êàôåäðà Ïðîáëåìû òåîð. ôèçèêè, II êóðñ Ââåäåíèå â òåîðèþ ãðóïï Íåêîòîðûå ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ëåêöèè 3. Îïðåäåëåíèå 1. G}. Öåíòð ãðóïïû G ýòî ìíîæåñòâî Z(G) = {g ∈ G|gx = xg, ∀x ∈ Ëåãêî âèäåòü, ÷òî öåíòð ãðóïïû G ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé. Çàäà÷à 4. à) ×åðåç Dnh îáîçíà÷èì ãðóïïó ñèììåòðèé ïðÿìîóãîëüíîé ïðèçìû ñ îñíîâàíèåì ïðàâèëüíûé n óãîëüíèê. Íàéäèòå ïîðÿäîê ãðóïïû Dnh. Äðóãîå îïèñàíèå ãðóïïû Dnh ãðóïïà äâèæåíèé òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîõðàíÿþùèõ ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ñ n ñòîðîíàìè â ïëîñêîñòè . á) Èçîìîðôíû ëè ãðóïïû D3h è D6? Ðåøåíèå à) Äîêàæåì èçîìîðôèçì Dnh ∼ = Dn × C2 . À èìåííî, ïîäãðóïïà Dn ⊂ Dnh ñîñòîèò èç ñèììåòðèé êîòîðûå ñîõðàíÿþò ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê â ïëîñêîñòè Oxy , à ïîëóïðîñòðàíñòâà íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò ïðîñòðàíñòâà íå ïåðåñòàâëÿþòñÿ. À ïîäãðóïïà C2 ïîðîæäàåòñÿ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè . Ýòè ïîäãðóïïû íå ïåðåñåêàþòñÿ è êîììóòèðóþò. Êðîìå òîãî ëþáîé ýëåìåíò èç Dnh ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ èç ýòè ïîäãðóïï. Çíà÷èò Dnh ∼ = Dn × C2 . Èç ýòîãî èçîìîðôèçìà ñëåäóåò, ÷òî |Dnh| = 4n. á) Áóäåì ðåøàòü áîëåå îáùóþ çàäà÷ó ïðî èçîìîðôèçì D2n è Dnh, äëÿ íå÷åòíîãî n. Âíóòðè ãðóïï D2n åñòü ïîäãðóïïà Dn ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà êîòîðûé âëîæåí â ïðàâèëüíûé 2n-óãîëüíèê. È åñòü ïîäãðóïïà C2 ëåæàùàÿ â öåíòðå ãðóïïû åäèíè÷íûé ýëåìåíò è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ. Ýòè äâå ïîäãðóïïû íå ïåðåñåêàþòñÿ (òàê êàê n íå÷åòíî), ýòè äâå ïîäãðóïïû êîììóòèðóþò è ïîðîæäàþò D2n , çíà÷èò ãðóïïà D2n ∼ = Dn × C2 . Çàìå÷àíèå. Ãðóïà Dn íå èçîìîðôíà ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ñâîèõ ïîäãðóïï C2 è Cn, òàê êàê ýòè ïîäãðóïïû íå êîììóòèðóþò â Dn. Çàäà÷à 6. * Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïóñòü X ìíîæåñòâî ðàñêðàñîê âåðøèí ïðàâèëüíîãî p-óãîëüíèêà â a öâåòîâ. Ãðóïïà Cp äåéñòâóåò íà X ïîâîðîòàìè. Íàéäèòå âîçìîæíûå äëèíû îðáèò. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî îðáèò. Ïåðåôîðìóëèðîâêà: Êàêèì ÷èñëî ñïîñîáîâ ìîæíî ðàñêðàñèòü â a öâåòîâ êàðóñåëü èç p âàãîí÷èêîâ, ãäå p ïðîñòîå. Äëèíà êàæäîé îðáèòû äåëèò ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ãðóïïå, çíà÷èò, òàê êàê p ïðîñòîå, âñå îðáèòû èìåþò äëèíó 1 èëè p. ×èñëî îðáèò èìåþùèõ äëèíó 1 ðàâíî a, îñòàåòñÿ ap − a ðàñêðàñîê, çíà÷èò îðáèò èç p ýëåìåíòîâ a p−a , à âñåãî îðáèò a −a p + a. Òàê êàê ÷èñëî îðáèò âñåãäà öåëîå, òî ìû äîêàçàëè, ÷òî ap − a âñåãäà äåëèòñÿ íà p, ò.