Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè ÓÄÊ 512.54, 512.7, 514.172 Êàçàðíîâñêèé Áîðèñ ßêîâëåâè÷ Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà, èíêðåìåíòû è êîðíè ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï 01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ Àâòîðåôåðàò äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Ìîñêâà 2008 Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû Àêòóàëüíîñòü òåìû  ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîãîîáðàçèÿ êîðíåé ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîìïëåêñíîé ãðóïïû Ëè (ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åííàÿ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ãðóïïó ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðîâ ïðåäñòàâëåíèÿ). Íàñ èíòåðåñóþò ñâîéñòâà ìíîãîîáðàçèé, çàâèñÿùèå òîëüêî îò âûáðàííûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïï òàêèì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî êîðíåé ïîëíîé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ïåðâûì ðåçóëüòàòîì òàêîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà Êóøíèðåíêî1 î òîì, ÷òî êîëè÷åñòâî êîðíåé îáùåé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ n-ìåðíîãî êîìïëåêñíîãî òîðà ðàâíî îáúåìó âåñîâîãî ìíîãîãðàííèêà ïðåäñòàâëåíèÿ, óìíîæåííîìó íà n! Çàòåì ïîñëåäîâàëè ðàáîòû, â êîòîðûõ âû÷èñëÿëèñü èíâàðèàíòû àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîìïëåêñíîãî òîðà, çàäàííîãî êàê ìíîæåñòâî êîðíåé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ôèêñèðîâàííûìè ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà2 . 1 À.Ã. Êóøíèðåíêî. Ìíîãîãðàííèê Íüþòîíà è ÷èñëî ðåøåíèé ñèñòåìû k óðàâíåíèé ñ k íåèçâåñòíûìè. ÓÌÍ, 30:266-267, 1975. 2 Ä.Í.Áåðíøòåéí, À.Ã.Êóøíèðåíêî, À.Ã.Õîâàíñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà. ÓÌÍ, 1976, ò. 31, âûï. 3, c. 201-201.; À.Ã.Õîâàíñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è òîðè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ. 1 Âñå ýòè ðàáîòû èäåíòèôèöèðîâàëèñü (òàê æå êàê ñîâðåìåííûå ðàáîòû íà ýòó òåìó) êàê âû÷èñëåíèÿ ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà. Ñëîâî "ïðåäñòàâëåíèå"â íèõ íå óïîìèíàëîñü. Äåëî â òîì, ÷òî ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ òîðà ýòî ïîëèíîì Ëîðàíà, à âåñîâîé ìíîãîãðàííèê ïðåäñòàâëåíèÿ âûïóêëàÿ îáîëî÷êà íàáîðà ñòåïåíåé ïîëèíîìà Ëîðàíà, ò.å. åãî ìíîãîãðàííèê Íüþòîíà. Âàæíîé îñîáåííîñòüþ âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ èõ ñâÿçü ñ ãåîìåòðèåé âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ôîðìóëèðóþòñÿ íà ÿçûêå ãåîìåòðèè, ÷òî äåëàåò èõ áîëåå ÿñíûìè. Êðîìå òîãî, ýòè âû÷èñëåíèÿ ÷àñòî ïðèâîäÿò ê íîâûì ðåçóëüòàòàì ãåîìåòðèè ìíîãîãðàííèêîâ. Èíòåðåñíûå è íåîæèäàííûå ðåçóëüòàòû â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ À.Ã. Õîâàíñêîãî, À.Â. Ïóõëèêîâà, Ï. ÌàêÌàëëåíà, Ð. Ñòýíëè è äðóãèõ àâòîðîâ.  óêàçàííûõ âûøå ðàáîòàõ À.Ã. Õîâàíñêîãî âïåðâûå áûëà ïðèìåíåíà òåîðèÿ ìíîãîîáðàçèé3 òîðè÷åñêèõ (ò.