ÏÓÏÛØÅÂ Èëüÿ Ìèõàéëîâè÷ Î ÑËÅÄÀÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÓÅÌÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÍÀ ÃÐÓÏÏÀÕ ÊÀÐÍÎ
реклама
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
ÏÓÏÛØÅÂ Èëüÿ Ìèõàéëîâè÷
Î ÑËÅÄÀÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÓÅÌÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÍÀ ÃÐÓÏÏÀÕ ÊÀÐÍÎ
01.01.01 ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç
ÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒ
äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Íîâîñèáèðñê 2006
Ðàáîòà âûïîëíåíà â Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
Âîäîïüÿíîâ Ñåðãåé Êîíñòàíòèíîâè÷
Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
Äåìèäåíêî Ãåííàäèé Âëàäèìèðîâè÷
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò
Êëÿ÷èí Àëåêñåé Àëåêñàíäðîâè÷
Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:
Ðîññèéñêèé óíèâåðñèòåò äðóæáû íàðîäîâ
Çàùèòà ñîñòîèòñÿ 5 îêòÿáðÿ 2006 ãîäà â 16-00 ÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãî
cîâåòà Ä 003.015.03 ïðè Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ (630090,
ã. Íîâîñèáèðñê, ïðîñïåêò Àêàäåìèêà Êîïòþãà, 4).
Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè
èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ.
Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí
àâãóñòà 2006 ãîäà.
Ó÷åíûé ñåêðåòàðü
äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà
À. Å. Ãóòìàí
ÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÐÀÁÎÒÛ
ÀÊÒÓÀËÜÍÎÑÒÜ ÒÅÌÛ. Â êîíöå 30-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà â øèðîêî èçâåñòíîé
ñåðèè ðàáîò Ñ. Ë. Ñîáîëåâ îïðåäåëèë ïîíÿòèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé è èññëåäîâàë
êëàññû ôóíêöèé, èìåþùèõ îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå êëàññà Lp äî çàäàííîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòèõ êëàññîâ, ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèÿ ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà Wpl , îí óñòàíîâèë
òåîðåìû âëîæåíèÿ, êîòîðûå íàøëè ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè.  äàëüíåéøåì â ðàáîòàõ
Ñ. Ì. Íèêîëüñêîãî, Î. Â. Áåñîâà, È. Ñòåéíà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ áûëà ðàçâèòà
òåîðèÿ âëîæåíèÿ êëàññîâ ôóíêöèé.
Íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ñ îáîáùåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì áûëà ïðîäèêòîâàíà çàäà÷àìè òåîðèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïîñòàíîâêà
êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èíòåðïðåòèðîâàòü ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ èëè ñëåäû ôóíêöèé íà ìíîæåñòâàõ ìåíüøåé
ðàçìåðíîñòè.
Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ïîäõîäîâ ê îïðåäåëåíèþ ñëåäîâ. Îäèí èç íèõ
îñíîâàí íà òåîðåìå Ëåáåãà î äèôôåðåíöèðîâàíèè.  ýòîì ñëó÷àå ñëåä ôóíêöèè íà
ìíîæåñòâå íåíóëåâîé åìêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë ñðåäíèõ çíà÷åíèé ôóíêöèè
ïî øàðàì, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Äðóãîé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ñëåäîâ
îñíîâàí íà èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ôóíêöèé. Åù¼ îäèí ïîäõîä èñïîëüçóåò
ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîñòðàíñòâ ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè. Â
ýòîì ñëó÷àå ñëåäîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäîâ ãëàäêèõ
ôóíêöèé, ñõîäÿùèõñÿ ê äàííîé ôóíêöèè â íîðìå èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Âîïðîñ êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè êðàåâîé çàäà÷è ïðèâîäèò ê çàäà÷å îïèñàíèÿ ïðîñòðàíñòâà ñëåäîâ äëÿ äàííîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðè ýòîì æåëàòåëüíî
èìåòü îáðàòèìóþ õàðàêòåðèñòèêó ñëåäîâ.
Âîïðîñû âëîæåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàçíûõ èçìåðåíèé èçó÷àëèñü
åùå Ñ. Ë. Ñîáîëåâûì (ñì. ìîíîãðàôèþ [15]). Îí äîêàçàë òåîðåìû âëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ Wpl (Rn ) â Lq (Rm ). Ýòè ðåçóëüòàòû áûëè òî÷íûìè â øêàëå Lq , îäíàêî íå
áûëè îáðàòèìûìè.
Âïåðâûå ïîëíîå îïèñàíèå ñëåäîâ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà Wpl (G), ãäå
3
G îáëàñòü â Rn ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé, áûëî ïîëó÷åíî ïðè p = 2 Í. Àðîíøàéíîì [22] è íåçàâèñèìî îò íåãî Ë. Í. Ñëîáîäåöêèì [16].  ðàáîòå Ý. Ãàëüÿðäî [26]
ïîëó÷åíû îáðàòèìûå õàðàêòåðèñòèêè ñëåäîâ äëÿ ïðîñòðàíñòâà Wp1 (G), 1 6 p < ∞, â
îáëàñòè G ñ ëèïøèöåâîé ãðàíèöåé.
Îïèñàíèþ ñëåäîâ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Wpl (Rn ), ãäå 1 < p < ∞, l > 0 öåëîå, íà ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ Rm , ãäå 0 < m < n öåëîå, ïîñâÿùåíû ðàáîòû
ìíîãèõ ìàòåìàòèêîâ: Í. Àðîíøàéíà, Ë. Í. Ñëîáîäåöêîãî, Ý. Ãàëüÿðäî, Ï. È. Ëèçîðêèíà [10], Ñ. Â. Óñïåíñêîãî [20] è äð.  îêîí÷àòåëüíîì âèäå çàäà÷à ðåøåíà â ðàáîòàõ
Î. Â. Áåñîâà [2, 3], è ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
β
Wpl (Rn )|Rm = Bp,p
(Rm ), ãäå β = l − (n − m)/p > 0.
β
Ïðîñòðàíñòâà Bp,q
áûëè îïðåäåëåíû â ðàáîòàõ Î. Â. Áåñîâà è ïîëó÷èëè íàçâàíèå
ïðîñòðàíñòâ Áåñîâà.
α
Çàäà÷à îïèñàíèÿ ñëåäîâ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Áåñîâà Bp,q
(Rn ), ãäå α > 0,
1 6 p, q 6 ∞, â îêîí÷àòåëüíîì âèäå áûëà ðåøåíà Î. Â. Áåñîâûì [3]. Ýòîé ðàáîòå
ïðåäøåñòâîâàëè ðåçóëüòàòû Î. Â. Áåñîâà, Ñ. Ì. Íèêîëüñêîãî (äëÿ q = ∞ ñì.
êíèãó [12, ãë. 6]), Ì. Òåéáëñîíà [34], Â. È. Áóðåíêîâà [24] è äð. Ðåçóëüòàò êðàòêî
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
α
β
Bp,q
(Rn )|Rm = Bp,q
(Rm ), ãäå β = α − (n − m)/p.
l
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïèñûâàþòñÿ ñëåäû ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Wpl (G), Bp,q
(G)
l
è Hpl (G) = Bp,∞
(G) íà íåïëîñêèõ ïîäìíîæåñòâàõ G, ãäå G îáëàñòü â Rn ñ ãëàä-
êîé ãðàíèöåé. Íàèáîëåå âàæåí ñëó÷àé, êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëåäû ôóíêöèé íà
ãðàíèöå ∂G îáëàñòè G.  ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ ïðè 1 < p < ∞ òàêèå ðåçóëüòàòû äëÿ
ìíîãîîáðàçèé Γm ãëàäêîñòè íå ìåíüøåé l óñòàíîâëåíû Ý. Ãàëüÿðäî, Í. Àðîíøàéíîì,
Â. Ì. Áàáè÷åì è Ë. Í. Ñëîáîäåöêèì [1], Î. Â. Áåñîâûì, Ñ. Ì. Íèêîëüñêèì [13] (äëÿ
Hpl (G)), Ë. Í. Ñëîáîäåöêèì [17], Ñ. Â. Óñïåíñêèì [20].  ýòèõ ñëó÷àÿõ ñëåäû òàêæå
õàðàêòåðèçóþòñÿ â òåðìèíàõ ïðîñòðàíñòâ Áåñîâà:
β
l
β
(Γm ), ãäå β = l − (n − m)/p > 0.
