Глава 2. Теория оптимальной линейной фильтрации сигналов

Ãëàâà 2. Òåîðèÿ îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé
ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ
Îáùèå ñâåäåíèÿ
Ôèëüòðàöèÿ ñèãíàëîâ — ôóíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå, ñâÿçàííîå ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè
îá èõ ñïåêòðå, ò.å. ðàçëîæåíèè ñèãíàëîâ â ðÿä ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ôóíêöèÿì.
Òàêèå ðàçëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàëè âåëèêèå ìàòåìàòèêè ïðîøëîãî È. Áåðíóëëè è
Ë. Ýéëåð. Æ. Ôóðüå ïîëüçîâàëñÿ ýòèìè ðÿäàìè äëÿ ðåøåíèÿ ñëîæíîé çàäà÷è — èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ìåòîä Ôóðüå ñòàë êëàññè÷åñêèì ïðèåìîì ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, è â åãî ÷åñòü ýòè ðÿäû íàçâàëè ðÿäàìè
Ôóðüå. Äîëãîå âðåìÿ ðÿäû Ôóðüå íå ñâÿçûâàëèñü ñ êàêèìè-ëèáî ôèçè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè. Äàæå ïîñëå îòêðûòèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé è âîëí ìíîãèìè ó÷åíûìè âûñêàçûâàëèñü ñîìíåíèÿ â àäåêâàòíîñòè ðàçëîæåíèé Ôóðüå (ñïåêòðîâ ñèãíàëîâ)
ïðîèñõîäÿùèì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì. Âåëèêèé ôèçèê Ã. Ãåðö îòíîñèëñÿ ê ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèÿì îòðèöàòåëüíî. Âñåìèðíî èçâåñòíûé èçîáðåòàòåëü âàêóóìíîãî
äèîäà àíãëèéñêèé ó÷åíûé À. Ôëåìèíã òàêæå íå ïðèçíàâàë ñóùåñòâîâàíèÿ ñïåêòðà ó
ñèãíàëîâ è â 20-õ ãã. ÕÕ â. ìåæäó ó÷åíûìè âåëàñü áóðíàÿ äèñêóññèÿ î ðåàëüíîñòè
ýòîãî ïîíÿòèÿ.  ýòîé äèñêóññèè ïðèíÿëè àêòèâíîå ó÷àñòèå êðóïíûå îòå÷åñòâåííûå
(Ë.È. Ìàíäåëüøòàì è Ñ.Ì. Ðûòîâ) è çàðóáåæíûå (Äæ. Ð. Êàðñîí è äð.) ôèçèêè [1].
 ðåçóëüòàòå ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ óòâåðäèëèñü â ðàäèîòåõíèêå. Ñ ýòîãî âðåìåíè èíæåíåðû ñòàëè îñîçíàííî øèðîêî ïðèìåíÿòü ôèëüòðû äëÿ ðàçäåëåíèÿ ñèãíàëîâ, ïåðåäàâàåìûõ â ðàçíûõ ÷àñòîòíûõ êàíàëàõ.
Îäíàêî âàæíîñòü ïðîáëåìû ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ äëÿ ïîâûøåíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðèåìíûõ óñòðîéñòâ (÷òî ïîçâîëÿåò ïðè íàëè÷èè øóìîâ ïðèíèìàòü ñ âûñîêèì
êà÷åñòâîì ñèãíàëû, óðîâåíü êîòîðûõ íà âõîäå ïðèåìíèêà ìèíèìàëåí) áûëà îñîçíàíà
òîëüêî â íà÷àëå 40-õ ãã., êîãäà áóðíî ñòàëà ðàçâèâàòüñÿ òåîðèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ ñèíòåçèðîâàòü îïòèìàëüíûå ôèëüòðû è îöåíèâàòü ïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñòè ïîâûøåíèÿ
÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðèåìíûõ óñòðîéñòâ.
§ 1. Ñèíòåç ñîãëàñîâàííûõ ôèëüòðîâ
Îäíîé èç âàæíåéøèõ ïðîáëåì ÿâëÿåòñÿ ïðèåì ñèãíàëîâ èçâåñòíîé ôîðìû íà
ôîíå ôëóêòóàöèîííûõ øóìîâ. Îíà âîçíèêàåò â ñèñòåìàõ ïåðåäà÷è äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ, â ñèñòåìàõ ðàäèîëîêàöèè, ðàäèîíàâèãàöèè è ò.ï.