å. ðåçóëüòàòû êëàññèôèêàöèè è èññëåäîâàíèÿ ýêâèâàðèàíòíûõ ïîïîëíåíèé òîðà), îêàçàâøàÿñÿ ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà.  80-õ ãîäàõ äâà îáñòîÿòåëüñòâà ïðèâåëè ê ïðåäïîëîæåíèþ î òåîðåòèêî-ãðóïïîâîé ïðèðîäå âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1977, ò.11, âûï.4, c.56-64.; À.Ã.Õîâàíñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è ðîä ïîëíûõ ïåðåñå÷åíèé. Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1978, ò.12, âûï.1, c.51-61. 3 G.Kemph, F.Knudsen, D.Mamford, B.Saint-Donat. Toroidal embeddings, 1. Lect. Notes Math., No.339, Springer-Verlag, 1973; Â.È.Äàíèëîâ. Ãåîìåòðèÿ òîðè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé. ÓÌÍ., 1978, ò.33, âûï.2, c.85-134. 2 Íüþòîíà. Ò.å. ê ãèïîòåçå î òîì, ÷òî, åñëè ðàññìàòðèâàòü ýòè âû÷èñëåíèÿ êàê ðåçóëüòàòû îá àëãåáðàè÷åñêèõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ òîðà, òî àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ âîçìîæíû ïðè çàìåíå òîðà íà äðóãèå ãðóïïû Ëè (íàïðèìåð, íà ëþáóþ êîìïëåêñíóþ ðåäóêòèâíóþ ãðóïïó). Ïåðâîå èç ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâ ïîÿâëåíèå òåîðèè ñôåðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ4 , ò.å. àíàëîãà òåîðèè òîðè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ðåäóêòèâíûõ ãðóïï. Âòîðîå ïåðåíîñ ïðîñòåéøèõ âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà íà ñëó÷àé ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì5 (ñì. òàêæå [1]). Ýêñïîíåíöèàëüíûå ñóììû ÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè êîíå÷íîìåðíûõ äèàãîíàëèçóåìûõ ïðåäñòàâëåíèé àääèòèâíîé ãðóïïû êîìïëåêñíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.  ýòîé ñèòóàöèè âåñîâîé ìíîãîãðàííèê ïðåäñòàâëåíèÿ âûïóêëûé (â îáùåì ñëó÷àå) 2n-ìåðíûé ìíîãîãðàííèê â Cn . Àíàëîã òåîðåìû Êóøíèðåíêî ñîñòîèò â òîì (ñì. ðàçä. 2.5 äèññåðòàöèè), ÷òî ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà íóëåé ñèñòåìû n ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ðàâíà "êîíòàêòíîìó îáúåìó"ãðàíèöû âåñîâîãî ìíîãîãðàííèêà. Åñëè âåñà ïðåäñòàâëåíèÿ ëåæàò â ïðîñòðàíñòâå Re Cn , òî ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà íóëåé ðàâíà (êàê â òåîðåìå Êóøíèðåíêî) îáúåìó âåñîâîãî ìíîãîãðàííèêà. Ïåðâûé ðåçóëüòàò â íàïðàâëåíèè ïåðåíîñà ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé â êîíòåêñò òåîðèè ãðóïï âû÷èñëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé îáùåé 4 M.Brion, D.Luna, Th.Vust, Espaces homogenes spheriques, Invent. Math. 84 (1986), 617-632 Î íóëÿõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1981, ò. 257, âûï. 4, ñ. 5 Á.ß.Êàçàðíîâñêèé 804-808; Î.