(G)|Γm = Bp,q
(Γm ), Bp,q
Wpl (G)|Γm = Bp,p
4
Øêàëà ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà âêëàäûâàåòñÿ â øêàëó ïðîñòðàíñòâ áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ Lαp (Rn ), ãäå α > 0 äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, 1 < p < ∞. Çàäà÷à îïèñàíèÿ
ñëåäîâ áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ íà Rm , ãäå 0 < m < n öåëîå, ðåøåíà â ðàáîòàõ
È. Ñòåéíà [33], Í. Àðîíøàéíà, Ô. Ìóëëû è Ï. Øåïòûöêîãî [23], Ï. È. Ëèçîðêèíà [11] è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ. Ðåçóëüòàò ñîñòîèò â òîì, ÷òî
β
(Rm ), ãäå β = α − (n − m)/p > 0.
Lαp (Rn )|Rm = Bp,p
Äëÿ îáëàñòåé G ⊂ Rn , ãðàíèöû êîòîðûõ ñîäåðæàò óãëû, èçó÷åíèå ïîäîáíûõ âîïðîñîâ áûëî íà÷àòî Ñ. Ì. Íèêîëüñêèì äëÿ ïðîñòðàíñòâ Hpl è ïðîäîëæåíî Ã. Í. ßêîâëåâûì [21] (äëÿ ïëîñêîé îáëàñòè), Ì. Þ. Âàñèëü÷èêîì, Â. È. Áóðåíêîâûì, Â. Ã. Ìàçüåé, Ñ. Â. Ïîáîð÷èì è äðóãèìè ìàòåìàòèêàìè.
Îáðàòèìàÿ õàðàêòåðèñòèêà íàáîðîâ ñëåäîâ ôóíêöèé âìåñòå ñ èõ ïðîèçâîäíûìè èç
l
ïðîñòðàíñòâ Wpl (G) è Bp,q
(G) íà ëèïøèöåâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ Γm , ãäå l − (n − m)/p ∈
(0, ∞) \ N, ïðåäëîæåíà Î. Â. Áåñîâûì [4, 5] (ñëó÷àé l = 1 áûë èññëåäîâàí ðàíåå
Ý. Ãàëüÿðäî). Îíà ïðèâîäèòñÿ â òåðìèíàõ ìíîãî÷ëåíîâ òèïà ìíîãî÷ëåíîâ Òåéëîðà.
Ïîäîáíûå ìíîãî÷ëåíû èñïîëüçîâàëèñü åùå Õ. Óèòíè [35] ïðè õàðàêòåðèçàöèè ñëåäà l
ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè íà ïðîèçâîëüíîì çàìêíóòîì ìíîæåñòâå
(ñì. òàêæå êíèãó È. Ì. Ñòåéíà [18]).
 ðàáîòå [31] À. Éîíññîí è Õ. Âàëëèí êîìáèíèðóþò ïîäõîä Õ. Óèòíè ñ ïîäõîäîì
Î. Â. Áåñîâà. Îíè èçó÷èëè ñëåäû ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ
α
Lαp , 1 < p < ∞, è Áåñîâà Bp,q
, 1 < p, q < ∞, β = α − (n − d)/p ∈ (0, ∞), çàäàííûõ âî
âñåì ïðîñòðàíñòâå Rn , íà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâàõ Γd ⊂ Rn õàóñäîðôîâîé ðàçìåðíîñòè d, 0 < d < n, ñ íåêîòîðûìè óñëîâèÿìè ðåãóëÿðíîñòè (â ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå
òàêèå ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâàìè Àëüôîðñà). Îíè îïðåäåëèëè îáîáùåíβ
(Γd ), â òåðìèíàõ êîòîðûõ îïèñàëè ñëåäû ôóíêöèé ïðè
íûå ïðîñòðàíñòâà Áåñîâà Bp,q
β ∈
/ N.  ñëó÷àå β ∈ N îïèñàíèå ñëåäîâ áûëî ïðèâåäåíî ÷åðåç àïïðîêñèìàöèîííóþ
õàðàêòåðèñòèêó. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà ïðîäîëæåíèÿ àâòîðû ìîäèôèöèðîâàëè
ïîäõîä Óèòíè.
Äëÿ ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà â ïëîñêèõ è ïðîñòðàíñòâåííûõ îáëàñòÿõ ñ êóñî÷íîãëàäêèìè íåëèïøèöåâûìè ãðàíèöàìè âîïðîñû îïèñàíèÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé èçó÷à5
ëèñü â ðàáîòàõ Ã. Í. ßêîâëåâà, Â. Ã. Ìàçüè, Â. Ã. Ìàçüè è Ñ. Â. Ïîáîð÷åãî, Ì. Þ. Âàñèëü÷èêà è äð.
Ñ. Ê. Âîäîïüÿíîâ èñïîëüçîâàë ìîäèôèöèðîâàííûé ïîäõîä Óèòíè äëÿ îïèñàíèÿ
l
l
ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà W∞
(G) è Íèêîëüñêîãî H∞
(G),
çàäàííûõ â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà [6]. Ïðåèìóùåñòâî ýòîãî
ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïðèìåíèì ê ëþáîé îáëàñòè, íåçàâèñèìî îò ãëàäêîñòè
åå ãðàíèöû.
Îäíàêî, ìíîãèå âîïðîñû â òåîðèè âëîæåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ îñòàþòñÿ îòêðûòûìè. Îäíî èç íàïðàâëåíèé äëÿ èññëåäîâàíèé èçó÷åíèå ïðîñòðàíñòâ
â îáëàñòÿõ ñ íåðåãóëÿðíûìè ãðàíèöàìè. Äðóãîå íàïðàâëåíèå áîëåå ñëîæíûå ãåîìåòðèè, îòëè÷íûå îò åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Âàæíûé êëàññ òàêèõ ãåîìåòðèé ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòðàíñòâà Êàðíî Êàðàòåîäîðè è, â ÷àñòíîñòè, ãðóïïû Êàðíî.
Ñóììà êâàäðàòîâ ãîðèçîíòàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé àëãåáðû Ëè ãðóïïû Êàðíî
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóáýëëèïòè÷åñêèé îïåðàòîð. Ñóáýëëèïòè÷åñêèå îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ãèïîýëëèïòè÷íîñòè Ë. Õ¼ðìàíäåðà è, ñëåäîâàòåëüíî, îáëàäàþò
òåì âàæíûì ñâîéñòâîì, ÷òî îáîáùåííîå ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷ ñ ãëàäêîé ïðàâîé
÷àñòüþ äëÿ òàêîãî îïåðàòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàäêóþ ôóíêöèþ.  íàñòîÿùåå
âðåìÿ òåîðèÿ ñóáýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé èíòåíñèâíî ðàçâèâàåòñÿ. Ìíîãèå çàäà÷è,
ðåøåíèå êîòîðûõ èçâåñòíî äëÿ óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà, âñå åùå îñòàþòñÿ
îòêðûòûìè â ñóáýëëèïòè÷åñêîé òåîðèè.
Ïðîáëåìû êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè è ðàçðåøèìîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñóáýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðèâîäÿò íàñ ê çàäà÷å îïèñàíèÿ ñëåäîâ ôóíêöèé êëàññîâ Ñîáîëåâà íà ãðóïïàõ Êàðíî.
