c ÌàòÁþðî ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëîâ: âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ è öåíòðà òÿæåñòè Ìîìåíòû ïëîñêîé êðèâîé Äëÿ ïëîñêîé êðèâîé L ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû Mx , My îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì Z Z Mx = y dl, My = L x dl. L Ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy è I0 îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy è íà÷àëà êîîðäèíàò âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì Z Z Z 2 2 Ix = y dl, Iy = x dl, I0 = (x2 + y 2 ) dl. L L L Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì y = y(x), a ≤ x ≤ b, òî â ýòèõ ôîðìóëàõ dl p íàäî çàìåíèòü íà 1 + y 02 dx. Åñëè êðèâàÿ çàäàíà p ïàðàìåòðè÷åñêè: x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 , òî â ýòèõ ôîðìóëàõ dl íàäî çàìåíèòü íà x02 + y 02 dt. Ìîìåíòû ïëîñêîé ôèãóðû Äëÿ ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâûìè y = y1 (x), y = y2 (x) (y1 ≤ y2 ) è ïðÿìûìè x = a, x = b (a ≤ b) ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè 1 Mx = 2 Zb Zb (y22 − y12 )dx, My = x(y2 − y1 )dx. a a Ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy , I0 ïëîñêîé ôèãóðû D îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò Ox, Oy è íà÷àëà êîîðäèíàò (ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì ZZ ZZ ZZ 2 2 Ix = y dy dx, Iy = x dy dx, I0 = (x2 + y 2 ) dy dx. D D D Ìîìåíòû îáúåìíîãî òåëà Äëÿ îáúåìíîãî òåëà V ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy , Iz , I0 îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò Ox, Oy , Oz è íà÷àëà êîîðäèíàò âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì ZZZ ZZZ ZZZ ZZ 2 2 2 2 2 2 Ix = (y +z ) dv, Iy = (x +z ) dv, Iz = (y +x ) dv, I0 = (x2 +y 2 +z 2 ) dv. V V V D Äëÿ îáúåìíîãî òåëà V ìîìåíòû èíåðöèè Ixy , Iyz , Ixz îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé xOy , yOz , xOz âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì ZZZ ZZZ ZZZ 2 2 Ix y = z dv, Iy z = x dv, Ix z = y 2 dv. V V 1 V www.MatBuro.ru :: Ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ó÷åáíèêè, ôîðìóëû, êíèãè Öåíòð òÿæåñòè Öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé êðèâîé L èìååò êîîðäèíàòû xc = My /l, yc = Mx /l, ãäå l äëèíà êðèâîé L. Öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé ôèãóðû èìååò êîîðäèíàòû xc = My /S , yc = Mx /S , ãäå S ïëîùàäü ôèãóðû. Öåíòð òÿæåñòè îáúåìíîãî òåëà èìååò êîîðäèíàòû ZZZ ZZZ ZZZ 1 1 1 xc = x dv, yc = y dv, zc = z dv, V V V V V ãäå V îáúåì òåëà. 2 V