×ÅÁÛØÅÂÑÊÈÉ ÑÁÎÐÍÈÊ Òîì 12 Âûïóñê 4 (2011) ÓÄÊ 511.2 ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ À. À. Àáðîñèìîâà (ã. Âëàäèìèð) Àííîòàöèÿ  ðàáîòå ðàññìîòðåíû ðàçáèåíèÿ äâóìåðíûõ òîðîâ íà ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà. Äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ íàéäåíû îöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è äëÿ íåãî âû÷èñëåíî ñðåäíåå çíà÷åíèå. 1 Ââåäåíèå Âïåðâûå ïîíÿòèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ïî ìîäóëþ 1, áûëî ââåäåíî Ã. Âåéëåì â ðàáîòå [10], à òàêæå äîêàçàí êðèòåðèé ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  òîé æå ðàáîòå áûëè ïðèâåäåíû ïåðâûå ïðèìåðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî ìîäóëþ 1. Ïðîñòåéøåé òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {iα}i>1 ïðè èððàöèîíàëüíîì α . Ïóñòü X íåêîòîðûé èíòåðâàë è r(α, i, X) = ♯{j : 0 ≤ j < i, {jα} ∈ X}, ñ÷èòàþùàÿ ôóíêöèÿ, ãäå {x} îáîçíà÷àåò äðîáíóþ äîëþ. Òîãäà òåîðåìà Âåéëÿ î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ýêâèâàëåíòíà àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëå r(α, i, X) = i|X| + o(i), ãäå |X| äëèíà èíòåðâàëà X. Ïóñòü δ(α, i, X) = r(α, i, X) − i|X| îñòàòî÷íûé ÷ëåí ýòîé ôîðìóëû èëè îòêëîíåíèå ñ÷èòàþùåé ôóíêöèè îò îæèäàåìîé âåëè÷èíû. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |δ(α, i, X)| 6 C 12 À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ äëÿ âñåõ i. Ïåðâûå ïðèìåðû òàêèõ ìíîæåñòâ áûëè ïîñòðîåíû â ðàáîòå Ý. Ãåêêå [5], êîòîðûé äîêàçàë, ÷òî èíòåðâàëû I äëèíû âèäà a + bα, ãäå a, b ∈ Z, ÿâëÿþòñÿ èíòåðâàëàìè îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà è äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâà îöåíêà |δ(α, i, I)| 6 |b|. Ïîëíîå îïèñàíèå âñåõ èíòåðâàëîâ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà áûëî íàéäåíî â [6], à â ðàáîòå [4] áûëè ïîëó÷åíû íåóëó÷øàåìûå ïî ïîðÿäêó îöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Áîëåå ñëîæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î ìíîæåñòâàõ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. Áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ ïðèìåðîâ ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè, îíè ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [7], [8], íî äàííàÿ òåîðèÿ íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ÿâíûõ îöåíîê îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Âïåðâûå ÷àñòíûé ñëó÷àé äëÿ äâóìåðíûõ òîðîâ áûë ðàññìîòðåí R. Sz usz â ðàáîòå [9], çàòåì Â. Ã. Æóðàâëåâ â ðàáîòå [2] ðàññìîòðåë ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà äëÿ ôðàêòàëüíûõ ðàçáèåíèé Ðîçè, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè ýòî áûëî ñäåëàíî â ðàáîòå [3], ãäå áûëà äîêàçàíà ìíîãîìåðíàÿ òåîðåìà Ãåêêå äëÿ ðàçáèåíèÿ òîðà.  