Îáîáùåíèå êëàññè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ íà ñëó÷àé áîëåå îáùèõ ãåîìåòðèé ñîïðÿæåíî ñ îïðåäåëåííûìè òðóäíîñòÿìè. Ìíîãèå ôóíäàìåíòàëüíûå òåîðåìû àíàëèçà,
ñïðàâåäëèâûå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ëèáî íå âûïîëíÿþòñÿ íà ãðóïïàõ Êàðíî,
ëèáî èõ äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåò íîâûõ ìåòîäîâ.
 ðàáîòå [25] Ä. Äàíèåëëè, Í. Ãàðîôàëî è Ä. Ì. Íõåó èçó÷àþò ñëåäû ôóíêöèé èç
ïðîñòðàíñòâà Wp1 (Ω), 1 < p < ∞, ãäå Ω îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå Êàðíî Êàðàòåîäîðè, íà ìíîæåñòâàõ Àëüôîðñà. Àâòîðû äîêàçûâàþò òåîðåìû î ñëåäàõ è ïðîäîëæåíèè,
6
à òàêæå ïðèâîäÿò ïðèìåðû ìíîæåñòâ Àëüôîðñà íà ãðóïïàõ Êàðíî, îïðåäåëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ìåðó Àëüôîðñà. Òàê, ìíîæåñòâîì Àëüôîðñà áóäåò ãðàíèöà îáëàñòè Ω
êëàññà C 2 äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïû Êàðíî, åñëè ðàññìîòðåòü íà íåé îïðåäåëåííóþ
ñïåöèàëüíûì îáðàçîì ïåðèìåòðè÷åñêóþ ìåðó.  êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ àâòîðû ïîëó÷àþò òåîðåìó î ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà Wp1 (Ω), ãäå
Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïû Êàðíî ñ ãðàíèöåé êëàññà C 2 .
Ïî-ïðåæíåìó îñòàþòñÿ àêòóàëüíûìè è âîïðîñû ïðîäîëæåíèÿ äëÿ ãëàäêèõ è ëèïøèöåâûõ ôóíêöèé ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ.  ñåðèè íåäàâíèõ ðàáîò ×. Ôåôôåðìàíà [27] ïîëó÷åíû íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Óèòíè.  ðàáîòàõ
À. À. Êëÿ÷èíà è Â. Ì. Ìèêëþêîâà [8, 9] áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à ïðîäîëæåíèÿ
ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà ãðàäèåíò.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà
ê ïðîáëåìå ïðîäîëæåíèÿ ëèïøèöåâûõ ôóíêöèé â ïñåâäîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.
Ïîëó÷åííûå àâòîðàìè ðåçóëüòàòû áûëè ïðèìåíåíû ê ïðîáëåìàì ðàçðåøèìîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.
ÖÅËÜ ÐÀÁÎÒÛ. Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñëåäîâ ãëàäêèõ ôóíêöèé è ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà Wpl , îïðåäåëåííûõ íà ãðóïïàõ Êàðíî è â
îáëàñòÿõ ãðóïï Êàðíî.
ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß.  ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ, ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâ Êàðíî Êàðàòåîäîðè è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.
ÍÀÓ×ÍÀß ÍÎÂÈÇÍÀ. Âñå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè,
ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è ñíàáæåíû ñòðîãèìè äîêàçàòåëüñòâàìè.
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÀß È ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÀß ÖÅÍÍÎÑÒÜ. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû èìåþò òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ìåòîäû è ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû â
òåîðèè ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé, â òåîðèè ñóáýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
ÀÏÐÎÁÀÖÈß ÐÀÁÎÒÛ. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà XLIV Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé ñòóäåí÷åñêîé êîíôåðåíöèè ¾Ñòóäåíò è íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ¿ (Íîâîñèáèðñê, 2006 ã.), íà VIII êîíôåðåíöèè ïî ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâàì (Áåäëåâî, Ïîëüøà, 37 èþëÿ 2006 ã.), íà ñåìèíàðàõ Íîâîñèáèðñêîãî ãîñó7
äàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ðóêîâîäèòåëü ïðîôåññîð Ñ. Ê. Âîäîïüÿíîâ), íà ñåìèíàðå Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà (ðóêîâîäèòåëü àêàäåìèê
Þ. Ã. Ðåøåòíÿê).
ÏÓÁËÈÊÀÖÈÈ. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [3644].
ÎÁÚÅÌ È ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ,
ïÿòè ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû èç 74 íàèìåíîâàíèé.
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ. Âî ââåäåíèè îáîñíîâûâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè, äàåòñÿ êðàòêèé îáçîð èñòîðèè è ñîâðåìåííîãî ñîñòîÿíèÿ èçó÷àåìûõ ïðîáëåì è ïðèâîäèòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå ñîäåðæàíèÿ äèññåðòàöèè.
 ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ è
ññûëêè íà èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ â ðàáîòå.
Ãëàâà 1 ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ïàðàãðàôîâ.  1.1 ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ãðóïï Êàðíî. Çäåñü æå îïðåäåëÿþòñÿ îñíîâíûå ôóíêöèîíàëüíûå
ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà Lp , Ñîáîëåâà Wpl , áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ Lαp .
Ãðóïïîé Êàðíî íàçûâàåòñÿ ñâÿçíàÿ îäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà Ëè G, àëãåáðà Ëè êîòîðîé
ãðàäóèðîâàíà è íèëüïîòåíòíà:
g = V1 ⊕ . . . ⊕ Vm , [V1 , Vj ] = Vj+1 , j < m, [V1 , Vm ] = 0.
Ïóñòü N òîïîëîãè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ãðóïïû G, è X1 , X2 , . . . , XN ëåâîèíâàðèàíòíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà G, îáðàçóþùèå áàçèñ àëãåáðû Ëè g. Åñëè Xi ∈ Vdi , òî
÷èñëî di áóäåì íàçûâàòü ñòåïåíüþ ïîëÿ Xi . Åñëè I = (i1 , . . . , iN ) ìóëüòèèíäåêñ, òî
÷åðåç X I ìû áóäåì îáîçíà÷àòü äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð X I = X1i1 . . . XNiN . Îòëè÷èå îò åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîèò ïðåæäå âñåãî â òîì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûå
îïåðàòîðû íå êîììóòèðóþò. Íàì óäîáíî ôèêñèðîâàòü ëåêñèêî-ãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê
äëÿ çàïèñè îïåðàòîðîâ. Ïðè ýòîì îäíîðîäíûé ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà X I îïðåäåëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì ñòåïåíåé âåêòîðíûõ ïîëåé: d(I) = d1 i1 + . . . + dN iN .
N
P
Õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü ãðóïïû G ðàâíà Q =
di .
i=1
Ñóùåñòâîâàíèå ìåðû Ëåáåãà íà ãðóïïå ïîçâîëÿåò íàì ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îïðåäåëèòü íà íåé è â åå ïîäîáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà Lp è Ñîáîëåâà Wpl . Íîðìà â
8
ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà Wpl (Ω) â îáëàñòè Ω ⊂ G çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
kf kWpl (Ω) =
X °
°
°X J f °
Lp (Ω)
,
d(J)6l
ãäå X J f îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â îáëàñòè Ω, ò. å. ôóíêöèÿ g òàêàÿ,
÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ϕ êëàññà C0∞ (Ω) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Z
Z
g(x)ϕ(x)dx = f (x)(X J )∗ ϕ(x)dx,
Ω
Ω
ãäå äëÿ îïåðàòîðà X J = X1j1 . . . XNjN ìû îáîçíà÷èëè ñèìâîëîì (X J )∗ ñîïðÿæåííûé
åìó îïåðàòîð (−1)|J| XNjN . . . X1j1 , à |J| = j1 + . . . + jN .
