4. 15. Äàéòå îïðåäåëåíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè âåêòîðîâ. 16. Äîêàæèòå ñâîéñòâî 3.3.1. 18 17.  ÷åì ðàçëè÷èå ìåæäó ÷àñòíûì è îáùèì ðåøåíèåì íåîïðåäåëåííîé ëèíåéíîé ñèñòåìû? 18. Èìååò ëè ëèíåéíàÿ ñèñòåìà èç ïðèìåðà 3.3.1 ÷àñòíîå ðåøåíèå ñî âñåìè ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè? 19. Êàê ñâÿçàíû ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîïðåäåëåííîé íåîäíîðîäíîé ñè- ñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ñîîòâåòñòâóþùåé åé îäíîðîäíîé ñèñòåìû? 20. Ìîæåò ëè îáùåå ðåøåíèå Ω íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ áûòü ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Rn ? 21. Ïîäõîäèò ëè ìåòîä Êðàìåðà äëÿ ðåøåíèÿ êâàäðàòíîé ñèñòåìû ñ âûðîæäåííîé ìàòðèöåé? 22. Äîêàæèòå ñëåäñòâèå 3.5.1. 23. Ðåøèòå êâàäðàòíóþ ñèñòåìó èç ïðèìåðà 3.2.1 ìåòîäîì Êðàìåðà. 24. Ïðèìåíèòå ôîðìóëó (3.5.4) äëÿ ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé ñèñòåìû µ A= −1 2 2 −1 ¶ è ñëåäóþùèìè ñòîëáöàìè ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ: µ 5 2 ¶ µ −1 0 ¶ µ 0 1 ¶ µ −3 4 ¶ µ 0 0 ¶ . Áèáëèîãðàôèÿ. 1. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â ýêîíîìè÷åñêîì îáðàçîâàíèè. Ì., Äåëî, 2003. 2. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà). Ì., ÞÍÈÒÈ, 2006. 3. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005. 4. Êóçþòèí Â.Ô., Çåíêåâè÷ Í.À., Åðåìååâ Â.Â. Ãåîìåòðèÿ. ÑÏá., Ëàíü, 2003. 19 5. Êóçþòèí Ä.Â., Êóëüòèíà Ì.Â., Âèøíÿêîâà Å.Â. Àëãåáðà âåêòîðîâ è ìàòðèö. Ýëåìåíòû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ÑÏá., èçä-âî ÌÁÈ, 2001. 6. C.P. Simon, L. Blume. Mathematics for Economists. N.Y., W.W. Norton & Company, 1994. 7. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005. 20