2-й курс, 3-й модуль. Вопросы к зачету Теория функций

2-é êóðñ, 3-é ìîäóëü. Âîïðîñû ê çà÷åòó Òåîðèÿ
ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî,
Â. Ëåáåäåâ, ÌÈÝÌ ÍÈÓ ÂØÝ, 2013/2014
Ãðóïïû Ì 21, ÏÈ 21, ÔÈ 21
Íà çà÷åòå ñòóäåíò ïîëó÷àåò äâà âîïðîñà èç ýòîãî âîïðîñíèêà è äâå çàäà÷è
ïî âûáîðó ïðåïîäàâàòåëÿ, ïðèíèìàþùåãî çà÷åò. Ïîëüçîâàòüñÿ âîïðîñíèêîì
íà çà÷åòå ðàçðåøàåòñÿ.
Ðåçóëüòèðóþùàÿ îöåíêà=0,5 íàêîïëåííàÿ îöåíêà+0,5 îöåíêà çà çà÷åò.
1. Ðàññêàæèòå î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ. ×òî òàêîå âåùåñòâåííàÿ Rez
è ìíèìàÿ Imz ÷àñòè ÷èñëà z ? ×òî íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ÷èñëîì z ?
Äàéòå îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ |z|. Äàéòå îïðåäåëåíèå àðãóìåíòà Argz è åãî
ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ argz . Ðàññêàæèòå îá àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿõ íàä
êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè (âêëþ÷àÿ äîêàçàòåëüñòâî åäèíñòâåííîñòè ÷àñòíîãî). ×òî òàêîå êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C? Ïîÿñíèòå ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë ìîäóëÿ è àðãóìåíòà ÷èñëà.
2. Ðàññêàæèòå îá àëãåáðàè÷åñêîé, òðèãîíîìåòðè÷åñêîé è ïîêàçàòåëüíîé ôîðìàõ êîìïëåêñíîãî
÷èñëà. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ êîðíÿ n -é ñòåïåíè
√
èç ÷èñëà. Íàéäèòå 3 i.
3. Äàéòå îïðåäåëåíèå ez , sin z, cos z . Äîêàæèòå, ÷òî cos2 z+sin2 z = 1.
4. Îïðåäåëèòå ëîãàðèôì Lnz êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è åãî ãëàâíîå
çíà÷åíèå
ln z . Îïðåäåëèòå ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z α . Âû÷èñëèòå
√
Ln i, i 2 , ii .
5. Êàê çàäàåòñÿ ðàññòîÿíèå â C? ×òî òàêîå îêðåñòíîñòü O(z0 ) è ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü Ȯ(z0 ) òî÷êè z0 ∈ C? Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
6. ×òî òàêîå íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ â C; ÷òî íàçûâàþò çàìêíóòîé êðèâîé; ÷òî íàçûâàþò ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé? ×òî òàêîå îáëàñòü â C? ×òî
òàêîå îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü?
7. Ðàññêàæèòå î ïîíÿòèè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî; ïðèâåäèòå ïðèìåðû. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè. Äàéòå îïðåäåëåíèå
íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå è â îáëàñòè.
8. Ðàññêàæèòå î ôóíêöèè ez . Óñòàíîâèòå åå îñíîâíûå ñâîéñòâà (õàðàêòåð îòîáðàæåíèÿ, îòñóòñòâèå íóëåé, ïåðèîäè÷íîñòü).
9. Ðàññêàæèòå î ôóíêöèÿõ sin z, cos z . Äîêàæèòå èõ íåîãðàíè÷åííîñòü. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin z = 0, sin z = 4.
1
10. Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå? Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå.
11. Âûâåäèòå ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî è ñóïåðïîçèöèè.
12. Ïîÿñíèòå ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìîäóëÿ è àðãóìåíòà ïðîèçâîäíîé.
13. Âûâåäèòå óñëîâèÿ ÊîøèÐèìàíà. Âûâåäèòå ôîðìóëû, âûðàæàþùèå f 0 (z) ÷åðåç ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòè
ôóíêöèè f . Äàéòå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè.
14. Äîêàæèòå, àíàëèòè÷íîñòü ôóíêöèé z n (n öåëîå), ez , sin z, cos z
(îãðàíè÷üòåñü äâóìÿ èç ïåðå÷èñëåííûõ). Âû÷èñëèòå èõ ïðîèçâîäíûå.
15. Ðàññêàæèòå î ôóíêöèÿõ Lnz è z α , èõ ãëàâíûõ çíà÷åíèÿõ è îäíîçíà÷íûõ âåòâÿõ. Íàéäèòå èõ ïðîèçâîäíûå. Ðàññêàæèòå îá îáðàòíûõ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ.
16. Äàéòå îïðåäåëåíèå äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèè. Äîêàæèòå êðóãîâîå ñâîéñòâî.
17. Äàéòå îïðåäåëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè. Äîêàæèòå ãàðìîíè÷íîñòü âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Èçëîæèòå ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïî åå äåéñòâèòåëüíîé èëè ìíèìîé ÷àñòè.
18. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ. Îïèøèòå âñå êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ êðóãà {z ∈ C : |z| = 1} íà ñåáÿ. Ñôîðìóëèðóéòå
òåîðåìó Ðèìàíà î êîíôîðìíîì îòîáðàæåíèè.
19. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîìïëåêñíîãî êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó îá èíòåãðèðóåìîñòè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ïî ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé. Âûâåäèòå ôîðìóëó Räëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ïî (êódz
ñî÷íî) ãëàäêîé êðèâîé. Âû÷èñëèòå |z−z0 |=r (z−z
n , n = 0, 1, 2, . . ..
0)
20. Äîêàæèòå ëåììó îá îöåíêå èíòåãðàëà.
21. Äîêàæèòå èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Êîøè äëÿ îäíîñâÿçíîé îáëàñòè. Äîêàæèòå èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Êîøè äëÿ ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè.
22. Âûâåäèòå èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Êîøè.
23. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Êîøè. Äîêàæèòå åãî àíàëèòè÷íîñòü, âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ n -îé ïðîèçâîäíîé. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé.
Äîêàæèòå áåñêîíå÷íóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.
24. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé è âûâåäèòå ôîðìóëó Íüþòîíà
Ëåéáíèöà äëÿ èíòåãðàëà îò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïî êðèâîé. Äîêàæèòå òåîðåìó Ìîðåðà.
2