Ïîâûøåíèå ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðèåìíèêîâ ñëàáûõ ñèãíàëîâ ñòàëî îñîáåííî àêòóàëüíûì â ïåðèîä Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû.  ýòè ãîäû ñòàëè âûïóñêàòü ðàäèîëîêàöèîííóþ òåõíèêó, ðàáîòàþùóþ â ìåòðîâîì è äåöèìåòðîâîì äèàïàçîíàõ ÷àñòîò.  ýòèõ äèàïàçîíàõ, â îòëè÷èå îò íèçêî÷àñòîòíûõ, â êîòîðûõ îñíîâíûì âèäîì øóìîâ ÿâëÿþòñÿ
àòìîñôåðíûå è èíäóñòðèàëüíûå ïîìåõè, èìåþùèå èìïóëüñíûé õàðàêòåð, ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïðèåìà îãðàíè÷èâàåòñÿ ñîáñòâåííûìè ôëóêòóàöèîííûìè øóìàìè ïðèåìíèêà.
Ãëàâà 2. Òåîðèÿ îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ
223
Äëÿ ïîâûøåíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ðàäèîëîêàòîðîâ íåîáõîäèìî áûëî â óñòðîéñòâàõ, îáðàáàòûâàþùèõ ïðèíèìàåìûå èìïóëüñíûå ñèãíàëû, ôèëüòðû âûáèðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà èõ âûõîäå îòíîøåíèå ïèêîâîãî óðîâíÿ ñèãíàëà ê ìîùíîñòè
øóìà èìåëî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå. Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ ôèëüòðîâ ïðèâîäèò ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å, â êîòîðîé çàäàíû ñïåêòð äåòåðìèíèðîâàííîãî ïîëåçíîãî ñèãíàëà è ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñëó÷àéíîãî øóìà, äåéñòâóþùåãî íà âõîäå
ïðèåìíèêà, à ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôèëüòðà íåèçâåñòíà.  òàêîé ïîñòàíîâêå
äàííàÿ çàäà÷à íåçàâèñèìî ðàññìàòðèâàëàñü â ñåðåäèíå 40-õ ãã. àìåðèêàíñêèìè ó÷åíûìè Ä.Î. Íîðòîì [2], à òàêæå Ä. Ìèääëòîíîì è Äæ. Ã. Âàí Ôëåêîì. Áûëî ïîêàçàíî,
÷òî òîãäà, êîãäà ñëó÷àéíûé øóì ÿâëÿåòñÿ áåëûì, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ñïåêòðó âûäåëÿåìîãî èìïóëüñà, à åãî ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, èíâåðñíîé âî âðåìåíè ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé âûäåëÿåìûé ïîëåçíûé ñèãíàë. Òàêîé ôèëüòð ñòàëè
íàçûâàòü ñîãëàñîâàííûì. Äàííûé ðåçóëüòàò èìåë âàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå è
áûë ïåðâûì ðåçóëüòàòîì ïî ñèíòåçó îïòèìàëüíûõ ôèëüòðîâ, âûäåëÿþùèõ ïîëåçíûé
ñèãíàë ñ ìèíèìàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè âûäåëåíèè ñèãíàëà, èìåþùåãî ñïåêòð S(jω), ïðèíèìàåìîãî íà ôîíå øóìîâ ñ ýíåðãåòè÷åñêèì ñïåêòðîì
S n ( jω ), ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñîãëàñîâàííîãî ôèëüòðà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
K ( jω ) = c[S * ( jω ) / S n ( jω )] exp(− jωτ ),
ãäå ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à τ — ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé íàèáîëüøåìó îòíîøåíèþ ïèêîâîãî çíà÷åíèÿ ñèãíàëà ê ìîùíîñòè øóìà íà âûõîäå ôèëüòðà
(ρ). Ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ρ ñëåäóþùåå:
ρ=
1
2π
∞
∫ [ S ( jω )
2
/ S n ( jω )]dω.
−∞
Ïðèâåäåííûå ïðîñòûå ôîðìóëû îòíîñÿòñÿ ê ÷èñëó êëþ÷åâûõ ñîîòíîøåíèé â òåîðèè ñâÿçè, êîòîðûìè ïîëüçóþòñÿ èíæåíåðû ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ñèñòåì ñâÿçè è
ðàäèîëîêàöèè.