À. Ãåëüôîíä. Êîðíè ñèñòåì ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ. Ïðåïðèíò ÔÈÀÍ N 200, 1978 3 ïîëíîé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîìïëåêñíîé ðåäóêòèâíîé ãðóïïû [2]. Êîìïîíåíòû ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìà êîðíåé è âåñîâûå ìíîãîãðàííèêè ïðåäñòàâëåíèé. ÷èñëà ðåøåíèé Øèðîêî èçâåñòíî ïîëèíîìèàëüíîé àíàëîãè÷íîå ñèñòåìû íà âû÷èñëåíèå ïðîèçâîëüíîì ñôåðè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèèè6 . Äàëåå áûëî ïîêàçàíî7 , ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï ïîëèíîì Ãèëüáåðòà ïðîåêòèâíîé ñôåðè÷åñêîé êîìïàêòèôèêàöèè ðåäóêòèâíîé ãðóïïû ñîâïàäàåò ñ ïîëèíîìîì Ýðõàðäà íåêîòîðîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà, ðàñïîëîæåííîãî â "ïðîñòðàíñòâå äèàãðàìì Ãåëüôàíäà-Öåòëèíà". Âû÷èñëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé â [2] ðàññìàòðèâàëîñü êàê ïåðâûé øàã â ðàñïðîñòðàíåíèè èçâåñòíûõ â ñëó÷àå òîðà âû÷èñëåíèé íà ïðîèçâîëüíûå ðåäóêòèâíûå ãðóïïû. Ñëåäóþùèé øàã äîëæåí áûë ñîñòîÿòü â âû÷èñëåíèè ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé. Îäíàêî âûÿñíèëîñü8 , ÷òî ôîðìóëà, àíàëîãè÷íàÿ òîðè÷åñêîé, íåâåðíà. Ïðîãðåññ áûë äîñòèãíóò íåäàâíî â ðàáîòå Â. Êèðè÷åíêî9 , ãäå íàéäåíà ôîðìóëà ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé îáùåé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíèé ðåäóêòèâíîé ãðóïïû. Êîìïîíåíòû ôîðìóëû (òàê æå êàê â [2]) ñèñòåìà êîðíåé è âåñîâûå ìíîãîãðàííèêè ïðåäñòàâëåíèé. Ñ 6 M.Brion. Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques. Duke Math J. 58, N 2 (1989), 397-424 7 À.Îêóíüêîâ. Çàìå÷àíèå î ïîëèíîìå Ãèëüáåðòà ñôåðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. - Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1997, ò.31, âûï.2, c.82-85 8 Kuimars Kaveh. Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties. Transformation Groups, 9, N.1 (2003), 47-63 9 V. Kiritchenko On intersection indices of subvarieties in reductive groups. Mosc. Math. Journ., 2007, vol. 7, N 3 (òàêæå ñì. http://arxiv.org/abs/math.AG/0605695) 4 íåêîììóòàòèâíîñòüþ ãðóïïû ñâÿçàíû íåêîòîðûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðåïÿòñòâèÿ, óñëîæíÿþùèå êàê ñàìó ôîðìóëó ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè, òàê è åå âûâîä. Ýòè ïðåïÿòñòâèÿ íàéäåíû Â. Êèðè÷åíêî10 â âèäå öèêëîâ âûðîæäåíèÿ îáùåãî íàáîðà âåêòîðíûõ ïîëåé âèäà α−β, ãäå α è β ñîîòâåòñòâåííî ëåâîèíâàðèàíòíîå è ïðàâîèíâàðèàíòíîå âåêòîðíûå ïîëÿ íà ðåäóêòèâíîé ãðóïïå. Ýòè ïðåïÿòñòâèÿ ìîãóò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê êëàññû ×æýíÿ ëîãàðèôìè÷åñêîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ íàä íåêîòîðîé êîìïàêòèôèêàöèåé èñõîäíîé ãðóïïû. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà îòíîñèòñÿ ê îïèñàííîé âûøå äåÿòåëüíîñòè ïî îïèñàíèþ òåõ ñâîéñòâ ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Ëè, êîòîðûå çàâèñÿò òîëüêî îò âûáðàííûõ ïðåäñòàâëåíèé. Öåëü ðàáîòû Öåëü ðàáîòû ñîñòîèò â ïîñòðîåíèèè è âû÷èñëåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ïëîòíîñòåé ìíîãîîáðàçèé ðåøåíèé ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï Ëè. Îñíîâíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ  ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ ãðóïï, àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, ïëþðèñóáãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè, áåñêîíå÷íîìåðíîå