Î âëèÿíèè ïîäúåìíîé ñèëû Ìàãíóñà íà äâèæåíèå ÷àñòèö â ïîòîêå ãàçîâçâåñè ßöåíêî Â. Ï., Øðàéáåð À. À. Èíñòèòóò ïðîáëåì ýíåðãîñáåðåæåíèÿ ÍÀÍ Óêðàèíû, ã. Êèåâ Ïðè äâèæåíèè â ïîòîêå ãàçîâçâåñè ÷àñòèöû, â îñîáåííîñòè äîñòàòî÷íî êðóïíûå, ïðèîáðåòàþò èíòåíñèâíîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå. Îñíîâíûìè ïðè÷èíàìè ýòîãî ÿâëÿþòñÿ íåïðàâèëüíàÿ ôîðìà ÷àñòèö, ãðàäèåíò ñêîðîñòè íåñóùåé ñðåäû, ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé, ñî ñòåíêàìè êàíàëà è äð.  ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ ÷àñòèö âîçíèêàåò ñèëà Ìàãíóñà, âåëè÷èíà êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå r r r F = C ρg (δ / 2 )3 Ω r × U r , r r r ϕ r = ϕ g − ϕ p (ϕ = Ω ,U ), (1) r r ãäå U ,Ω - ïîñòóïàòåëüíàÿ è óãëîâàÿ ñêîðîñòè, r - ïëîòíîñòü, d - äèàìåòð ÷àñòèöû, âåëè÷èíû ñ èíäåêñàìè g, p îòíîñÿòñÿ ê ãàçó è ÷àñòèöàì. Íà îñíîâàíèè àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ãëàäêèõ øàðîîáðàçíûõ ÷àñòèö â íåñæèìàåìîé ñðåäå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Ñ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ êîìïëåêñàìè, íàïðèìåð, ÷èñëàìè Ðåéíîëü-äñà ReU = Ur d/n, ReΩ = Ωr d 2/n (n - êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè). Ïðè ReU ® 0, ReΩ ® 0 èçâåñòíîå òåîðåòè÷åñêîå ðåøåíèå [1] äàåò Ñ = p, â äðóãîì êðàéíåì ñëó÷àå ReU ® ¥, ReΩ ® ¥ ñîãëàñíî [2] Ñ =8p/3. Äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé Re òåîðåòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè íå ïîëó÷åíû, îäíàêî èçâåñòåí ðÿä ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàáîò [3-9].  ýòèõ ðàáîòàõ çíà÷åíèå F îáû÷íî âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå F = 0 ,5 π C L ρ g (δ /2)2 U r2 (2) è îïûòíûå äàííûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â êîîðäèíàòàõ Γ - CL , ãäå à = 2 ReΩ / ReU . Ïî íàøåìó ìíåíèþ, òàêàÿ îáðàáîòêà äàííûõ íåóäîáíà, ò. ê. êîýôôèöèåíò Ñ áîëåå êîíñåðâàòèâåí, è åãî îïðåäåëåíèå ïðîùå. Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû [3-8] â êîîðäèíàòàõ ReΩ - Ñ ; ïîñêîëüêó â ýòèõ ðàáîòàõ èçìåðåíèÿ ïðîâåäåíû â íåêîòîðûõ äèàïàçîíàõ ReΩ , à çíà-÷åíèÿ Ñ ïîëó÷åíû ñ îïðåäåëåííîé ïîãðåøíîñòüþ, çàâèñèìîñòè Ñ( ReΩ ) ïðåäñòàâëåíû â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ 1-9 (çäåü ReU ~ 20, 4000, 20, 50, 100, 1000, 13000, 2300 è 2300 ñîîòâåòñòâåííî). Àíàëèç ýòèõ äàííûõ ïîçâîëÿåò 63 ñäåëàòü íåêîòîðûå âûâîäû. (1) Èçìåðåíèÿ íå ïîäòâåðæäàþò ðåøåíèå [2] äëÿ áîëüøèõ ReΩ , ReU - êîýôôèöèåíò Ñ áûñòðî óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì âðàùàòåëüíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. (2) Ðÿä îáëàñòåé çíà÷åíèé ReΩ , ReU ïðàêòè÷åñêè íå èçó÷åí. (3) Ïðè íèçêèõ ReU êîýôôèöèåíò Ñ óáûâàåò