 1.2 ïðèâîäÿòñÿ èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû î ñëåäàõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà Wp1 íà ãðóïïàõ Êàðíî, ïîëó÷åííûå â ðàáîòàõ Ä. Äàíèåëëè, Í. Ãàðîôàëî è
Ä. Ì. Íõåó [25] è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ. Â 1.3 ïðèâåäåíû èçâåñòíûå èíòåãðàëüíûå
íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà, Ìèíêîâñêîãî, Õàðäè, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîëó÷åíèè
èíòåãðàëüíûõ îöåíîê.  1.4 ïðèâîäÿòñÿ ôîðìóëèðîâêè èíòåðïîëÿöèîííîé òåîðåìû Ìàðöèíêåâè÷à è òåîðåìû î êîìïëåêñíîé èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Âòîðàÿ ãëàâà ðàáîòû ïîñâÿùåíà îáîáùåíèþ íà ãðóïïàõ Êàðíî êëàññè÷åñêèõ òåîðåì î ïðîäîëæåíèè òèïà Óèòíè (ñì. [35] èëè êíèãó È. Ñòåéíà [18]) äëÿ ïðîñòðàíñòâ
C l è Lip(γ) äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé [36,37]. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ãëàâû òåîðåìû 2.2, 2.3 è 2.4.
Ãëàâà 2 ñîñòîèò èç òðåõ ïàðàãðàôîâ.  2.1 ïðèâîäÿòñÿ îïðåäåëåíèå ìíîãî÷ëåíà
Òåéëîðà [29] íà ãðóïïàõ Êàðíî è èçâåñòíûå îöåíêè äëÿ îñòàòêîâ â ôîðìóëå Òåéëîðà.
Âûâîäèòñÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà Òåéëîðà ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè.
 2.2 îïðåäåëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà Ëèïøèöà Lip(γ) ôóíêöèé, çàäàííûõ íà âñåé
ãðóïïå G è íà ïðîèçâîëüíîì çàìêíóòîì ìíîæåñòâå F , è ïðèâîäèòñÿ ôîðìóëèðîâêà
òåîðåìû 2.2.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü k > 0 öåëîå è k < γ 6 k + 1. Íàáîð ôóíêöèé {fJ }d(J)6k ,
çàäàííûõ íà F , ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ëèïøèöà Lip (γ, F ), åñëè ñóùåñòâóåò êîí9
ñòàíòà M , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (äëÿ âñåõ d(J) 6 k )
¡
¢γ−d(J)
|fJ (x)| 6 M ; |RJ (x, y)| 6 M ρ y −1 x
äëÿ ëþáûõ x, y ∈ F.
(1)
Çäåñü ρ îäíîðîäíàÿ íîðìà íà ãðóïïå G, à RJ (x, y) = fJ (x)−PJ (x, y) îñòàòîê ìíîãî÷ëåíà òåéëîðîâñêîãî òèïà, ïîñòðîåííîãî ïî íàáîðó {fJ }, ãäå âìåñòî ïðîèçâîäíûõ
X J f (y) ó÷àñòâóþò ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè fJ (y) èç íàáîðà. Íîðìîé íàáîðà {fJ } â
ýòîì ïðîñòðàíñòâå íàçîâåì íàèìåíüøóþ ïîñòîÿííóþ M , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà (1).  ñëó÷àå F = G ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà Lip(γ, G) áóäåì íàçûâàòü
ôóíêöèþ f = f0 , òàê êàê òîãäà ôóíêöèè fJ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì
fJ = X J f .
Òåîðåìà 2.2. Ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð ïðîäîëæåíèÿ
Ek : Lip (γ, F ) → Lip (γ, G) ,
ò. å. äëÿ ëþáîãî íàáîðà ôóíêöèé {fJ }d(J)6k ∈ Lip (γ, F ) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f =
Ek ({fJ }) ∈ Lip (γ, G) òàêàÿ, ÷òî
kf kLip(γ,G) 6 C k{fJ }kLip(γ,F ) ,
ãäå C íå çàâèñèò îò ìíîæåñòâà F .
 2.2.1 ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ.  2.2.2 äîêàçàíà ëåììà 2.2 î ìíîãî÷ëåíàõ òåéëîðîâñêîãî òèïà.  2.2.3 ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà ëåììà 2.3 î ðàçáèåíèè òèïà Óèòíè îòêðûòîãî ìíîæåñòâà ñ íåïóñòîé ãðàíèöåé íà êîíå÷íîêðàòíûé
íàáîð øàðîâ {Bi }, ðàäèóñû êîòîðûõ ñðàâíèìû ñ ðàññòîÿíèåì äî ãðàíèöû. Ïî ýòîìó íàáîðó øàðîâ ñòðîèòñÿ ðàçáèåíèå åäèíèöû {ϕi }. Â 2.2.4 îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîð
ïðîäîëæåíèÿ Ek : Lip(γ, F ) → Lip(γ, G), à â 2.2.5 äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà 2.2. Â 2.2.6
ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà 2.3, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû 2.2
íà ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâ Ëèïøèöà ñ áîëåå îáùèì ìîäóëåì íåïðåðûâíîñòè.
 2.3 ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà 2.4, îáîáùàþùàÿ êëàññè÷åñêóþ òåîðåìó Óèòíè [35] äëÿ ôóíêöèé êëàññà C l . Äëÿ l = 1 íà ãðóïïàõ Ãåéçåíáåðãà ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí â ðàáîòå [30].
10
Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü íàáîð ôóíêöèé {fJ }d(J)6k , çàäàííûõ íà F , óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) |fJ (x)| 6 M , d(J) 6 k , íà ëþáîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà F ;
2) RJ (x, y) = o(ρ(y −1 x)k−d(J) ) â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ε > 0 è x ∈ F ñóùåñòâóåò δ = δ(ε, x) > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x, y ∈ F , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
ρ(x −1 x) < δ è ρ(x −1 y) < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|RJ (x, y)| 6 ερ(y −1 x)k−d(J) .
Òîãäà îïåðàòîð Ek èç òåîðåìû 2.2 çàäàåò ïðîäîëæåíèå íàáîðà ôóíêöèé {fJ } íà âñþ
ãðóïïó G. Ïðîäîëæåííàÿ ôóíêöèÿ f = Ek ({fJ }) ïðèíàäëåæèò êëàññó C k (G), ò. å.
¯
äëÿ âñåõ d(J) 6 k ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå X J f , ïðè÷åì X J f ¯ = fJ .
F
Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà îïèñàíèþ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ
l
l
Ñîáîëåâà W∞
(Ω) (ãäå l > 0 öåëîå) è Íèêîëüñêîãî H∞
(Ω) (ãäå l > 0 íåöåëîå),
çàäàííûõ â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè Ω ãðóïïû Êàðíî [38, 39]. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû
ãëàâû òåîðåìà 3.3 î ïðîäîëæåíèè ñ ãðàíèöû â îáëàñòü è òåîðåìà 3.4 î ïðîäîëæåíèè
ôóíêöèé çà ãðàíèöó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
 ýòîé ãëàâå äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ôóíêöèé èñïîëüçóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà Óèòíè, ïðåäëîæåííàÿ Ñ. Ê. Âîäîïüÿíîâûì [6]. Ìåòîä îñíîâàí íà íîâûõ ýêâèâàëåíòíûõ
íîðìèðîâêàõ ïðîñòðàíñòâ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â îáëàñòÿõ, â êîòîðûå ÿâíûì îáðàçîì âõîäÿò ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, à èìåííî
ñ êàæäûì ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì, çàäàííûì â íåêîòîðîé îáëàñòè, àññîöèèðóåòñÿ ñâîÿ âíóòðåííÿÿ ìåòðèêà îáëàñòè, è ýêâèâàëåíòíàÿ íîðìà ïðîñòðàíñòâà
îïðåäåëÿåòñÿ â òåðìèíàõ ýòîé ìåòðèêè. Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî îáëàñòè è åå ãðàíèöû ðàññìàòðèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ïîïîëíåííîå ïî
âíóòðåííåé ìåòðèêå ýëåìåíòàìè íåñîáñòâåííîé ãðàíèöû, êîòîðàÿ è áóäåò îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé, èëè ñëåäîâ, ôóíêöèè.
