Çàìåòêè ïî êóðñó ðèìàíîâîé ãåîìåòðèè Ñ. Â. Èâàíîâ 14 íîÿáðÿ 2006 ã. Äàííûé òåêñò ïðåäëàãàåòñÿ â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî ïîñîáèÿ ê êóðñó ðèìàíîâîé ãåîìåòðèè (5 ñåìåñòð 2006 ã.).  íåì èçëàãàþòñÿ íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå âîïðîñû, íåäîñòàòî÷íî ïîäðîáíî îñâåùàâøèåñÿ íà ëåêöèÿõ. Ïîñîáèå íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîòó è îòñóòñòâèå îøèáîê. Ýëåêòðîííóþ âåðñèþ ýòîãî òåêñòà è åãî îáíîâëåíèÿ ìîæíî èñêàòü ïî àäðåñó http://www.pdmi.ras.ru/~svivanov Ñîäåðæàíèå 1 Êàñàòåëüíûå âåêòîðû è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 1 2 Ñêîáêà Ëè 3 Òåðìèíû è îáîçíà÷åíèÿ Òåðìèí ãëàäêèé îáîçíà÷àåò êëàññà C ∞ . Âñå ìíîãîîáðàçèÿ, ôóíêöèè è îòîáðàæåíèÿ ïðåäïîëà- ãàþòñÿ ãëàäêèìè, åñëè ÿâíî íå óêàçàíî äðóãîå. Äëÿ ôóíêöèè f, îïðåäåëåííîé íà Rn , ìåííûõ x1 , . . . , xn . ∂i f îáîçíà÷àåòñÿ åå ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî i-é ∂f ∂i f = ∂x , ãäå f ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôóíêöèÿ n ïåðåi ÷åðåç êîîðäèíàòå.  òðàäèöèîííûõ îáîçíà÷åíèÿõ, Àðãóìåíòû ìíîãèõ îòîáðàæåíèé çàïèñûâàþòñÿ áåç ñêîáîê, åñëè ýòî íå âåäåò ê íåîäíîçíà÷íîñòè. ∂i ôîðìàëüíî ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì èç ìíîæåñòâà ôóíêöèé â ñåáÿ, íî ìû ïèøåì ∂i f , ∂i (f ). Ïóñòü M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå. ×åðåç F(M ) áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé íà M ñî çíà÷åíèÿìè â R, ÷åðåç X (M ) ìíîæåñòâî ãëàäêèõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà M . Çíà÷åíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ V ∈ X (X) â òî÷êå p ∈ M îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Vp èëè V (p). Ìíîæåñòâî F(M ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R è êîëüöî îòíîñèòåëüíî ïîòî÷å÷íîãî óìíîæåíèÿ, X (M ) êàê ìîäóëü íàä êîëüöîì F(M ). À èìåííî, åñëè f ∈ F(M ) è V ∈ X (M ), òî f V ýòî âåêòîðíîå ïîëå, îïðåäåëÿåìîå óñëîâèåì (f V )p = f (p)Vp . Çàïèñü V f îáîçíà÷àåò Íàïðèìåð, à íå íå óìíîæåíèå, à äèôôåðåíöèðîâàíèå, ñì. äàëåå. 1 Êàñàòåëüíûå âåêòîðû è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ Ïóñòü M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, p ∈ M , v ∈ Tp M . Ââåäåì (âðåìåííîå) îáîçíà÷åíèå: Dv äèôv , à èìåííî, îòîáðàæåíèå Dv : F(M ) → R îïðåäåëÿåòñÿ ôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè âäîëü âåêòîðà ðàâåíñòâîì Dv f = dp f (v). Èç ïðàâèë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå Dv ëèíåéíî è Dv (f g) = f (p)Dv g + g(p)Dv f äëÿ ëþáûõ f, g ∈ F(M ). Òåîðåìà 1.1. òàêîå, ÷òî Ïóñòü M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, p ∈ M , D : F(M ) → R ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, D(f g) = f (p)D(g) + g(p)D(f ) äëÿ ëþáûõ f, g ∈ F(M ). Òîãäà D = Dv äëÿ íåêîòîðîãî (åäèíñòâåííîãî) âåêòîðà v ∈ TpM . Äîêàçàòåëüñòâî. v n Åäèíñòâåííîñòü âåêòîðà ñìîòðèì ñëó÷àé M =R , (1) òðèâèàëüíà, äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå. Ñíà÷àëà ðàñ- p = 0. 