ðàáîòå [1] àâòîðà ïîñòðîåíû ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà â äâóìåðíîì ñëó÷àå, ïîëó÷åíû ÿâíûå îöåíêè îñòàòêà èëè îòêëîíåíèÿ íà ýòèõ ìíîæåñòâàõ, à òàêæå âûñ÷èòàíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé äëÿ äàííûõ ìíîæåñòâ. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðàáîòû [1], â íåé ïîñòðîåí öåëûé êëàññ ìíîæåñòâ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà íà äâóìåðíîì òîðå, îñíîâàííûé íà ãåêñîãîíàëüíûõ ðàçâåðòêàõ, à òàêæå ðàññìîòðåí ñëó÷àé îðáèòû ñ ïðîèçâîëüíîé íà÷àëüíîé òî÷êîé. Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Â. Ã. Æóðàâëåâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è âíèìàíèå ê ðàáîòå. 2 Ðàçâåðòêà òîðà Ïîñòðîèì øåñòèóãîëüíóþ ðàçâåðòêó T 2 (c) åäèíè÷íîãî òîðà T2 = R2 /Z2 . Äëÿ ýòîãî â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå (e1 , e2 ) ïîñòðîèì âåêòîð c = (c1 , c2 ) , òàêîé ÷òî c ∈ C = {c = (c1 , c2 ) ∈ R2 ; ci ≥ 0, min(c1 , c2 ) 6 1}. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçâåðòêè T 2 (c) îòëîæèì âåêòîð −c îò òî÷åê (0, 1), (1, 1), (1, 0) (ðèñ.1), ýòî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü øåñòèóãîëüíèê ñ êîîðäèíàòàìè âåðøèí (0, 0) , (−c1 , 1 − c2 ) , (0, 1) , (1 − c1 , 1 − c2 ) , (1, 0) , (1 − c1 , −c2 ) . Ó ïîëó÷åííîãî øåñòèóãîëüíèêà ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû è ðàâíû (ðèñ. 1). Ââåäåì ôóíêöèþ σ(x) , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé σ(x) = x1 + x2 , ãäå x1 è x2 êîîðäèíàòû òî÷êè x â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå (e1 , e2 ). Åñëè σ(c) > 1, òî T 2 (c) íåâûïóêëûé, è âûïóêëûé, åñëè σ(c) 6 1 (ðèñ. 2). ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 13 (0;1) (1;1) e2 (-c1;1-c2) (0;1) e2 (1-с1;1-с2) (1;1) -с(-c1;-c2) -с(-c1;-c2) 2 T (с) с (с1;с2) e1 (0;0) e1 (1;0) (0;0) -с(-c1;-c2) (1;0) (1-с1;-с2) Ðèñóíîê 1. Åñëè σ(c) > 1, òî T 2 (c) íåâûïóêëûé, è âûïóêëûé, åñëè σ(c) 6 1 (ðèñ. 2). (0;1) (0;1) (1;1) e2 (1;1) e2 2 T (с) 2 T (с) с(с1;с2) с (с1;с2) e1 (0;0) (1;0) e1 (0;0) (1;0) Ðèñóíîê 2. Ïàðàëëåëüíûìè ïåðåíîñàìè íà âåêòîðû l ⨿ èç êâàäðàòíîé ðåøåòêè Z2 øåñòèóãîëüíèêîì T 2 (c) ìîæíî çàìîñòèòü T = l∈Z2 T 2 [l] ïëîñêîñòü R2 . Òàêèì îáðàçîì øåñòèóãîëüíèê T 2 (c) ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòüþ äëÿ êâàäðàòíîé ðåøåòêè Z2 è åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçâåðòêó òîðà T2 . Ïîñòðîèì òåïåðü âåêòîð α = (α1 , α2 ) òàêîé, ÷òî α = tc, ãäå 0 < t 6 1 äëÿ âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà. Äëÿ íåâûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà σ(α) äîëæíî 1 áûòü ìåíüøå 1 , ïîýòîìó 0 < t < σ(c) . Ñäâèíåì ðàçáèåíèå T íà âåêòîð −α = (−α1 , −α2 ) , ïðè ýòîì îñòàâèâ ñàìó îáëàñòü T 2 (c) íåïîäâèæíîé. Ïîëó÷èì ðàçáèåíèå îáëàñòè T 2 (c) íà òðè ôèãóðû Tk2 , k = 0, 1, 2, ïëîùàäè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû a0 = 1 − α1 − α2 = α0 , a1 = α1 , a2 = α2 . (1) Ôèãóðà T 2 (c) áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïåðåêëàäûâàþùåéñÿ ðàçâåðòêîé òîðà (ðèñ.3), òî åñòü ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå 14 À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ Sv : T 2 (c) → T 2 (c) : x → Sv (x) = x + vk , (2) ãäå vk âåêòîðà ïåðåêëàäûâàíèÿ äëÿ îáëàñòåé Tk2 , k=0, 1, 2 è îíè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû v0 = (α1 , α2 ), v1 = (α1 − 1, α2 ), v2 = (α1 , α2 − 1). e2 (3) e2 T1 -a T2 T0 T0 T2 e1 e1 T1 Ðèñóíîê 3. Ïåðåêëàäûâàíèå Sv îáëàñòåé Tk2 ðàçâåðòêè òîðà T 2 (c) ñîîòâåòñòâóåò ñäâèãó Sα òîðà T2 íà âåêòîð α , òî åñòü âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Sv (T 2 (c)) = Sα (T2 )mod Z2 , (4) ãäå Sα : T2 → T2 : x 7−→ Sα (x) = x + αmod Z2 . Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî â ðàáîòå [1]. 3 Îòêëîíåíèÿ ñ÷åòíûõ ôóíêöèé Ìíîãîêðàòíîå ïîâòîðåíèå ñäâèãà òîðà íà âåêòîð α , çàäàåò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå òî÷åê íà íåì. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îðáèòû ñ ïðîèçâîëüíîé íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 = (x01 , x02 ) , îòëè÷íîé îò 0. Òàê êàê òîðó T2 ñîîòâåòñòâóåò åãî ðàçâåðòêà T 2 (c) , îïðåäåëèì äëÿ êàæäîé åå îáëàñòè Tk2 , k = 0, 1, 2 êîëè÷åñòâî ïîïàäàíèé â íåå òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ñ÷èòàþùèå ôóíêöèè rk (i, x0 ) = ♯{j : Sαj (x0 ) ∈ Tk2 , 0 ≤ j < i}. Òàêæå îïðåäåëèì îòêëîíåíèÿ δk (i, x0 ) ñ÷èòàþùèõ ôóíêöèé rk (i, x0 ) îò îæèäàåìîé âåëè÷èíû iak δk (i, x0 ) = rk (i, x0 ) − iak , (5) ãäå ak ïëîùàäü îáëàñòè Tk2 . Îòíîñèòåëüíî îòêëîíåíèé δk (i, x0 ) â äâóìåðíîì ñëó÷àå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 15 1 Ïóñòü äàí ñäâèã òîðà Sα íà âåêòîð α , è α èððàöèîíàëüíûé, òî åñòü ÷èñëà α1, α2, 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Z , ïóñòü òîð T2 ðàçáèò íà îáëàñòè T2k : T2 = T20 ⊔ T21 ⊔ T22 . Òîãäà äëÿ îòêëîíåíèé âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà: Òåîðåìà . −x01 − x02 − σ(c) 6 δ0 (i, x0 ) 6 2 − x01 − x02 (6) −x01 − x02 + 1 − σ(c) 6 δ0 (i, x0 ) 6 1 − x01 − x02 (7) x01 − 1 6 δ1 (i, x0 ) 6 x01 + c1 , x02 − 1 6 δ2 (i, x0 ) 6 x01 + c2 . (8) äëÿ σ(c) 6 1, äëÿ σ(c) > 1, Ôóíêöèè rk (i, x0 ) ýòî êîëëè÷åñòâî ïîïàäàíèé òî÷åê 6 j < 1 â îáëàñòü Tk2 , è èõ ñóììà Äîêàçàòåëüñòâî. Sαj (x0 ), 0 r0 (i, x0 ) + r1 (i, x0 ) + r2 (i, x0 ) = i. (9) Òàê êàê ðàçâåðòêà T 2 (c) ÿâëÿåòñÿ ïåðåêëàäûâàþùåéñÿ, òî x0 + r0 (i, x0 )v0 + r1 (i, x0 )v1 + r2 (i, x0 )v2 ∈ T 2 (c). Íàéäåì ïðîåêöèè äàííîãî ñîîòíîøåíèÿ íà íàïðàâëåíèÿ çàäàâàåìûå âåêòîðàìè e0 = (−1, −1), e1 = (1, 0) è e2 = (0, 1) ñîîòâåòñòâåííî −1 6 −x01 − x02 − (r0 (i, x0 ) + r2 (i, x0 ))α1 − (r0 (i, x0 ) + r1 (i, x0 ))(α2 )+ +r1 (i, x0 )(1 − α1 ) + r2 (i, x0 )(1 − α2 ) 6 σ(c) (10) äëÿ ñëó÷àÿ σ(c) 6 1, −c1 6 x01 + (r0 (i, x0 ) + r2 (i, x0 ))α1 − r1 (i, x0 )(1 − α1 ) 6 1, −c2 6 x02 + (r0 (i, x0 ) + r1 (i, x0 ))α2 − r2 (i, x0 )(1 − α2 ) 6 1. (11) Ôîðìóëû (7) è (8) ïîëó÷àþòñÿ ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ (10), (11) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (5) è (9). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûðàæåíèÿ (6) íåîáõîäèìî äîïîëíèòåëüíî ïðîñóììèðîâàòü íåðàâåíñòâà ñèñòåìû (11). Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0 = 0 [1], ãðàíèöû îòêëîíåíèé δk (i, x0 ) íå çàâèñÿò íå òîëüêî îò i , íî è îò âåêòîðà ñäâèãà, à îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ðàçìåðàìè ðàçâåðòêè T 2 (c) , à îáëàñòè Tk2 , ãäå k = 0, 1, 2 ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà îòíîñèòåëüíî ñäâèãà íà âåêòîð α. 16 À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ 4 Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé Ðàññìîòðèì ïîíÿòèÿ âåêòîðíîé äðîáíîé ÷àñòè F r(x) è ñóìàðíîãî âåêòîðíîãî îòêëîíåíèÿ δ(i, x0 ) íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé. Äëÿ ëþáîãî x ∈ R2 ìîæíî îïðåäåëèòü âåêòîðíóþ äðîáíóþ ÷àñòü F r(x) , ïîëàãàÿ F r(x) = x′ , ãäå x′ = xmod Z2 è x′ ∈ T 2 [3]. Êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäå⨿ 2 ëåíèÿ âûòåêàåò èç ôàêòà ñóùåñòâîâàíèÿ ðàçáèåíèÿ T = l∈Z2 T [l]. Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü △F r(x) = F r(x + α) − F r(x) (12) âåêòîðíî-çíà÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ôóíêöèÿ ñ øàãîì α, ãäå α âåêòîð ñäâèãà òîðà Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî T2 . △F r(x) = v(x) (13) v(x) = α + l(x), (14) äëÿ ëþáîãî x ∈ R2, ãäå âåêòîð ïðè ýòîì l(x) = lk , åñëè x ∈ Tk2, äëÿ k = 0, 1, 2. Çäåñü lk = vk − v0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî x èç ðàçâåðòêè T 2 (c) èìååì ïðåäñòàâëåíèå Sα (x) = x + v(x), (15) ïðè ýòîì v(x) = vk äëÿ x ∈ Tk2 è k = 0, 1, 2. Òàê êàê vk ≡ αmod Z2 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (14), ãäå l(x) = lk äëÿ x ∈ Tk2 è k = 0, 1, 2, òî èç (15) âûòåêàåò ôîðìóëà Sα (x) = x + α + l(x), ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî x èç T 2 (c) åãî îáðàç x + α + l(x) ïðèíàïäëåæèò òîðè÷åñêîé ðàçâåðòêå T 2 (c). Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà F r(x + α) = x + α + l(x) = x + v(x), (16) ñïðàâåäëèâûå ïðè ëþáîì x ∈ T 2 (c). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (13) çàìåòèì, ÷òî x + α = x + α + l(x)mod Z2 , (17) ãäå l(x) ∈ Z2 è â ñèëó (15) âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå x + α + l(x) ∈ T 2 (c). (18) ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 17 Èç (16) ñëåäóåò △F r(x) = F r(x + α) − F r(x) = x + α + l(x) − x = α + l(x) = v(x) äëÿ ëþáîãî x ∈ T 2 (c). ⨿ 2 Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé x ∈ R2 . Ñîãëàñíî ðàçáèåíèþ T = T [l] ′ ′ l∈Z2 ëþáîå x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x = x +l äëÿ íåêîòîðûõ x ∈ T (c) è l ∈ Z2 , è òîãäà F r(x) = x′ . (19) 2 Ïî (17) è (18) èìååì △F r(x) = F r(x + α) − F r(x) = x′ + α + l(x) − x′ = α + l(x) = v(x), òî åñòü ñíîâà ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî (13). Òåïåðü îïðåäåëèì ñóììàðíîå âåêòîðíîå îòêëîíåíèå, êàê âåêòîðíî-çíà÷íóþ ôóíêöèþ ∑ △F r(x0 + jα) (20) δ(i, x0 ) = 06j<i äëÿ i = 0, 1, 2, . . . . Èç ðàâåíñòâ (13) è (14) ìîæåì ôóíêöèþ (20) çàïèñàòü ∑ ∑ δ(i, x0 ) = (α+l(x0 +jα)) = iα+ l(x0 +jα) == iα+ 06j<i 06j<i ∑ 1, (21) 06j<i F r(x0 + jα) èëè â äðóãîé ôîðìå δ(i, x0 ) = iα + r1 (i, x0 )l1 + r2 (i, x0 )l2 . (22) Ñïðîåêòèðîâàâ âûðàæåíèå (22) íà íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ e0 = (−1, −1) , e1 = (1, 0) è e2 = (0, 1) ïîëó÷èì δ0 (i, x0 ) = δ(i, x0 )e0 , (23) ãäå δ(i, x0 )e0 ïðîåêöèè âåêòîðà δ(i, x0 ) íà íàïðàâëåíèe çàäàâàåìîå âåêòîðîì e0 , è δk (i, x0 ) = −δ(i, x0 )ek , (24) ãäå δ(i, x0 )ek ïðîåêöèè âåêòîðà δ(i, x0 ) íà íàïðàâëåíèÿ çàäàâàåìûå âåêòîðàìè ek , â ñëó÷àå k = 1, 2. Îïðåäåëèì ñðåäíåå çíà÷åíèå âåêòîðíîãî îòêëîíåíèÿ 1 ∑ ⟨δ(x0 )⟩ = lim δ(i, x0 ), (25) N →+∞ N 16i6N åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò. Îòíîñèòåëüíî ñðåäíèõ çíà÷åíèé îòêëîíåíèé äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. 18 À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ 2 Ïóñòü äàí ñäâèã òîðà íà âåêòîð α . Ïóñòü âåêòîð α èððàöèîíàëüíûé, ò. å. ÷èñëà α1, α2, 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Z . 1. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ⟨δ(x0)⟩ (25) ñóìàðíîãî âåêòîðíîãî îòêëîíåíèÿ δ(i) , è îíî âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Òåîðåìà . ⟨δ(x0 )⟩ = CT 2 (c) − x0 , (26) ãäå CT (c) = ( 1−c2 , 1−c2 ) öåíòð òÿæåñòè ôèãóðû T 2(c). 2. Òàêæå äëÿ ëþáîãî k = 0, 1, 2 ñóùåñòâóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé 2 1 2 1 ∑ δk (i, x0 ), N →+∞ N 16i6N ⟨δk (x0 )⟩ = lim è îíè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 2 ⟨δ0 (x0 )⟩ = 1 − c1 +c − x01 − x02 , 2 1 ⟨δ1 (x0 )⟩ = x01 − 1−c , 2 1−c2 ⟨δ2 (x0 )⟩ = x02 − 2 . Èç îïðåäåëåíèÿ (13), ôîðìóë (12)è (25) ñëåäóåò ∑ ∑ δ(i, x0 ) = (F r(x0 + iα) − F r(x0 )). (27) Äîêàçàòåëüñòâî. 