Ãëàâà 3 ñîñòîèò èç òðåõ ïàðàãðàôîâ. Â 3.1 îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå ïðîl
l
(Ω). Îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû ñòàíäàðòíûì è îòëè÷àþòñÿ
(Ω) è H∞
ñòðàíñòâà W∞
îò íèõ òåì, ÷òî âìåñòî êëàññà ýêâèâàëåíòíûõ ôóíêöèé â êà÷åñòâå ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàåòñÿ åãî ïðåäñòàâèòåëü, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûé äîñòàòî÷11
íîå êîëè÷åñòâî ðàç.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü k > 0 öåëîå ÷èñëî, l ∈ (k, k + 1], α = l − k . Ôóíêöèÿ f ,
çàäàííàÿ â îáëàñòè Ω ⊂ G, èìåþùàÿ â Ω âñå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå X J f ïîðÿäl
êîâ d(J) 6 k , ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó H∞
(Ω), åñëè l íåöåëîå (ñîîòâåòñòâåííî
l
W∞
(Ω), åñëè l öåëîå), åñëè êîíå÷íà íîðìà
X
d(J)6k
sup |X J f (x)| +
x∈Ω
X
sup
x,y∈Ω,
d(J)=k γ(x,y)⊂Ω
|X J f (x) − X J f (y)|
.
ρ(y −1 x)α
Çäåñü γ(x, y) êðàò÷àéøàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè x è y . Åñëè
l öåëîå, òî α = 1, è îïðåäåëåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíûå X J f ïîðÿäêà l − 1
óäîâëåòâîðÿþò â Ω óñëîâèþ Ëèïøèöà.
 3.1.1 îïðåäåëÿþòñÿ âíóòðåííèå α-ìåòðèêè â îáëàñòè Ω.  3.1.2 â òåðìèíàõ
âíóòðåííèõ ìåòðèê îïðåäåëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà Lip(l, Ωα ) è äîêàçûâàåòñÿ èõ ýêâèâàl
l
ëåíòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîñòðàíñòâàì W∞
(Ω) è H∞
(Ω) (òåîðåìà 3.1).
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü k > 0 öåëîå ÷èñëî, l ∈ (k, k + 1], α = l − k . Ôóíêöèÿ
f , îïðåäåëåííàÿ â îáëàñòè Ω è èìåþùàÿ ïðîèçâîäíûå X J f îäíîðîäíûõ ïîðÿäêîâ
d(J) 6 k , ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lip(l, Ωα ), åñëè êîíå÷íà íîðìà
!
Ã
X °
°
|R
(x,
y)|
J
°X J f °
,
+ sup
kf kLip(l,Ωα ) =
L∞ (Ω)
d
(x,
y)(l−d(J))/α
x,y∈Ω α,Ω
d(J)6k
x6=y
ãäå RJ (x, y) îñòàòîê òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè X J f (x), d(J) 6 k , â
îêðåñòíîñòè òî÷êè y , à dα,Ω âíóòðåííÿÿ α-ìåòðèêà â îáëàñòè Ω.
 3.2 ïîëó÷åíî îïèñàíèå ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ïðî-
e α îáëàñòè Ω ïî âíóòðåííåé α-ìåòðèêå.
ñòðàíñòâ. Â 3.2.1 îïðåäåëÿåòñÿ ïîïîëíåíèå Ω
 3.2.2 îïèñàíû ïðîñòðàíñòâà ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé Lip(l, ∂Ωα ), îáëàñòüþ îïðåäåëå-
e α \ Ω îáëàñòè Ω, è äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå
íèÿ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ α-ãðàíèöà ∂Ωα = Ω
îïåðàòîðà ñëåäà trl : Lip(l, Ωα ) → Lip(l, ∂Ωα ) (òåîðåìà 3.2). Îïåðàòîð ñëåäà trl ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ôóíêöèÿ è åå ïðîèçâîäíûå ïðîäîëæàþòñÿ ïî íåïðåðûâ-
e α , à çàòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ îãðàíè÷åíèå ïîëó÷åííîãî íàáîðà
íîñòè íà ïîïîëíåíèå Ω
ôóíêöèé íà ∂Ωα .
12
 3.2.3 äîêàçàíà òåîðåìà 3.3 î ïðîäîëæåíèè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà ïðîäîëæåíèÿ extk : Lip(l, ∂Ωα ) → Lip(l, Ωα ) ñíîâà èñïîëüçóåòñÿ ðàçáèåíèå Óèòíè.
Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü Ω ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü â G. Ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð ïðîäîëæåíèÿ
extk : Lip(l, ∂Ωα ) → Lip(l, Ωα ), l ∈ (k, k + 1], α = l − k,
òàêîé, ÷òî êîìïîçèöèÿ trl ◦ extk ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì.
 3.3 äîêàçàíà òåîðåìà 3.4 î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ïðîäîëæåíèÿ ôóíêöèé èç
l
l
ïðîñòðàíñòâ W∞
(Ω) è H∞
(Ω) çà ãðàíèöó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Òåîðåìà 3.4. Ïóñòü k > 0 öåëîå ÷èñëî, l ∈ (k, k+1], α = l−k . Ïóñòü Ω îáëàñòü
â G, è ïóñòü âíóòðåííÿÿ α-ìåòðèêà dα,Ω (x, y) ëîêàëüíî ýêâèâàëåíòíà â îáëàñòè Ω
α-ìåòðèêå ρ(y −1 x)α , ò. å. ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû M, r > 0 òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ
òî÷åê x, y ∈ Ω, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó ρ(y −1 x) < r, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî dα,Ω (x, y) 6 M ρ(y −1 x)α . Òîãäà ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð
ïðîäîëæåíèÿ
l
l
extk : W∞
(Ω) → W∞
(G) ïðè l ∈ N (α = 1)
èëè
l
l
extk : H∞
(Ω) → H∞
(G) ïðè l ∈
/N
(α ∈ (0, 1)).
×åòâåðòàÿ ãëàâà ðàáîòû ïîñâÿùåíà âîïðîñó îïèñàíèÿ ñëåäîâ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà Wpl (G) (l > 0 öåëîå, 1 < p < ∞), çàäàííûõ íà âñåé ãðóïïå
Êàðíî G, íà d-ìíîæåñòâàõ Àëüôîðñà F , ãäå l − (Q − d)/p > 0 íåöåëîå (ñì. [40]). Â
ýòîé æå ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû îïèñàíèÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé è ïðîäîëæåíèÿ çà ãðàíèöó îáëàñòè ôóíêöèé êëàññîâ Ñîáîëåâà Wpl (Ω), çàäàííûõ â îãðàíè÷åííîé
îáëàñòè ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé íà äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïå Êàðíî [40, 41].
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü 0 < d < Q. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ d-ìíîæåñòâîì
Àëüôîðñà, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà µ, çàäàííàÿ íà F , ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî r0 > 0
èìååì
µ (B(x, r)) 6 C1 rd , x ∈ G, r 6 r0 ,
µ (B(x, r)) > C2 rd , x ∈ F, r 6 r0 ,
13
ãäå B(x, r) = {y : ρ(x−1 y) < r} øàð â íîðìå ρ, à C1 è C2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû.
Ñëåäû ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà õàðàêòåðèçóþòñÿ â òåðìèíàõ îáîáùåíβ
íûõ ïðîñòðàíñòâ Áåñîâà Bp,µ
(F ), β = l − (Q − d)/p, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ
íàáîðû ôóíêöèé {fJ }, çàäàííûõ íà ìíîæåñòâå F , à íîðìà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
µ ZZ
¶1/p ¶
X µ
|rJ (x, y)|p dµ(x)dµ(y)
k{fJ }kBp,µ
kfJ kp,µ +
,
β
(F ) =
ρ(y −1 x)d+(β−d(J))p
d(J)6k
ρ(y −1 x)<1
ãäå rJ (x, y) = fJ (x)−PJ (x, y) îñòàòîê ìíîãî÷ëåíà òåéëîðîâñêîãî òèïà, à µ d-ìåðà
Àëüôîðñà íà ìíîæåñòâå F .