ñ ðîñòîì ReU , â òî âðåìÿ êàê ïðè áîëüøèõ ReU ýòà çàâèñèìîñòü ïðîòèâîïîëîæíà. (4) Íåêîòîðûå äàííûå ( íàïðèìåð, [6]), íåëüçÿ ïðèçíàòü íàäåæíûìè, ò. ê. ìåòîä èçìåðåíèÿ îáëàäàåò íèçêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ. Íàøè ðàñ÷åòû, ïðîâåäåííûå ïðè óñëîâèÿõ îïûòîâ [6], ïîêàçàëè, ÷òî ðàñõîæäåíèå ìåæäó òðàåêòîðèÿìè ÷àñòèö ïðè Ñ = 0 ¸ p ñóùåñòâåííî ìåíüøå ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé. C /π 1 10 2 0.8 Íîìåð ïðÿìîóãîëüíèêà 1 2 3-5 6 7 8,9 0.4 0 0.1 0 Ññûëêà [5] [7] [8] [6] [3] [4] 1 3 11 4 5 10 100 7 6 8 1000 103 4 10000 10 12 9 ReΩ 100000 Ðèñ.1. Åäèíñòâåííàÿ ïîïûòêà îáîáùèòü ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë ïðåäïðèíÿòà â [9]. Íà îñíîâàíèè äàííûõ [4,6,7] è ðåçóëüòàòîâ ñîáñòâåííûõ èçìåðåíèé ïîëó÷åíà ôîðìóëà C = 6.05 πReΩ-0,39 (100< ReΩ < 36000), (3) íåäîñòàòêîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå ó÷åòà âëèÿíèÿ ReU . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîé çàâèñèìîñòè áûëè ïðîâåäåíû îïûòíûå èññëåäîâàíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ âðàùàþùåãîñÿ ñôåðè÷åñêîãî òåëà. Ïëàñòìàññîâûå ïîëûå èëè ñïëîøíûå øàðèêè ðàçëè÷íûõ ðàçìåðîâ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî óñòðîéñòâà ïðèâîäèëèñü âî âðàùåíèå ñ íåêîòîðîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω p0 è ïàäàëè â ïîêîÿùåìñÿ âîçäóõå. Çíà÷åíèå Ω p0 èçìåðÿëîñü â ñòðîáîñêîïè÷åñêîì îñâåùåíèè ïî ìåòêå, íàíåñåííîé íà ïîâåðõíîñòü øàðèêà. Èçìåðÿëàñü àáñöèññà x° 64 òî÷êè ïàäåíèÿ ÷àñòèö, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò âåðòèêàëè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èõ öåíòð â íà÷àëüíûé ìîìåíò.  óñëîâèÿõ îïûòîâ åäèíñòâåííîé ïðè÷èíîé óêëîíåíèÿ ÷àñòèö îò âåðòèêàëè ÿâëÿåòñÿ ýôôåêò Ìàãíóñà, ò.å. äàííûé ìåòîä ( â ñðàâíåíèè, íàïðèìåð, ñ [6]) èìååò âûñîêóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü. Çíà÷åíèå x° îïðåäåëÿëîñü òàêæå ïóòåì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèö.  óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ íå ó÷èòûâàëèñü ýôôåêò ïðèñîåäèíåííîé ìàññû, ãðàäèåíò äàâëåíèÿ è ñèëà Áàññå, êîòîðûå, êàê ïîêàçàëè îöåíêè, â äàííûõ óñëîâèÿõ çàâåäîìî ìàëû. Óðàâíåíèÿ èìåþò âèä [10] a = πδ 2ρg U p C R / 8 m dup / dt = − aup + bvpΩ p ; (4) m dvp / dt = − avp − bupΩ p + mg ; b = C ρgδ 3/ 8 (5) IdΩ p / dt = −C Ω ρgδ 5 Ω p2 / 64 , (6) ãäå up ,vp - ãîðèçîíòàëüíàÿ è âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè, t - âðåìÿ, Ñ R - êîýôôèöèåíò àýðîäèíàìè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, m, I, ìàññà è ìîìåíò èíåðöèè ÷àñòèöû, g - óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè, C W - êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ âðàùåíèþ (âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî [11]). Ñèñòåìà (4)-(6) èíòåãðèðîâàëàñü ÷èñëåííî ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè t = 0 , up = 0 , v p = 0 , Ω p = Ω p 0 , è äëÿ êàæäîãî îïûòà ïîäáèðàëîñü òàêîå çíà÷åíèå Ñ â (1), êîòîðîå îáåñïå÷èâàëî íàèëó÷øåå ñîâïàäåíèå îïûòíûõ è ðàñ÷åòíûõ àáñöèññ x°.