ÀÍÒ» ÓËÛÁÀÅÒÑß Ì À Ò Å Ì «ÀÊÒÂ È ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ 37 Êàê íàéòè ñóììó? Ë.ØÈÁÀÑÎÂ Ê ÀÊ ÍÀÉÒÈ ÑÓÌÌÓ? ÅÑËÈ ÐÅ×Ü ÈÄÅÒ Î ÑËÎÆÅÍÈÈ äâóõ èëè òðåõ ÷èñåë âñå ÿñíî. Íî ÷àñòî íóæíî áûâàåò íàéòè ñóììó î÷åíü áîëüøîãî èëè âîîáùå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, îáðàçóþùèõ íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòà çàäà÷à óæå íå ñòîëü ïðîñòà, è îíà ïðèâëåêàëà âíèìàíèå ëþäåé ñ ãëóáîêîé äðåâíîñòè, î ÷åì ñîõðàíèëèñü ëåãåíäû è ïèñüìåííûå ñâèäåòåëüñòâà.  åãèïåòñêîì ïàïèðóñå, êîòîðîìó ïî÷òè 4 òûñÿ÷è ëåò, ñîäåðæèòñÿ çàïèñàííàÿ ïèñöîì Àõìåñîì çàäà÷à-øóòêà: èìååòñÿ 7 äîìîâ, â êàæäîì äîìå 7 êîøåê, êàæäàÿ êîøêà ñúåäàåò 7 ìûøåé, êàæäàÿ ìûøü ñúåäàåò 7 êîëîñüåâ ÿ÷ìåíÿ, èç êàæäîãî êîëîñà âûðàñòàåò 7 ìåð ÿ÷ìåíÿ. Íàéòè ñóììó âñåõ ïðåäìåòîâ. Ðåøàÿ çàäà÷ó, Àõìåñ íàõîäèò ñóììó ïÿòè ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Î ãîðàçäî áîëüøåì ÷èñëå ñëàãàåìûõ, òîæå îáðàçóþùèõ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, èäåò ðå÷ü â äðåâíåé ëåãåíäå îá èçîáðåòåíèè øàõìàò. Èíäèéñêèé öàðü Øåðàì, âîñõèùåííûé ýòîé èãðîé, ðåøèë îòáëàãîäàðèòü åå èçîáðåòàòåëÿ Ñåòó è ïðåäëîæèë òîìó ëþáóþ íàãðàäó. Ñåòà ïîïðîñèë çà ïåðâóþ êëåòêó øàõìàòíîé äîñêè âûäàòü åìó îäíî ïøåíè÷íîå çåðíî, çà âòîðóþ äâà, çà òðåòüþ 4, çà ÷åòâåðòóþ 8 è ò.ä. Öàðü ïðèêàçàë íåìåäëåííî èñïîëíèòü ýòó «ñìåõîòâîðíóþ» ïðîñüáó. Êàêîâî æå áûëî åãî óäèâëåíèå, êîãäà îí óçíàë, ÷òî öàðåäâîðöû íå ìîãóò âûïîëíèòü ïðèêàç ñâîåãî ïîâåëèòåëÿ. Âåäü ÷èñëî çåðåí, ïðè÷èòàâøèõñÿ èçîáðåòàòåëþ, òàê âåëèêî, ÷òî íå òîëüêî â öàðñêèõ êëàäîâûõ, íî è íà âñåé Çåìëå íå íàøëîñü áû òàêîãî êîëè÷åñòâà çåðíà.  áîëåå ïîçäíèé ïåðèîä ñòàëè íàõîäèòü ñóììû ñëàãàåìûõ, óñòðîåííûõ ïîñëîæíåå.  XIV âåêå èíäèéñêèé ìàòåìàòèê Íàðàéàíà ðåøèë òàêóþ çàäà÷ó: íàéòè ÷èñëî êîðîâ è òåëîê, ïîÿâèâøèõñÿ îò îäíîé êîðîâû çà 20 ëåò, ïðè óñëîâèè, ÷òî êîðîâà â íà÷àëå êàæäîãî ãîäà ïðèíîñèò òåëêó, à òåëêà äàåò òàêîå æå ïîòîìñòâî â íà÷àëå ãîäà, äîñòèãíóâ òðåõ ëåò. Êàê îí ýòî ñäåëàë, ìû óçíàåì ïîçæå. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî âû÷èñëåíèå ñóìì ñ äðåâíèõ âðåìåí íîñèëî íå òîëüêî çàíèìàòåëüíûé õàðàêòåð. Îíî ñëóæèëî è ïðàêòè÷åñêèì öåëÿì. Åùå çàäîëãî äî íàøåé ýðû Àðõèìåä, ïðèìåíÿÿ ñóììèðîâàíèå, íàøåë ïëîùàäü ïàðàáîëè÷åñêîãî ñåãìåíòà è îáúåìû íåêîòîðûõ òåë âðàùåíèÿ. Ýòèì æå ìåòîäîì íàõîäèëè ïëîùàäè è îáúåìû âïëîòü äî XVII âåêà, êîãäà áûëè ñîçäàíû èíòåãðàëüíîå è äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèÿ, ïîçâîëèâøèå ñâåñòè çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ìåð ê íàõîæäåíèþ ïåðâîîáðàçíîé