Ïîäîáíóþ æå çàäà÷ó ðàññìîòðåë â 1946 ã. êðóïíûé îòå÷åñòâåííûé ó÷åíûé, ÷ëåíêîððåñïîíäåíò ÀÍ ÑÑÑÐ Â.È. Ñèôîðîâ [3]. Åãî ïîäõîä, êîòîðûé ìîæåò áûòü íàçâàí
ïàðàìåòðè÷åñêèì, íîñèë áîëåå ÷àñòíûé õàðàêòåð. Îí ðàññìàòðèâàë ôèëüòðû ñ îïðåäåëåííîé ôîðìîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå èìåëè ðÿä ïàðàìåòðîâ (ïîëîñà
ïðîïóñêàíèÿ, êðóòèçíà ñïàäà ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè çà ïðåäåëàìè ýòîé ïîëîñû è
ò.ï.). Ïîäáîðîì ýòèõ ïàðàìåòðîâ äîñòèãàëñÿ ìàêñèìóì îòíîøåíèÿ ñèãíàë/øóì íà
âûõîäå ôèëüòðîâ.
Äàííîå íàïðàâëåíèå òåîðèè ñîãëàñîâàííîé ôèëüòðàöèè äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèãíàëîâ ðàçâèâàëîñü è â ïîñëåäóþùèå ãîäû. Â 1950 ã. Á.Ì. Äâîðêîì [4] áûëà âûïîëíåíà
îáîáùàþùàÿ ðàáîòà, êàñàþùàÿñÿ ñèíòåçà òàêèõ ôèëüòðîâ. Áîëüøîå çíà÷åíèå èìåëà ñòàòüÿ êðóïíîãî àìåðèêàíñêîãî ó÷åíîãî Äæ. Ë. Òóðèíà [5], â êîòîðîé äàí îáøèðíûé àíàëèòè÷åñêèé îáçîð íàó÷íûõ ðàáîò ïî ñîãëàñîâàííûì ôèëüòðàì, îïóáëèêîâàííûõ ê 1960 ã.
Âàæíûå èññëåäîâàíèÿ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ñîãëàñîâàííûõ ôèëüòðîâ áûëè âûïîëíåíû â 1957—1966 ãã. ïðîôåññîðîì Þ.Ñ. Ëåçèíûì.  ìîíîãðàôèè [6] áûëè ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæåíû ñâîéñòâà ñîãëàñîâàííûõ ôèëüòðîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ íà ôîíå ãàóññîâñêèõ øóìîâ, èññëåäîâàíû ìåòîäû èõ ïîñòðîåíèÿ è
224
ÏÈÎÍÅÐÛ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÂÅÊÀ. Историяразвитиятеориисвязи
îïðåäåëåíà ýôôåêòèâíîñòü èõ ïðèìåíåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, â íåé ðàññìîòðåíû âîïðîñû
ïîñòðîåíèÿ ãðåáåí÷àòûõ ôèëüòðîâ, îïòèìàëüíûõ äëÿ âûäåëåíèÿ èç øóìîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñíûõ ñèãíàëîâ, à òàêæå âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ñîãëàñîâàííûõ ôèëüòðîâ äëÿ èìïóëüñíûõ øèðîêîïîëîñíûõ ñèãíàëîâ ñ áîëüøîé áàçîé è íèçêèì óðîâíåì
áîêîâûõ ëåïåñòêîâ â èõ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè. Ê òàêèì ñèãíàëàì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ñèãíàëû ñ ëèíåéíîé ÷àñòîòíîé ìîäóëÿöèåé è ðàäèîñèãíàëû, ôàçà êîòîðûõ
ìàíèïóëèðîâàíà êîäîì Áàðêåðà.
Òåîðèÿ ñîãëàñîâàííûõ ôèëüòðîâ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ðàçäåëîì òåîðèè ñâÿçè, òàê êàê
òàêèå ôèëüòðû — íåîáõîäèìûå ýëåìåíòû îïòèìàëüíûõ ñèñòåì ïðèåìà ëþáûõ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ íà ôîíå ãàóññîâñêèõ øóìîâ.
§ 2. Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ ôèëüòðîâ äëÿ âûäåëåíèÿ ãàóññîâñêèõ
ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ, ïðèíèìàåìûõ íà ôîíå ãàóññîâñêèõ øóìîâ
Ïåðâóþ îñíîâîïîëàãàþùóþ ðàáîòó ïî òåîðèè ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè â äèñêðåòíîì âðåìåíè îïóáëèêîâàë â 1939 ã. àêàäåìèê À.Í. Êîëìîãîðîâ [7]. Ñëåäóåò îòìåòèòü,
÷òî ýòà ðàáîòà íîñèëà ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð.