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ãëàâû òåîðåìà 4.1 î ñëåäàõ è òåîðåìà 4.2 î ïðîäîëæåíèè,
èç êîòîðûõ íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò îáðàòèìàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñëåäîâ ôóíêöèé
èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà, çàäàííûõ íà âñåé ãðóïïå Êàðíî (òåîðåìà 4.3), òåîðåìà 4.4
î ïðîäîëæåíèè çà ãðàíèöó îáëàñòè è òåîðåìà 4.5 î ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ôóíêöèé
êëàññîâ Ñîáîëåâà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïû Êàðíî ñ ãëàäêîé
ãðàíèöåé. Òåîðåìû ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòîâ À. Éîíññîíà è Õ. Âàëëèíà [31]
(äëÿ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà) è Ä. Äàíèåëëè, Í. Ãàðîôàëî è Ä. Ì. Íõåó [25] (äëÿ
ïðîñòðàíñòâ Êàðíî Êàðàòåîäîðè ïðè l = 1).
Ãëàâà 4 ñîñòîèò èç øåñòè ïàðàãðàôîâ.  4.1 ïðèâîäÿòñÿ ñâîéñòâà d-ìåð Àëüôîðñà: äîêàçàíû ïðåäëîæåíèå 4.1 îá ýêâèâàëåíòíîñòè ðàçëè÷íûõ d-ìåð Àëüôîðñà íà
îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå d-ìåðíîé ìåðå Õàóñäîðôà è ëåììà 4.1 îá èíòåãðèðîâàíèè
ïî d-ìåðå Àëüôîðñà.
 4.2 ðàññìàòðèâàþòñÿ ÿäðà Áåññåëÿ Jα (x) è ïðîñòðàíñòâà áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ Lαp (G), α > 0, êîòîðûå ïðè öåëûõ α ñîâïàäàþò ñ ïðîñòðàíñòâàìè Ñîáîëåâà.
Áåç äîêàçàòåëüñòâà ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà ÿäðà Áåññåëÿ (ñì. [28]) è áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ. Äîêàçàíû îöåíêè äëÿ ÿäðà Áåññåëÿ Jα (x) è åãî ïðîèçâîäíûõ ïðè
ρ(x) → 0 èëè ρ(x) → ∞.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü 1 < p < ∞ è α > 0. Ôóíêöèÿ f (x), çàäàííàÿ íà ãðóïïå G,
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ Lαp (G), åñëè îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â âèäå
Z
Jα (y −1 x)g(y)dy
f (x) = g ∗ Jα =
14
äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè g ∈ Lp (G), ãäå Jα ∈ C ∞ (G \ {0}) ÿäðî Áåññåëÿ íà ãðóïïå
G. Íîðìà ôóíêöèè f â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ êàê kf kLαp (G) = kgkLp (G) .
 4.3 ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà 4.1 î ñëåäàõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ
Ñîáîëåâà è áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ.
Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü 1 < p < ∞, 0 < d < Q, β = α − (Q − d)/p, k < β < k + 1,
ãäå k > 0 öåëîå ÷èñëî, è ïóñòü µ d-ìåðà íà ìíîæåñòâå Àëüôîðñà F . Òîãäà äëÿ
âñåõ f ∈ Lαp (G)
°
° J ¯
°{X f ¯ }d(J)6k ° β
F
B
p,µ (F )
6 C kf kLαp (G) ,
ãäå ïðîèçâîäíûå X J f îïðåäåëåíû µ-ï. â. äëÿ d(J) 6 k , à êîíñòàíòà C çàâèñèò òîëüêî îò α, β , µ, d, p, Q è ãåîìåòðè÷åñêèõ è àëãåáðàè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ãðóïïû
G.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû èñïîëüçóþòñÿ èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ìàðöèíêåâè÷à (ñì. [19]) è òåîðåìû î êîìïëåêñíîé èíòåðïîëÿöèè (ñì. [19, 28]).
 4.4 ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà 4.2 î ïðîäîëæåíèè äëÿ ïðîñòðàíñòâ
Ñîáîëåâà.
Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü 1 6 p < ∞, ïóñòü β , d è k òàêèå æå, êàê â òåîðåìå 4.1, è
ïóñòü l > 0 öåëîå ÷èñëî, β = l − (Q − d)/p. Ïóñòü F d-ìíîæåñòâî Àëüôîðñà ñ
β
d-ìåðîé µ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîð E : Bp,µ
(F ) → Wpl (G) òàêîé, ÷òî
β
äëÿ ëþáîãî íàáîðà ôóíêöèé f = {fJ }d(J)6k ∈ Bp,µ
(F ) èìååì
1) kEf kWpl (G) 6 C kf kBp,µ
β
(F ) , ãäå C çàâèñèò òîëüêî îò l , β , µ, d, p, Q è õàðàêòåðèñòèê ãðóïïû G;
2) Ef ïðîäîëæåíèå f â òîì ñìûñëå, ÷òî ôóíêöèè X J (Ef ) ñîâïàäàþò µ-ï.â.
ñ fJ äëÿ âñåõ d(J) 6 k .
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 4.2 èñïîëüçóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà Óèòíè äëÿ
ïðîñòðàíñòâ ñ èíòåãðàëüíûìè íîðìàìè, ïðåäëîæåííàÿ À. Éîíññîíîì è Õ. Âàëëèíîì [31]. Íà îñíîâå ðàçáèåíèÿ Óèòíè îòêðûòîãî ìíîæåñòâà íà øàðû ñòðîèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ïðîäîëæåíèÿ, è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðîäîëæåííàÿ ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ñîáîëåâà.
15
β
 4.4.1 îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîð ïðîäîëæåíèÿ E : Bp,µ
(F ) → Wpl (G). Â 4.4.2
äîêàçàíû âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû 4.44.6, ñîäåðæàùèå îöåíêè äëÿ ïðîäîëæåííîé
ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíûõ. Â 4.4.3 ïðèâåäåíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.2, è ñôîðìóëèðîâàíà òåîðåìà 4.3.
Òåîðåìà 4.3. Ïóñòü F d-ìíîæåñòâî Àëüôîðñà ñ d-ìåðîé µ íà ãðóïïå Êàðíî G,
0 < d < Q. Ïóñòü 1 < p < ∞, l > 0 öåëîå, è β = l − (Q − d)/p > 0 íåöåëîå.
Òîãäà
β
Wpl (G)|F = Bp,µ
(F ).
Îïåðàòîðû ñëåäà è ïðîäîëæåíèÿ ëèíåéíûå è îãðàíè÷åííûå.
 4.5 ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà 4.4 î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà Wpl (Ω), çàäàííûõ â îãðàíè÷åííîé (ε, δ)-îáëàñòè Ω íà äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïå Êàðíî, çà ãðàíèöó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ [41], îáîáùàþùàÿ òåîðåìó
Ï. Äæîíñà î ïðîäîëæåíèè [32] äëÿ îáëàñòåé åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Ñëó÷àé l = 1
ðàññìîòðåí â ðàáîòå À. Â. Ãðåøíîâà [7] äëÿ îáùèõ ãðóïï Êàðíî.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü Ω ⊂ G îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî íà ãðóïïå Êàðíî G, è
ïóñòü ε, δ > 0. Ãîâîðÿò, ÷òî Ω (ε, δ)-îáëàñòü, åñëè äëÿ ëþáûõ òî÷åê x, y ∈ Ω òàêèõ,
÷òî ρ(y −1 x) < δ , ñóùåñòâóåò êðèâàÿ γ ⊂ Ω, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè x è y , òàêàÿ, ÷òî
âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ((ε, δ)-óñëîâèÿ):
l(γ) 6 ρ(y−1 x) ,
ε
d(z, ∂Ω) >
ερ(z −1 x) ρ(z −1 y)
,
ρ(y −1 x)
z ∈ γ.
