Äåêàáðü 1990 ã. Òîì 160,âûï. 12 ÓÑÏÅÕÈ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÍÀÓÊ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÌÅÒÊÈ 524.6+532.517.4+536.7 ÊÐÓÏÍÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ Â ËÀÁÎÐÀÒÎÐÍÎÉ ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ, ÎÊÅÀÍÅ È ÀÑÒÐÎÔÈÇÈÊÅ À. Ã. Áåðøàäñêèé Ïîñâÿùàåòñÿ ïàìÿòè çàìå÷àòåëüíûõ ó÷åíûõ: ß.Á. Çåëüäîâè÷à è À.Í. Êîëìîãîðîâà  ïîñëåäíåå âðåìÿ ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû ïðèâëåêàþò âíèìàíèå ãèäðîäèíàìèêîâ è àñòðîôèçèêîâ. Ïðåäëàãàþòñÿ ðàçíîîáðàçíûå òåîðåòè÷åñêèå ìîäåëè è îñóùåñòâëÿþòñÿ íàáëþäåíèÿ, êàê â ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòàõ, òàê è â íàòóðíûõ îáúåêòàõ (ñì., íàïðèìåð, [17]). Ïðèíöèïèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ: íàñêîëüêî îáùèìè îêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà íàáëþäàåìûõ ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð?  äàííîé çàìåòêå ïîêàçàíî, ÷òî îäíîòèïíûå êðóïíîìàñøòàáíûå ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû (ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ D ≈ 4 / 3 ) ìîãóò âîçíèêàòü â ëàáîðàòîðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá ~ 10 1 ì), â îêåàíå è â ñêîïëåíèÿõ ãàëàêòèê (ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá äî 10 2 Ìïñ). Ýòè ñòðóêòóðû èìåþò ïåðêîëÿöèîííûé õàðàêòåð [810]. 1. Ìûñëåííî ðàçîáüåì îáëàñòü, â êîòîðîé äâèæåòñÿ òóðáóëèçîâàííàÿ æèäêîñòü, íà êóáè÷åñêèå ÿ÷åéêè, ó êîòîðûõ ðåáðà èìåþò äëèíó η (êîëìîãîðîâñêèé ìàñøòàá [11]). Âèõðè, èìåþùèå òàêîé ìàñøòàá, áûñòðî çàòóõàþò ïîä äåéñòâèåì âÿçêîñòè.  ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè â îäíèõ ÿ÷åéêàõ äâèæåíèå áóäåò òóðáóëåíòíûì, à â äðóãèõëàìèíàðíûì (áåçâèõðåâûì) . Ìîæíî ââåñòè âåðîÿòíîñòü ð, ñ êîòîðîé òóðáóëèçîâàíà äàííàÿ ÿ÷åéêà. Ïðè ð = 0 íåò òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê, ïðè p = 1 êëàñòåðû, ñîñòîÿùèå èç òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê, ñîäåðæàò ìàëîå èõ êîëè÷åñòâî. Ïðè ð = 1 âñå ÿ÷åéêè òóðáóëèçîâàíû. Ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêàÿ êîíöåíòðàöèÿ 0<ð ñ <1, ïðè êîòîðîé âîçíèêàåò âïåðâûå áåñêîíå÷íûé êëàñòåð èç òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê. Ïðè ïîÿâëåíèè òàêîãî êëàñòåðà ñèòóàöèÿ ðàäèêàëüíî ìåíÿåòñÿ. Åñëè äî åãî ïîÿâëåíèÿ ââîäèìàÿ îáëàñòü äâèæåíèÿ ýíåðãèÿ øëà íà óâåëè÷åíèå ÷èñëà òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê è äèññèïàöèþ, òî ïîñëå ïîÿâëåíèÿ òàêîãî êëàñòåðà ýòà ýíåðãèÿ ìîæåò îòâîäèòüñÿ ïî íåìó íà «áåñêîíå÷íîñòü», ò. å. âûâîäèòüñÿ èç îáëàñòè òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ. Êîíöåíòðàöèÿ òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê ïðè íàëè÷èè òàêîãî êëàñòåðà ìîæåò ôëóêòóàöèîííî âîçðàñòàòü. Îäíàêî âîçíèêàþùèå ôëóêòóàöèîííî íîâûå òóðáóëèçîâàííûå ÿ÷åéêè áóäóò çàòóõàòü ïîä äåéñòâèåì âÿçêîñòè, èç-çà îòñóòñòâèÿ ïîñòîÿííîãî ïîäâîäà ýíåðãèè ê íèì. Áîëåå òîãî, â ñàìîì áåñêîíå÷íîì êëàñòåðå óñòîé÷èâûì (â ñèëó òîé æå ïðè÷èíû) áóäåò òîëüêî ñêåëåò. 