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, ïîñòðîåííûå ïðè «ýêñïåðèìåíòàëüíûõ» çíà÷åíèÿõ Ñ (ñïëîøíûå ëèíèè) è Ñ = p (øòðèõîâûå ëèíèè); êðèâûå 1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþò Wð0 = 36, 220 è 386 ñ-1. x, ì y, ì Ðèñ. 2. Èç ýòèõ äàííûõ âèäíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ èñïîëüçîâàíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ [1] ïðèâîäèò íå òîëüêî ê êîëè÷åñòâåííûì, íî è ê ñóùåñòâåííûì êà÷åñòâåííûì èñêàæåíèÿì ðåàëüíîé êàðòèíû äâèæåíèÿ ÷àñòèö: íà÷èíàÿ ñ îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà, îíè äâèæóòñÿ ïðàêòè÷åñêè ãîðèçîíòàëüíî. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî çà âðåìÿ ïàäåíèÿ øàðèêà ïîñòóïàòåëüíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà ìåíÿëîñü îò 0 äî êîíå÷íûõ çíà÷åíèé ~ 104. Ïîýòîìó äëÿ îáðàáîòêè îïûòíûõ äàííûõ íåîáõîäèìî âûáðàòü íåêîòîðîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ReU . Äëÿ 65 ýòîãî èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé ïðèåì. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçàëè, ÷òî çà âðåìÿ ïàäåíèÿ øàðèêà óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìåíÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 3%, âëèÿíèå ñèëû Ìàãíóñà íà åãî âåðòèêàëüíîå äâèæåíèå ìàëî è uð<<vð. Ïîýòîìó, îïóñêàÿ âòîðîé ÷ëåí ïðàâîé ÷àñòè (5) è ïîëàãàÿ Wð » const, U p » vp , CR » const, ëåãêî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå (4) - (5). up = A [1-1 /ch(gt/ w )]; y = (w 2 v p = w th(gt/ w ); A = C Ω pδ / (π C R ) (7) /g )lnch(gt/w ); x = A {t − (w /g )[2arctgexp(gt/ w )-π /2]}, ãäå w - ñêîðîñòü âèòàíèÿ ÷àñòèöû. Ñðàâíåíèå ñêîðîñòåé è êîîðäèíàò ÷àñ-òèöû, íàéäåííûõ ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì (4) - (6), ñ îäíîé ñòîðîíû, è âû÷èñëåííûõ ïî ôîðìóëàì (7), ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ óñëîâèé îïûòîâ ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó íèìè íå áîëåå 2-3%. Òåïåðü â óðàâíåíèè (4) äîïîëíèòåëüíî ïîëàãàåì vp » const = 〈v p 〉 , òîãäà åãî ðåøåíèå ïðèìåò âèä up = A [1-exp(-g 〈v p 〉 t / w 2)]; (8) x = A {t − w 2(g 〈v p 〉 )-1[1-exp(-g 〈v p 〉 t / w 2)]} Ïðèðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ x°, âû÷èñëåííûå èç (7) è (8), íàõîäèì íåêóþ ýêâèâàëåíòíóþ 〈v 〉 , êîòîðàÿ äàåò òî æå óêëîíåíèå x° , ÷òî è ðåàëüíàÿ p ïåðåìåííàÿ vp ( t ). Ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1 â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ 10 -12 (çäåñü ReU ~ 3000, 3600 è 5200). Ýòè äàííûå ñîâìåñòíî ñ íàèáîëåå íàäåæíûìè ðåçóëüòàòàìè èç ëèòåðàòóðû îáðàáàòûâàëèñü ðàçäåëüíî äëÿ îáëàñòåé ReU < 120 è ReU > 1000, ãäå õàðàêòåð çàâèñèìîñòè Ñ ( ReU ) ðàçëè÷åí (ñì. âûøå).  èòîãå ïîëó÷åíû ôîðìóëû R| || || || || || || || || || || || |S || || || || || || || || || || || || T 2 ,81Re−0, 208Re−U0 ,344 , 0,24< ReΩ < 103, Ω ' Re< U ReU < 120 C 0,94, < 260, 2000< Re ReU < 6000 (9) Ω = π 19,5Re−0,846 ReU0 ,438 , 2 < ReΩ ⋅ 10-3 < 38, 1000< ReU < Re'U' Ω Re'U = max(20,2Re−Ω0, 605, 1); Re'U' = min(1690+ 0,535ReΩ , 1,4 ⋅ 104 ) 66 Ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè (9) âûïîëíåíû èññëåäîâàíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé äâèæåíèÿ è îñàæäåíèÿ ÷àñòèö â ïëîñêîì ãîðèçîíòàëüíîì êàíàëå. Çàäà÷à ðåøàëàñü â äâóìåðíîé ëàãðàíæåâîé ïîñòàíîâêå. Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàëèñü àíàëîãè÷íî (4) - (6). Ïîëå ñêîðîñòåé ãàçà ìîäåëèðîâàëîñü 1/7 * * èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì ug = ug (2 y /H ) , ãäå ug - ïðîäîëüíàÿ ñêîðîñòü ãàçà íà îñè êàíàëà, y - ðàññòîÿíèå îò ñòåíêè, H - âûñîòà êàíàëà. Ïîïåðå÷íàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ãàçà ïðèíèìàëàñü ðàâíîé íóëþ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ' ' ' çàìûêàëèñü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé äëÿ up ,v p ,Ω p , õàðàêòåðèçóþùèõ âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ñî ñòåíêîé êàíàëà u'p = (5 + 2 kτ )up / 7 ± (kτ − 1)δΩ p / 7; v'p = knv p . (10) Ω'p = (5 kτ + 2 )Ω p / 7 m 10up (1 − kτ )/7δ (11) Çäåñü kn , kt -êîýôôèöèåíòû âîññòàíîâëåíèÿ íîðìàëüíîé è òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ïðè óäàðå, âåëè÷èíû ñî øòðèõîì ñîîòâåòñòâóþò äâèæåíèþ ïîñëå óäàðà î ñòåíêó, íèæíèé çíàê îòíîñèòñÿ ê ñîóäàðåíèþ ñ íèæíåé ñòåíêîé (äíîì) êàíàëà, âåðõíèé - ñ âåðõíåé. Âëèÿíèå d ug dy íà èçìåíåíèå Ω íå ó÷èòûâàëîñü. Ðàñ÷åòû âûïîëíåíû äëÿ d = 1,9.10-3ì, ρ ρ = 1000, p p g ug* = 20 ì/ñ, kn = = - 0,62, kt = 0,33, H = 0,1 ì.. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ÷àñòèöû ââîäÿòñÿ â òî÷êó íà îñè êàíàëà ïðè Wp = 0, up, = 0,vp = 0. Íà ðèñ. 3 â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîêàçàíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ÷àñòèö ñ ó÷åòîì èõ âðàùåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è áåç ó÷åòà âðàùåíèÿ (øòðèõîâûå ëèíèè) . Çäåñü Y = 2y / H, X = 2x / H. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïðè âûáðàííîé ñêîðîñòè ãàçà âðàùàþùèåñÿ ÷àñòèöû ïåðåìåùàþòñÿ âäîëü êàíàëà, ñîâåðøàÿ ñêà÷êîîáðàçíîå äâèæåíèå îò äíà ê ïîòîëêó è îáðàòíî. Åñëè æå â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ âðàùåíèå íå ó÷èòûâàòü, òî ÷àñòèöû ïðè Õ > 50 îñåäàþò íà äíî êàíàëà, ñîâåðøèâ äî ýòîãî íåñêîëüêî çàòóõàþùèõ «ñêà÷êîâ». Ýòè ðåçóëüòàòû ñîãëàñóþòñÿ ñ èçâåñòíûìè îöåíêàìè, ïðèâåäåííûìè â [12]. Y 2.0 1.0 0.0 0.0 20.0 40.0 Ðèñ.3. 67 X Âûâîäû. Íà îñíîâàíèè îáðàáîòêè íàèáîëåå íàäåæíûõ îïûòíûõ äàííûõ ïîëó÷åíû îáîáùàþùèå ôîðìóëû (9), ïîçâîëÿþùèå âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ñèëû Ìàãíóñà ïðè óìåðåííûõ è âûñîêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Ïîêàçàíî, ÷òî ýôôåêò Ìàãíóñà îêàçûâàåò áîëüøîå âëèÿíèå íà äâèæåíèå è âçâåøèâàíèå ÷àñòèö â ïîòîêàõ ãàçîâçâåñè. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå INTAS (ãðàíò ¹ 94 - 4348) Ëèòåðàòóðà 1. Rubinow S.I., Keller J.B. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid// J. Fluid Mech., 1961. V.11, P. 447-459. 2. Íèãìàòóëèí Ð. È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. ×. 1.- Ì.: Íàóêà, 1987.-464 c. 3. Äåìåíòüåâ Ì. À. Òðàíñïîðòèðîâàíèå îäèíî÷íîãî òâåðäîãî òåëà íåîäíîðîäíûì ïîòîêîì æèäêîñòè // Èçâ. ÂÍÈÈÃ, 1955, âûï. 54, C. 3-26. 4. Barkla H.M., Auchterlonie L.J. The Magnus or Robins effect on rotating spheres // J. Fluid Mech., 1971. V. 47, P. 437-447. 5. Oesterle B. Repartitions de concentration dans un écoulement gaz-solide. Origine et influence des forces de portance // C. R. Acad. Sci. Paris, 1979. V. B288, ¹ 10, P. 167-170. 6. Öóäçè, Ìîðèêàâà, Ìèäçóíî. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçìåðåíèå ñèëû Ìàãíóñà äëÿ âðàùàþùåãîñÿ øàðà ïðè ìàëûõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà // Òåîðåò. îñíîâû èíæ. ðàñ÷åòîâ, 1985, ¹ 4. C. 254-261. 7. Yamamoto F. A study of motion of a sphere in air flow through a horizontal pipe // Bull. JSME, 1986. V. 29, ¹ 253, P. 2055 - 2061. 8. Oesterle B., Dinh Tri B., Vial J.L. Measurements of lift and torque on a rotating sphere at intermediate Reynolds numbers // Mech. Res. Commun., 1991. V. 18, P. 145-150. 9. ßöåíêî Â.Ï., Íàóìîâ Â.À., Ñîëîìåíêî À.Ä. Î êîýôôèöèåíòå â ôîðìóëå äëÿ ñèëû Ìàãíóñà ïðè áîëüøèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà // Ìîäåëèðîâàíèå â ìåõàíèêå, 1992. T. 6, ¹ 4, C. 150 - 156. 10. Øðàéáåð À.À., Ãàâèí Ë.Á., Íàóìîâ Â.À., ßöåíêî Â.Ï. Òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ ãàçîâçâåñè. -Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. 11. Dennis S. C. R., Singh S. N., Ingham D. B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech., 1980. V. 101, ¹ 2, P. 257-279. 12. Øðàéáåð À.À., Ìèëþòèí Â. Í., ßöåíêî Â.Ï. Ãèäðîìåõàíèêà äâóõêîìïîíåíòíûõ ïîòîêîâ ñ òâåðäûì ïîëèäèñïåðñíûì âåùåñòâîì. -Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1980. 68