èíòåãðèðîâàíèå, èíòåãðàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è òåîðèÿ ìåðû. 10 V. Kiritchenko. Chern classes of reductive http://arxiv.org/abs/math.AG/0411331 5 groups and an adjunction formula. Íàó÷íàÿ íîâèçíà Ïîíÿòèå óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé âïåðâûå ïîÿâèëîñü â ðàáîòå àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû ñîñòîÿò â âû÷èñëåíèè òàêèõ ïëîòíîñòåé â ðàçíûõ ñèòóàöèÿõ. Ýòè ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè. Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Îäèí èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû îòíîñèòñÿ ê áåñêîíå÷íîìåðíîé èíòåãðàëüíîé ãåîìåòðèè. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûì â ðàçíûõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Íàïðèìåð, îí ïîçâîëÿåò ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë óòâåðæäåíèþ î òîì, ÷òî íóëè ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé íà åäèíè÷íîì êðóãå â ñðåäíåì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî ïëîùàäè ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Ïóàíêàðå. Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ Ðåçóëüòàòû ðàáîòû íåîäíîêðàòíî ÿâëÿëèñü òåìàìè äîêëàäîâ íà íàó÷íûõ ñåìèíàðàõ, â òîì ÷èñëå, íà ñåìèíàðàõ àêàä. Â. È. Àðíîëüäà, ïðîô. Ý. Á. Âèíáåðãà è ïðîô. Â. Ë. Ïîïîâà, ïðîô. Ñ. Ì. Ãóñåéí-Çàäå íà ìåõ-ìàòå ÌÃÓ. Ïóáëèêàöèè Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â ÷åòûðåõ ðàáîòàõ, ñïèñîê 6 êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå ðåôåðàòà. Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Ïåðâàÿ ãëàâà ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèÿ ââîäíîé è êðàòêîå îíà ñîäåðæèò îïèñàíèå îïèñàíèå ïîëó÷åííûõ ïðåäìåòà ðåçóëüòàòîâ. Ôîðìóëèðîâêè ðåçóëüòàòîâ è êîììåíòàðèè ê íèì ñîäåðæàòñÿ â ãëàâå 2. Âûâîä ðåçóëüòàòîâ ïîìåùåí â òðåòüåé ãëàâå. Ïîëíûé îáúåì äèññåðòàöèè 62 ñòðàíèöû, áèáëèîãðàôèÿ âêëþ÷àåò 37 íàèìåíîâàíèé. Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòû Ïóñòü f1 , · · · , fk íåêîòîðûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé π1 , · · · , πk ãðóïïû G. Ðàññìîòðèì ìíîãîîáðàçèå X êîðíåé ñèñòåìû óðàâíåíèé f1 (g) = · · · = fk (g) = 0, (1) è îáîçíà÷èì ÷åðåç Xm ìíîæåñòâî êîðíåé ñèñòåìû f1 (g m ) = · · · = fk (g m ) = 0. Èíà÷å ãîâîðÿ, Xm ìíîãîîáðàçèå, îáðàçîâàííîå êîðíÿìè m-îé ñòåïåíè èç ýëåìåíòîâ ìíîãîîáðàçèÿ X.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðîñò ìíîãîîáðàçèé Xm ïðè m → ∞ ïðèîáðåòàåò àñèìïòîòèêó ïîðÿäêà mk . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, åñëè ðàññìàòðèâàòü Xm êàê ïîòîê (ò.å. ôóíêöèîíàë Xm (ϕ) = R Xm ϕ íà ïðîñòðàíñòâå ôèíèòíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì), òî Xm = mk (Σ(X) + o(1)) 7 (2) ãäå ïîòîê Σ(X) îòâå÷àåò çà àñèìïòîòèêó ðîñòà ìíîãîîáðàçèÿ Xm ïðè m → ∞ è ìîæåò áûòü íàçâàí àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ ìíîãîîáðàçèÿ X. Íàïðèìåð, åñëè X êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî êîìïëåêñíîãî òîðà (C \ 0)n , òî Σ(X)(ϕ) óìíîæåííûé íà êîëè÷åñòâî òî÷åê ìíîæåñòâà