16i6N (28) 16i6N Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (26) âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (28) è êðèòåðèåì Âåéëÿ ∑ ∑ 1 limN →+∞ N1 16i6N δ(i, ∫ x0 ) = limN∫→+∞ N 16i6N (F r(x0 + iα) − F r(x0 ) = = xdx − x0 dx = CT 2 − x0 aT 2 (c) , T 2 (c) T 2 (c) ãäå aT 2 (c) ïëîùàäü ðàçâåðòêè òîðà T 2 (c) , è îíà ðàâíà 1. Òàêèì îáðàçîì óòâåðæäåíèå (26) äîêàçàíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (27) âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèÿìè (23), (24) è ôîðìóëîé (26). Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2. Åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà ðàñïðåäåëåíèÿ x0 = (x01, x02) ðàñ1−c 1−c ïîëîæåíà â öåíòðå òÿæåñòè CT (c) = ( 2 , 2 ) , òî 1. ñðåäíåå ñóììàðíîå âåêòîðíîå îòêëîíåíèå Ñëåäñòâèå 4.1. 2 1 2 ⟨δ(x0 )⟩ = 0, 2. ñðåäíèå îòêëîíåíèÿ ⟨δk (x0 )⟩ = 0, k = 0, 1, 2. ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 19 ÑÏÈÑÎÊ ÖÈÒÈÐÎÂÀÍÍÎÉ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ [1] Àáðîñèìîâà À. À.Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷åê íà òîðå // Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ. Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà,Ôèçèêà. 2011 ã. ïå÷àòè. [2] Æóðàâëåâ Â. Ã., Ðàçáèåíèÿ Ðîçè è ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, 2005, òîì 322, Ñ. 83-106. [3] Æóðàâëåâ Â. Ã., Ìíîãîìåðíîå îáîáùåíèå òåîðåìû Ãåêêå // Àëãåáðà è àíàëèç, 2012, òîì 24, âûï. 1, C. 1-33. [4] Øóòîâ À. Â., Îïòèìàëüíûå îöåíêè â ïðîáëåìå ðàñïðåäåëåíèÿ äðîáíûõ äîëåé íà ìíîæåñòâàõ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà // Âåñòíèê ÑàìÃÓ. Åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ ñåðèÿ, 2007, òîì 5, âûï. 3, Ñ. 112-121. [5] Hecke E., Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins. Math. Sem. Hamburg. Univ. Bd. 1 (1921), P. 54-76. usz related to uniform distribution [6] Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sz mod 1 // Acta Arithmetica. -1966. -V. 12. P. 193-212. [7] Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61. -P. 267-293. [8] Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 147-178. [9] Sz usz R., Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 5 (1954), 35-39. die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzph a[10] Weyl H. Uber nomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. -1910. -V. 30. -P. 377-407. Âëàäèìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. À. Ã. è Í. Ã. Ñòîëåòîâûõ. Ïîñòóïèëî 13.12.2011