ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿ Îòäåëåíèå ëèíãâèñòèêè ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, 2011-12 ó÷. ãîä. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà Êîìáèíàòîðèêà (20 ñåíòÿáðÿ 2011) Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ  àâòîáóñå 20 ñâîáîäíûõ ìåñò. Âîøëè (à) 25; (á) 5 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî åñòü âàðèàíòîâ ðàññàäèòü èõ ïî ñâîáîäíûõ ìåñòàì (êàæäûé âîøåäøèé ïàññàæèð äîëæåí ñåñòü íà ñâî¼ ìåñòî, ñòîÿ÷èõ îñòàòüñÿ íå äîëæíî)? Ðåøåíèå. (à) Ñâîáîäíûõ ìåñò ìåíüøå, ÷åì âîøåäøèõ ëþäåé, ïîýòîìó ó âîøåäøèõ íå ïîëó÷èòñÿ ñåñòü íà ñâîáîäíûå ìåñòà â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè çàäà÷è. Îòâåò: 0. (á) Ïåðâûé ÷åëîâåê ìîæåò ñåñòü íà ëþáîå èç 20 ñâîáîäíûõ ìåñò, âòîðîé íà ëþáîå èç 19 îñòàâøèõñÿ, òðåòèé íà ëþáîå èç 18 îñòàâøèõñÿ, ÷åòâ¼ðòûé íà ëþáîå èç 17 îñòàâøèõñÿ, ïÿòûé èç 16. Ïîýòîìó îòâåò 20 · 19 · 18 · 17 · 16. Çàäà÷à 2. Åñòü 10 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ ñîñòàâèòü èç ÷àñòè èç íèõ êîëîííó äëèíîé (à) 3; (á) 11 ÷åëîâåê? Ðåøåíèå. (à) Ïåðâîãî ÷åëîâåêà â êîëîííå ìîæíî âûáðàòü 10 ñïîñîáàìè, âòîðîãî 9, òðåòüåãî 8. Ñëåäîâàòåëüíî, îòâåò â çàäà÷å 10 · 9 · 8 = 720. (á) Êîëîííó äëèíîé 11 ÷åëîâåê èç 10 ÷åëîâåê ñîñòàâèòü íåâîçìîæíî, ïîýòîìó îòâåò 0. Çàäà÷à 3. Ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ âûáðàòü 3 äåæóðíûõ èç 10 ÷åëîâåê? Ðåøåíèå. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ÷èñëî ñïîñîáîâ ñîñòàâèòü èç òð¼õ äåæóðíûõ ðàâíî 10 · 9 · 8 = 720. Íî ðàçíûå ñïèñêè ìîãóò çàäàâàòü îäèí è òîò æå íàáîð äåæóðíûõ. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ðàçíûõ ñïèñêîâ çàäàþò îäèí è òîò æå íàáîð äåæóðíûõ.  äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ïðîñòî ïåðå÷èñëèòü ýòè ñïèñêè: 123, 132, 213, 231, 312, 321 èòîãî 6 ñïèñêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøè 720 ñïèñêîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ â ñòîïêè ïî 6 ñïèñêîâ, è îòâåòîì â çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî ïîëó÷àþùèõñÿ ñòîïîê, òî åñòü 720 : 6 = 120. Çàäà÷à 4. Ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ ðàññàäèòü 5 ÷åëîâåê íà ïÿòèìåñòíîé êàðóñåëè? Ðåøåíèå. Åñëè êàðóñåëü ¾çàìîðîçèòü¿, òî êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ áóäåò ðàâíî 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Íî êàðóñåëü ìîæåò âðàùàòüñÿ, ïîýòîìó ýòè ñïîñîáû îáúåäèíÿþòñÿ â ãðóïïû ïî 5. Îòâåò: 5!