ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ) À. À. Ïîæàðñêèé Ñîäåðæàíèå 1. Ïðèíöèï àðãóìåíòà 1 2. Ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè 1 3. Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè 2 4. Ãàììà-ôóíêöèÿ 2 5. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ 2 6. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé 3 7. Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå 4 8. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû 5 1. Ïðèíöèï àðãóìåíòà Îïðåäåëåíèå 1 (Èíäåêñ ôóíêöèè íà êðèâîé). Ïóñòü • γ çàìêíóòàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C; • f íåïðåðûâíàÿ êîìïëåêñíî-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà êðèâîé γ ; • ∀ z ∈ γ f (z) 6= 0. Èíäåêñîì ôóíêöèè f íà êðèâîé γ íàçûâàþò öåëîå ÷èñëî 1 ind(f, γ) = ∆γ arg f, 2π ãäå ∆γ arg f ïðèðàùåíèå íåïðåðûâíîé âåòâè àðãóìåíòà ôóíêöèè f (z) ïîñëå îäíîêðàòíîãî îáõîäà òî÷êîé z êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà êðèâîé γ . Äðóãèìè ñëîâàìè, èíäåêñ ôóíêöèè f íà êðèâîé γ ýòî ÷èñëî îáîðîòîâ òî÷êè f (z) âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò, îòñ÷èòûâàåìûå ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, ïðè îäíîêðàòíîì îáõîäå òî÷êîé z êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà êðèâîé γ . 2. Ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 2 (Ìåðîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ìåðîìîðôíîé, åñëè • f ∈ H(C \ E), ãäå E ⊂ C; • ëþáàÿ òî÷êà z èç E ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ôóíêöèè f . Îïðåäåëåíèå 3 (Ïðàâèëüíàÿ ñèñòåìà êîíòóðîâ). Ãîâîðÿò, ÷òî {γn }∞ n=1 ïðàâèëüíàÿ ñèñòåìà êîíòóðîâ â C, åñëè 27 äåêàáðÿ 2013 ã. 1 2 À. À. Ïîæàðñêèé • • • • • ∀ n ∈ N γn çàìêíóòûé êóñî÷íî-ãëàäêèé êîíòóð; òî÷êà z = 0 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè intγn , îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γ1 ; ∀ n ∈ N êîíòóð γn ëåæèò âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γn+1 ; dn = dist(0, γn ) → ∞ ïðè n → ∞; ∃ C > 0 : ∀ n ∈ N dlnn 6 C , ãäå ln äëèíà êîíòóðà γn . 3. Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 4 (Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå). Ïóñòü • • • • • D îáëàñòü â C; E ïîäìíîæåñòâî D; f : E −→ C; F ∈ H(D); F = f (äðóãèìè ñëîâàìè, ∀ z ∈ E f (z) = F (z)). E Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî F àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå f ñ ìíîæåñòâà E íà îáëàñòü D. Îïðåäåëåíèå 5 (Ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè). Îäíîçíà÷íîé ðåãóëÿðíîé âåòâüþ (èëè, ñîêðàùåííî, ðåãóëÿðíîé âåòâüþ) ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè f (z) â îáëàñòè D íàçûâàþò âñÿêóþ ðåãóëÿðíóþ ôóíêöèþ f0 (z) â D òàêóþ, ÷òî â ëþáîé òî÷êè z ∈ D çíà÷åíèå ôóíêöèè f0 (z) ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç çíà÷åíèé ôóíêöèè f (z). Îïðåäåëåíèå 6 (Òî÷êà âåòâëåíèÿ). Îñîáàÿ òî÷êà z0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ ìíîãî- çíà÷íîé ôóíêöèè f (z), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü 0 < |z − z0 | < r, ÷òî ëþáàÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ôóíêöèè f (z) ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà âäîëü ëþáîé öåïî÷êè îáëàñòåé, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé îêðåñòíîñòè, è íàéäåòñÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ôóíêöèè f (z), êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà âî âñþ ïðîêîëîòóþ îêðåñòíîñòü 0 < |z − z0 | < r. 4. Ãàììà-ôóíêöèÿ Îïðåäåëåíèå 7 (Ãàììà-ôóíêöèÿ). Ãàììà-ôóíêöèåé (ñîêðàùåííî, Γ-ôóíêöèåé) íàçûâàþò ôóíê- öèþ, îïðåäåëåííóþ ïðè Re z > 0 ðàâåíñòâîì Z+∞ tz−1 e−t dt. Γ(z) = 0 Îïðåäåëåíèå 8 (Áåòà-ôóíêöèÿ). Áåòà-ôóíêöèåé íàçûâàþò ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ ïðè Re z > 0 è Re w > 0 ðàâåíñòâîì Z1 B(z, w) = tz−1 (1 − t)w−1 dt. 0 5. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ Îïðåäåëåíèå 9 (Îáëàñòü â C). Ìíîæåñòâî òî÷åê D íà ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C íàçûâàþò îáëàñòüþ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ) 3 • Îòêðûòîñòü: äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé òî÷êè z0 ∈ D ∃ r > 0 : {z | |z − z0 | < r} ⊂ D; • äëÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè z0 = ∞ ∈ D ∃ R > 0 : {z | |z| > R} ⊂ D. • Ëèíåéíàÿ ñâÿçíîñòü: äëÿ ëþáûõ äâóõ êîíå÷íûõ òî÷åê ìíîæåñòâà D íàéäåòñÿ ëîìàíàÿ (ëèíèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ) öåëèêîì ïðèíàäëåæàùàÿ D. Îïðåäåëåíèå 10 (Êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå). Ãîâîðÿò, ÷òî f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D ⊂ C íà îáëàñòü G ⊂ C, åñëè (1) f âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå D íà G; (2) f ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â D , çà èñêëþ÷åíèåì íå áîëåå ÷åì îäíîé òî÷êè; ◦ ìû áóäåì ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè, åñëè f èìååò óñòðàíèìóþ îñîáåííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè. Îïðåäåëåíèå 11 (Äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå). Äðîáíî-ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì íàçûâà- þò îòîáðàæåíèå âèäà az + b ∈ C, cz + d ãäå ad − bc 6= 0. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî a az+b • åñëè c 6= 0, òî az+b = è = ∞; cz+d z=∞ c cz+d z=− dc az+b = ∞. • åñëè c = 0, òî C 3 z 7−→ cz+d z=∞ Îïðåäåëåíèå 12 (Ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè). Ãîâîðÿò, ÷òî z1 è z2 ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè |z − z0 | = R, åñëè (1) òî÷êè z1 è z2 ëåæàò íà îäíîì ëó÷å, íà÷èíàþùèìñÿ â òî÷êå z0 ; (2) |z1 − z0 | · |z2 − z0 | = R2 ; ◦ òî÷êà z0 ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå ∞. 6. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé Îïðåäåëåíèå 13 (Ïëîñêîå ïîëå). Ïóñòü • D îáëàñòü â C; • A îòîáðàæåíèå èç D â C; Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ïëîñêîå ïîëå â D èëè, ñîêðàùåííî, ïîëå. Îïðåäåëåíèå 14 (Ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå). Ïóñòü • D îáëàñòü â C; • A = Ax + iAy ïîëå â D; y x • div A = ∂A + ∂A = 0. ∂x ∂y Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå â îáëàñòè D. Îïðåäåëåíèå 15 (Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå). Ïóñòü • D îáëàñòü â C; • A = Ax + iAy ïîëå â D; y x • rot A = ∂A − ∂A = 0. ∂x ∂y Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ïîòåíöèàëüíîå ïîëå â îáëàñòè D. Îïðåäåëåíèå 16 (Ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå). Ïóñòü 4 À. À. Ïîæàðñêèé • D îáëàñòü â C; • A = Ax + iAy ïîëå â D; • A ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå; • A ïîòåíöèàëüíîå ïîëå. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â îáëàñòè D. Îïðåäåëåíèå 17 (Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ). Ïóñòü • D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C; • A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D; • f ∈ H(D) òàêàÿ, ÷òî A = f 0 â îáëàñòè D. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî f êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A. Îïðåäåëåíèå 18 (Òðàåêòîðèÿ ïîëÿ). Ïóñòü • D îáëàñòü â C; • A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D; • z : [t1 , t2 ] −→ D ðåøåíèå óðàâíåíèÿ dz(t) = A(z(t)). dt Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî z(·) òðàåêòîðèÿ ïîëÿ A. ∀ t ∈ [t1 , t2 ] Îïðåäåëåíèå 19 (Ýêâèïîòåíöèàëüíûå ëèíèè ïîëÿ). Ïóñòü • D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C; • A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D; • f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A. Òîãäà ëþáóþ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè u (ò. å. êðèâóþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ u = C , ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ) íàçûâàþò ýêâèïîòåíöèàëüíîé ëèíèåé ïîëÿ A. Îïðåäåëåíèå 20 (Ëèíèÿ òîêà ïîëÿ). Ïóñòü • D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C; • A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D; • f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A. Òîãäà ëþáóþ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè v íàçûâàþò ëèíèåé òîêà ïîëÿ A. 7. Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå Îïðåäåëåíèå 21 (Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà). Ïóñòü • f : R −→ C; • f êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà R; • ∀ t < 0 f (t) = 0; • ∃ C > 0 ∃ a ∈ R : ∀ t > 0 |f (t)| 6 Ceat . Òîãäà (1) ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà ôóíêöèè f íàçûâàþò ôóíêöèþ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî Z+∞ F (p) = f (t)e−pt dt, 0 Re p > a; (1) ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ) (2) (3) (4) 5 ôóíêöèþ f íàçûâàþò îðèãèíàëîì; ôóíêöèþ F íàçûâàþò èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëà f ; äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òîãî, ÷òî F èçîáðàæåíèå îðèãèíàëà f , èñïîëüçóþò çàïèñü f (t) : F (p). Îïðåäåëåíèå 22 (Ñâåðòêà îðèãèíàëîâ). Ñâåðòêîé îðèãèíàëîâ f è g íàçûâàþò ôóíêöèþ Zt f ∗ g(t) = f (s)g(t − s) ds. 0 8. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû Îïðåäåëåíèå 23 (Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü). Ïóñòü • ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {ϕn }∞ n=1 îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . ∞ Ãîâîðÿò, ÷òî {ϕn }n=1 àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè x → x0 , åñëè ∀ n ∈ N ϕn+1 (x) = o(ϕn (x)) ïðè x → x0 . Îïðåäåëåíèå 24 (Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå). Ïóñòü • ôóíêöèÿ f è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn }∞ n=1 îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ; • {ϕn }∞ n=1 àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè x → x0 ; • {cn }∞ n=1 ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. ∞ P Ôîðìàëüíûé ðÿä cn ϕn íàçûâàþò àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè f ïðè x → x0 , n=1 åñëè N X cn ϕn (x) = o(ϕN (x)) ∀ N ∈ N f (x) − n=1 ïðè x → x0 .  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò f (x) ∼ ∞ X cn ϕn (x), x → x0 . n=1 Îïðåäåëåíèå 25 (Ïåðåâàëüíûé êîíòóð). Ïóñòü • D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C; • S ∈ H(D); • a ∈ D, b ∈ D. Òîãäà èç âñåõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè a è b, ïåðåâàëüíûì êîíòóðîì íàçûâàþò ëþáóþ êðèâóþ γ , óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. (1) Êðèâàÿ γ ñîñòîèò èç îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êðèâûõ, íà êàæäîé èç êîòîðûõ âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé Im S(z) = Const (2) èëè Re S(z) = Const. Äëÿ ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè a è b âåðíî, ÷òî max Re S(z) 6 max Re S(z). z∈γ z∈Γ 6 À. À. Ïîæàðñêèé Îïðåäåëåíèå 26 (Òî÷êà ïåðåâàëà). Ïóñòü • S ðåãóëÿðíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ∈ C. Òîãäà (1) z0 íàçûâàþò òî÷êîé ïåðåâàëà ôóíêöèè S , åñëè S 0 (z0 ) = 0; (2) òî÷êó ïåðåâàëà z0 íàçûâàþò ïðîñòîé, åñëè S 00 (z0 ) 6= 0. Îïðåäåëåíèå 27 (Ëèíèÿ íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà). Ïóñòü D îáëàñòü â C; S ∈ H(D); z0 ∈ D ïðîñòàÿ òî÷êà ïåðåâàëà ôóíêöèè S ; â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ëèíèÿ óðîâíÿ Im S(z) = Im S(z0 ) ñîñòîèò èç äâóõ ãëàäêèõ êðèâûõ γ+ è γ− , ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êå z0 ; • ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè z0 âäîëü êðèâîé γ− ôóíêöèÿ Re S(z) óáûâàåò. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî γ− ëèíèÿ íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà ôóíêöèè S â îêðåñòíîñòè òî÷êè ïåðåâàëà z0 . • • • •