Âî âðåìÿ Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû ïîäîáíàÿ æå òåîðèÿ áûëà íåçàâèñèìî ðàçðàáîòàíà êðóïíûì àìåðèêàíñêèì ìàòåìàòèêîì Í. Âèíåðîì. Îí ðàññìîòðåë çàäà÷è ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ, à òàêæå èõ ýêñòðàïîëÿöèè è èíòåðïîëÿöèè äëÿ íåïðåðûâíîãî âðåìåíè è îïóáëèêîâàë ñâîè ðåçóëüòàòû â êíèãå [8], èçäàííîé â 1949 ã., ãäå
óêàçàë íà âàæíîñòü òåîðèè äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ðàäèîòåõíèêè, ðåøàþùèõ
çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ âûäåëåíèåì ñèãíàëîâ íà ôîíå øóìîâ.
Îñíîâîé òåîðèè Âèíåðà—Êîëìîãîðîâà áûëà ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ðàçâèâøàÿñÿ èç ôóíäàìåíòàëüíîé ðàáîòû À.ß. Õèí÷èíà [9], â êîòîðîé áûëî
óñòàíîâëåíî, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà è åãî ýíåðãåòè÷åñêèé
ñïåêòð ìîùíîñòè ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Ýòà òåîðèÿ ðàññìàòðèâàëà îïòèìàëüíûé ïðèåì ñèãíàëà s(t) íà ôîíå ãàóññîâñêîãî øóìà:
r(t) = s(t) + n(t),
ãäå s(t) è n(t) — ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ íóëåâûì ñðåäíèì è èçâåñòíûìè
êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè Rs(τ) è Rn(τ). Ñèãíàë r(t) ïîñòóïàåò íà âõîä ëèíåéíîãî ôèëüòðà ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé h(t). Íà âûõîäå ôèëüòðà ôîðìèðóåòñÿ
ñèãíàë
∞
s * (t ) = ∫ h(τ )r (t − τ )dτ .
0
Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà âûáèðàåòñÿ òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû ñèãíàë s*(t) â ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè (â ñìûñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêè)
îòëè÷àëñÿ îò s(t + τ). Ïðè τ = 0 îñóùåñòâëÿåòñÿ îïòèìàëüíàÿ ôèëüòðàöèÿ (ñãëàæèâàíèå), ïðè τ > 0 — åãî îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ (óïðåæäàþùàÿ ôèëüòðàöèÿ), ïðè
τ < 0 — åãî îïòèìàëüíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ (ôèëüòðàöèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì).
Ñîãëàñíî òåîðèè Âèíåðà—Êîëìîãîðîâà ôóíêöèÿ h(t) îïðåäåëÿåòñÿ èç èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Âèíåðà—Õîïôà:
Ãëàâà 2. Òåîðèÿ îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ
∞
∫ h(t )[R
s
225
( Δ − t ) +R n (Δ − t )]dt = R s (Δ + τ ).
0
 îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ τ îïðåäåëåíèå h(t) è îøèáêè îöåíêè
s(t + τ) ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè â ìàòåìàòè÷åñêîì îòíîøåíèè çàäà÷àìè. Îäíàêî äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà τ << 0 (ò.å. êîãäà ïðè îöåíêå ïðîöåññà s(t) ó÷èòûâàþòñÿ åãî çíà÷åíèÿ
êàê äî, òàê è ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè t), çàäà÷à ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà K ( jω ) è îøèáêà ôèëüòðàöèè σ 02 îïðåäåëÿþòñÿ ïðîñòûìè ôîðìóëàìè:
K ( jω ) =
σ 02 =
1
2π
∞
S (ω ) exp( jωτ )
;
S (ω ) + S n (ω )
S(ω )S n (ω )
dω .
n (ω )
∫ S(ω) + S
−∞
Òåîðèÿ, èçëîæåííàÿ â êíèãå Âèíåðà, áûëà î÷åíü ñëîæíà äëÿ ïîíèìàíèÿ èíæåíåðàìè, êîòîðûå â òå ãîäû íå èìåëè äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè.