1 Ëåììà. Ëþáàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f : Rn → R ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå f (x) = c + x1 f1 (x) + x2 f2 (x) + · · · + xn fn (x), ãäå c êîíñòàíòà, f1, . . . , fn ãëàäêèå ôóíêöèè íà Rn, x = (x1, . . . , xn). Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. c = f (0) Ïîëîæèì , Z 1 fi (x) = ∂i f (tx) dt. 0 Èç ãëàäêîñòè f è òåîðåì î çàâèñèìîñòè èíòåãðàëà îò ïàðàìåòðà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà ôóíêöèþ Z 1 f (x) − f (0) = 0 t 7→ f (tx), t ∈ [0, 1], fi ãëàäêèå. ïîëó÷àåì Z 1X n n X d f (tx) dt = xi · ∂i f (tx) dt = xi fi (x), dt 0 i=1 i=1 ÷òî è òðåáîâàëîñü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕi (x1 , . . . , xn ) = xi . ϕi êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè íà Rn , òî åñòü ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâîì Òîãäà óòâåðæäåíèå ëåììû ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå f = c + ϕ1 f1 + ϕ1 f2 + · · · + ϕn fn . Ïîëîæèì vi = D(ϕi ) è ðàññìîòðèì âåêòîð v ñ êîîðäèíàòàìè (v1 , . . . , vn ) êàê êàñàòåëüíûé D = Dv . Èç ïðåäûäóùåé ôîðìóëû äëÿ f èìååì X X X D(f ) = D(c) + D(ϕi fi ) = D(c) + ϕi (0)D(fi ) + fi (0)D(ϕi ). âåêòîð â íóëå. Äîêàæåì, ÷òî ϕi (0) = 0, âòîðîå ñëàãàåìîå èñ÷åçàåò. Ïîäñòàâëÿÿ â óñëîâèå òåîðåìû f = g ≡ 1, ïîëó÷àåì, D(1) = 0, îòêóäà â ñèëó ëèíåéíîñòè D(c) = 0. Òàêèì îáðàçîì, X X D(f ) = fi (0)D(ϕi ) = vi fi (0). Ïîñêîëüêó ÷òî D (ëèíåéíîñòü, ïðàâèëî äèôôåðåíöè) = 0) âûïîëíÿþòñÿ è äëÿ Dv , ïîýòîìó òàêîå æå âû÷èñëåíèå D(ϕ i P äàåò ðàâåíñòâî Dv (f ) = vi fi (0). Òàêèì îáðàçîì, D(f ) = Dv (f ), è óòâåðæäåíèå äëÿ ñëó÷àÿ M = Rn Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî âñå èñïîëüçîâàâøèåñÿ òîæäåñòâà äëÿ ðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ è ðàâåíñòâî äîêàçàíî. Îáùèé ñëó÷àé f îáðàùàåòñÿ â íîëü p, òî D(f ) = 0. Ïóñòü U òàêàÿ îêðåñòíîñòü. Ïîñòðîèì òàêóþ g(p) = 1 è g = 0 âíå U . Òîãäà f g = 0, îòêóäà . Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ôóíêöèÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ôóíêöèþ g ∈ F(M ), ÷òî 0 = D(f g) = f (p)D(g) + g(p)D(f ) = D(f ), òàê êàê f (p) = 0 g(p) = 1. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. D(f ) = D(g) äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f è g , ñîâïàäàþùèõ â îêðåñòíîñòè òî÷êè p. ñëîâàìè, D(f ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè f â ïðîèçâîëüíî ìàëîé îêðåñòíîñòè è Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî Äðóãèìè òî÷êè p (ñâîéñòâî ëîêàëüíîñòè). U ϕ : U → Rn ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàðòà, ïðè÷åì ϕ(p) = 0. n n e e ) = Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå D : F(R ) → R ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ f ∈ F(R ) ïîëîæèì D(f e e D(f ), ãäå f ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ íà M , ñîâïàäàþùàÿ ñ ϕ ◦ f â íåêîòîðîé ìàëîé îêðåñòíîñòè e òî÷êè p. Èç ëîêàëüíîñòè D ñëåäóåò, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà fe. Îòîáðàæåíèå D n óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû äëÿ M = R è p = 0, ïîýòîìó ïî äîêàçàííîìó ðàíåå ñóùåñòâóåò e = Dve. Òîãäà D = Dv , ãäå v = dϕ−1 (e òàêîé âåêòîð v e ∈ T0 Rn ' Rn , ÷òî D v ). Ïóñòü êîîðäèíàòíàÿ îêðåñòíîñòü, Òåîðåìà îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî äàòü íîâîå îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíîãî âåêòîðà: ýòî ëèíåéíàÿ ôóíê- F(M ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ òîæäåñòâó (1). Èìåÿ â âèäó ýòî îïðåäåëåíèå, ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè v ÷àñòî îáîçíà÷àþò ÷åðåç v(f ) èëè vf . Ýòó çàïèñü ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå äëÿ Dv f . öèÿ íà f âäîëü âåêòîðà 2 Ñ íîâûì îïðåäåëåíèåì ñëîæåíèå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáû÷íîå ñëîæåíèå ëèíåéíûõ ôóíêöèé: (v + w)f = vf + wf , àíàëîãè÷íî äëÿ óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû: îáðàç êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ïðè äèôôåðåíöèàëå îòîáðàæåíèÿ (dϕ(v))f = v(f ◦ ϕ) ϕ : M → N (cv)f = c(vf ), çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì f ∈ F(N ). V ∈ X (M ) îïðåäåëèì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ DV : F(M ) → F(M ) DV f (p) = DV (p) f . Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ïðèíèìàåò âèä äëÿ Äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ ðàâåíñòâîì DV (f g) = f · DV g + g · DV f. DV f ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü V f . Âûïîëíÿþòñÿ (V + W )f = V f + W f , (gV )f = g(V f ) äëÿ V, W ∈ F(M ), f, g ∈ X (M ). Êàê è äëÿ îäèíî÷íûõ âåêòîðîâ, âìåñòî ñòâåííûå òîæäåñòâà Òåîðåìà 1.2. òîæäåñòâó åñòå- Ïóñòü D : F(M ) → F(M ) îòîáðàæåíèå, ëèíåéíîå íàä R è óäîâëåòâîðÿþùåå D(f g) = f · D(g) + g · D(f ) äëÿ ëþáûõ f, g ∈ F(M ). Òîãäà D = DV äëÿ íåêîòîðîãî (åäèíñòâåííîãî) âåêòîðíîãî ïîëÿ V ∈ F(M ). Äîêàçàòåëüñòâî. p∈M f 7→ D(f )(p) F(M ) R Äëÿ êàæäîé òî÷êè îòîáðàæåíèå èç óñëîâèÿì ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð f âîäíàÿ âäîëü V (p). V (p), â ÷òî Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííîå âåêòîðíîå ïîëå V óäîâëåòâîðÿåò D(f )(p) åñòü ïðîèç- ãëàäêîå. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî åãî êîîðäèíàòû â ëþáîé êàðòå ãëàäêèå ôóíêöèè. Êîîðäèíàòû âåêòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèåì âäîëü íåãî êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé êàðòû (ïðîèçâîëüíî ïðîäîëæåííûõ íà âñå ìíîãîîáðàçèå), çíà÷èò, êîîðäèíàòû âåêòîðíîãî ïîëÿ ëîêàëüíî ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà 2 DV ê íåêîòîðûì ãëàäêèì ôóíêöèÿì íà M, ñëåäîâàòåëüíî, îíè ãëàäêèå. Ñêîáêà Ëè Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïóñòü îáîçíà÷àåìàÿ [X, Y ] M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, ýòî âåêòîðíîå ïîëå íà M, X, Y ∈ X (M ). Ñêîáêà Ëè è Y, D : F(M ) → F(M ), çà- ïîëåé X îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì D[X,Y ] f = DX (DY f ) − DY (DX f ), èëè, â ñîêðàùåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ, [X, Y ]f = XY f − Y Xf äëÿ ëþáîé f ∈ F(M ). Äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè. äàííîå ðàâåíñòâîì Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå D(f ) = XY f − Y Xf , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1.2. Ýòî ïðÿìîå âû÷èñ- ëåíèå: D(f g) = X(Y (f g)) − Y (X(f g)) = X(f · Y g + g · Y f ) − Y (f · Xg + g · Xf ) = = Xf · Y g + f · XY g + Xg · Y f + g · XY f − Y f · Xg − f · Y Xg − Y g · Xf − g · Y Xf = = f · XY g + g · XY f − f · Y Xg − g · Y Xf = f · D(g) + g · D(f ) Ñêîáêà Ëè âåêòîðíûõ ïîëåé áèëèíåéíà íàä R, àíòèñèììåòðè÷íà ([X, Y ] = ) è óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó ßêîáè: Ïðåäëîæåíèå 2.2. −[Y, X] [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 äëÿ ëþáûõ X, Y, Z ∈ X (M ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè óìíîæåíèè àðãóìåíòîâ íà ôóíêöèè ñêîáêà Ëè ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ïîäñòàâèòü îïðåäåëåíèå è ðàñêðûòü ñêîáêè. Ïðåäëîæåíèå 2.3. [f X, Y ] = f · [X, Y ] − (Y f ) · X, [X, f Y ] = f · [X, Y ] + (Xf ) · Y äëÿ ëþáûõ X, Y ∈ X (M ), f ∈ F(M ). 3 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèòü îïðåäåëåíèå è ïðèìåíèòü ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäå- íèÿ. M, N Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïóñòü Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî Yϕ(p) = dp ϕ(Xp ) ϕ äëÿ âñåõ Çàìå÷àíèå. Ïîëå Y, ϕ : M → N X ∈ X (M ) â âåêòîðíîå ãëàäêèå ìíîãîîáðàçèÿ, ïåðåâîäèò âåêòîðíîå ïîëå ãëàäêîå îòîáðàæåíèå. ïîëå Y ∈ X (N ), åñëè p ∈ M. óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìó îïðåäåëåíèþ, ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííûì, îäíî- ϕ(M ). Êðîìå òîãî, òàêîå ïîëå Y íå îáÿçàòåëüíî ϕ(p) = ϕ(q), íî dp ϕ(Xp ) 6= dq (Xq ) äëÿ íåêîòîðûõ p, q ∈ M ). Ñóùåñòâîïîëÿ Y èìååò ìåñòî, åñëè ϕ äèôôåîìîðôèçì. çíà÷íî îïðåäåëåíû ëèøü åãî çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ èç ñóùåñòâóåò (íàïðèìåð, åñëè âàíèå è åäèíñòâåííîñòü Ïóñòü M, N ãëàäêèå ìíîãîîáðàçèÿ, ϕ : M → N ãëàäêîå îòîáðàæåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ ïåðåâîäèò ïîëÿ X1, X2 ∈ X (M ) â ïîëÿ Y1, Y2 ∈ X (N ) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ϕ ïåðåâîäèò [X1, X2] â [Y1, Y2]. Äîêàçàòåëüñòâî. ϕ X Y (Y f ) ◦ ϕ = X(f ◦ ϕ) Òåîðåìà 2.5. Óñëîâèå ëþáîé ôóíêöèè f ∈ F(N ). ïåðåâîäèò â ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó: äëÿ Îòñþäà (Y1 (Y2 f )) ◦ ϕ = X1 ((Y2 f ) ◦ ϕ) = X1 (X2 (f ◦ ϕ)). Âû÷èòàÿ àíàëîãè÷íîå òîæäåñòâî ñ ïåðåñòàâëåííûìè èíäåêñàìè 1 è 2, ïîëó÷àåì ([Y1 , Y2 ]f ) ◦ ϕ = [X1 , X2 ](f ◦ ϕ), ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ïóñòü N ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå â M , X è Y âåêòîðíûå ïîëÿ èç X (M ), êàñàþùèåñÿ N (òî åñòü Xp è Yp ëåæàò â TpN äëÿ ëþáîé òî÷êè p ∈ M ). Òîãäà [X, Y ] òîæå êàñàåòñÿ N . Áîëåå òîãî, ñóæåíèå [X, Y ]|N ñêîáêè Ëè íà N ñîâïàäàåò ñî ñêîáêîé Ëè ïîëåé X|N è Y |N , ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ýëåìåíòû X (N ). Äîêàçàòåëüñòâî. i : N → M Ñëåäñòâèå 2.6. Ïðèìåíèì òåîðåìó 2.5 ê îòîáðàæåíèþ âëîæåíèÿ ïåðåâîäèò X|N è Y |N â X è Y , çàìåòèâ, ÷òî îíî ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü U ⊂ M îòêðûòîå ìíîæåñòâî, X, Y ∈ X (M ). Òîãäà [X, Y ]|U = [X|U , Y |U ], ãäå X|U îáîçíà÷àåò ñóæåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ X íà U , X|U ∈ X (U ).  ÷àñòíîñòè, çíà÷åíèÿ ñêîáêè Ëè [X, Y ] íà U îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ïîëåé X è Y íà U . Äîêàçàòåëüñòâî. N =U Ïóñòü ϕ : U → Rn êàðòà íà M . Äëÿ êàæäîãî ϕ âåêòîðíîãî ïîëÿ X ∈ X (M ) îáîçíà÷èì ÷åðåçϕ X ôóíêöèþ U →n Rn, âû÷èñëÿþùóþ êîîðäèíàòû âåðêòîðíîãî ïîëÿ â äàííîé êàðòå, òî åñòü X (p) = dpϕ(Xp) ∈ R äëÿ êàæäîé òî÷êè p ∈ U . Òîãäà Ñëåäñòâèå 2.7. Ïîäñòàâèì â ñëåäñòâèå 2.6 ïîäìíîãîîáðàçèå . Òåîðåìà 2.8 (Ñêîáêà Ëè â êîîðäèíàòàõ). [X, Y ]ϕ = DX (Y ϕ ) − DY (X ϕ ), ãäå DX îáîçíà÷àåò îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âäîëü X . Äîêàçàòåëüñòâî. M ϕ Ïî ñëåäñòâèþ 2.7 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî X = (DX ϕ1 , . . . , DX ϕn ) = U. Ïóñòü è ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé ôóíêöèé ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ). Òîãäà ϕi â îïðåäåëåíèå ñêîáêè Ëè. Åñëè äâà âåêòîðíûõ ïîëÿ èìåþò ïîñòîÿííûå êîîðäèíàòû â íåêîòîðîé êàðòå, òî èõ ñêîáêà Ëè â ïðåäåëàõ ýòîé êàðòû ðàâíà 0.  ÷àñòíîñòè, ñêîáêà Ëè êîîðäèíàòíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ðàâíà 0. êîììóòèðóþùèìè Ñëåäñòâèå 2.9. Îïðåäåëåíèå 2.10. Âåêòîðíûå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ 4 , åñëè èõ ñêîáêà Ëè ðàâíà 0.