Âåñòíèê ÑèáÃÓÒÈ. 2014. 4 47 ÓÄÊ 519.688 Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ  ñòàòüå ïðèâîäèòñÿ îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì ïðîáëåìû Á¼ðíñàéäà äëÿ ìàëûõ n è ñìåæíûõ âîïðîñîâ. Êëþ÷åâûå ñëîâà : ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, ïîðÿäîê, ñïåêòð, ýêñïîíåíòà, ïåðèîä. 1. Ââåäåíèå Íåñêîëüêî ëåò íàçàä îäèí èç àâòîðîâ ýòîé ðàáîòû ïî ïðèãëàøåíèþ Â. Ã. Õîðîøåâñêîãî ÷èòàë còóäåíòàì ÑèáÃÓÒÈ êóðñ ¾Òåîðèÿ àâòîìàòîâ¿. ×òåíèå ýòîãî êóðñà íàòîëêíóëî åãî íà ìûñëü îá èñïîëüçîâàíèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ èññëåäîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïï. Íàøà ðàáîòà ïîñâÿùåíà, â îñíîâíîì, ïåðèîäè÷åñêèì ãðóïïàì, íî ìû íå ñîìíåâàåìcÿ, ÷òî èñïîëüçóåìûå ìåòîäû ïðèìåíèìû ê èññëåäîâàíèþ è äðóãèõ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ.  îêòÿáðå 1900 ã. Óèëüÿì Á¼ðíñàéä íàïèñàë ïèñüìî Ðîáåðòó Ôðèêå, â êîòîðîì, â ÷àñòíîñòè, ãîâîðèëîñü ñëåäóþùåå: ¾Ïîëüçóÿñü ñëó÷àåì, ñïðàøèâàþ, íå çàäàâàëèñü ëè Âû ñëåäóþùèì âîïðîñîì, à åñëè çàäàâàëèñü, ïðèøëè ëè ê êàêîìó-íèáóäü îòâåòó. Ìîæåò ëè ãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ êîíå÷íûì êîëè÷åñòâîì îïåðàöèé, òàêàÿ, ÷òî ïîðÿäîê êàæ- äîé èç ýòèõ îïåðàöèé êîíå÷åí è íå ïðåâîñõîäèò äàííîãî ÷èñëà, ñîñòîÿòü èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà îïåðàöèé? S1 & S2 îïåðàöèè è Σ , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïî î÷åðåäè âñå êîìáèíàöèè S2 , òàêèõ êàê S1a S2b S1c ...S2e , òàêîâà, ÷òî Σm = 1 , ãäå m äàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî; âåðíî èëè íåò, ÷òî ãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ S1 & S2 , èìååò êîíå÷íûé ïîðÿäîê? Êîíå÷íî, åñëè m ðàâíî 2, ãðóïïà èìååò ïîðÿäîê 4, à åñëè m ðàâíî 3, ãðóïïà èìååò ïîðÿäîê 27; íî äëÿ çíà÷åíèé m , áîëüøèõ 3, êàæåòñÿ, ÷òî âîïðîñ ïðåäñòàâëÿåò ñåðü¼çíóþ ñëîæíîñòü Íàïðèìåð, ïóñòü ïîâòîðåíèé S1 & äëÿ ðàññìîòðåíèÿ.¿ (Öèò. ïî [1].)  ñëåäóþùåì ïèñüìå Ôðèêå, äàòèðîâàííîì 20 èþíÿ 1901 ã., Á¼ðíñàéä ïèøåò: ¾ß íåäàâíî âåðíóëñÿ ê âîïðîñó, î êîòîðîì ïèñàë Âàì çèìîé, à èìåííî, î äèñêðåòíûõ ãðóïm ïàõ, îïðåäåë¼ííûõ ðàâåíñòâîì S = 1 , ãäå S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëþáóþ è êàæäóþ êîìáèíà- A1 , A2 , ...An ; ãäå m, n äàííûå íàòóðàëüíûå m = 3 , äëÿ äàííîãî n ïîðÿäîê ìîæåò áûòü îïðåäåë¼í 12 íåêîòîðîé ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé... Äëÿ m = 4, n = 2 ÿ ïîñ÷èòàë, ÷òî ïîðÿäîê ðàâåí 2 ...  äàííûé ìîìåíò ÿ çàñòðÿë íà ñëó÷àå n = 2 , m = p ïðîñòîå ÷èñëî, áîëüøåå 3; íî ëåãêî p+2 ïîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê íå ìîæåò áûòü ìåíüøèì, ÷åì p , è ìíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåðîÿòíûì, öèþ èç n íåçàâèñèìûõ ïîðîæäàþùèõ îïåðàöèé ÷èñëà. ß îáíàðóæèë, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ÷òî îí áîëüøå, åñëè âîîáùå êîíå÷åí.¿ (Öèò. ïî [1].) Èç ýòèõ ïèñåì ìû âèäèì, ÷òî, ãîâîðÿ ñîâðåìåííûì ÿçûêîì, Á¼ðíñàéä èíòåðåñóåòñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ âîïðîñàìè: 48 Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ ÂÎÏÐÎÑ 1. Ïóñòü ýëåìåíòà èç G n ìåíüøå ëèáî ðàâåí ÂÎÏÐÎÑ 2. Ïóñòü n x = 1 . ßâëÿåòñÿ ëè G n G ãðóïïà, òàêàÿ, ÷òî G ëîêàëüíî êîíå÷íîé? íàòóðàëüíîå ÷èñëî è n . ßâëÿåòñÿ ëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî è G ïîðÿäîê ëþáîãî ãðóïïà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òîæäåñòâó ëîêàëüíî êîíå÷íîé? Êîíå÷íî, ýòè âîïðîñû ðàçíûå: Âîïðîñ 2 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì Âîïðîñà 1. Íî, íàïðèìåð, äëÿ n=6 îòâåò íà Âîïðîñ 2 ïîëîæèòåëåí [2], à Âîïðîñ 1 äî ñèõ ïîð îòêðûò, ïîñêîëüêó âêëþ÷àåò â ñåáÿ, â ÷àñòíîñòè, Âîïðîñ 2 äëÿ n = 5. Âîïðîñ 1 òàêæå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèé ÂÎÏÐÎÑ 3. Ïóñòü ω ôèêñèðîâàííîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïðåäïî- ëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâ ýëåìåíòîâ ãðóïïû G ñîâïàäàåò ñ ω . ßâëÿåòñÿ ëè G ëîêàëüíî êîíå÷íîé?  1902 ã. Á¼ðíñàéä îïóáëèêîâàë ðàáîòó [3], â êîòîðîé îáñóæäàëñÿ Âîïðîñ 2. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè åãî ñòàëè íàçûâàòü Ïðîáëåìîé Á¼ðíñàéäà äëÿ ãðóïï ýêñïîíåíòû n. Èññëåäîâàíèþ ýòîé ïðîáëåìû ïîñâÿùåíî îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ðàáîò (ñì. ñïèñîê ëèòåðàòóðû â [4]). Âîïðîñ 1 óïîìèíàåòñÿ â êíèãå [5] ñî ññûëêîé íà Á¼ðíñàéäà. Ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà Âîïðîñå 3, êàñàÿñü Âîïðîñà 1 è Âîïðîñà 2 ëèøü â òîé ìåðå, êîòîðàÿ ñîãëàñóåòñÿ ñ íàøåé îñíîâíîé öåëüþ. 2. Ïðîáëåìà Á¼ðíñàéäà äëÿ ãðóïï äàííîé ýêñïîíåíòû Ãðóïïà G (çàâèñÿùåå îò äëÿ âñåõ íåíòîé íàçûâàåòñÿ g ), ïåðèîäè÷åñêîé g ∈G g =1 n ïåðèîäîì G G ëîêàëüíî êîíå÷íà òàêîå, ÷òî , åñëè äëÿ ëþáîãî n ; åñëè ñóùåñòâóåò g ∈ G , òî n íàçûâàåòñÿ G . Ãîâîðÿò, ÷òî ãðóïïà ãðóïïû ãðóïïû ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå n , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ g = , à íàèìåíüøåå òàêîå n íàçûâàåòñÿ n 1 ýêñïî- , åñëè ëþáîå êîíå÷íî ìíîæåñòâî å¼ ýëåìåíòîâ ñîäåðæèòñÿ â êîíå÷íîé ïîäãðóïïå. Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ íèëüïîòåíòíîé ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè, íå ïðåâîñõîäÿùåé n , åñëè äëÿ âñåõ x1 , . . . , xn ∈ G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî −1 [x1 , x2 , . . . , xn ] = 1 , ãäå [x1 , x2 ] = x−1 1 x2 x1 x2 è [x1 , x2 , . . . , xn ] = [[x1 , . . . , xn−1 ], xn ] äëÿ n > 3 . Êëàññ Cn ãðóïï ïåðèîäà n ÿâëÿåòñÿ , ò. å. îí çàìêíóò îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ìíîãîîáðàçèå ïîäãðóïï, ôàêòîðãðóïï è äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé. Ïóñòü ñ d B(d, n) ñâîáîäíàÿ ãðóïïà èç Cn ïîðîæäàþùèìè. 