Èçâåñòíûå àìåðèêàíñêèå ó÷åíûå Ã.Â. Áîäå è Ê. Øåííîí â 1950 ã., èñïîëüçóÿ èíòóèòèâíî ïîíÿòíûå ñîîáðàæåíèÿ, äàëè óïðîùåííîå èçëîæåíèå ýòîé òåîðèè [10]. Îíè
ïîêàçàëè, ÷òî, ïðèìåíÿÿ «îáåëÿþùèé» ìèíèìàëüíî-ôàçîâûé ôèëüòð (ñ èìïóëüñíîé
õàðàêòåðèñòèêîé, ðàâíîé íóëþ ïðè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ t), ìîäóëü ÷àñòîòíîé
õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîãî ðàâåí Y1 ( jω ) = [S (ω ) + S n (ω )]−1 2 , ïðîöåññ, äåéñòâóþùèé íà âõîäå
ïðèåìíèêà, ïðåâðàùàåòñÿ â «áåëûé» øóì — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîðîòêèõ íåçàâèñèìûõ
èìïóëüñîâ, èìåþùèõ ðàâíîìåðíûé ñïåêòð ìîùíîñòè. Âåñ, ñ êîòîðûì äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ îòäåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ýòîãî ñïåêòðà â ñèãíàëå, ôîðìèðóåìîì íà âûõîäå îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà, ðàâåí S (ω ). Åñëè áûëè áû èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè r(t) îò
t = –∞ äî t = ∞ , òî íàèëó÷øåé îïåðàöèåé, ïðèìåíåííîé êî âõîäó, áûëà áû ñëåäóþùàÿ:
Y2(jω) = Y1(jω)⋅ S (ω ).
Îäíàêî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà òàêîãî ôèëüòðà h2(t) ôèçè÷åñêè íåðåàëèçóåìà, òàê êàê ñîäåðæèò «õâîñòû», ïðîñòèðàþùèåñÿ îò t = –∞ äî t = ∞. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
åäèíñòâåííûå èìåþùèåñÿ ó íàñ äàííûå äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ çíà÷åíèÿ s(t + τ) ê ìîìåíòó
τ = 0 — ýòî èìïóëüñû, ïîÿâèâøèåñÿ â ïðîøåäøåé èñòîðèè ïðîöåññà, òî âñåì èìïóëüñàì, êîòîðûå ïîÿâÿòñÿ â áóäóùåì, ñëåäóåò ïðèïèñàòü íóëåâîé âåñ, à òåì, êîòîðûå óæå
ïîÿâèëèñü íà âõîäå ïðèåìíèêà, — âåñ h2(t). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå «îáåëÿþùåãî» ìèíèìàëüíî-ôàçîâîãî ôèëüòðà äîëæåí áûòü âêëþ÷åí ôèëüòð ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé
⎧h (t + τ ) при t ≥ 0⎫
h3 (t ) = ⎨ 2
⎬.
при t ≤ 0⎭
⎩0
Ôóíêöèè h3(t) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà Y3(jω). Ïîýòîìó ÷àñòîòíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà îïòèìàëüíîãî ñãëàæèâàþùåãî è ïðåäñêàçûâàþùåãî ôèëüòðà
Yîïò(jω) = Y1(jω)⋅Y3(jω).
226
ÏÈÎÍÅÐÛ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÂÅÊÀ. Историяразвитиятеориисвязи
 1952 ã. ïðîôåññîð À.Ì. ßãëîì — ó÷åíèê À.Í. Êîëìîãîðîâà îïóáëèêîâàë îáøèðíóþ ñòàòüþ [11], â êîòîðîé áûëî âïåðâûå äàíî ïðîñòîå è â òî æå âðåìÿ ìàòåìàòè÷åñêè
ñòðîãîå èçëîæåíèå òåîðèè ýêñòðàïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ïðîöåññîâ.
Àìåðèêàíñêèå ó÷åíûå Ë. Çàäå è Äæ. Ðàãàçèíè [12] ñäåëàëè ñóùåñòâåííîå îáîáùåíèå òåîðèè Âèíåðà íà ñëó÷àé, êîãäà ñèãíàë ïîìèìî ñëó÷àéíîé ñîäåðæèò åùå è ðåãóëÿðíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, à âðåìÿ íàáëþäåíèÿ îãðàíè÷åíî.
Äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ êîíñòðóèðîâàíèåì îïòèìàëüíûõ
ñèñòåì ñâÿçè è óïðàâëåíèÿ, áîëüøîå çíà÷åíèå èìåëà ôîðìóëà, îïðåäåëÿþùàÿ òî÷íîñòü îöåíêè ïðîöåññà s(t) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà øóì n(t) ÿâëÿåòñÿ «áåëûì» è èìååò
ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ìîùíîñòè N0:
σ 02 =
N0
4π
∞
S(ω )
]dω.