/5 = 4! = 24. Çàäà÷à 5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü êàðóñåëü ñ (à) ïÿòüþ ñèäåíüÿìè; (á*) p ñèäåíüÿìè, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, â a öâåòîâ? Ðåøåíèå. (à) Âèäèìî, ñàìûé ïðîñòîé ñïîñîá ðåøèòü ýòîò ïóíêò ýòî ïåðå÷èñëèòü âñå ñïîñîáû ðàñêðàñêè: • âñå ìåñòà áåëûå; • îäíî ìåñòî ÷¼ðíîå; • äâà ÷¼ðíûõ ìåñòà ðÿäîì, îñòàëüíûå áåëûå; • äâà ÷¼ðíûõ ìåñòà ÷åðåç îäíî, îñòàëüíûå áåëûå; • äâà áåëûõ ìåñòà ðÿäîì, îñòàëüíûå ÷¼ðíûå; • äâà áåëûõ ìåñòà ÷åðåç îäíî, îñòàëüíûå ÷¼ðíûå; • îäíî ìåñòî áåëîå, îñòàëüíûå ÷¼ðíûå; • âñå ìåñòà ÷¼ðíûå. Çàäà÷à 1. óïîðÿäî÷åííûé ñïè- ñîê Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ 1 ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿ Èòàê, âñåãî åñòü 8 âàðèàíòîâ ðàñêðàñêè. Çàäà÷à ðåøåíà. Ïðèâåä¼ì òàêæå íåïðàâèëüíîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è è îáúÿñíèì, â ÷¼ì îøèáêà. Íåïðàâèëüíîå ðåøåíèå. Êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ñíà÷àëà ¾çàìîðîçèì¿ êàðóñåëü. Òîãäà êàæäîå ñèäåíüå ìîæíî ïîêðàñèòü â îäèí èç äâóõ öâåòîâ, òî åñòü îáùåå êîëè÷åñòâî ðàñêðàñîê ðàâíî 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32. Îñòàëîñü, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïîäåëèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà 5 è ïîëó÷èòü îòâåò 6,4. Òî, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò îøèáêó, ìîæíî ïîíÿòü ïî îòâåòó: êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàñêðàñêè îáÿçàíî áûòü öåëûì, à ó íàñ ïîëó÷èëîñü íåöåëîå ÷èñëî. Íî ãäå îøèáêà? ×òîáû ýòî ïîíÿòü, ìîæíî äëÿ êàæäîãî èç íàøèõ âîñüìè âàðèàíòîâ âûïèñàòü, ñêîëüêè âàðèàíòàì ðàñêðàñêè ¾çàìîðîæåííîé¿ êàðóñåëè îíè ñîîòâåòñòâóþò.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ, ÷òî êàæäûé âàðèàíò êðîìå ïåðâîãî è ïñëåäíåãî ñîîòâåòñòâóåò ïÿòè âàðèàíòàì, à ïåðâûé è ïîñëåäíèé îäíîìó. Âñåãî 6·5+1+1 = 32 âàðèàíòà. Òàêèì îáðàçîì, îøèáêà áûëà â òîì, ÷òî íå êàæäîìó âàðèàíòó ðàñêðàñêè èñïðàâíîé êàðóñåëè ñîîòâåòñòâóåò 5 âàðèàíòîâ ðàñêðàñêè ¾çàìîðîæåííîé¿. (á*) Çàäà÷à íà ñåìèíàðå íå ðàçáèðàëàñü, òîëüêî ñîîáùàëñÿ îòâåò 2 p−2 + 2. Çàäà÷à 6. (à) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò äåñÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, â äåñÿòè÷íîé çàïèñè êîòîðûõ öèôðû ðàñïîëîæåíû ïî óáûâàíèþ? (á*) Êàêèì ñòàíåò îòâåò, åñëè ñíÿòü îãðàíè÷åíèå íà êîëè÷åñòâî çíàêîâ? Ðåøåíèå. (à) Òàêîå ÷èñëî òîëüêî îäíî: 9876543210. (á*)1 Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà ðàçëè÷íûõ öèôð ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî ÷èñëî, ñîñòîÿùåå èç ýòèõ öèôð, òàêîå ÷òî öèôðû â åãî çàïèñè ðàñïîëîæåíû ïî óáûâàíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ÷èñëå ñíà÷àëà èä¼ò ñàìàÿ áîëüøàÿ èç öèôð íàáîðà, ïîòîì ñëåäóþùàÿ è ò. ä. Íàïðèìåð, äëÿ íàáîðà { 1, 5, 3, 2 } òàêèì ÷èñëîì áóäåò 5321. Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî ÷èñåë, öèôðû êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ïî óáûâàíèþ, ðàâíî êîëè÷åñòâó ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà { 0, 1, 2, . . . , 9 }.  ïóíêòå (á) ñëåäóþùåé çàäà÷è ìû óâèäèì, ÷òî êîëè÷åñòâî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà èç n ýëåìåíòîâ ðàâíî 2n, ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ïîäìíîæåñòâ ðàâíî 2n − 1. Çàäà÷à 7.  êîìíàòå ñèäÿò 30 ÷åëîâåê è ðåøàþò, êîìó èäòè â ìàãàçèí. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé îíè ìîãóò ïðèíÿòü, åñëè (à) äîëæíî ïîéòè ðîâíî 10 ÷åëîâåê? (á) ìîæåò ïîéòè ëþáîå êîëè÷åñòâî ÷åëîâåê îò 0 äî 30? Ðåøåíèå. (à) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å î âûáîðå òð¼õ äåæóðíûõ, ñíà÷àëà íàõîäèì êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ñîñòàâèòü ñïèñîê èç 10 ÷åëîâåê: 30 · 29 · · · · · 21. Òåïåðü íàéä¼ì êîëè÷åñòâî ñïèñêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó è òîìó æå íàáîðó ëþäåé. Åñëè ìû óæå ðåøèëè, êàêèå 10 ÷åëîâåê äîëæíû âîéòè â ñïèñîê, íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîñòàâèòü ëþáîãî îäíîãî èç 10 âûáðàííûõ ëþäåé, íà âòîðîå ëþáîãî èç 9 îñòàâøèõñÿ, è ò. ä., íà ïîñëåäíåå åäèíñòâåííîãî îñòàâøåãîñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèõ ñïèñêîâ 10 · 9 · · · · · 1 = 10!. Èòàê, 30 · 29 · · · · · 21 ñïèñêîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ â ñòîïêè ïî 10! ñïèñêîâ â êàæäîé. Êàæäàÿ òàêàÿ ñòîïêà ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó ñïîñîáó âûáðàòü 10 ÷åëîâåê èç 30. Îòâåò: 30·29·····21 = 10! 30! 20!10! . (á) Ïîñêîëüêó êàæäûé ÷åëîâåê âûáèðàåò, èäòè åìó èëè íåò, îáùåå êîëè÷åñòâî âàðèàíòîâ ðàâíî 230. p âñåõ íåïóñòûõ âñåõ íåïóñòûõ Õîòÿ ðåøåíèå î÷åíü êîðîòêîå, äîãàäàòüñÿ äî íåãî ñëîæíî. Îáúÿñíèì, êàê ìîæíî áûëî äîãàäàòüñÿ äî îòâåòà. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîìïàíèè èç îäíîãî ÷åëîâåêà.  ýòîì ñëó÷àå âàðèàíòîâ âñåãî äâà: îí èëè èä¼ò â ìàãàçèí, èëè íå èä¼ò. 1 Çàäà÷à íà ñåìèíàðå íå ðàçáèðàëàñü. Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ 2 ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿ Åñëè â êîìïàíèè äâà ÷åëîâåêà, åñòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ: íå èä¼ò íèêòî; èä¼ò òîëüêî ïåðâûé; èä¼ò òîëüêî âòîðîé; èäóò îáà. Ìîæíî âûïèñàòü âñå âàðèàíòû è äëÿ êîìïàíèè èç òð¼õ ÷åëîâåê: íå èä¼ò íèêòî (1 âàðèàíò), èä¼ò îäèí ÷åëîâåê (3 âàðèàíòà), èäóò äâîå (3 âàðèàíòà), èäóò âñå òðîå (1 âàðèàíò). Èòîãî 1 + 3 + 3 + 1 = 8 âàðèàíòîâ. Ïîñìîòðåâ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 2, 4, 8, ìîæíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî ïåðåä íàìè ñòåïåíè äâîéêè. Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ 3