è ïðèìåíåíèþ ôîðìóëû ÍüþòîíàËåéáíèöà. Íî è ñåé÷àñ âû÷èñëåíèå ñóìì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ýòî íå åäèíñòâåííàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ãäå íóæíû ñóììû. Øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ îíè â òåîðèè ðÿäîâ, â ðàçëè÷íîãî ðîäà ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ è, êîíå÷íî, â òåîðèè ÷èñåë. Òåïåðü, êîãäà, íàäååìñÿ, ÷èòàòåëè óáåäèëèñü â äðåâíîñòè è âàæíîñòè ïðîáëåìû ñóììèðîâàíèÿ, îáðàòèìñÿ ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì òàêîãî ðîäà. Íà÷íåì ñ ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è. Ïðèìåð 1. Íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû äâå êàñàþùèåñÿ äðóã äðóãà âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèó- ñà. Ê íèì ïðîâåäåíà âíåøíÿÿ êàñàòåëüíàÿ.  ôèãóðó, çàêëþ÷åííóþ ìåæäó îêðóæíîñòÿìè è êàñàòåëüíîé, âïèñûâàåòñÿ êðóã, çàòåì â îáðàçîâàâøóþñÿ ôèãóðó ìåæäó äàííûìè îêðóæíîñòÿìè è ïåðâûì êðóãîì âïèñûâàåòñÿ âòîðîé êðóã è ò.ä. (ðèñ.1). Ñïðàøèâàåòñÿ, êàêîâà ñóììàðíàÿ äëèíà äèàìåòðîâ âïèñàííûõ êðóãîâ, ïîëó÷åííûõ íà n-ì øàãå. H Ðèñ. 1 Óïðàæíåíèå 1. Ïîêàæèòå, ÷òî äèàìåòð k-ãî âïèñàííîãî 1 êðóãà ðàâåí . k k +1 Èòàê, ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ çàäà÷è, íóæíî íàéòè ñóììó 1 1 1 + +K+ S= . 1⋅2 2 ⋅ 3 n n +1 Äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ îáðàòèìñÿ ê ðàâåíñòâó 1 1 1 = − . Ïðèìåíÿÿ åãî ê êàæäîìó ñëàãàåìîìó k k +1 k k +1 ñóììû, ïîëó÷àåì îòâåò: b g b b g g FG H S = 1− IJ + FG 1 − 1 IJ + FG 1 − 1 IJ + K + FG 1 − 1 IJ = 1 − 1 . H n n + 1K n + 1 2K H 2 3K H 3 4K 1 Âîîáùå ãîâîðÿ, íàéòè êîìïàêòíóþ ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ ñóììó n ñëàãàåìûõ (èëè, êàê ãîâîðÿò â ìàòåìàòèêå, «çàïèñàòü ðåçóëüòàò â êîíå÷íîì âèäå»), óäàåòñÿ î÷åíü ðåäêî.  øêîëå âûâîäÿò äâå ôîðìóëû òàêîãî òèïà: äëÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 2a + n − 1 d n Sn = a + a + d + a + 2 d + K + a + n − 1 d = 2 è äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè b g b g c b 2 Sn = b + bq + bq + K + bq b gh g n n −1 =b q −1 q −1 . Ìû ðàññìîòðèì ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ ñóìì. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñëàãàåìûå çíà÷åíèÿìè íåêîòîðîé ôóíêöèè f x â òî÷êàõ õ = 1, 2, ..., n, à âîçíèêàþùóþ ñóììó f 1 + f 2 + K + f n çàïèñûâàòü â âèäå bg bg b g n bg ∑ f bkg (÷èòàåòñÿ: «ñóììà ÷èñåë f bkg ïî k îò 1 äî n»).  ýòèõ k =1 îáîçíà÷åíèÿõ ðåçóëüòàò ïðèìåðà 1 áóäåò âûãëÿäåòü òàê: n S= 1 n ∑ kbk + 1g = n + 1 . k =1 Ðåøåíèå îêàçàëîñü î÷åíü ïðîñòûì çà ñ÷åò òîãî, ÷òî ïî