0 /2
∫ log[1 + N
−∞
Ýòà ôîðìóëà áûëà óñòàíîâëåíà â 1955—1965 ãã. ðàçíûìè ìåòîäàìè àìåðèêàíñêèìè ó÷åíûìè Ì.Ê. Èîâèòñîì è Äæ. Ë. Äæåêñîíîì [13], Ê.Â. Õåëñòðîìîì [14],
Ý.Ä. Âèòåðáè [15] è Ä. Ñíàéäåðîì [16].
Òåîðèÿ îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè áûëà îáîáùåíà íà ñëó÷àé ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ Í. Âèíåðîì [17], Å. Âîíãîì è Äæ. Òîìàñîì [18] è äðóãèìè
ó÷åíûìè. Ýòè ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû, â ÷àñòíîñòè, ê ñèñòåìàì ïåðåäà÷è
òåëåâèäåíèÿ ñî ñòðî÷íîé ðàçâåðòêîé, â êîòîðûõ èìååòñÿ âûñîêàÿ êîððåëÿöèÿ ìåæäó
ñèãíàëàìè ðàçëè÷íûõ ñòðîê è êàäðîâ.
Ñ 50-õ ãã. òåîðèþ Âèíåðà—Êîëìîãîðîâà íà÷àëè èçëàãàòü â äîñòóïíîì âèäå äëÿ
èíæåíåðîâ, â ìîíîãðàôèÿõ è ó÷åáíèêàõ. Îäíèìè èç ïåðâûõ êíèã, â êîòîðûõ îíà íàøëà
îòðàæåíèå, áûëè êíèãè îòå÷åñòâåííîãî ó÷åíîãî Â.Â. Ñîëîäîâíèêîâà [19] (1952 ã.) è
ó÷åíèêà Âèíåðà Þ.Â. Ëè [20] (1960 ã.).
Ïîçæå âî âñåõ ìîíîãðàôèÿõ ïî ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêå, íàïèñàííûõ îòå÷åñòâåííûìè (Á.Ð. Ëåâèí è Â.È. Òèõîíîâ [21, 22]) è çàðóáåæíûìè (Ä. Ìèääëòîí,
Ý. Âèòåðáè, Ã. Âàí Òðèñ [23—25] è äð.) ó÷åíûìè, îäèí èç ðàçäåëîâ áûë ïîñâÿùåí
ýòîé òåîðèè.
Ñîâåðøåííî äðóãîé ïîäõîä ê ïðîáëåìàì âûäåëåíèÿ ñèãíàëà íà ôîíå øóìà, êîòîðûé ïðèìåíèì è ê ïðîáëåìàì îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ, áûë
ïðåäëîæåí Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷åì â 1959 ã. [26]. Òåîðèÿ Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷à îñíîâûâàëàñü íà ïðåäñòàâëåíèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ìîäåëèðóþùèõ êàê ïîëåçíûé ñèãíàë,
òàê è øóì ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ). Íåçàâèñèìî îò Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷à çàêîí÷åííûå ðåçóëüòàòû îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè êàê â äèñêðåòíîì, òàê è â íåïðåðûâíîì âðåìåíè ïîëó÷èëè â 1961 ã. àìåðèêàíñêèå ó÷åíûå Ð.Å. Êàëìàí è Ð.Ñ. Áüþñè [27, 28].
Äëÿ ãàóññîâñêèõ è ìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷åì, Ð.Å. Êàëìàíîì è Ð.Ñ. Áüþñè áûëè âûâåäåíû äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå
ñòðóêòóðó îïòèìàëüíîãî ôèëüòðà, íà âõîä êîòîðîãî ïîñòóïàåò ïðèíèìàåìûé ñèãíàë, è
ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ðèêêàòè, îïðåäåëÿþùåå òî÷íîñòü åãî îöåíêè. Íàëè÷èå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îöåíêè âìåñòî èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííûå ïðàêòè÷åñêèå ïðåèìóùåñòâà, òàê êàê äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ íàìíîãî ëåã÷å ñ
ïîìîùüþ àíàëîãîâîé èëè öèôðîâîé òåõíèêè, ÷åì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå.
Ãëàâà 2. Òåîðèÿ îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ
227
 70-õ ãã. ïîÿâëÿþòñÿ ìîíîãðàôèè, â êîòîðûõ èçëàãàåòñÿ íîâàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíîé
ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè, è îíà ïðèìåíÿåòñÿ ê ðåøåíèþ ðÿäà òåõíè÷åñêèõ ïðîáëåì.