Çäåñü l(γ) äëèíà êðèâîé γ , à d(z, ∂Ω) = inf ρ(z −1 t).
t∈∂Ω
Ïðèìåðîì (ε, δ)-îáëàñòåé íà äâóõñòóïåí÷àòûõ ãðóïïàõ Êàðíî ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûå îáëàñòè ñ ãðàíèöàìè êëàññà C 2 .
Òåîðåìà 4.4. Ïóñòü Ω îãðàíè÷åííàÿ (ε, δ)-îáëàñòü íà äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïå
Êàðíî G, è ïóñòü 1 < p 6 ∞, l > 0 öåëîå. Òîãäà ñóùåñòâóåò îïåðàòîð ïðîäîëæåíèÿ
ext : Wpl (Ω) → Wpl (G),
16
íîðìà êîòîðîãî çàâèñèò òîëüêî îò ε, δ , l, p, Q, ðàäèóñà îáëàñòè Ω è õàðàêòåðèñòèê
ãðóïïû G.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ðàçáèåíèÿõ Óèòíè îáëàñòè Ω è äîïîëíèòåëüíîé îáëàñòè (c Ω)◦ è óñòàíîâëåíèè ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó øàðàìè âíóòðè è âíå îáëàñòè.
Ýòîìó ïîñâÿùåí 4.5.1, â êîòîðîì äîêàçàí ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ ëåìì. Â 4.5.2 íà
îñíîâå ðàçáèåíèÿ Óèòíè ñòðîèòñÿ îïåðàòîð ïðîäîëæåíèÿ ext : Wpl (Ω) → Wpl (G) è
äîêàçûâàåòñÿ åãî îãðàíè÷åííîñòü.  4.5.3 èçó÷àåòñÿ âîçìîæíîñòü àïïðîêñèìàöèè
ôóíêöèé êëàññîâ Ñîáîëåâà ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.4 èñïîëüçóåò íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå äëÿ ôóíêöèé êëàññîâ Ñîáîëåâà, êîòîðîå äëÿ äâóõñòóïåí÷àòûõ ãðóïï Êàðíî áûëî ïîëó÷åíî Å. À. Ñàæåíêîâîé [14].
 4.6 ñôîðìóëèðîâàíà òåîðåìà 4.5 î ñëåäàõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà
Wpl (Ω), çàäàííûõ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé êëàññà C 2 íà äâóõñòóïåí÷àòîé
ãðóïïå Êàðíî.
Òåîðåìà 4.5. Ïóñòü Ω ⊂ G îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé êëàññà C 2 íà äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïå Êàðíî G, µ (Q − 1)-ìåðíàÿ ìåðà Õàóñäîðôà íà ∂Ω. Ïóñòü
1 < p < ∞, è l > 0 öåëîå. Òîãäà
l−1/p
Wpl (Ω)|∂Ω = Bp,µ
(∂Ω).
Îïåðàòîðû ñëåäà è ïðîäîëæåíèÿ ëèíåéíûå è îãðàíè÷åííûå.
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåì 4.3, 4.4 è íåêîòîðûõ ôàêòîâ, óñòàíîâëåííûõ â ðàáîòàõ äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ.
Ïÿòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïðèëîæåíèÿì òåîðåì î ñëåäàõ ê âîïðîñàì ðàçðåøèìîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà
ðàññìàòðèâàåòñÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ïîëèñóáãàðìîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
P
CJ (X J )∗ X J u = 0, x ∈ Ω;
d(J)6l
X J u|∂Ω = ϕJ , d(J) 6 l − 1, {ϕJ } ∈ B l−1/2 (∂Ω),
2
â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé êëàññà C 2 íà äâóõñòóïåí÷àòîé ãðóïïå Êàðíî G.
Âàðèàöèîííûì ìåòîäîì (ñì. êíèãó Ñ. Ë. Ñîáîëåâà [15]) äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå
è åäèíñòâåííîñòü ñëàáîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è â êëàññå W2l (Ω) (òåîðåìà 5.1).
17
Òåîðåìà 5.1. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ñëàáîå ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è â êëàññå W2l (Ω). Ýòèì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ, íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì
ôóíêöèîíàëà
D(u) =
X
Z
d(J)6l
ñðåäè âñåõ ôóíêöèé u ∈
W2l (Ω),
(X J u)2 dx
CJ
Ω
óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì óñëîâèÿì çàäà÷è.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Áàáè÷ Â. Ì., Ñëîáîäåöêèé Ë. Í. Îá îãðàíè÷åííîñòè èíòåãðàëà Äèðèõëå // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. 1956. Ò. 106, 4. Ñ. 604607.
[2] Áåñîâ Î. Â. Î íåêîòîðîì ñåìåéñòâå ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ. Òåîðåìû âëîæåíèÿ è ïðîäîëæåíèÿ // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1959. Ò. 126. Ñ. 11631165.
[3] Áåñîâ Î. Â. Èññëåäîâàíèå îäíîãî ñåìåéñòâà ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ â ñâÿçè ñ òåîðåìàìè âëîæåíèÿ è ïðîäîëæåíèÿ // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1961. Ò. 60.
Ñ. 4281.
[4] Áåñîâ Î. Â. Ïîâåäåíèå äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà íåãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
// Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1972. Ò. 117. Ñ. 310.
[5] Áåñîâ Î. Â. Î ñëåäàõ íà íåãëàäêîé ïîâåðõíîñòè êëàññîâ äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1972. Ò. 117. Ñ. 1121.
[6] Âîäîïüÿíîâ Ñ. Ê. Ôîðìóëà Òåéëîðà è ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà: Ó÷åá. ïîñîáèå / Íîâîñèá. óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 1988. 96 ñ.
[7] Ãðåøíîâ À. Â. Ïðîäîëæåíèå äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé çà ãðàíèöó îáëàñòè
íà ãðóïïàõ Êàðíî // Òð. Èí-òà ìàòåìàòèêè / ÐÀÍ. Ñèá. îòä-íèå. 1996. Ò. 31. Ñ. 161186.
[8] Êëÿ÷èí À. À., Ìèêëþêîâ Â. Ì. Ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûå ãèïåðïîâåðõíîñòè è
çàäà÷à î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà ãðàäèåíò // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1991. Ò. 320, 4. Ñ. 781784.
18
[9] Êëÿ÷èí À. À., Ìèêëþêîâ Â. Ì. Ñëåäû ôóíêöèé ñ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè
ãðàôèêàìè è çàäà÷à î ïðîäîëæåíèè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ãðàäèåíò // Ìàòåì.
ñá. 1992. Ò. 183, 7. Ñ. 4964.
[10] Ëèçîðêèí Ï. È. Ãðàíè÷íûå ñâîéñòâà ôóíêöèé èç ¾âåñîâûõ¿ êëàññîâ // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. 1960. Ò. 132, 3. Ñ. 514517.
[11] Ëèçîðêèí Ï. È. Õàðàêòåðèñòèêà ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé èç Lrp (En ) íà
ãèïåðïëîñêîñòÿõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1963. Ò. 150, 5. Ñ. 984986.
[12] Íèêîëüñêèé Ñ. Ì. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ è òåîðåìû âëîæåíèÿ. Ì.: Èçä-âî ¾Íàóêà¿, Ãëàâíàÿ ðåäàêöèÿ Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1969. 480 ñ.
[13] Íèêîëüñêèé Ñ. Ì. Ñâîéñòâà íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ
íà äèôôåðåíöèðóåìûõ ìíîãîîáðàçèÿõ // Ìàò. ñá. 1953. Ò. 33 (75), 2. Ñ. 261326.