X èíòåãðàë îò ôóíêöèè ϕ ïî êîìïàêòíîìó ïîäòîðó {(z1 , · · · , zn ) : |zi | = 1} òîðà (C \ 0)n . Âîîáùå äëÿ ëþáîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîìïëåêñíîãî òîðà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ñóùåñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì òîðè÷åñêîãî êîëüöà ×æîó (îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ïëîòíîñòÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ñì. ðàçä. 2.4 äèññåðòàöèè). Ìû ïðåäïî÷èòàåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ àñèìïòîòèêè äðóãóþ (ïðàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíóþ) êîíñòðóêöèþ àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ êàê ïîòîêà íà àëãåáðå Ëè. Ò.ê. â ýòîì ñëó÷àå ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñòàíîâÿòñÿ áîëåå íàãëÿäíûìè îíè ôîðìóëèðóþòñÿ â òåðìèíàõ ãåîìåòðèè âûïóêëûõ òåë. Äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ X ⊂ G îáîçíà÷èì ÷åðåç log X åãî ïðîîáðàç ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè exp : G → G. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü log X êàê ïîòîê íà àëãåáðå Ëè G ãðóïïû G. Ïóñòü gt : ξ 7→ ξ/t ìàñøòàáèðóþùåå îòîáðàæåíèå G → G. Òîãäà, åñëè ïðè t→∞ (gt )∗ log X = tcodim X (σ(X) + o(1)), (3) òî íàçîâåì ïîòîê σ(X) àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ ìíîãîîáðàçèÿ X. Ïóñòü X(π1 , · · · , πk ) ïîòîê â ïðîñòðàíñòâå G , ïîëó÷åííûé 8 óñðåäíåíèåì11 ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû ïî âñåì ñèñòåìàì âèäà (1). Òîãäà, åñëè ïðè t → ∞ (gt )∗ log X(π1 , · · · , πk ) = tcodim X (σ(π1 , · · · , πk ) + o(1)), òî ïîòîê σ(π1 , · · · , πk ) ìû íàçûâàåì ïîòîêîì (4) óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè íàáîðà ïðåäñòàâëåíèé π1 , · · · , πk . Ðåçóëüòàòû ðàáîòû âû÷èñëåíèÿ óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè. Ýòà ïëîòíîñòü âûðàæàåòñÿ ÷åðåç èíêðåìåíòû (ñì. íèæå) ó÷àñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèé, à ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ôîðìóëèðóþòñÿ íà ÿçûêå ãåîìåòðèè âûïóêëûõ òåë, ðàñïîëîæåííûõ â ïðîñòðàíñòâå, äâîéñòâåííîì àëãåáðå Ëè ãðóïïû G. Ìû âû÷èñëÿåì óñðåäíåííóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü â òðåõ ñëåäóþùèõ ñèòóàöèÿõ. (G) (ðàçä. 2.1) Êîíå÷íîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ êîìïëåêñíûõ ãðóïï. (R) (ðàçä. 2.2) Êîíå÷íîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ðåäóêòèâíûõ ãðóïï. (D) (ðàçä. 2.3) Ïðåäñòàâëåíèÿ πK àääèòèâíîé ãðóïïû ïðîñòðàíñòâà Cn (ñì. íèæå), äëÿ êîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îáîáùåííûõ ôóíêöèé ñ íîñèòåëÿìè íà êîìïàêòå K ⊂ Re Cn∗ ÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè. Çäåñü ìû âû÷èñëÿåì óñðåäíåííóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåì âèäà f1 = · · · = fk = 0, ãäå fi ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îáîáùåííûõ 11 êîíñòðóêöèÿ óñðåäíåíèÿ äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé îïèñàíà â òåêñòå äèññåðòàöèè â êîíöå ðàçäåëà "Ââåäåíèå", à