2.1. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 2 è 3  ðàáîòå [3] Á¼ðíñàéä îòìåòèë î÷åâèäíûé ôàêò ëîêàëüíîé êîíå÷íîñòè ãðóïï ïåðèîäà 2 è ïîêàçàë, ÷òî ýòî âåðíî è äëÿ ãðóïï ïåðèîäà 3. Êðîìå òîãî, îí çàìåòèë, ÷òî â ãðóïïàõ ïåðèîäà 3 ëþáûå äâà ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòà ïåðåñòàíîâî÷íû, ò. å. â ýòèõ ãðóïïàõ âûïîëíÿåòñÿ 2-ýíãåëåâî òîæäåñòâî [[y, x], x] = 1 .  ïðîäîëæåíèè [6] ðàáîòû [3], âûøåäøåì ãîäîì ïîçæå, Á¼ðíñàéä ïîêàçàë, ÷òî ëþáàÿ 2-ýíãåëåâà ãðóïïà óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì [[x, y], z] = [[y, z], x] 3 è [[x, y], z] = 1 , ïîýòîìó îíà äâóñòóïåííî íèëüïîòåíòíà, åñëè â íåé íåò ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 3. Ïî-âèäèìîìó, Ê. Õîïêèíñ [7] ïåðâûì ïîêàçàë, ÷òî 2-ýíãåëåâû ãðóïïû òð¼õñòóïåííî íèëüïîòåíòíû, â ÷àñòíîñòè, òàêîâû âñå ãðóïïû ïåðèîäà 3. Ýòîò ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðèïèñûâàþò Ô. Ëåâè [8], õîòÿ îí îïóáëèêîâàë ñâîþ ðàáîòó íà 13 ëåò ïîçæå Õîïêèíñà.  1932 ãîäó Ëåâè è Á. Âàí äåð Âàðäåí [9] ïîâòîðèëè ðåçóëüòàò Á¼ðíñàéäà î 2-ýíãåëåâîñòè ãðóïï ïåðèîäà 3. Îíè òàêæå äàëè îöåíêó ïîðÿäêà ãðóïïû ýêñïîíåíòû 3 ñ Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: d ïîðîæäàþùèìè. Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ 49 ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1. 1. Ãðóïïà ýêñïîíåíòû 2 ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà, è ñëåäîâàòåëüíî, ëîêàëüíî êîíå÷íà |B(d, 2)| = 2 . 2. Ïóñòü G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 3 . Òîãäà (a) G 2 -ýíãåëåâà è èìååò ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 3 (b) B(2, 3) äâóñòóïåííî íèëüïîòåíòíàÿ è |B(2, 3)| = 27 (c) äëÿ d > 3 ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè B(d, 3) â òî÷íîñòè ðàâíà 3 , è |B(d, 3)| = 3 , ãäå 6d + 3d(d − 1) + d(d − 1)(d − 2) ; d ; ; k k= . 6 2.2. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 4 |B(2, 4)| 6 212 .  ðàáîòå [3] Á¼ðíñàéä ïîêàçàë, ÷òî È. Ñàíîâ [10] äîêàçàë, ÷òî ãðóïïû ýêñïîíåíòû 4 ëîêàëüíî êîíå÷íû è äàë (ãðóáóþ) îöåíêó äëÿ ðîæäàþùèõ ñòóïåíü ðàçðåøèìîñòè B(d, 4) |B(d, 4)| . Ñ ðîñòîì ÷èñëà d ïî- íåîãðàíè÷åííî ðàñò¼ò [11]. Áîëüøå èíôîðìàöèè î ãðóïïàõ ýêñïîíåíòû 4 ìîæíî ïî÷åðïíóòü èç êîììåíòàðèåâ â êíèãå À. È. Êîñòðèêèíà [12]. 2.3. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 5 Âîïðîñ î ëîêàëüíîé êîíå÷íîñòè ãðóïï ýêñïîíåíòû 5 äî ñèõ ïîð íå ðåø¼í. ÃÈÏÎÒÅÇÀ 2.2. B(2, 5) áåñêîíå÷íà. Èíôîðìàöèþ î êîíå÷íûõ ãðóïïàõ ýêñïîíåíòû 5 ñì. â [12]. 2.4. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 6  1956 ãîäó âûøëà çíàìåíèòàÿ ñòàòüÿ Ô. Õîëëà è Ã. Õèãìàíà [13], âîîðóæèâøàÿ ìàòåìàòèêîâ íîâûìè ìîùíûìè ñðåäñòâàìè èññëåäîâàíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï.  ÷àñòíîñòè, îíà ïîäâèãëà Ì. Õîëëà íà íàïèñàíèå ðàáîòû [2], â êîòîðîé îí äîêàçàë ëîêàëüíóþ êîíå÷íîñòü ãðóïï ïåðèîäà 6. Èç ýòîãî ðåçóëüòàòà, à òàêæå èç ðåçóëüòàòà ðàáîòû Õîëëà è Õèãìàíà, ñëåäóåò Ïóñòü G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 6 . Òîãäà 1. Ñèëîâñêàÿ 2 -ïîäãðóïïà ãðóïïû G/O (G) íîðìàëüíà â G/O (G) . 2. Ñèëîâñêàÿ 3 -ïîäãðóïïà ãðóïïû G/O (G) íîðìàëüíà â G/O (G) . 3. Ñòóïåíü ðàçðåøèìîñòè ãðóïïû G íå ïðåâîñõîäèò 4 . 4. Åñëè G ïîðîæäåíà d ýëåìåíòàìè, òî ÒÅÎÐÅÌÀ 2.3. 3 3 2 2 |G| 6 2a 3b+b(b−1)/2+b(b−1)(b−2)/6 , ãäå è ýòà ãðàíèöà òî÷íàÿ. a = 1 + (d − 1)3d+d(d−1)/2+d(d−1)(d−2)/6 , b = 1 + (d − 1)2d , Çàìåòèì, ÷òî ïîçäíåå Ì. Íüþìàí [14] ñóùåñòâåííî óïðîñòèë äîêàçàòåëüñòâî Õîëëà, ñâåäÿ åãî ê íåêîòîðîìó óòâåðæäåíèþ, êîòîðîå îí ïðîâåðèë ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðíàõ âû÷èëñåíèé. È. Ã. Ëûñ¼íîê [15] â 1987 ã. îñâîáîäèë äîêàçàòåëüñòâî Íüþìàíà îò ìàøèííûõ âû÷èñëåíèé. 50 Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ 2.5. Îòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå  1959 ã. Ï. Ñ. Íîâèêîâ [16] àíîíñèðîâàë ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íûõ êîíå÷íî ïîðîæä¼ííûõ ãðóïï êîíå÷íîãî ïåðèîäà. Íà îñíîâå èäåé ýòîé çàìåòêè Íîâèêîâ è C. È. Àäÿí â 1968 ã. m -ïîðîæä¼ííîé íàïèñàëè áîëüøóþ ñòàòüþ [17, 18, 19] ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñóùåñòâîâàíèÿ ãðóïïû ïåðèîäà n äëÿ ëþáîãî âûøåäøåé â 1975 ãîäó, ãðàíèöà m > 2 è ëþáîãî íå÷¼òíîãî n > 4381 . n > 4381 áûëà ñíèæåíà äî n > 665 .  êíèãå Àäÿíà [20], Ñóùåñòâîâàíèå íå ëîêàëüíî êîíå÷íûõ 2-ãðóïï êîíå÷íîãî ïåðèîäà àíîíñèðîâàëè â 1992 ãîäó íåçàâèñèìî C. Â. Èâàíîâ è Ëûñ¼íîê. Ðàáîòû [21] è [22] ýòèõ àâòîðîâ, ñîäåðæàùèå ïîëíûå äîêàçàòåëüñòâà, âûøëè â 1994 è 1996 ãîäàõ ñîîòâåòñòâåííî.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå Ëûñ¼íêà äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íûõ è m -ïîðîæäåííûõ ãðóïï ïåðèîäà n äëÿ ëþáûõ m > 2 n > 8000 . 