Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I Ëåêöèÿ 7 Äîïîëíåíèÿ ê ïðåäûäóùèì ëåêöèÿì ß õî÷ó ñôîðìóëèðîâàòü åùå íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñâîéñòâ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äîêàæèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïðåäëîæåíèå 1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) è (bn ) ñõîäÿòñÿ, è an 6 bn äëÿ ëþáîãî n ∈ N , òî lim an 6 lim bn . n→ −∞ n→ −∞ Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ðàçáèòà íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïîäïîñëåäîâà- òåëüíîñòåé, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ÷èñëó a , òî è âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê a . Êðîìå òîãî, â îäíîé èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé áûëî ïîñòðîåíî ñå÷åíèå (A, B) , ãäå A = {x ∈ R | x < 0 ∨ x2 < 2} , B = {x ∈ R | x > 0 ∧ x2 > 2} . Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùåå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ÷åðåç a . Äîêàæåì, ÷òî a2 = 2 . Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî a2 > 1 (ïîñêîëüêó ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî 1 ëåæèò â A ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a2 < 2 . Òîãäà íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n òàêîå, ÷òî 2 − n1 > a2 . Íàéäåì â A k2 k 2 , ãäå k ∈ N . ßñíî, ÷òî k < 6n (èíà÷å x2 > 2 ). Òîãäà 16n íàèáîëüøåå ÷èñëî âèäà x 4n 2 6 a , íî (k+1)2 > 2 . Îäíàêî 16n2 (k + 1)2 k2 2k + 1 12n + 1 1 − = < < < 2 − a2 . 2 2 2 2 16n 16n 16n 16n n Ïðîòèâîðå÷èå. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèòñÿ ê ïðîòèâîðå÷èþ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî a2 > 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, a2 = 2 . √ Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî 2 . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ êîðåíü íàòóðàëüíîé ñòåïåíè èç ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ëåãêî îïðåäåëèòü ðàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü ïîëîæèòåëüíîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà. Ê ïîñòðîåíèþ ïîêàçàòåëüíîé è ñòåïåííîé ôóíêöèé â îáùåì ñëó÷àå ìû åùå âåðíåìñÿ. Ïðåäåë ôóíêöèè Ìû óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ñëîâî ¾ôóíêöèÿ¿ ýòî ñèíîíèì ñëîâà ¾îòîáðàæåíèå¿. Íå íóæíî òîëüêî çàáûâàòü î òîì, ÷òî, êàê ïðàâèëî, ¾ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî¿ ýòî íå îòîáðàæåíèå f : R − → R , à îòîáðàæåíèå f : Df − → R , ãäå Df ⊆ R îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Ó âñåõ òàê íàçûâàåìûõ ¾ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé¿ åñòü åñòåñòâåííûå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð, åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà {x ∈ R | x > 0} , äëÿ ôóíêöèè f (x) = 1/x åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ {x ∈ R | x 6= 0} , è ò. ä.). Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñëîæíóþ ôóíêöèþ f (g(x)) (êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé f è g ), òî åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòî ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé x , äëÿ êîòîðûõ ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèè, òî åñòü Df ◦g = g −1 (g(Dg ) ∩ Df ) . Íàïðèìåð, åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè arcsin( x1 ) åñòü (−∞, −1] ∪ [1, +∞) . 1 Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f . ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ ê a , (îáîçíà÷àåòñÿ lim = b ), åñëè x→ −a äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Df èç òîãî, ÷òî 0 < |x − a| < δ ñëåäóåò, ÷òî |f (x) − b| < ε . ◦ Íàçîâåì ïðîêîëîòîé ε -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a ìíîæåñòâî Uε (a) = {x ∈ R | 0 < |x − a| < ε . Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïðè x ñòðåìÿùåìñÿ ê a , åñëè äëÿ ëþáîé ε -îêðåñòíîñòè òî÷êè b ñóùåñòâóåò ◦ ïðîêîëîòàÿ δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè a òàêàÿ, ÷òî f (Uδ (a)) ⊆ Uε (b) . Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ïóñòü f (x) = x sin x1 . ×èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî lim f (x) = 0 . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ε > 0 äîñòàòî÷íî âçÿòü δ = ε . x→ −0 Ïóñòü f (x) = sgn x (¾ñèãíóì¿ çíàê: ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ â íóëå, åäèíèöå â ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëàõ, è ìèíóñ åäèíèöå â îòðèöàòåëüíûõ). Òîãäà lim f (x) íå ñóùåñòâóåò. Äåéñòâèòåëüx→ −0 íî, åñëè ε = 1 , òî ðàçíîñòü ÷èñåë, ëåæàùèõ â ε -îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà a ìåíüøå äâóõ, à â ëþáîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè íóëÿ åñòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Ïóñòü f (x) = | sgn x| . Òîãäà, î÷åâèäíî, lim f (x) = 1 . Òîò æå îòâåò áóäåò, åñëè f (x) = sgn x , x→ −0 à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñóæåíà äî ìíîæåñòâà R+ = {x ∈ R | x > 0} . Ïðåäåëû òàêîãî ðîäà îáîçíà÷àþòñÿ lim f (x) . x→ − +0 Ïðåäåë ôóíêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü è èíà÷å. Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f . ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) â ñìûñëå Ãåéíå ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ ê a , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Df \ {a} , ñõîäÿùåéñÿ ê a , ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) ñóùåñòâóåò è ðàâåí b . ×òîáû îòëè÷èòü îò ïðåäåëà â ñìûñëå Ãåéíå, ïðåäåë èç îïðåäåëåíèÿ 1 íàçûâàþò ïðåäåëîì â ñìûñëå Êîøè. Òåîðåìà 3. ×èñëî b ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) â ñìûñëå Ãåéíå ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ ê a , òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì â ñìûñëå Êîøè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b ïðåäåë â ñìûñëå Êîøè. Äîêàæåì, ÷òî b ïðåäåë è â ñìûñëå Ãåéíå. Ïóñòü (an ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Df \ {a} , ñõîäÿùàÿñÿ ê a . Äîêàæåì, ÷òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) ñóùåñòâóåò è ðàâåí b . Ïóñòü çàäàíî ïðîèçâîëüíîå ε > 0 . Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè â ñìûñëå Êîøè, ñóùå◦ ñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî f (x) ∈ Uε (b) ïðè âñåõ x ∈ Uδ (a) ∩ Df . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ñõîäèòñÿ ê a , ñóùåñòâóåò òàêîå N ∈ N , ÷òî an ∈ Uδ (a) ïðè n > N . Òàê êàê âñå ýëåìåíòû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæàò â Df è íå ðàâíû a , ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî f (an ) ∈ Uε (b) ïðè n > N .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî lim f (an ) = b . n→ −∞ Ïóñòü òåïåðü b ïðåäåë â ñìûñëå Ãåéíå. Äîêàæåì, ÷òî b ïðåäåë è â ñìûñëå Êîøè. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî δ > 0 íàéäåòñÿ ◦ xδ ∈ Uδ (a) ∩ Df òàêîé, ÷òî f (xδ ) ∈ / Uε (b) . Îáîçíà÷èì ÷åðåç an òàêîé xδ , íàéäåííûé ïî δ = 1/n . Òîãäà lim an = a è âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæàò â Df \ {a} , íî ÷èñëî b íå ìîæåò n→ −∞ áûòü ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) , òàê êàê â Uε (b) íå ïîïàäàåò íè îäèí åå ÷ëåí. Ïðîòèâîðå÷èå. Ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ïî Ãåéíå è ïî Êîøè ïîçâîëÿåò ïåðåíåñòè íà ïðåäåëû ôóíêöèé äîêàçàííûå íàìè ñâîéñòâà ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. 2 Òåîðåìà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé f (x) è g(x) . Òîãäà 1) lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) ; x→ −a x→ −a x→ −a 2) lim (f (x)g(x)) = lim f (x) · lim g(x) ; x→ −a x→ −a x→ −a 3) åñëè lim g(x) 6= 0 , òî lim (f (x)/g(x)) = lim f (x)/ lim g(x) . x→ −a x→ −a x→ −a x→ −a Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ïóíêòå 3) ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x)/g(x) . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ε = | lim g(x)| . Òîãäà, ïî x→ −a îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà â ñìûñëå Êîøè, ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî â ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè a ôóíêöèÿ g ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ε -îêðåñòíîñòè ÷èñëà lim g(x) è, òåì ñàìûì, íå îáx→ −a ðàùàåòñÿ â íóëü. Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ïî Ãåéíå. Ïóñòü (an ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ Df ∩ Dg \ {a} , ñõîäÿùàÿñÿ ê a . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) è (g(an )) ñõîäÿòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ê lim f (x) è lim g(x) . Îñòàëîñü ïðèìåíèòü äîêàçàííóþ íà ïðîøëîé ëåêöèè x→ −a x→ −a òåîðåìó îá àðèôìåòèêå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Àíàëîãè÷íî ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé ïðåäåëà ôóíêöèè óòâåðæäåíèå î ïåðåõîäå ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâå è ëåììà î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ ñàìè.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ íàéäåì òàê íàçûâàåìûé ¾ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë¿. Ïðåäëîæåíèå 5. lim x→ −0 sin x = 1. x Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ìû åùå íå äàëè ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïðèâåäåì íå î÷åíü ñòðîãîå ðàññóæäåíèå íà îñíîâå øêîëüíîãî îïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì äóãó åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, îãðàíè÷åííóþ óãëîì x ðàäèàí (ïóñòü 0 < x < π/2 . Ïëîùàäü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåêòîðà AOB áîëüøå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà AOB . Îòñþäà sin x < x . Ñëåäîâàòåëüíî, lim sin x = 0 . x→ −0 Ñðàâíèâàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AOB ñ ïëîùàäüþ ñåêòîðà êðóãà ðàäèóñà cos x , ïîëó÷àåì sin x > x cos2 x . Îòñþäà sin x 1 − sin2 x 6 6 1. x Îòñþäà, ïîëüçóÿñü àðèôìåòèêîé ïðåäåëîâ è ëåììîé î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ, ïîëó÷àåì sin x = 1. x→ −0 x lim Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü a ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f . Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Df èç òîãî, ÷òî |x − a| < δ ñëåäóåò, ÷òî |f (x) − f (a)| < ε . Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà a íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà Df (òàêèå òî÷êè ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ èçîëèðîâàííûìè ), òî ôóíêöèÿ f â íåé îáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíà. Åñëè æå òî÷êà a ïðåäåëüíàÿ, òî ôóíêöèÿ f â íåé íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà lim f (x) = f (a) . x→ −a Òåîðåìà 6. Ïóñòü (an ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f (x) è lim an = a ∈ Df , ïðè÷åì ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a . Òîãäà lim f (an ) = f (a) . n→ −∞ n→ −∞ 3 Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó. Óïðàæíåíèå 2. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó î ïðåäåëå ôóíêöèè â òî÷êå. Îòìå÷ó íàïîñëåäîê, ÷òî íàðÿäó ñ êîíå÷íûì ïðåäåëîì ôóíêöèè â êîíå÷íîé òî÷êå ðàññìàòðèâàþòñÿ è áåñêîíå÷íûå ïðåäåëû â áåñêîíå÷íûõ òî÷êàõ ( ∞ , +∞ , −∞ ). Óïðàæíåíèå 3. Îïðåäåëèòå ïðîêîëîòûå îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè, ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè è ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè è ñôîðìóëèðóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëîâ. 4