å. äîêàçàëè ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà. Ðåøåíèå p p Íåêîòîðûå ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ëåêöèè 4. à) Íàéäèòå êëàññû ñîïðÿæåííîñòè â ãðóïïå D5. á) Íàéäèòå êîììóòàíò ãðóïïû D5. â) Íàéäèòå âñå ãîìîìîðôèçìû èç D5 â C∗. Çàäà÷à 2. á) Ðåøèì ñðàçó áîëåå îáùóþ çàäà÷ó. Íàéäåì êîììóòàíò ãðóïïû Dn. Ãðóïïà Dn ïîðîæäåíà ýëåìåíòàìè ρ, s ñ ñîîòíîøåíèÿìè ρn = e, s2 = e, sρsρ = e. Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê sρs = ρ−1, îòêóäà sρk s = ρ−k . Íàéäåì âñå âîçìîæíûå êîììóòàòîðû. Îáðàòíûé ýëåìåíò ê ïîâîðîòó ρi ýòî ρ−i, îáðàòíûé ýëåìåíò ê ñèììåòðèè sρi ýòî îíà ñàìà sρi. Êîììóòàòîð äâóõ ïîâîðîòîâ ðàâåí ïðîñòî åäèíèöå ρiρj ρ−iρ−j = e. Êîììóòàòîð äâóõ ñèììåòðèé ðàâåí sρisρj sρisρi = ρ−i ρj ρ−i ρj = ρ2(j−i) . Êîììóòàòîð ñèììåòðèè è ïîâîðîòà ðàâåí sρi ρj sρi ρ−j = ρ−i−j ρi−j = ρ−2j . Òàêèì îáðàçîì êîììóòàíò ñîñòîèò èç ÷åòíûõ ñòåïåíåé ρ. Åñëè n íå÷åòíîå, òî ÷åòíûå ñòåïåíè ρ ýòî âñå ïîâîðîòû, ò.å. êîììóòàíò ñîâïàäàåò ñ Cn. Åñëè n ÷åòíîå, òî òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîëîâèíà âñåõ ïîâîðîòîâ ò.å. ïîäãðóïïà Cn/2 . à) Ïîñêîëüêó ïîâîðîòîì ìîæíî ïåðåâåñòè ëþáóþ îñü ñèììåòðèè ïÿòèóãîëüíèêà â ëþáóþ äðóãóþ, òî âñå ñèììåòðèè ñîïðÿæåíû. Îñòàëèñü ïîâîðîòû e, ρ, ρ2, ρ3, ρ4. ßñíî, ÷òî e ñîïðÿæåí òîëüêî ñàì ñåáå. Ïîâîðîòû ρ è ρ2 íå ìîãóò áûòü ñîïðÿæåíû òàê îíè ÿâëÿþòñÿ ïîâîðîòàìè íà ðàçíûå óãëû 2π/5 è 4π/5. À âîò ρ è ρ4 ÿâëÿþòñÿ ïîâîðîòàìè íà îäèí óãîë (íî â ðàçíîì íàïðàâëåíèè). È äåéñòâèòåëüíî sρs = ρ4 . Àíàëîãè÷íî ρ2 è ρ3 ñîïðÿæåíû. Èòîãî ïîëó÷àåì ÷åòûðå êëàññà ñîïðÿæåííîñòè {s, sρ, sρ2, sρ3, sρ4}, {e}, {ρ, ρ4}, {ρ2, ρ3}. â) Ïðè ëþáîì ãîìîìîðôèçìå â àáåëåâó ãðóïïó êîììóòàíò D5 äîëæåí ïåðåõîäèòü â 1. Ò.å. âñå ïîâîðîòû ïåðåéäóò â 1. Âñå ñèììåòðèè ïåðåéäóò òîæå â îäèí ýëåìåíò è ýòî ±1. Çíà÷èò, âñåãî äâà ãîìîìîðôèçìà. Çàìå÷àíèå. Åùå îäíèì ïðèìåðîì ãðóïïû ó êîòîðîé ìîæíî íàéòè êîììóòàíò è ïîëüçóÿñü ýòèì îïèñàòü âñå ãîìîðôèçìû â C∗ ÿâëÿåòñÿ Sn. ßñíî ÷òî âñå ýëåìåíòû âèäà xyx−1y−1 ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè ïåðåñòàíîâêàìè. Òàêæå ëåãêî ïîëó÷èòü âñå òðîéíûå öèêëû êàê êîììóòàòîð ïåðåñåêàþùèõñÿ òðàíñïîçèöèé (i, j) è (j, k). Òðîéíûå öèêëû ïîðîæäàþò âñþ ãðóïïó ÷åòíûõ ïåðåñòàíîâîê An, ñì çàäà÷ó íèæå. Çíà÷èò êîììóòàíò [Sn, Sn] = An. Êàêèå ìîãóò áûòü ãîìîìîðôèçìû èç Sn â C∗? Ïðè ëþáîì òàêîì ãîìîìîðôèçìå âñå ÷åòíûå ïåðåñòàíîâêè äîëæíû ïåðåéòè â 1, òàê êàê ýòî êîììóòàíò. Òðàíñïîçèöèÿ (1, 2) ïåðåõîäèò â ±1, è âñå íå÷åòíûå ïåðåñòàíîâêè òóäà-æå òàê êàê îòëè÷àþòñÿ íà óìíîæåíèå íà ÷åòíóþ. Çíà÷èò åñòü òîëüêî äâà ãîìîìîðôèçìà èç Sn â C∗ òðèâèàëüíûé è çíàêîâûé. Ðåøåíèå Ëåêöèÿ 5. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï. Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, V êîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ãîìîìîðôèçì ãðóïï ρ : G → Gl(V ) íàçûâàåòñÿ (êîíå÷íîìåðíûì, êîìïëåêñíûì) G. Ïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ . Ðàçìåðíîñòü dim V íàçûâàåòñÿ . Åñëè â ïðîñòðàíñòâå V âûáðàí áàçèñ e1, e2, . . . , en, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå çàäàåò ãîìîìîðôèçì ρ : G → GL(n, C).  ÷àñòíîñòè îäíîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòî òîæå ñàìîå, ÷òî è ãîìîìîðôèçìû èç G â C∗ . Îïðåäåëåíèå 2. ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû ïðîñòðàíñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçìåðíîñòüþ Ïóñòü äàíà ãðóïïà G è äâà åå âåêòîðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ1 : G → GL(V1 ) è ρ2 : G → Gl(V2 ). Èçîìîðôèçìîì ïðåäñòàâëåíèé íàçûâàåòñÿ èçîìîðôçèì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ϕ : V1 → V2 êîììóòèðóþùèé ñ äåéñòâèåì ãðóïïû: Îïðåäåëåíèå 3. V1 ϕ(ρ1 (g)v) = ρ2 (g)ϕ(v) ϕ V2 ρ1 (g) V1 ρ2 (g) V2 ϕ  òåðìèíàõ ìàòðèö ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî g ìàòðèöû ρ1(g) è ρ2(g) ñîïðÿæåíû: ρ1(g) = φρ2(g)φ−1. Ïðèìåðû 1 [Òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå] Îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðè êîòîðîì äëÿ ëþáîãî g ∈ G, ρ(g) = 1. 2 Ãðóïïà Sn , ïðîñòðàíñòâî Cn . Ãðóïïà äåéñòâóåò ïåðåñòàíîâêîé áàçèñíûõ âåêòîðîâ. Ïóñòü n = 3. Òîãäà ýòî ïåðåñòàíîâî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå S3 çàäàåòñÿ ìàòðèöàìè: 1 0 0 e 7→ 0 1 0 0 0 1 0 1 (1, 2) 7→ 1 0 0 0 0 0 (1, 2, 3) 7→ 1 0 0 1 0 0 0 (1, 3) 7→ 0 1 1 1 0 0 0 (1, 3, 2) 7→ 0 1 1 0 1 1 0 (2, 3) 7→ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 Ïóñòü ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå M . Òîãäà àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó åñòü ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ áàçèñîì em, ãäå m ∈ M . 4 (Ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå) Ïóñòü G ñîñòîèò èç n ýëåìåíòîâ. Ïðîñòðàíñòâî V = Cn ñ áàçèñîì eg çàíóìåðîâàííûì ýëåìåíòàìè ãðóïïû G. Ãðóïïà äåéñòâóåò íà V ïî ôîðìóëå g1 eg = eg g . Íàïðèìåð ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå C3 çàäàåòñÿ ìàòðèöàìè: 3 (Ïåðåñòàíîâî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå) 2 1 2 1 0 0 e 7→ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ρ 7→ 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ρ2 7→ 0 0 1 1 0 0 Ïîäïðîñòðàíñòâî U ⊂ V íàçûâàåòñÿ ïîäïðåäñòàâëåíèåì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ G èíâàðèàíòíûì, ò.