â áåñêîíå÷íîìåðíîé ñèòóàöèè â ðàçäåëå 2.6 9 ôóíêöèé ñ íîñèòåëÿìè íà ôèêñèðîâàííûõ êîìïàêòàõ Ki . Èíà÷å ãîâîðÿ, ñîãëàñíî òåîðåìå Ïýëè-Âèíåðà, ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûå èç ôóíêöèé ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà, èìåþùèõ ïîëèíîìèàëüíûé ðîñò âäîëü ÷èñòî ìíèìîãî ïîäïðîñòðàíñòâà Cn . Åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé áîëüøå ðàíãà ãðóïïû (ðàíã ãðóïïû ðàçìåðíîñòü åå êàðòàíîâñêîé ïîäàëãåáðû), òî îïðåäåëåííàÿ âûøå àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü îêàçûâàåòñÿ íóëåâîé. Ïîýòîìó, â ñëó÷àå ðåäóêòèâíûõ ãðóïï ìû íå ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ïîëèíîìèàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íîé ôîðìóëå Êóøíèðåíêî-Áåðíøòåéíà. Ïîýòîìó â ñëó÷àå (R) ïðèâîäèòñÿ äðóãîå (â ðàçä. 2.2 äèññåðòàöèè), îòëè÷íîå îò îïèñàííîãî âûøå, îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè (ðåäóêòèâíàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü). Âñå òðè âû÷èñëåíèÿ óñðåäíåííîé ïëîòíîñòè ïîñòðîåíû ïî åäèíîé 3-øàãîâîé ñõåìå. (1) Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíî-ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû òèïà ôîðìóëû Êðîôòîíà äëÿ çàïèñè âûðàæåíèÿ (gt )∗ log X(π1 , · · · , πk ) èç ôîðìóëû (4) (èëè (rt )∗ logr X(π1 , · · · , πk ) â ñëó÷àå (R), ãäå rt ðåäóêòèâíîå ìàñøòàáèðóþùåå îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå â òåêñòå äèññåðòàöèè) â âèäå12 Ξ(t) = ddc H1 (t, ζ) ∧ · · · ∧ ddc Hk (t, ζ), 12 dc f = √ ¯ ), ãäå ∂f è ∂f ¯ ãîëîìîðôíûé è ñîîòâåòñòâåííî àíòèãîëîìîðôíûé −1/(4π)(∂f − ∂f äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè f 10 ãäå Hi (t, ζ) íåïðåðûâíûå ïëþðèñóáãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè íà àëãåáðå Ëè ñ ÷èñëîâûì ïàðàìåòðîì t. (2) Íàõîæäåíèå àñèìïòîòèêè Ξ(t) ïðè t → ∞. Êîýôôèöèåíòîì ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå àñèìïòîòèêè âñåãäà îêàçûàåòñÿ ðåãóëÿðèçîâàííîå çíà÷åíèå ñìåøàííîãî îïåðàòîðà Ìîíæà-Àìïåðà (óòâåðæäåíèå 1 â ðàçäåëå 2.1) íà íàáîðå èíêðåìåíòîâ ïðåäñòàâëåíèé. (3) Âû÷èñëåíèå èëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïîñòðîåííîãî ðåãóëÿðèçîâàííîãî çíà÷åíèÿ. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîòîê óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ðàâåí (òåîðåìû 1, 2, 3 â ðàçäåëàõ ñîîòâåòñòâåííî 2.1, 2.2, 2.3) ddc h1 ∧ · · · ∧ ddc hk 13 , (5) ãäå hi (ξ) èíêðåìåíò 14 (â ñëó÷àå (R) ðåäóêòèâíûé èíêðåìåíò15 ) ïðåäñòàâëåíèÿ πi , ò.å. ôóíêöèÿ íà àëãåáðå Ëè G, ðàâíàÿ ìàêñèìàëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà dπi (ξ). Ìîäåëüíûå ïðèìåðû äëÿ ñëó÷àÿ (G) êîíå÷íîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïëåêñíîãî òîðà è êîíå÷íîìåðíûå äèàãîíàëèçóåìûå ïðåäñòàâëåíèÿ àääèòèâíîé ãðóïïû Cn . Îïèñàíèÿ ýòèõ ïðèìåðîâ ïðèâåäåíû â ðàçäåëàõ 2.4 è 2.5.  