3. Ãðóïïû ñ çàäàííûì ìíîæåñòâîì ïîðÿäêîâ ýëåìåíòîâ Ïóñòü ìåíòîâ èç ñòâî ω(G) G ïåðèîäè÷åñêàÿ G , íàçûâàåòñÿ ω(G) , ãðóïïà. Ìíîæåñòâî ñïåêòðîì ïîðÿäêîâ ñîñòîÿùå èç ïîðÿäêîâ âñåõ ýëå- ñïåêòðîì èëè ïðîñòî êîíå÷íî, òî îíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ïîäìíîæåñòâîì èç ìàêñèìàëüíûõ ïî äåëèìîñòè ýëåìåíòîâ èç 3.1. Ãðóïïû ñ G . Åñëè ìíîæåµ(G) , ñîñòîÿùèì ãðóïïû ω(G) . ω(G) = {1, 2, 3} Á. Õ. Íîéìàí [23] áûë ïåðâûì, êòî îáðàòèë âíèìàíèå íà Âîïðîñ 3. Îí ïîëó÷èë ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Ïóñòü ω(G) = {1, 2, 3} . Òîãäà G ëîêàëüíî êîíå÷íà è âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé 1. G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íîðìàëüíîé ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé 2 -ïîäãðóïïû V è ãðóïïû ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùåãî ñâîáîäíî íà V 2. G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íîðìàëüíîé ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé 3 -ïîäãðóïïû V è ãðóïïû ïîðÿäêà 2 , èíâåðòèðóþùåé ëþáîé ýëåìåíò èç V ïðè ñîïðÿæåíèè â G . ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. : ; Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ãðóïïà äåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ íûõ g∈G è èíâåðòèðóåò ñâîáîäíûì v∈V îáðàç ãðóïïó V vg G (èëè äåéñòâóåò íà íåòðèâèàëüíîé ãðóïïå G äåéñòâóåò ýëåìåíòà v ñâîáîäíî íà V V , òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòî ), åñëè äëÿ ëþáûõ íåòðèâèàëü- g íå ðàâåí v . Ãðóïïà hti v = v −1 äëÿ ëþáîãî v ∈ V ïîä äåéñòâèåì , íà êîòîðîé îíà äåéñòâóåò, åñëè t ïîðÿäêà 2 . Ïóñòü G ãðóïïà, â êîòîðîé ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà íå ïðåâîñõîäèò 3 . Òîãäà G ëîêàëüíî êîíå÷íà. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.2 (Îòâåò íà Âîïðîñ 1 äëÿ n = 3 ).  ñàìîì äåëå, ýòî ñëåäóåò èç òåîðåì 1.1, 1.3 è 2.1. 3.2. Ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò 4  ñ ñâîåé ðàáîòå ω(G) = {1, 2, 3, 4} òàêèõ ãðóïï. î ãðóïïàõ ýêñïîíåíòû 4 Ñàíîâ [10] äîêàçàë, ÷òî ãðóïïà G ëîêàëüíî êîíå÷íà. Ïîçäíåå Ä. Â. Ëûòêèíà [24] îïðåäåëèëà ñòðóêòóðó Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ 51 Ïóñòü G ãðóïïà ñ µ(G) = {3, 4} . Òîãäà G ðàçðåøèìà ñòóïåíè íå âûøå 3 è âîçìîæåí îäèí èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ 1. G = V Q , ãäå V íåòðèâèàëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 3 -ïîäãðóïïà, Q 2 -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà V , è èçîìîðôíà ëèáî öèêëè÷åñêîé ãðóïïå ïîðÿäêà 4 , ëèáî êâàòåðíèîííîé ãðóïïå ïîðÿäêà 8 2. G = T hai , ãäå T íîðìàëüíàÿ íèëüïîòåíòíàÿ äâóñòóïåííî íèëüïîòåíòíàÿ 2 -ïîäãðóïïà è ïîðÿäîê a ðàâåí 3 3. G = T S , ãäå T ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà íîðìàëüíàÿ 2 -ïîäãðóïïà è S èçîìîðôíà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïå ñòåïåíè 3 . ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3. : ; ; 3.3. Ñâîáîäíîå äåéñòâèå ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ íåòðèâèëüíîé ãðóïïû V . Àâòîìîðôèçì a ∈ G ïîðÿäêà a an−1 n íàçûâàåòñÿ , åñëè vv · · · v = 1 äëÿ ëþáîãî v ∈ V . Äðóãèìè ñëîâàìè, a −1 n ðàñùåïëÿåìûé àâòîìîðôèçì ãðóïïû V , åñëè (va ) = 1 äëÿ ëþáîãî v ∈ V â åñòåñòâåííîì Ïóñòü G ðàñùåïëÿåìûì ïîëóïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè V G.  ýòîì ïóíêòå ìû ñîáðàëè ðåçóëüòàòû î ãðóïïàõ, êîòîðûå äîïóñêàþò ðàñùåïëÿåìûé àâòîìîðôèçì íåáîëüøîãî ïîðÿäêà èëè ñîäåðæàò òàêîé àâòîìîðôèçì. Ïóñòü V ãðóïïà, äîïóñêàþùàÿ àâòîìîðôèçì a ïîðÿäêà 3 . 1. Åñëè hai äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà V è V = {v v | v ∈ V } , òî V íèëüïîòåíòíà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 2 2. Åñëè a ðàñùåïëÿåìûé àâòîìîðôèçì, òî V íèëüïîòåíòíà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 3 . Ïóñòü G íåòðèâèàëüíàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå, è x ∈ G ýëåìåíò ïîðÿäêà 3 . Òîãäà ëèáî x ëåæèò â öåíòðå G èëè hx i èçîìîðôíà SL (3) èëè SL (5) .  ëþáîì ñëó÷àå öåíòð G íåòðèâèàëåí. Ïóñòü G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå. Òîãäà G öèêëè÷åñêàÿ. ÒÅÎÐÅÌÀ 3.4 ([25, 26]). a −1 ([25]); ([26]) ÒÅÎÐÅÌÀ 3.5 ([26]). G 2 2 ÒÅÎÐÅÌÀ 3.6 ([27, 28]). 3.4. {2, 3} -ãðóïïû, äåéñòâóþùèå ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïåðå÷èñëèì ðåçóëüòàòû èç [29]. Èíòåðåñ ê ýòîé òåìå áûë ñòèìóëèðî- âàí ðàáîòîé Ý. ßáàðû {2, 3} -ãðóïïû G è Ï. Ìàéðà [30], êîòîðûå äîêàçàëè ëîêàëüíóþ êîíå÷íîñòü m 2 êîíå÷íîãî ïåðèîäà 2 3 , äåéñòâóþùåé ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå. Ïîçä- íåå Ëûòêèíà [31] ïîêàçàëà, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò îñòà¼òñÿ âåðíûì è áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î êîíå÷íîñòè ïåðèîäà ñèëîâñêîé 2-ïîäãðóïïû ãðóïïû ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé ïðèìàðíàÿ Ïîä G. ãðóïïîé â äàëüíåéøåì ïîíèìàåòñÿ ãðóïïà, ëþáîå êîíå÷íîå ïîä- ìíîæåñòâî êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïå. ãðóïïà ëèáî ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ∞ ÷èñëà p , ëèáî èçîìîðôíà ãðóïïå òèïà p , ò. å. ãðóïïå p -ãðóïïîé C(p) = ha0 , a1 , . . . | ap0 = 1, api+1 = ai Êâàòåðíèîííîé äëÿ Ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ äëÿ íåêîòîðîãî ïðîñòîãî i ≥ 0i. ãðóïïîé ìû íàçûâàåì ãðóïïó êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 èëè îáîáù¼ííóþ ãðóïïó êâàòåðíèîíîâ, ò. å. ãðóïïó, èçîìîðôíóþ ãðóïïå m m−1 Q2m+1 = ha, b | a2 = b4 = 1, ab = a−1 , b2 = a2 i, m ≥ 3. 52 Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ Ëîêàëüíî êâàòåðíèîííîé òîðîé ñîäåðæèòñÿ â ãðóïïîé íàçûâàåòñÿ 2-ãðóïïà íåêîòîðîé êâàòåðíèîííîé G , ëþáîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî êî- ïîäãðóïïå. Ïî èçâåñòíîìó ðåçóëüòàòó Â. Ï. Øóíêîâà (ñì. [32]) ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà ëèáî ÿâëÿåòñÿ êâàòåðíèîííîé ãðóï−1 2 b ïîé, ëèáî èçîìîðôíà ãðóïïå Q(2) = hC(2), b | b = a0 , ai = ai äëÿ i ≥ 1i . Ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà ñîäåðæèò ðîâíî îäíó èíâîëþöèþ (ò. å. ýëåìåíò ïîðÿäêà 2), êîòîðàÿ ïîðîæäàåò öåíòð ýòîé ãðóïïû. Ãðóïïà êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 îáëàäàåò àâòîìîðôèçìîì ïîðÿäêà 3. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïîðÿäêà 24 èçîìîðôíî ãðóïïå ïîðÿäêà 3 ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì åäèíèöå. ×åðåç ðÿäêà 2 ïîñðåäñòâîì ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû S4 S̃4 SL2 (3) äâóìåðíûõ ìàòðèö íàä ïîëåì ìû îáîçíà÷àåì ðàñøèðåíèå ãðóïïû ïî- ñòåïåíè 4 ñ êâàòåðíèîííîé ñèëîâñêîé 2-ïîä- ãðóïïîé. Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [33]), ÷òî ãðóïïà S̃4 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Îòìåòèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ïðîñòîãî ïîðÿäêà èç èíäåêñà 2, èçîìîðôíóþ Ãðóïïà G öåíòðàëüíûì ïðîèçâåäåíèåì C G = AB [A, B] = 1 C = A ∩ B íåòðèâèàëüíûì A 6= G 6= B íàçûâàåòñÿ åì ïî ïîäãðóïïå AB íàçûâàåòñÿ p ïîðîæäàþò ïîäãðóïïó ñâîèõ ïîäãðóïï , åñëè , è , åñëè ïðîñòîå íå÷¼òíîå ÷èñëî, A è B ñ îáúåäèíåíè- . Öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå C ≤ Z(G) è öåíòðàëüôàêòîðãðóïïå A × B ïî ïîäãðóïïå . Î÷åâèäíî, ÷òî íîå ïðîèçâåäåíèå AB ñ îáúåäèíåíèåì ïî C1 = {(c, c−1 ) | c ∈ C} . Ïóñòü S̃4 SL2 (3) . a C èçîìîðôíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Íàçîâ¼ì ãðóïïîé òèïà Q(p ) a p -ãðóïïó P , îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: P öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà pa ; 2. ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà èç P ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé. a Îòìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà òèïà Q(p ) íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî êîíå÷íîé. Ïóñòü p ïðîñòîå íå÷¼òíîå ÷èñëî, a íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Íàçîâ¼ì a Q(p , d) {2, p} -ãðóïïó H ñ èíâîëþöèÿìè, îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. öåíòð ãðóïïû H ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé; d 2. âñå 2-ýëåìåíòû èç H ñîäåðæàòñÿ â Z(H) è îáðàçóþò ãðóïïó T ïîðÿäêà 2 d = ∞ íå èñêëþ÷àåòñÿ); a 3. H/T ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé òèïà Q(p ) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a . áåñêîíå÷íóþ 1. öåíòð ãðóïïû ãðóïïîé òèïà (ñëó÷àé ËÅÌÌÀ. 1. Äëÿ ëþáîãî íå÷¼òíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñóùåñòâóåò ãðóïïà òèïà Q(p ) . 2. Äëÿ ëþáîãî íå÷¼òíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è d ñóùåñòâóåò ãðóïïà òèïà Q(p , d) . 3. Äëÿ ëþáîãî íå÷¼òíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñóùåñòâóåò ãðóïïà òèïà Q(p , ∞) . a a a n = ps > 665 , m ≥ 2 è G = A(m, n) ãðóïïà, îïðåäåë¼ííàÿ â [20, ãë. VII, 1]. Êàê ïîêàçàíî â ýòîé ãëàâå, Z(G) = hzi áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ 0 ãðóïïà, Z(G) ≤ G , G/Z(G) ' B(m, n) è ëþáûå äâå öèêëè÷åñêèå ïîäãðóïïû èç G ïåðåñåêàÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü þòñÿ íåòðèâèàëüíî. 1. Ïóñòü a P = G/hz p i . ðåìà 1.8] êîíå÷íûå ïîäãðóïïû ãðóïïû ñâîáîäíîé ãðóïïû ïåðèîäà n ≥ 665 ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè öèêëè÷åñêèìè ãðóïïàìè. Ñëå- P , òî å¼ ïîëíûé ïðîîáðàç z è ïîäõîäÿùèì ýëåìåíòîì x ∈ G \ Z(G) .  ñèëó ñâîéñòâ ãðóïïû A(m, n) ïîäãðóïïà A = hz, xi ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé áåç êðó÷åíèÿ, è ïîñêîëüêó êàæäàÿ íååäèíè÷íàÿ ïîäãðóïïà èç A èìååò íåòðèâèàëüíîå ïåðåñå÷åíèå ñ hzi , òî ïî îñíîâíîé pa òåîðåìå î êîíå÷íî ïîðîæä¼ííûõ àáåëåâûõ ãðóïïàõ ãðóïïà A öèêëè÷åñêàÿ. Çíà÷èò, A/hz i äîâàòåëüíî, åñëè A â G K P ãðóïïà òèïà Q(pa ) . Ïî [20, ãë. VII, 1, òåîB(m, n) íå ëîêàëüíî êîíå÷íîé m -ïîðîæä¼ííîé Ïîêàæåì, ÷òî íåòðèâèàëüíàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ 53 r pa öèêëè÷åñêàÿ p -ãðóïïà ïîðÿäêà p , ãäå a < r ≤ a + s , à ïîäãðóïïà A/hz i ïîðîæäåíà pa pa ýëåìåíòîì xhz i è ñîäåðæèò ïîäãðóïïó hzi/hz i . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî öåíòð Z(P ) ãðóïïû a P öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà hzi/hz p i ïîðÿäêà pa è ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà èç P ÿâëÿåòñÿ a öèêëè÷åñêîé, ò. å. P ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé òèïà Q(p ) . pa 2d 2. Åñëè â äîêàçàòåëüñòâå ï. 1 ëåììû ïîëîæèòü P = G/hz i , òî òå æå ðàññóæäåíèÿ a ïîêàçûâàþò, ÷òî P ãðóïïà òèïà Q(p , d) . t 10 3. Ïóñòü n = p > 10 , m ≥ 2 è H ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ðàíãà m ìíîãîîáðàçèÿ, çàäàín n íîãî òîæäåñòâîì x y = yx . Êàê âûòåêàåò èç [34, ñëåäñòâèå 31.1 è òåîðåìà 31.2], ñóùåñòâóåò G ãðóïïû H , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. Z(G) ≤ G0 è Z(G) ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ÷¼òíîãî ðàíãà. 2. G/Z(G) ' B(m, n) . 3.  Z(G) íàéä¼òñÿ ïîäãðóïïà A , òàêàÿ, ÷òî G/A ' A(m, n) .  ñèëó ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà â Z(G) íàéä¼òñÿ ïîäãðóïïà N , äëÿ êîòîðîé G/N ãðóïïà a òèïà Q(p ) . Äàëåå, êàê ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ÷¼òíîãî ðàíãà Z(G) îáëàäàåò ïîäãðóïïîé M òàêîé, ÷òî ãðóïïà Z(G)/M èçîìîðôíà êâàçèöèêëè÷åñêîé 2-ãðóïïå C(2) . Ïîíÿòíî, ÷òî G/N ∩ M ãðóïïà òèïà Q(pa , ∞) . t u ôàêòîðãðóïïà 1. Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé 1. G ëîêàëüíî êîíå÷íà è èçîìîðôíà ëèáî ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé ãðóïïå, ëèáî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé 3 -ãðóïïû íà ëîêàëüíî êâàòåðíèîííóþ ãðóïïó, ëèáî ïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé 3 -ãðóïïû R íà öèêëè÷åñêóþ 2 -ãðóïïó hbi , ãäå b 6= 1 è a = a äëÿ ëþáîãî a ∈ R , ëèáî ïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé 3 -ãðóïïû R íà ëîêàëüíî êâàòåðíèîííóþ ãðóïïó Q , â êîòîðîì |Q : C (R)| = 2 , ëèáî ïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ãðóïïû êâàòåðíèîíîâ Q = hx, yi ïîðÿäêà 8 íà öèêëè÷åñêóþ 3 -ãðóïïó hai , â êîòîðîì x = y , y = xy , ëèáî ãðóïïå S̃ . 2. G íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî êîíå÷íîé ãðóïïîé, è âñå ýëåìåíòû ïðîñòûõ ïîðÿäêîâ èç G ïîðîæäàþò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó. Îáðàòíî, ëþáàÿ èç ïåðå÷èñëåííûõ ãðóïï ìîæåò äåéñòâîâàòü ñâîáîäíî íà ïîäõîäÿùåé àáåëåâîé ãðóïïå. ÒÅÎÐÅÌÀ 3.7. : 2 −1 b Q 8 a a 4 Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ãðóïï èç ïóíêòà 2 òåîðåìû 2.7 äà¼ò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Ïóñòü G íå ëîêàëüíî êîíå÷íàÿ {2, p} -ãðóïïà, ãäå p ïðîñòîå íå÷¼òíîå ÷èñëî. Òîãäà è òîëüêî òîãäà âñå ýëåìåíòû ïðîñòûõ ïîðÿäêîâ èç G ïîðîæäàþò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, êîãäà âñå 2 -ýëåìåíòû èç G ïîðîæäàþò 2 -ïîäãðóïïó S , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé èëè ëîêàëüíî êâàòåðíèîííîé ãðóïïîé, è âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé 1. G = P × S , ãäå P ãðóïïà òèïà Q(p ) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñëó÷àé S = 1 íå èñêëþ÷àåòñÿ ; 2. S íåòðèâèàëüíàÿ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, è G ãðóïïà òèïà Q(p , d) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ; 3. S ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, è G íåòðèâèàëüíîå öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû S è ãðóïïû òèïà Q(p , d) äëÿ íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è d ñ îáúåäèíåíèåì ïî ïîäãðóïïå ïîðÿäêà 2 ; 4. S ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà, è G öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû S è ãðóïïû òèïà Q(p , 1) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñ îáúåäèíåíèåì ïî ïîäãðóïïå ïîðÿäêà 2 ; 5. S ãðóïïà êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 , p = 3 , |G : C (S)| = 3 è G/S ãðóïïà òèïà Q(p ) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a . Ïðè ýòîì C (S) ëèáî ãðóïïà òèïà Q(p , 1) , ëèáî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû òèïà Q(p ) íà ãðóïïó ïîðÿäêà 2 . ÒÅÎÐÅÌÀ 3.8. : a ( ) a a d a G a a G a 54 4. Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ {2, 3} -ãðóïïû áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 {2, 3} -ãðóïïó áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6. π íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ π -ýëåìåíòîì, ò. å. ýëåìåíòîì, ïîðÿäîê êîòîðîãî ìîæåò äåëèòüñÿ òîëüêî íà ïðîñòûå ÷èñëà èç π . ïîäãðóïïîé ãðóïïû G íàçîâ¼ì å¼ ïîäãðóïïó H , îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè  ýòîì ïàðàãðàôå Åñëè π G îáîçíà÷àåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, òî -ãðóïïîé Çàïðåù¼ííîé ñâîéñòâàìè: H ïîðîæäàåòñÿ èíâîëþöèåé, ò. å. ýëåìåíòîì ïîðÿäêà 2, è ýëåìåíòîì ïîðÿäêà 3 è ÿâëÿåòñÿ {2, 3} -ãðóïïîé; (á) H íå ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6; (â) ëþáàÿ ìàêñèìàëüíàÿ 2-ïîäãðóïïà èç H ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé (à) ãðóïïîé. Àâòîðàì íå èçâåñòíû ïðèìåðû ãðóïï, ñîäåðæàùèõ çàïðåù¼ííóþ ïîäãðóïïó. Îñíîâíîé öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà. Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà, íå ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 è çàïðåù¼ííûõ ïîäãðóïï. Åñëè ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ èç G , ïîðÿäêè êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 4 , íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà 9 , òî âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé: 1. G = O (G)T , ãäå O (G) àáåëåâà, à T ëèáî ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ 2 -ãðóïïà, ëèáî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà 8 èëè 16 ; 2. G = O (G)R , ãäå O (G) íèëüïîòåíòíà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè, íå ïðåâîñõîäÿùåé äâóõ, à R 3 -ãðóïïà ñ åäèíñòâåííîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) ; 3. G = O (G)D , ãäå D ñîäåðæèò ëîêàëüíî öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó R èíäåêñà 2 è O (G)R óäîâëåòâîðÿåò ïóíêòó ; 4. G ÿâëÿåòñÿ 2 -ãðóïïîé èëè 3 -ãðóïïîé. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1. 3 3 2 2 2 2 2 (2) Op (G) G. Çäåñü ãðóïïû äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà p îáîçíà÷àåò íàèáîëüøóþ íîðìàëüíóþ p -ïîäãðóïïó Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðèìåðû íå ëîêàëüíî êîíå÷íûõ ãðóïï, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïóíêòó (2) òåîðåìû (ñì., íàïð., [29]). Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 , ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíòû ïîðÿäêîâ 2 è 3 . Åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y ∈ G , ïîðÿäêè êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 4 , ïåðèîä hx, yi äåëèò ÷èñëî 72 , òî ëèáî G ëîêàëüíî êîíå÷íà, ëèáî äëÿ íå¼ âûïîëíåí ïóíêò 2 òåîðåìû 3.1 . Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 , â êîòîðîé ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ ïîðÿäêîâ, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 4 , íå ïðåâîñõîäèò 9 . Åñëè ïîðÿäêè 2 -ýëåìåíòîâ èç G îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè, òî ëèáî G ëîêàëüíî êîíå÷íà, ëèáî äëÿ íå¼ âûïîëíåí îäèí èç ïóíêòîâ 2 èëè 4 òåîðåìû 3.1 . Ãðóïïà ïåðèîäà 72 áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 ÿâëÿåòñÿ ëèáî ëîêàëüíî êîíå÷íîé, ëèáî ïðèìàðíîé. Ïóñòü G áåñêîíå÷íàÿ íåïðèìàðíàÿ {2, 3} -ãðóïïà áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 . Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû 1. O (G)O (G) 6= 1 . 2. Ñóùåñòâóåò íåïóñòîå G -èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî Λ ⊆ G ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 3 , òàêîå, ÷òî ãðóïïà hx, yi êîíå÷íà äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Λ . 3. G óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé (a) , (b) , (c) : ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.2. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.3. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.4 ([23, 10, 24, 35, 36, 37]). ÒÅÎÐÅÌÀ 4.5. : 2 3 Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ 55 , ãäå O (G) 6= 1 àáåëåâà ãðóïïà, T ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ èëè ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ 2 -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) . (b) G = O (G) · R , ãäå O (G) 6= 1 íèëüïîòåíòíàÿ 2 -ãðóïïà, ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè êîòîðîé íå ïðåâîñõîäèò äâóõ, R 3 -ãðóïïà ñ åäèíñòâåííîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) . (c) G = O (G) · (R · hti) , ãäå O (G) 6= 1 íèëüïîòåíòíàÿ 2 -ãðóïïà, ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè êîòîðîé íå ïðåâîñõîäèò äâóõ, R ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ 3 -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) , t ýëåìåíò ïîðÿäêà 2 , ïåðåâîäÿùèé ïðè ñîïðÿæåíèè êàæäûé ýëåìåíò èç R â îáðàòíûé. (a) G = O3 (G) · T 3 3 2 2 2 2 2 2 5. 2 -èçîëèðîâàííûå ãðóïïû p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà H ω(G) = {p} ∪ w0 , ãäå ÷èñëà èç w0 íå äåëÿòñÿ íà p . Ïóñòü åñëè íàçûâàåòñÿ p -èçîëèðîâàííîé, Ïóñòü G ïåðèîäè÷åñêàÿ 2 -èçîëèðîâàííàÿ ãðóïïà, ò.å. ω(G) = {2} ∪ ω è ω ñîäåðæèò òîëüêî íå÷¼òíûå ýëåìåíòû. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé 1. G ñîäåðæèò àáåëåâó ïîäãðóïïó A èíäåêñà 2 , ω(A) = ω , è a = a äëÿ âñåõ a ∈ A è x ∈ G \ A; 2. G ñîäåðæèò ýëåìåíòàðíóþ àáåëåâó íîðìàëüíóþ 2 -ïîäãðóïïó A è G/A äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà A ïðè ñîïðÿæåíèè â G ; 3. G ' L (P ) , ãäå P ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè äâà. Îáðàòíî, ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïóíêòàì 1 , 2 èëè 3 , ÿâëÿåòñÿ 2 -èçîëèðîâàííîé. ÒÅÎÐÅÌÀ 5.1 0 ([38]). 0 : 0 x −1 2 ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.2. 1. Ïóñòü µ(G) = {2, m} , ãäå m = 5 èëè 9 . Òîãäà G ëîêàëüíî êîíå÷íà è ëèáî G ñîäåðæèò àáåëåâó ïîäãðóïïó èíäåêñà 2 è ýêñïîíåíòû m , èëè G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé íîðìàëüíîé 2 -ïîäãðóïïû A è öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ïîðÿäêà m , äåéñòâóþùåé ñâîáîäíî íà A . 2. Åñëè µ(G) = {2, 2 − 1, 2 + 1} , òî G ' L (2 ) . m m Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .  ëþáîì ñëó÷àå 2 G m ÿâëÿåòñÿ 2 -èçîëèðîâàííîé è, ñëåäîâàòåëüíî, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîåðìû 5.1. Òåïåðü çàêëþ÷åíèå ñëåäñâòâèÿ ñëåäóåò èç òåîðåì 2.1, 3.5 t u è 3.6. Çàìåòèì, ÷òî ñòðîåíèå ãðóïï ñî ñïåêòðîì {1, 2, 5} îïèñàíî â [14]. 6. Ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5 Ïóñòü G ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà. Åñëè µ(G) = {3, 5} , òî âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: 1. G = F T , ãäå F íîðìàëüíàÿ 5 -ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 5 è ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 2 , à T ãðóïïà ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà F . 2. G = T F , ãäå T íîðìàëüíàÿ 3 -ïîäãðóïïà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 3 , à F ãðóïïà ïîðÿäêà 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà T .  ÷àñòíîñòè, G ëîêàëüíî êîíå÷íà. ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1 ([39], [27]). 56 Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ Åñëè µ(G) = {4, 5} , òî âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ 1. G = T D , ãäå T íîðìàëüíàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 2 -ïîäãðóïïà, à U íåàáåëåâà ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 10 ; 2. G = F T , ãäå F ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà íîðìàëüíàÿ 5 -ïîäãðóïïà ãðóïïû G , T äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà F è èçìîðôíà ïîäãðóïïå ãðóïïû êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 ; 3. G = T F , ãäå T íîðìàëüíàÿ 2 -ïîäãðóïïà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 6 , à F ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà T . Åñëè µ(G) = {3, 4, 5} , òî ëèáî G ' A , ëèáî G = V C , ãäå C ' A è V ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà íîðìàëüíàÿ 2 -ïîäãðóïïà, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì C -èíâàðèàíòíûõ ãðóïï ïîðÿäêà 16 . Ïóñòü G ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðîé íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5 . Òîãäà ëèáî G ýòî 5 -ãðóïïà, ëèáî G ëîêàëüíî êîíå÷íà. ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2. ([39], [27]). : ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3 ([40]). 6 5 ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 6.4. 7. Ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 6  ýòîì ïàðàãðàôå G îáîçíà÷àåò ïåðèîäè÷åñêóþ ãðóïïó. Åñëè µ(G) = {5, 6} , òî G ðàçðåøèìàÿ ëîêàëüíî êîíå÷íàÿ ãðóïïà è âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ 1. G = F C , ãäå F íîðìàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 5 -ãðóïïà, à C öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà 6 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà F ; 2. G = T D , ãäå T íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 3 , à D íåàáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà 10 ; 3. G = (T × U )F , ãäå T íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 3 , U íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 2 , à F ãðóïïà ïîðÿäêà 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà T × U . Åñëè µ(G) = {4, 6} , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà. Åñëè µ(G) = {4, 5, 6} , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà è âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ 1. G = N A , ãäå N íîðìàëüíàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 2 -ïîäãðóïïà, A äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà N ïðè ñîïðÿæåíèè è A èçîìîðôíà SL (3) èëè íåàáåëåâîé ãðóïïå ïîðÿäêà 12 , ñîäåðæàùåé öèêëè÷åñêóþ ñèëîâñêóþ 2 -ïîäãðóïïó; 2. G ñîäåðæèò íåòðèâèàëüíóþ íîðìàëüíóþ ýëåìåíòàðíóþ àáåëåâó 2 -ïîäãðóïïó V è G/V ' A ; 3. G èçîìîðôíà S èëè S . Åñëè ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ ãðóïïû G íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 6 , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íàÿ ãðóïïà èëè 5 -ãðóïïà. ÒÅÎÐÅÌÀ 7.1 ([41]). : ÒÅÎÐÅÌÀ 7.2 ([42]). ÒÅÎÐÅÌÀ 7.3 ([43]). : 2 5 5 ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 6 7.4. 8. Ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòû è ãèïîòåçû Ïóñòü G ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà. ÒÅÎÐÅÌÀ 8.1 ([44]). Ïóñòü M10 Ïóñòü µ(G) = {3, 4, 7} . Òîãäà G ' L (7) . 2 ãðóïïà, èçîìîðôíàÿ ñòàáèëèçàòîðó òî÷êè ñïîðàäè÷åñêîé ãðóïïû Ìàòü¼ â å¼ ïîäñòàíîâî÷íîì ïðåäñòàâëåíèè ñòåïåíè 11. ÒÅÎÐÅÌÀ 8.2 ([45]). Åñëè µ(G) = {3, 5, 8} , òî G ' M . 10 Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ 57 Åñëè G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 12 è âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé (a) , (b) , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà. (a) Ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ èíâîëþöèé èç G íå ðàâåí 4 . (b) Ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ èíâîëþöèé èç G íå ðàâåí 6 . Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 12 ëîêàëüíî êîíå÷íû. ÒÅÎÐÅÌÀ 8.3 ([46, 41]). ÃÈÏÎÒÅÇÀ 8.4. ÃÈÏÎÒÅÇÀ 8.5. 1. Åñëè µ(G) = {4, 5, 6, 7} , òî G ' A . 2. Åñëè µ(G) = {5, 6, 11} , òî G ' L (11) . 3. Åñëè µ(G) = {8, 9, 17} , òî G ' L (17) . 4. Åñëè µ(G) = {6, p} , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 7 , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà. 7 2 2 Ëèòåðàòóðà 1. Adelmann C., Gerbracht E. H.-A. Letters from William Burnside to Robert Fricke: automorphic functions, and the emergence of the Burnside Problem // Arch. Hist. Exact Sci. 2009. Vol. 63, no. 1. P. 3350. 2. Hall M. Burnside W. Adyan S. I. Hilton M. A. Burnside W. Hopkins C. Levi F. Levi F., van der Waerden B. Ñàíîâ È. Í. Ðàçìûñëîâ Þ. Ï. Kostrikin A. I. Hall P., Higman G. p Newman M. F. Ëûñ¼íîê È. Ã. Íîâèêîâ Ï. Ñ. Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math. 1958. Vol. 2. P. 764786. 3. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure Appl. Math. 1902. Vol. 33. P. 230238. 4. The Burnside problem and related questions. // Russian Math. Surveys. 2010. Vol. 65, no. 5. P. 805855. 5. An introduction to the theory of groups of finite order. Oxford : Clarendon Press, 1908. 6. On groups in which every two conjugate operations are permutable // Proc. London Math. Soc. 1903. Vol. 35. P. 2837. 7. Finite groups in which conjugate operations are commutative // Amer. J. Math. 1929. Vol. 51. P. 3541. 8. Groups in which the commutator operations satisfy certain algebraic conditions // J. Indian Math. Soc. 1942. Vol. 6. P. 166170. 9. Uber eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin., Hamburg Univ. 1932. Vol. 9. P. 157158. 10. Ðåøåíèå ïðîáëåìû Á¼ðíñàéäà äëÿ ïîêàçàòåëÿ 4 // Ó÷¼íûå çàïèñêè Ëåíèíãðàä- ñêîãî ãîñ. óí-òà. Ñåð. ìàòåì. 1940. 55. Ñ. 166170. 11. Ïðîáëåìà Õîëëà-Õèãìàíà // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1978. Ò. 42, 4. Ñ. 833847. 12. Around Burnside. Springer-Verlag, New York, Berlin, and Heidelberg, 1990. Vol. 20 of Ergeb. Math. Grenzgeb. (3). 13. On the -length of p -soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 1956. Vol. 6, no. 3. P. 142. 14. Groups of exponent six // Computational group theory (Durham, 1982), London: Academic Press. 1984. P. 3941. 15. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ì. Õîëëà î êîíå÷íîñòè ãðóïï B(m, 6) // Ìàòåì. çàìåòêè. 