å. äëÿ åñëè ëþáûõ g ∈ G, u ∈ U âûïîëíÿåòñÿ ρ(g)u ∈ U . Ïðèìåð. Íàéäåì èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ C3 . Ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà ρ êîòîðûé çàäàí ìàòðèöåé âûøå. ßñíî, ÷òî ýòîãî óñëîâèÿ äîñòàòî÷íî òàê êàê ïîäïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ρ áóäóò òàêæå èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî e è ρ2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ρ ðàâíû 1, ε, ε2, ãäå ε = e . Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðà ðàâíû (1, 1, 1); (1, ε2 , ε); (1, ε, ε2 ) è Îïðåäåëåíèå 4. 2πi 3 ïîðîæäàþò îäíîìåðíûå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Äâóìåðíûå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ρ ïîäïðîñòðàíñòâà äîëæíû áûòü íàòÿíóòû íà ñîáñòâåííûå âåêòîðà ρ. Îïðåäåëåíèå 5 (Ïðÿìàÿ ñóììà ïðåäñòàâëåíèé). Ïóñòü äàíà ãðóïïà G è äâà åå âåêòîðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ V1, ρ1 è V1, ρ1. Òîãäà ïðîñòðàíñòâî V = V1 ⊕ V2 òàêæå èìååò ñòðóêòóðó ïðåäñòàâëåíèÿ â êîòîðîì g ïåðåõîäèò â îïåðàòîð ãðóïïû G çàäàííûé áëî÷íîé ìàòðèöåé ρ(g) = ρ10(g) ρ20(g) . Ïðèìåðû Ðàññóæäåíèÿ âûøå ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû C3 èçîìîðôíî ïðÿìîé ñóììå îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïðè êîòîðûõ ρ ïåðåõîäèò â 1, ε, ε2. Íà ìàòðè÷íîì ÿçûêå ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ çàäàííûå ìàòðèöàìè a) è b) íèæå èçîìîðôíû 1 1 a) e 7→ 0 0 1 0 b) e 7→ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ρ 7→ 1 0 1 0 1 0 0 0 ρ 7→ 0 ε 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 0 ρ 7→ 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 ρ2 7→ 0 ε2 0 . 0 0 ε ε2 Ïåðåñòàíîâî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå Sn ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó Cn = V1 ⊕ V2, ãäå V1 îäíîìåðíîå P i P iïðîñòðàíñòâî ïîðîæäåííîå âåêòîðîì v = e1 + e2 + · · · + en , V2 = {v = x ei | x = 0}. Îïðåäåëåíèå 6. Ïðåäñòàâëåíèå V íàçûâàåòñÿ , åñëè ó íåãî íåò ïîäïðåäñòàâëåíèé îòëè÷íûõ îò 0 è V . ßñíî, ÷òî ëþáîå îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïðèâîäèìî. P i P i Ïðåäëîæåíèå 1. Ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Sn â ïðîñòðàíñòâå V2 = {v = x ei | x = 0} ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûìè. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ áóäåò íà ñëåäóþùåé ëåêöèè. Òåîðåìà 2 (Ìàøêå). Ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå V êîíå÷íîé ãðóïïû G ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . Ýòó òåîðåìó ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì, ìîæíî ïîñìîòðåòü äîêàçàòåëüñòâî â ó÷åáíèêàõ Âèíáåðãà èëè Ñåððà. Îïðåäåëåíèå 7. Ïóñòü äàíî ïðåäñòàâëåíèå ρ : G → GL(V ). Õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ χ(g) = Tr(ρ(g)), ãäå Tr ýòî ñëåä ìàòðèöû. Ìû áóäåì èíîãäà îáîçíà÷àòü õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ V ÷åðåç χV . Ïðåäëîæåíèå 3 (Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà). à) Õàðàêòåðû èçîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñîâïàäàþò. á) Õàðàêòåð ïðÿìîé ñóììû ïðåäñòàâëåíèé ðàâåí ñóììå õàðàêòåðîâ 2 íåïðèâîäèìûì χV1 ⊕V2 (g) = χV1 (g) + χV2 (g). à) Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå â òåðìèíàõ ìàòðèö ρ1(g) = φρ2(g)φ−1. Íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî Tr(ρ1(g)) = Tr(ρ2(g)). Äîêàæåì, ÷òî ó ìàòðèö ρ1(g) è ρ2(g) Äîêàçàòåëüñòâî ñîâïàäàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, òîãäà, ó íèõ ñîâïàäóò è ñëåäû, òàê êàê ñëåä ýòî êîýôôèöèåíò õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà. Èìååì: det(ρ1 (g) − λE) = det(φρ2 (g)φ−1 − λE) = det(φ(ρ2 (g) − λE)φ−1 ) = det(ρ2 (g) − λE). á) Î÷åâèäíî. Äîìàøíåå çàäàíèå Ðåøåíèÿ íàäî ïðèñëàòü èëè ïðèíåñòè äî íà÷àëà ëåêöèè 30 ìàðòà. Ïîìèìî ïèñüìåííîé ñäà÷è íàäî áûòü ãîòîâûì îòâåòèòü íà âîïðîñû ïî ðåøåíèÿì. Óïðàæíåíèå 1. à) Äîêàæèòå, ÷òî õàðàêòåðû ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ðàâíû: χV (x) = χV (gxg ). á) Äîêàæèòå, ÷òî χV (e) = dim(V ). −1 Äîêàæèòå, ÷òî ó ãðóïïû Dn ïðè ÷åòíîì n ñóùåñòâóåò ðîâíî 4 îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàïèøèòå ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâíî. Çàäà÷à 3. Ïóñòü g ∈ G èìååò ïîðÿäîê n, ρ : G → GL(V ) êîíå÷íîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G. Êàêèìè ìîãóò áûòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ρ(g)? Çàäà÷à 4. à) Ïóñòü G ãðóïïà âñåõ äâèæåíèé ñîõðàíÿþùèõ êóá. Äîêàæèòå, ÷òî G ∼ = S4 × C2 . á) Íàéäèòå êîììóòàíò G. Çàäà÷à 5. Çàäàéòå ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå C2 × C2 ìàòðèöàìè. Íàéäèòå õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàéäèòå âñå îäíîìåðíûå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Çàäà÷à 6. * Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà An ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè. Çàäà÷à 2. Ìàòåðèàëû, à òàêæå ïîëåçíàÿ èíôîðìàöèÿ åñòü íà ñàéòå: [qft.itp.ac.ru/mbersht/Group.html]