Çàäà÷è ïî ãðóïïàì è àëãåáðàì Ëè 5. Ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíîé ãðóïïû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè 10 ïî äàííîìó ëèñòêó 1. 80% ïóíêòîâ çàäà÷. Äåäëàéí 3 äåêàáðÿ. Äîêàæèòå, ÷òî âñå íåïðèâîäèìûå êîìïëåêñíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àáåëåâîé ãðóïïû îäíîìåðíû. 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå îêðóæíîñòè S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé k ñóììîé îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé âèäà z 7→ z , ãäå k ∈ Z . á) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâ- n -ìåðíîãî ëåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ òîðà T = (S 1 )×n ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé k1 k âèäà (z1 , . . . , zn ) 7→ z1 ·. . .·znn , ãäå ki ∈ Z . Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ n ìåðóþòñÿ ðåøåòêîé Z (íàçûâàåìîé ðåøåòêîé õàðàêòåðîâ äàííîãî òîðà). Cn è îïðåäåëèì T ⊂ Un êàê ïîäãðóïïó óíèòàðíûõ ìàòðèö, äèàãîíàëüíûõ â ýòîì áàçèñå (ýòî, î÷åâèäíî, n -ìåðíûé òîð). n Ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn , ïåðåñòàâëÿþùàÿ áàçèñíûå ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà C , ñîäåðæèòñÿ â G = Un . G = Un  äàëüíåéøåì Ïóñòü δ1 , . . . , δn íûìè ýëåìåíòàìè óíèòàðíàÿ ãðóïïà ïðîñòðàíñòâà T Çàôèêñèðóåì áàçèñ â Zn . Äëÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû t ∈ T ñ äèàãîíàëü(λ1 , . . . , λn ) = λ1 δ1 + . . . + λn δn ∈ Zn ïîëîæèì tλ := tλ1 1 · . . . · tλnn . ñòàíäàðòíûé áàçèñ â ðåøåòêå t1 , . . . , t n è ýëåìåíòà 3. à) Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëèçàòîð òîðà T åò íà òîðå Cn . n -ìåðíîãî òîðà íó- â ãðóïïå G åñòü T ·Sn .  ÷àñòíîñòè, ïîäãðóïïà Sn ⊂ G ñîïðÿæåíèÿìè (ïåðåñòàâëÿÿ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû). G áîãî êëàññà ñîïðÿæåííîñòè â ãðóïïå ñ òîðîì õàðàêòåð ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû G T á) Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþ- åñòü îðáèòà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû  äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû 4. Ïóñòü V Sn . â) Äîêàæèòå, ÷òî T . ã) Äîêàæèt1 , . . . , tn . îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ñâîèì îãðàíè÷åíèåì íà òîð òå, ÷òî ýòî îãðàíè÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì Ëîðàíà îò êîîðäèíàò ñêóþ ôóíêöèþ íà òîðå äåéñòâó- G ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèììåòðè÷å- T. Un . à) Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V åñòü V (ν) , ãäå V (ν) := {v ∈ V | t(v) = tν v ∀ t ∈ T } . á) Ïîêàæèòå, ÷òî õàðàêòåð ν∈Zn ∑ V ðàâåí tν dim V (ν) . êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ïðÿìàÿ ñóììà ïðåäñòàâëåíèÿ V = ⊕ ν∈Zn 5. Ïóñòü V = Cn íèÿ íåïðèâîäèìû, è âû÷èñëèòå èõ õàðàêòåðû: 6. G = Un . Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåà) V ; á) V ∗ ; â) Λk V ; ã) S k V ; ä) Λk V ∗ ; å) S k V ∗ . òàâòîëîãè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû C = {λ = (λ1 , . . . ,∑ λn ) ∈ Zn | λi ≥ λi+1 , i = 1, 2, . . . , n − 1} . Ïóñòü λ, µ ∈ C . Áóäåì ãîâîðèòü, λ ≤ µ , åñëè µ = λ + kij (δi − δj ) äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ kij . Äîêàæèòå, ÷òî Ïóñòü ÷òî îòíîøåíèå ≤ 1≤i<j≤n çàäàåò ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå ∑ 7. Ïóñòü λ ∈ C . Îïðåäåëèì mλ := tµ C. ìîíîìèàëüíûå ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè íà òîðå µ∈Sn λ λ ìà âñåõ ìîíîìîâ, ïîëó÷àþùèõñÿ èç t ïåðåñòàíîâêîé ñîìíîæèòåëåé, ïî îäíîìó ðàçó). öèè mλ îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ëîðàíà íà òîðå ðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ (Λn V )⊗λn n−1 ⊗ (Λk V )⊗(λk −λk+1 ) èìååò âèä mλ + k=1 ëà (åñëè λn < 0 , òî ïî îïðåäåëåíèþ ∑ T (ò.å. ñóì- à) Äîêàæèòå, ÷òî ôóíê- T . á) Äîêàæèòå, ÷òî õà- kµ mµ , ãäå kµ íåêîòîðûå öåëûå ÷èñ- µ<λ (Λn V )⊗λn := (Λn V ∗ )⊗−λn ). â) Äîêàæèòå, ÷òî õàðàêòåðû ïðåäñòàâ- ëåíèé èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ëîðàíà. æèòå, ÷òî äëÿ êàæäîãî êîå, ÷òî õàðàêòåð Vλ λ∈C ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå èìååò âèä mλ + ∑ kµ mµ . ä) 8. G èçîìîðôíî êàêîìó-íèáóäü ãðóïïû G òà- Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå µ<λ ãðóïïû Vλ ã) Äîêà- Vλ . Îïèøèòå âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû U2 è íàéäèòå èõ õàðàêòåðû.