Òåîðèÿ îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ ïðèìåíèìà ê øèðîêîìó êëàññó
çàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ñèñòåì ñâÿçè è óïðàâëåíèÿ. Åå çíà÷åíèå
äëÿ òåîðèè ñâÿçè è â òîì, ÷òî îíà ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ óñòàíîâèòü ïðåäåëüíóþ
òî÷íîñòü σ 02 îöåíêè ïîëåçíîãî ñîîáùåíèÿ, ïåðåäàâàåìîãî ïî êàíàëó ñâÿçè.  ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ ñòðåìÿòñÿ ïðèìåíèòü äîñòàòî÷íî ïðîñòûå ôèëüòðû, ïàðàìåòðû êîòîðûõ
âûáèðàþò òàê, ÷òîáû â äàííîé ñèñòåìå òî÷íîñòü σ 12 îöåíêè ïîëåçíîãî ñîîáùåíèÿ
áûëà ìàêñèìàëüíîé. Ðàöèîíàëüíîñòü ïðèìåíåíèÿ âûáðàííîãî ôèëüòðà ñ çàäàííûìè
ïàðàìåòðàìè ìîæíî îöåíèòü, ñðàâíèâàÿ σ 02 è σ 12 . Åñëè ýòè âåëè÷èíû îòëè÷àþòñÿ
íåçíà÷èòåëüíî, òî âûáîð ôèëüòðà ñëåäóåò ñ÷èòàòü óäà÷íûì. Êðîìå òîãî, âàæíî è òî,
÷òî áîëåå îáùàÿ òåîðèÿ íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè, ñâÿçàííàÿ ñ ñîçäàíèåì îïòèìàëüíûõ äåìîäóëÿòîðîâ ñèãíàëîâ ñ ôàçîâîé, ÷àñòîòíîé è äðóãèìè âèäàìè íåëèíåéíîé
ìîäóëÿöèè, òàêæå ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ ëèíåéíûõ ôèëüòðîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ýòèõ äåìîäóëÿòîðîâ.
§ 3. Õðîíîëîãèÿ ðàçâèòèÿ òåîðèè îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé
ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ
1. Ñîçäàíèå òåîðèè îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè, ýêñòðàïîëÿöèè è èíòåðïîëÿöèè ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ, ïðèíèìàåìûõ íà ôîíå ãàóññîâñêîãî øóìà
(1939 ã. — À.Í. Êîëìîãîðîâ, 1949 ã. — Í. Âèíåð).
2. Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ ôèëüòðîâ, ñîãëàñîâàííûõ ñî ñïåêòðîì äåòåðìèíèðîâàííîãî
ïîëåçíîãî ñèãíàëà, ïðèíèìàåìîãî íà ôîíå ñëó÷àéíîãî øóìà ñ èçâåñòíûì ñïåêòðîì ìîùíîñòè (1943 ã. — Ä.Î. Íîðò, Ä. Ìèääëòîí è Äæ. Ã. Âàí Ôëåê, 1946 ã. —
Â.È. Ñèôîðîâ).
3. Ðàçâèòèå òåîðèè ñîãëàñîâàííîé ôèëüòðàöèè äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèãíàëîâ
(1950 ã. — Á.Ì. Äâîðê).
4. Ðàçâèòèå òåîðèè îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êîëìîãîðîâà—Âèíåðà
(1952 ã. — À.Ì. ßãëîì).
5. Îáîáùåíèå òåîðèè Êîëìîãîðîâà—Âèíåðà â ñëó÷àå, êîãäà ñèãíàë ïîìèìî ñëó÷àéíîé ñîäåðæèò åùå è ðåãóëÿðíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, à âðåìÿ íàáëþäåíèÿ îãðàíè÷åíî
(1952 ã. — Ë. Çàäå è Æ. Ðàãàçèíè).
6. Âûâîä ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùåé òî÷íîñòü îöåíêè ñèãíàëà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà øóì
ÿâëÿåòñÿ «áåëûì» (1955 — 1965 ãã. — Ì.Ê. Èîâèòñ è Äæ. Ë. Äæåêñîí, Ê.Â. Õåëñòðîì, Ý.Ä. Âèòåðáè, Ä. Ñíàéäåð).
7. Ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ñîãëàñîâàííûõ ôèëüòðîâ, â òîì ÷èñëå ãðåáåí÷àòûõ ôèëüòðîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ âûäåëåíèÿ íà ôîíå øóìîâ ïà÷åê ðàäèîëîêàöèîííûõ èìïóëüñîâ (1957—1966 ãã. — Þ.Ñ. Ëåçèí).