ïåðâîì ñëó÷àå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè ïîëèíîìû Ëîðàíà, âåñîâûå ìíîãîãðàííèêè ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà 13 Èíêðåìåíòû ïðåäñòàâëåíèé ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ïëþðèñóáãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. Ïîýòîìó (ñì. óòâåðæäåíèå 1 â ðàçä. 2.1) ïðèâåäåííîå âûðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî 14 åñëè ïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè (2), òî ôóíêöèþ "èíêðåìåíò"íà àëãåáðå Ëè ñëåäóåò çàìåíèòü ôóíêöèåé "ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ"íà ñàìîé ãðóïïå. 15 Ïóñòü Im G êîìïàêòíàÿ ïîäàëãåáðà àëãåáðû Ëè G ãðóïïû G. Ðåäóêòèâíûé èíêðåìåíò ôóíêöèÿ íà G, ñîâïàäàþùàÿ ñ èíêðåìåíòîì íà ïîäïðîñòðàíñòâå Re G è ïîñòîÿííàÿ âäîëü ïîäïðîñòðàíñòâà Im G 11 ïîëèíîìîâ Ëîðàíà, à èíêðåìåíò16 îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîãðàííèêà Íüþòîíà. Ïðè k = n ñëåäñòâèå òåîðåìû 1 âûðàæåíèå êîëè÷åñòâà ðåøåíèé îáùåé ñèñòåìû ïîëèíîìîâ ÷åðåç ñìåøàííûé îáúåì èõ ìíîãîãðàííèêîâ Íüþòîíà [2]. Âî âòîðîì ñëó÷àå ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ñóììà, âåñîâîé ìíîãîãðàííèê åå ìíîãîãðàííèê Íüþòîíà (ýòî 2n-ìåðíûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â ïðîñòðàíñòâå Cn∗ ), à èíêðåìåíò îïîðíàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî ìíîãîãðàííèêà. Ïðè k = n ñëåäñòâèå òåîðåìû 1 âûðàæåíèå óñðåäíåííîé ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà êîðíåé ñèñòåì ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì ÷åðåç ñìåøàííûé ïñåâäîîáúåì17 èõ ìíîãîãðàííèêîâ Íüþòîíà [1].  ñëó÷àå (R) äëÿ êîëè÷åñòâà êîðíåé ïîëíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìû ïîëó÷àåì îòâåò â âèäå ñìåøàííîãî îáúåìà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèÿì πi ãðóïïû G âûïóêëûõ òåë, ðàñïîëîæåííûõ â ïðîñòðàíñòâå, äâîéñòâåííîì àëãåáðå Ëè ìàêñèìàëüíîé êîìïàêòíîé ïîäãðóïïû K ãðóïïû G. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèþ òåëî îáúåäèíåíèå îðáèò êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïû K, ïåðåñåêàþùèõ âåñîâîé ìíîãîãðàííèê ïðåäñòàâëåíèÿ.  ñëó÷àå (D) ìû èìååì äåëî ñ áåñêîíå÷íîìåðíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè è áåñêîíå÷íîìåðíûì èíòåãðèðîâàíèåì. Ïðåäñòàâëåíèÿ πK ñòðîÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü IK ïðîñòðàíñòâî ðîñòêîâ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ãëàäêèìè êîýôôèöèåíòàìè íà ïðîñòðàíñòâå Re Cn∗ , îïðåäåëåííûõ â 16  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèè èíêðåìåíò è ðåäóêòèâíûé èíêðåìåíò ñîâïàäàþò âûïóêëîãî òåëà â Cn êîíòàêòíûé îáúåì åãî ãðàíèöû 17 ïñåâäîîáúåì 12 ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè êîìïàêòà K. Äåéñòâèå îïåðàòîðà πK (z) íà ïðîñòðàíñòâå IK çàäàåòñÿ êàê X fα Dα 7−→ X fα Dα exphxzi, ò.å. êàê îáû÷íîå äåéñòâèå íà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðàõ, äåéñòâóþùèõ íà ôóíêöèè àðãóìåíòà x.  