1987. Ò. 41, 3. Ñ. 422428. 16. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1959. Ò. 127. Ñ. 749752. 58 17. Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ Íîâèêîâ Ï. Ñ., Àäÿí Ñ. È. Íîâèêîâ Ï. Ñ., Àäÿí Ñ. È. Íîâèêîâ Ï. Ñ., Àäÿí Ñ. È. Àäÿí Ñ. È. Ivanov S. V. Ëûñ¼íîê È. Ã. Neumann B. H. Ëûòêèíà Ä. Â. Neumann B. H. Æóðòîâ À. Õ. Jabara E. Jabara E. Î áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ. I // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàòåì. 1968. Ò. 32, 1. Ñ. 212244. 18. Î áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ. II // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàòåì. 1968. Ò. 32, 2. Ñ. 251524. 19. Î áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ. III // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàòåì. 1968. Ò. 32, 3. Ñ. 709731. 20. 21. Ïðîáëåìà Á¼ðíñàéäà è òîæäåñòâà â ãðóïïàõ. Ìîñêâà : Íàóêà, 1975. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Internat. J. Algebra Comput. 1994. Vol. 4. P. 3308. 22. Áåñêîíå÷íûå á¼ðíñàéäîâû ãðóïïû ÷¼òíîãî ïåðèîäà // Èçâ. ÐÀÍ, Ñåð. ìàòåì. 1996. Ò. 60, 3. Ñ. 3224. 23. Groups whose elements have bounded orders // J. London Math. Soc. 1937. Vol. 12. P. 195198. 24. Ñòðîåíèå ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðîé íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 4 // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 2007. Ò. 48, 2. Ñ. 353358. 25. Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed // Arch. Math. 1956. Vol. 7. P. 15. 26. Î ðåãóëÿðíûõ àâòîìîðôèçìàõ ïîðÿäêà 3 è ïàðàõ Ôðîáåíèóñà // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 2000. Ò. 41, 2. Ñ. 329338. 27. Fixed point free action of groups of exponent 5 // J. Austral. Math. Soc. 2004. Vol. 77. P. 297304. 28. Free actions of groups of exponent 5 // Algebra and Logic. 2011. Vol. 50, no. 5. P. 466469. 29. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ, ñâîáîäíî äåéñòâóþùèõ íà àáåëåâûõ ãðóïïàõ / À. Õ. Æóðòîâ, Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ, À. È. Ñîçóòîâ // Òð. ÈÌÌ ÓðÎ ÐÀÍ. 2013. Ò. 19, 3. Ñ. 136143. 30. Jabara E., Mayr P. Ëûòêèíà Ä. Â. Øóíêîâ Â. Ï. p Áóñàðêèí Â. Ì., Ãîð÷àêîâ Þ. Ì. Îëüøàíñêèé À. Þ. Ìàçóðîâ Â. Ä. Äæàáàðà Ý., Ëûòêèíà Ä. Â. Jabara E., Lytkina D. V., Mazurov V. D. Mazurov V. D. Gupta N. D., Mazurov V. D. Ìàçóðîâ Â. Ä. Ìàçóðîâ Â. Ä., Ìàìîíòîâ À. Ñ. Frobenius complements of exponent dividing 2m ·9 // Forum Mathematicum. 2009. Vol. 21, no. 1. P. 217220. 31. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ, äåéñòâóþùèõ ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå // Àëãåáðà è ëîãèêà. 2010. Ò. 49, 3. Ñ. 379387. 32. Îá îäíîì êëàññå -ãðóïï // Àëãåáðà è Ëîãèêà. 1970. Ò. 9, 4. Ñ. 484496. 33. 34. Êîíå÷íûå ðàñùåïëÿåìûå ãðóïïû. Ìîñêâà : Íàóêà, 1968. Ãåîìåòðèÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé â ãðóïïàõ. Ìîñêâà : Íàóêà, 1989. 35. 36. Î ãðóïïàõ ïåðèîäà 24 // Àëãåáðà è ëîãèêà. 2010. Ò. 49, 6. Ñ. 766781. Î ãðóïïàõ ïåðèîäà 36 // Ñèá. ìàòåì. æ. 2013. Ò. 54, 1. Ñ. 4448. 37. Some groups of exponent 72 // J. Group Theory. 2014. Vol. 17, no. 5. P. 1. 38. Infinite groups with Abelian centralizers of involutions // Algebra and Logic. 2000. Ò. 39, 1. Ñ. 4249. 39. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. 1999. Vol. 60. P. 197205. 40. Î ãðóïïàõ ïåðèîäà 60 ñ çàäàííûìè ïîðÿäêàìè ýëåìåíòîâ // Àëãåáðà è ëîãè- êà. 2000. Ò. 39, 3. Ñ. 329346. 41. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ ñ ýëåìåíòàìè ìàëûõ ïîðÿäêîâ // Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ 59 Ñèá. ìàòåì. æ. 2009. Ò. 50, 2. Ñ. 397404. 42. Mamontov A. S. Groups of exponent 12 without elements of order 12 // Siberian Mathematical Journal. 2013. Vol. 54, no. 1. P. 114118. 43. Groups of period 60 / E. Jabara, D. V. Lytkina, A. S. Mamontov, V. D. Mazurov // in preparation. 44. Lytkina D. V., Kuznetsov A. A. Recognizability by spectrum of the group of all groups // Sib. Electronic Math. Reports. http://semr.math.nsc.ru. 45. Jabara E., Lytkina D. V., Mamontov A. S. Ëûòêèíà Ä. Â., Ìàçóðîâ Â. Ä., Ìàìîíòîâ À. Ñ. 2007. Recognizing Vol. 4. M10 L2 (7) in the class P. 300303. URL: by spectrum in the class of all groups // Int. J. Algebra Comput. Vol. 24, no. 2. P. 113119. 46. Ëîêàëüíàÿ êîíå÷íîñòü íåêîòîðûõ ãðóïï ïåðèîäà 12 // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 2012. Ò. 53, 6. Ñ. 13731378. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 01.09.2014. Äàðüÿ Âèêòîðîâíà Ëûòêèíà ä.ô.-ì.í., äîöåíò, ïðîôåññîð êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè ÑèáÃÓÒÈ (630102, ã. Íîâîñèáèðñê, óë. Êèðîâà, ä. 86) òåë. (383) 286-80-38, e-mail: daria.lytkin@gmail.com Âèêòîð Äàíèëîâè÷ Ìàçóðîâ ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ, ä.ô.-ì.í., ñîâåòíèê Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê ïðè Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë.Ñîáîëåâà Ñèáèðñêîãî îòäåëåíèÿ ÐÀÍ (630090, ã. Íîâîñèáèðñê, ïð. Àê. Êîïòþãà, ä. 4) òåë. (383) 363-45-83, e-mail: mazurov@math.nsc.ru Computing aspects of recognition of abstract properties of infinite combinatoric objects Daria V. Lytkina, Victor D. Mazurov This paper is a survey of some results and open problems about the structure of (mostly infinite) periodic groups with a given set of element orders. Keywords : spectrum, exponent, periodic group, locally finite group.