8. Îáîáùåíèå òåîðèè îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè äëÿ ñëó÷àÿ âûäåëåíèÿ íà
ôîíå øóìîâ ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (1958 ã. — Í. Âèíåð, 1961 ã. —
Å. Âîíã è Äæ. Òîìàñ).
9. Ñîçäàíèå ìàðêîâñêîé òåîðèè îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè (1959 ã. —
Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷, 1961 ã. — Ð.Å. Êàëìàí è Ð.Ñ. Áüþñè).
228
ÏÈÎÍÅÐÛ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÂÅÊÀ. Историяразвитиятеориисвязи
Литератра
лаве2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Ôèíê Ë.Ì. Ñèãíàëû, ïîìåõè, îøèáêè… — Ì.: Ñâÿçü, 1978.
North D.O. Analysis factors which determine signal-noise discrimination in pulsed carrier systems.
RCA Tech. Rep. PTR-6C. June 1943 (Proc. IEEE. 1963. ¹ 7).
Ñèôîðîâ Â.È. Î âëèÿíèè ïîìåõ íà ïðèåì èìïóëüñíûõ ñèãíàëîâ // Ðàäèîòåõíèêà. 1946. ¹ 1.
Dwork B.M. Detection of pulse superimposed on fluctuation noise // Proc. IRE. 1950. P. 771.
Turin G.L. An introduction to marched filters // IRE Trans. on Information Theory. 1960. ¹ 3.
Ëåçèí Þ.Ñ. Îïòèìàëüíûå ôèëüòðû è íàêîïèòåëè èìïóëüñíûõ ñèãíàëîâ. — Ì.: Ñîâ.
ðàäèî. 1969.
Êîëìîãîðîâ À.Í. Èíòåðïîëèðîâàíèå è ýêñòðàïîëèðîâàíèå ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåìàòè÷åñêàÿ. 1941. ¹ 5.
Wiener N. The extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. N.Y.:
Wiley. 1949.
Õèí÷èí À.ß. Òåîðèÿ êîððåëÿöèè ñòàöèîíàðíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ // Óñïåõè ìàò.
íàóê. 1938. Âûï. 5.
Bode H.W., Shannon C.E. A simplified derivation of linear least-square smoothing and prediction
theory // Proc. IRE. 1950. ¹ 4.
ßãëîì À.Ì. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé // Óñïåõè ìàò. íàóê.
1952. Ò. 7. Âûï. 5.
Zadeh L.A., Ragazzini J.R. Optimum filters for the detection of signals in noise // IRE Trans.
1952. V. IT-1. ¹ 4.
Yovits M.C., Jackson J.L. Linear filter optimization with game theory consideration // IRE Nat.
Conv. Record. March 1955.
Helstrom C.W. Topics in the transmission of continuous information. Westinghouse Res. Labs.
Repr. 64-8C3-522-R1. August 1964.
Viterbi A.J. On the minimum mean square error resulting from linear filtering of stationary
signals in white noise // IEEE Trans. on Information Theory. 1965. ¹ 3.
Snyder D.L. Some useful expression for optimum filtering in white noise // Proc. IEEE.
1965. ¹ 6.
Wiener N., Massani P. The prediction theory of multivariable stochastic processes. Acta Math.
June 1958.
Wong E., Thomas J.B. On the multidimensional filtering and prediction problem and the factorization
of spectral matrices // J. Franklin Inst. 1961. V. 8. P. 87—99.
Ñîëîäîâíèêîâ Â.Â. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ äèíàìèêó ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî
ðåãóëèðîâàíèÿ. — Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1952.
Lee Y.W. Statistical theory of communication. N.Y.: Wiley. 1960.
Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1968. Ò. 2.
Òèõîíîâ Â.È. Îïòèìàëüíûé ïðèåì ñèãíàëîâ. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1983.
Middleton D. An introduction to statistical communication theory. N.Y.: McGraw-Hill.
1961. Pt. 2.
Viterbi A.J. Principles of coherent communication. N. Y.: McGraw-Hill. 1966.
Van Trees H.L. Detection, Estimation and Modulation Theory. N. Y.: Wiley. 1971. Pt. 1.
Ñòðàòîíîâè÷ Ð.Ë. Ê òåîðèè îïòèìàëüíîé íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé //
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèå. 1959, Ò. 4, ¹ 2.
Kalman R.E. New methods and results in linear prediction and filtering theory. Baltimore: RIAS
Tech. Rep. 1961. P. 1—61.
Kalman R.E., Bucy R. New results in linear filtering and prediction theory // ASME J. Basis Eng.
March 1961. V. 83.