[14] Ñàæåíêîâà Å. À. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ íà äâóñòóïåí÷àòûõ ãðóïïàõ Êàðíî // Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ ¾Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà, òåîðèÿ
ïðèáëèæåíèé, íåëèíåéíûé àíàëèç¿, ïîñâÿùåííàÿ ñòîëåòèþ àêàäåìèêà Ñ. Ì. Íèêîëüñêîãî (Ìîñêâà, 2329 ìàÿ 2005 ã.): Òåç. äîêë. Ì.: Ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ, 2005. Ñ. 196.
[15] Ñîáîëåâ Ñ. Ë. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÑÎ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1962. 255 c.
[16] Ñëîáîäåöêèé Ë. Í. Ïðîñòðàíñòâà Ñ. Ë. Ñîáîëåâà äðîáíîãî ïîðÿäêà è èõ ïðèëîæåíèÿ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ // Äîêë. ÀÍ
ÑÑÑÐ. 1958. Ò. 118, 2. Ñ. 243246.
[17] Ñëîáîäåöêèé Ë. Í. Îöåíêè â Lp ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ ñèñòåì // Äîêë. ÀÍ
ÑÑÑÐ. 1958. Ò. 120, 3. Ñ. 616619.
19
[18] Ñòåéí È. Ì. Ñèíãóëÿðíûå èíòåãðàëû è äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé.
ïåð. ñ. àíãë. Ì.: Èçäâî ¾Ìèð¿, 1973. 342 ñ.
[19] Ñòåéí È. Ì., Âåéñ Ã. Ââåäåíèå â ãàðìîíè÷åñêèé àíàëèç íà åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. ïåð. ñ. àíãë. Ì.: Èçäâî ¾Ìèð¿, 1974. 331 ñ.
[20] Óñïåíñêèé Ñ. Â. Ñâîéñòâà êëàññîâ Wpr ñ äðîáíîé ïðîèçâîäíîé íà äèôôåðåíöèðóåìûõ ìíîãîîáðàçèÿõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1960. Ò. 132, 1. Ñ. 6062.
(l)
[21] ßêîâëåâ Ã. Í. Ãðàíè÷íûå ñâîéñòâà ôóíêöèé êëàññà Wp íà îáëàñòÿõ ñ óãëîâûìè
òî÷êàìè // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1961. Ò. 140, 1. Ñ. 7376.
[22] Aronszajn N. Boundary value of functions with nite Dirichlet integral, Confer. partial di. equat. Studies in eigenvalue problems. Univ. of Kansas. 1955.
[23] Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P. On spaces of potentials connected with Lp
spaces // Ann. Inst. Fourier. 1963. V. 13. P. 211306.
[24] Burenkov V. I. Imbedding and continuation for classes of dierentiable functions of
several variables dened on the whole space // Progress in Math. New York, Plenum
Press. 1968. V. 2. P. 73161.
[25] Danielli D., Garofalo N., Nhieu D.-M. Non-doubling Ahlfors measures, perimeter
measures, and the characterization of the trace spaces of Sobolev functions in CarnotCaratheodory spaces. Purdue University, preprint, 2002. 102 p.
[26] Gagliardo E. Caratterizzazione delle trace sulla frontiera relative ad alcune classi di
funzioni in n variabili // Rend. Sem. Matem. univ. di Padova. 1957. V. 27. P. 284305.
[27] Feerman C. A sharp form of Whitney's extension theorem. // Annals of Math. 2005. V. 161, 1. P. 509577.
[28] Folland G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups //
Ark. Math. 1975. V. 13. P. 161207.
20
[29] Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton, New
Jersey, 1982. 284 p.
[30] Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Rectiability and perimeter in the Heisenberg group // Math. Ann. 2001. V. 321, 3. P. 479531.
[31] Johnsson A., Wallin H. Function Spaces on Subsets of Rn . Mathematical Reports,
1984, V. 2. P. 1221.
[32] Jones P. W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev
spaces // Acta Math. 1981. V. 147. P. 7188.
[33] Stein E. M. The characterization of functions arizing as potentials II // Bull. Amer.
Math. Soc. 1962. V. 68. P. 577582.
[34] Taibleson M. H. On the theory of Lipschitz spaces of distributions on Euclidean
n-space, I // J. Math. Mech. 1964. V. 13. P. 407480.
[35] Whitney H. Analytic extensions of dierentiable functions dened in closed sets //
Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 6389.
ÐÀÁÎÒÛ ÀÂÒÎÐÀ ÏÎ ÒÅÌÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ
[36] Âîäîïüÿíîâ Ñ. Ê., Ïóïûøåâ È. Ì. Òåîðåìû òèïà Óèòíè î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèé
íà ãðóïïàõ Êàðíî // Äîêë. ÀÍ. 2006. Ò. 406, 5. Ñ. 586590.
[37] Âîäîïüÿíîâ Ñ. Ê., Ïóïûøåâ È. Ì. Òåîðåìû òèïà Óèòíè î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèé
íà ãðóïïàõ Êàðíî // Ñèá. ìàò. æóðíàë. 2006. Ò. 47, 4. Ñ. 731752.
[38] Âîäîïüÿíîâ Ñ. Ê., Ïóïûøåâ È. Ì. Î ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèÿõ äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé, çàäàííûõ â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè ãðóïïû Êàðíî // Äîêë. ÀÍ. 2006.
Ò. 408, 3. Ñ. 15.
[39] Âîäîïüÿíîâ Ñ. Ê., Ïóïûøåâ È. Ì. Î ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèÿõ äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé, çàäàííûõ â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè ãðóïïû Êàðíî // Ìàò. òðóäû. 2006. Ò. 9, 2. Ñ. 124.
21
[40] Âîäîïüÿíîâ Ñ. Ê., Ïóïûøåâ È. Ì. Ñëåäû ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà íà ìíîæåñòâàõ
Àëüôîðñà ãðóïï Êàðíî. Íîâîñèáèðñê, 2006. 65 ñ. (Ïðåïðèíò/ÐÀÍ. Ñèá.
îòä-íèå. Èí-ò ìàòåìàòèêè; 172).
[41] Ïóïûøåâ È. Ì. Ïðîäîëæåíèå ôóíêöèé êëàññîâ Ñîáîëåâà çà ãðàíèöó îáëàñòè íà
ãðóïïàõ Êàðíî. Íîâîñèáèðñê, 2006. 23 ñ. (Ïðåïðèíò/ÐÀÍ. Ñèá. îòä-íèå.
Èí-ò ìàòåìàòèêè; 173).
[42] Ïóïûøåâ È. Ì. Î ñëåäàõ áåññåëåâûõ ïîòåíöèàëîâ íà ãðóïïàõ Êàðíî // Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ ¾Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà, òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé, íåëèíåéíûé àíàëèç¿, ïîñâÿùåííàÿ ñòîëåòèþ àêàäåìèêà Ñ. Ì. Íèêîëüñêîãî
(Ìîñêâà, 2329 ìàÿ 2005 ã.): Òåç. äîêë. Ì.: Ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò èì.
Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ, 2005. Ñ. 178.
[43] Ïóïûøåâ È. Ì. Òåîðåìû òèïà Óèòíè î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèé íà ãðóïïå Êàðíî
// Ìåæäóíàðîäíàÿ øêîëà-êîíôåðåíöèÿ ¾Êîìïëåêñíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ¿, ïîñâÿùåííàÿ ïàìÿòè ïðîôåññîðà È. Ï. Ìèòþêà, (Êðàñíîäàð, 1117 ñåíòÿáðÿ 2005 ã.): Òåç. äîêë. 2005. Ñ. 9396.
[44] Ïóïûøåâ È. Ì. Î ñëåäàõ ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà íà ìíîæåñòâàõ Àëüôîðñà ãðóïï
Êàðíî // Ìàòåðèàëû XLIV Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé ñòóäåí÷åñêîé êîíôåðåíöèè
¾Ñòóäåíò è íàó÷íîòåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ¿: Ìàòåìàòèêà. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî
ÍÃÓ, 2006. Ñ. 2223.
22