190 À.Ã. ÁÅÐØÀÄÑÊÈÉ [Ò. 160 Ñêåëåòîì áåñêîíå÷íîãî êëàñòåðà íàçûâàþò ìíîæåñòâî ÿ÷ååê, ïðèíàäëåæàùèõ áåñêîíå÷íûì ïóòÿì ïî êëàñòåðó, ò. å. òóïèêîâûå, êîíå÷íûå âåòêè êëàñòåðà áóäóò çàòóõàòü ïîä äåéñòâèåì âÿçêî ñòè áåç ïîñòîÿííîãî ïîäâîäà ýíåðãèè ê íèì. Îáðàçóåìûå â òàêèõ ïåðêîëÿöèîííûõ ñèñòåìàõ êðèòè÷åñêèå êëàñòåðû ÿâëÿþòñÿ ôðàêòàëüíûìè îáúåêòàìè [8]. 2. Âîçíèêíîâåíèå áåñêîíå÷íîãî êëàñòåðàÿâëåíèå êðèòè÷åñêîå. Õàðàêòåðíûé ðàçìåð âèõðåâîãî êëàñòåðà l âáëèçè ð ñ âåäåò ñåáÿ êàê [8] Êðèòè÷åñêèé ïàðàìåòð v ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì è çàâèñèò òîëüêî îò òîïîëîãè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Ýòîò ïàðàìåòð ìíîãîêðàòíî íàõîäèëñÿ ðàçíûìè àâòîðàìè ñ ïîìîùüþ ðàçíîîáðàçíûõ ìîäåëåé. Ïðè d=3 ïðèáëèæåííî v ≈ 0,9 [8]. 3. Ñâÿæåì ýòîò ïàðàìåòð ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ D s ñêåëåòà âèõðåâîãî êëàñòåðà. Åñëè çàäàíî íà÷àëüíîå ïîëå êðóïíîìàñøòàáíîé ñêîðîñòè (âîçáóæäåíû òîëüêî âèõðè ìàñøòàáà l 0 ), òî êàñêàäíûé ïðîöåññ äðîáëåíèÿ ìàñøòàáà ïðèâîäèò ê âîçáóæäåíèþ èåðàðõèè âèõðåé ìàñøòàáîâ l n ~q n l 0 (q êðàòíîñòü äðîáëåíèÿ ìàñøòàáà). Ïðîöåññ ïåðåäà÷è ýíåðãèè ïî ìàñøòàáíîìó êàñêàäó õàîòè÷åí è ïîýòîìó àíèçîòðîïíîñòü è êðóïíîìàñøòàáíàÿ íåîäíîðîäíîñòü íà÷àëüíîãî ïîëÿ ñêîðîñòè ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ ìàñøòàáà âñå ìåíüøå ñêàçûâàåòñÿ íà ñòàòèñòè÷åñêîì ðåæèìå ïóëüñàöèè. Ýòî äîëæíî ïðèâîäèòü ê òîìó, ÷òî íà äîñòàòî÷íî ìåëêèõ ìàñøòàáàõ ( l0 ? ln ? η) èìååò ìåñòî ìàñøòàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü è ëîêàëüíàÿ èçîòðîïèÿ. Äëÿ èçîòðîïíûõ ïóëüñàöèé ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî ìàñøòàáàì (l~k 1 , kâîëíîâîå ÷èñëî) çàäàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ E(k). Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå õàðàêòåðíûé ïåðèîä ïóëüñàöèè íà m-ì øàãå äðîáëåíèÿ, òî èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè èëè ïðîñòûõ ôèçè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé [11]: Õàðàêòåðíûé ïåðèîä Ò ò ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàí êàê âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ âèõðÿìè ìàñøòàáà l m âèõðåé ìàñøòàáà l m+1 . Âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ïîëíîãî êàñêàäà âèõðåé Âîîáùå ãîâîðÿ ïîäñòàâëÿòü â (3) âìåñòî Ò ò ïðåäñòàâëåíèå (2) íåëüçÿ, òàê êàê îíî ïðèìåíèìî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ò. Îäíàêî íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü äàëüøå íå ñàìî çíà÷åíèå t∞ , à âåëè÷èíà à äëÿ íåå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Ì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðåäñòàâëåíèå (2). Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Ì èìååò ìåñòî ìàñøòàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü è ñêýéëèíãîâîå ïðåäñòàâëåíèå [11]: ÂÛÏ. 12] ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ 191 (ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Ì). ×åðåç Ì äðîáëåíèé âìåñòî îäíîãî èñõîäíîãî âèõðÿ ìàñøòàáà l 0 áóäåò Òàê êàê α=D s (ïðè d=3 [3]), òî ïåðâîå çíà÷åíèå (14) äàåò èçâåñòíûé ñïåêòð ÊîëìîãîðîâàÎáóõîâà [11]. ×òî êàñàåòñÿ âòîðîãî çíà÷åíèÿ (15) Dss ≈ 4 / 3 , òî, ïî-âèäèìîìó, îíî ñîîòâåòñòâóåò êðóïíîìàñøòàáíûì ïåðêîëÿöèîííûì ñòðóêòóðàì, ïîëó÷èâøèì â òåîðèè ïåðêîëÿöèè íàçâàíèå «Óïðóãèé ñêåëåò» [12]. Ýòîé ñóáñòðóêòóðå ñêåëåòà áåñêîíå÷íîãî êëàñòåðà ñîîòâåòñòâóþò òîëüêî êðàò÷àéøèå ïóòè, ñîåäèíÿþùèå äîñòàòî÷íî óäàëåííûå åãî òî÷êè. Âûïîëíåííûå â ðàáîòå [12] ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû äàþò çíà÷åíèå Dss = 1,35 ± 0,05, ò. å. ñîâïàäàþùåå ñ (15). 192 À.Ã. ÁÅÐØÀÄÑÊÈÉ [Ò. 160 4. Ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá, íà êîòîðîì âîçìîæíà ðåàëèçàöèÿ «óïðóãîãî ñêåëåòà» â ïåðêîëÿöèîííîé òóðáóëåíòíîñòè, äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü èíòåãðàëüíîìó ìàñøòàáó òóðáóëåíòíîñòè (L) [11], ò. å. õàðàêòåðíîìó ìàñøòàáó ïîëÿ ïóëüñàöèè ñêîðîñòè, íà ïðîòÿæåíèè êîòîðîãî åùå ñîõðàíÿåòñÿ çàìåòíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè ïîëÿ â äâóõ òî÷êàõ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàëèçàöèÿ «óïðóãîãî ñêåëåòà» áóäåò áëîêèðîâàòüñÿ ñïîíòàííûì íàðóøåíèåì ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè íà ìàñøòàáàõ ïîðÿäêà L [13]. Îäíàêî, ïî-âèäèìîìó, âîçìîæíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îí âñå æå ðåàëèçóåòñÿ (íàì ýòè óñëîâèÿ íå èçâåñòíû), íåñìîòðÿ íà ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè. Íà ðèñ. 1, âçÿòîé èç ðàáîòû [14], ïðèâåäåíû äàííûå äëÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà òóðáóëåíòíîñòè, ïîëó÷åííûå â ýêñïåðèìåíòå çà ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ðåøåòêîé. Äàííûå îòëîæåíû â áèëîãàðèôìè÷åñêîé øêàëå è ïðîâåäåíû ïðÿìûå, óêàçûâàþùèå íà âûïîëíèìîñòü ñêýéëèíãîâûõ çàêîíîâ ñ α ≈ 5 / 3 è α ≈ 4/3. Íà ðèñ. 2, âçÿòîì èç ðàáîòû [15] (ñì. òàêæå [16, ñòð. 181]), ïðèâåäåàíàëîãè÷íûå äàííûå íàáëþäåíèé â îêåàíå â ðàçíûõ òî÷êàõ òåðìîêëèíà íà ãîðèçîíòå 100 ì. È çäåñü â êðóïíîìàñøòàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà èìåþòñÿ ó÷àñòêè ñî ñêýéëèíãîì (ïîêàçàòåëü «4/3» óêàçàí îòðåçêàìè ñïëîøíûõ ëèíèé). Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âîïðîñ î íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð, îáóñëîâëåííûõ òóðáóëåíòíîñòüþ, êàê ýòî, ïî-âèäèìîìó, èìååò ìåñòî ïðè èññëåäîâàíèè ñòðóêòóð îáëàêîâ ñ ïîìîùüþ ðàäàðîâ [1719]. Êàêàÿ èç ñòðóêòóð: íåóñòîé÷èâàÿ, ñêåëåò èëè óïðóãèé ñêåëåò âûÿâëÿåòñÿ ïðè òàêîì ïðÿìîì íàáëþäåíèè? Ïî-âèäèìîìó, è çäåñü îòâåò çàâèñèò îò äèàïàçîíà ìàñøòàáîâ, â êîòîðîì âåäåòñÿ èññëåäîâàíèå D(1). 5. Åùå îäèí ïðèìåð ïðÿìîãî íàáëþäåíèÿ çà êðóïíîìàñøòàáíûìè ôðàêòàëüíûìè ñòðóêòóðàìè íàì ïðåäîñòàâëÿåò àñòðîôèçèêà. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìàòåðèÿ âî âñåëåííîé íàõîäèòñÿ â òóðáóëåíòíîì äâèæåíèè, òî êðóíîìàñøòàáíûå ñêîïëåíèÿ ìàòåðèèãàëàêòèêè è èõ êëàñòåðû [37], ïðèõîäÿòñÿ íà îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò àêòèâíàÿ äèññèïàöèÿ ýíåðãèè, ò. å. ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëÿ òóðÍÛ ÂÛÏ. 12] ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ 193 áóëåíòíîé äèññèïàöèè (çàâèõðåííîñòè) ñîâïàäàåò ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ ïîëÿ ïëîòíîñòè ìàòåðèè â âèäå ãàëàêòèê è èõ ñêîïëåíèé. Íàáëþäåíèÿ çà ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ êðóïíîìàñøòàáíûõ ñòðóêòóð âî âñåëåííîé (ãàëàêòèêàìè è èõ ñêîïëåíèÿìè) ïðèâîäÿò äëÿ íèõ ê çíà÷åíèþ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè D=1,3±0,1 [47], ò. å. áëèçêîìó ê «4/3» çíà÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî â ëàáîðàòîðíîé òóðáóëåíòíîñòè, â îêåàíå è àòìîñôåðå, è íà ìàñøòàáàõ, ñðàâíèìûõ ñ ïðåäåëàìè íàáëþäàåìîé âñåëåííîé, ìîãóò îêàçàòüñÿ äåéñòâåííûìè îäíè è òå æå ïðåäñòàâëåíèÿ î êðóïíîìàñøòàáíûõ ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóðàõ. ÏÐÈÌÅ×ÀÍÈÅ Ê ÒÅÊÑÒÓ Àâòîð áëàãîäàðèò Á.Ì. Ñìèðíîâà, îáðàòèâøåãî åãî âíèìàíèå íà ýòîò âîïðîñ, è Ø. Ëàâäæîé çà ðàçúÿñíåíèÿ èçìåí÷èâîñòè íàáëþäåíèé çà ïîëÿìè îáëàêîâ. 1 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ [1] Hentshel H.G.Å., Procaccia I.//Phys. Rev. Ser. A. 1984. V. 29. Ð. 1461. 2. Ðàáèíîâè÷ Ì.È., Ñóùèê Ì.Ì.//ÓÔÍ. 1990 Ò. 160. Ñ. 3. 3. Áåðøàäñêèé À. Ã. //ÆÝÒÔ 1989. Ò. 96. Ñ. 625. 4. Ëóêêèí Ô.//Ôðàêòàëû â ôèçèêå.Ì.: Ìèð, 1988.Ñ. 446. 5. Ïüåòðîíåðî Ë., Kynepc P.//Ibidem. Ñ. 454 6. Pietronero L.//Physica. Ser. A. 1987. V. 144. P. 257. 7. Coleman P.H., Pietronero L., Sanders L.P.H.//Astron. and Astrophys. 1988.V. 200. P. 32. 8. Ñîêîëîâ È.Õ.//ÓÔÍ. 1986. Ò. 150. Ñ. 221. 194 À.Ã. ÁÅÐØÀÄÑÊÈÉ [Ò. 160 9. Bershadsky A.G.//Generation of large scale Structures in Continuous Media: International Symposium.PermMoscow, June 1990.P. 50. 10. Êëüòèí À.À.//Àñòðîí. æ. 1987. Ò. 64. Ñ. 15. [11].Ìîíèí À.Ñ., ßãëîì À.Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. × 2.Ì.: Íàóêà, 1967. 12. Herrmann H. J., Hong D. Ñ., Stanley H. E.//J. Phys. Ser. A. 1984. V. 17. P. L261. 13. Áåðøàäñêèé À. Ã.//ÆÝÒÔ. 1988. Ò. 94. Ñ. 117. 14. Schedvin J., Stegen G. R., Gibson C. H.//J. Fluid Mech. 1974. V. 65. P. 561. 15. Áåëÿåâ Â.Ñ., Ëîçîâàöêèé È.Ä., Îçìèäîâ Ð.Â. //Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. «Ôèçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà». 1975. Ò. 11. Ñ. 718. 16. Îêåàíîëîãèÿ. Ôèçèêà îêåàíà. Ò. 1.Ì.: Íàóêà, 1978. 17. Lovejoy S.//Science. 1982. V. 216. Ð. 186. 18. Schertzer D., Lovejoy S. //Fractals: Physical Origin and Properties/Ed. L. Pietronero.New York: Plenum Press, 1990.P. 49. 19. Schertzer D., Lavallee D., Lovejoy S.//[9] P. 209.