ñëó÷àå (D) ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû âèäà {f1 = · · · = fk = 0}, â êîòîðûõ fi ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå íåêîòîðîé îáîáùåííîé ôóíêöèè ñ íîñèòåëåì íà êîìïàêòå Ki (ÿñíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé ïðåäñòàâëåíèÿ πK ). Ïåðâûé øàã àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè â ñëó÷àå (D) èìååò íåêîòîðûå îñîáåííîñòè. Âî-ïåðâûõ, â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíàÿ ôîðìóëà Êðîôòîíà (ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî â ðàçäåëàõ 2.6 è 3.4). Òàêàÿ ôîðìóëà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé â äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Íàïðèìåð, îíà ïîçâîëÿåò ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë óòâåðæäåíèþ î òîì, ÷òî íóëè ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé íà åäèíè÷íîì êðóãå â ñðåäíåì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî ïëîùàäè ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Ïóàíêàðå (ñì. ïðèìåð â ðàçäåëå 2.6). Âî-âòîðûõ, ìû ïðîèçâîäèì óñðåäíåíèå íå òîëüêî ïî ìíîæåñòâó âñåõ ðàññìàòèâàåìûõ ñèñòåì óðàâíåíèé, íî òàêæå ïî íåêîòîðûì åãî ïîäìíîæåñòâàì. Íàïðèìåð, åñëè n = k = 1, à ìíîæåñòâî K êîíå÷íî, òî ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå èìååò âèä X ap,λ z p exp(zλ) = 0. λ∈K, 0≤p¿∞ 13 Ïîýòîìó, óñðåäíÿÿ ïî ìíîæåñòâó âñåõ ñèñòåì, ìû ïðîïóñêàåì ñëó÷àé ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì (ñì. ðàçäåë 2.5 â òåêñòå äèññåðòàöèè).  òðåòüèõ, â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ îáû÷íî íå ñóùåñòâóåò êàêèõ-ëèáî âûäåëåííûõ ñ÷åòíî àääèòèâíûõ ìåð, à ëþáàÿ èç èñïîëüçóåìûõ äëÿ óñðåäíåíèÿ ñ÷åòíî àääèòèâíûõ ãàóññîâñêèõ ìåð (ïî ïîñòðîåíèþ) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî âûðîæäåííîé (ñì. ðàçä. 2.6). Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå îäèíàêîâûõ ïî ñìûñëó ñðåäíèõ âåëè÷èí ÷àñòî ïðèâîäèò ê ðàçíûì ðåçóëüòàòàì (ñì. ïðèìåð â ðàçäåëå 2.6).  ðàçä. 3.3 (äëÿ ïîâûøåíèÿ äîñòîâåðíîñòè âû÷èñëåíèé) èñïîëüçóåòñÿ ñåìåéñòâî ãàóññîâñêèõ ìåð íà ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà. Ýòî ñåìåéñòâî ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé øêàëîé ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé (íàïîäîáèå ñîáîëåâñêîé øêàëû). Ïîêàçàíî, ÷òî óñðåäíåííàÿ ïëîòíîñòü íå çàâèñèò îò âûáîðà ìåðû. 14 Ðàáîòû àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè [1] Á.ß. Êàçàðíîâñêèé, Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è êîðíè ñèñòåì ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì// Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1984, ò.18, âûï. 4, c. 40-49. [2] Á.ß.Êàçàðíîâñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è ôîðìóëà Áåçó äëÿ ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé// Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1987, ò.21, âûï.4, c.73-74. [3] Á.ß. Êàçàðíîâñêèé, "Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà"îáîáùåííûõ ôóíêöèé.// Èçâ. ÐÀÍ, ò. 68, 2, 2004, ñòð. 273-289. [4] Á.ß. Êàçàðíîâñêèé, Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà, èíêðåìåíòû è êîðíè ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé.// Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 2004, ò.38, âûï. 4, c. 256-266. 15