$ ÊÂÀÍT 2000/¹4 b g b g > N N − 1 8 . Òàê êàê îáùåå ÷èñëî ïàðòèé ðàâíî N N − 1 2 , òî äîëÿ ïðàâèëüíûõ ïàðòèé áîëüøå 1/4. á) Ïóñòü ñíà÷àëà â òóðíèðå ó÷àñòâîâàë 2k + 1 èãðîê, ïðè÷åì êàæäûé ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì i ≤ k ïðîèãðàë ó÷àñòíèêàì ñ íîìåðàìè i + 1, ..., i + k è âûèãðàë ó îñòàëüíûõ, à êàæäûé ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì i > k âûèãðàë ó ó÷àñòíèêîâ ñ íîìåðàìè i k,..., i 1 è ïðîèãðàë îñòàëüíûì. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå èãðîêè íàáðàëè ïî k î÷êîâ, ïðè÷åì â òàáëèöå òóðíèðà âûøå ãëàâk k +1 êëåòêàõ èç íîé äèàãîíàëè åäèíèöû ñòîÿò ëèøü â 2 2k 2k + 1 . Òåïåðü «ðàçìíîæèì» êàæäîãî èãðîêà, çàìåíèâ åãî 2 áëîêîì èç k íîâûõ, è ïóñòü èãðîêè èç ðàçíûõ áëîêîâ èãðàþò äðóã ñ äðóãîì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåæíèå èãðîêè, à èãðîêè èç îäíîãî áëîêà èãðàþò äðóã ñ äðóãîì âíè÷üþ. Ïîëó÷èì íîâóþ òàáëèöó, â êîòîðîé ïî-ïðåæíåìó ó âñåõ èãðîêîâ ïîðîâíó î÷êîâ. Èçìåíèì ýòó òàáëèöó òàê, ÷òîáû ñóììû î÷êîâ èãðîêîâ ïåðåñòàëè áûòü ðàâíûìè. Äëÿ ýòîãî áóäåì ìåíÿòü ðåçóëüòàòû èãðîêîâ èç áëîêà k + 1: â èõ âñòðå÷àõ ñ èãðîêàìè èç áëîêà k + 1 i çàìåíèì ik âûèãðûøåé íè÷üèìè òàê, ÷òî ñóììà î÷êîâ êàæäîãî èãðîêà èç áëîêà k + 1 óìåíüøèòñÿ, à êàæi äîãî èãðîêà èç áëîêà k + 1 i óâåëè÷èòñÿ íà . 2 (Ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü À è  k-ýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, i ≤ k . Ëåãêî ïîñòðîèòü i (âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ) îòîáðàæåíèé À íà  òàê, ÷òî, êàêîé ýëåìåíò õ ìíîæåñòâà À íè âîçüìè, îáðàçû õ ïðè ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ îòîáðàæåíèé ðàçëè÷íû.) Íàïðîòèâ, â ïàðòèÿõ ñ èãðîêàìè èç áëîêà k + 1 + i çàìåíèì íè÷üèìè ik ïðîèãðûøåé. ×èñëî s íåïðàâèëüíûõ ïàðòèé ñòàíåò ðàâíî k k +1 2 2k 2k + 1 2 k k +1 k −k − 2k . 2 2 2 Ïðè ýòîì îáùåå ÷èñëî ïàðòèé S ðàâíî b b g b g b b gd b g g b g g i. k 2k + 1 k 2k + 1 − 1 2 235600 Ïðè k = 20 íåïðàâèëüíûå ïàðòèè ñîñòàâëÿþò > 0,7 335790 îò îáùåãî ÷èñëà ïàðòèé. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî s 3 lim = . k →∞ S 4 15. Áóäåì ïîìåùàòü ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ïðàâèëüíûå òåòðàýäðû, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè ðåáðàìè êîòîðûõ ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè. Ïóñòü îäíî èç ðåáåð êàæäîãî òåòðàýäðà ëåæèò â îäíîé èç ãðàíè÷íûõ ïëîñêîñòåé, à ïðîòèâîïîëîæíîå åìó â äðóãîé. Äâà òåòðàýäðà ìîæíî ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû êîíåö «âåðõíåãî» ðåáðà ïåðâîãî ñîâïàäàë ñ ñåðåäèíîé «âåðõíåãî» ðåáðà âòîðîãî, à ñåðåäèíà «íèæíåãî» ðåáðà ïåðâîãî ñ êîíöîì «íèæíåãî» ðåáðà âòîðîãî, è ïðè ýòîì êàê «âåðõíèå», òàê è «íèæíèå» ðåáðà îáîèõ òåòðàýäðîâ áûëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ðàñïðîñòðàíèâ ýòîò ïðîöåññ íà âåñü ñëîé, ïîëó÷èì, ÷òî êàæäûé òåòðàýäð îêðóæåí ÷åòûðüìÿ äðóãèìè (ðèñ.11). Ýòè «ñîÐèñ. 11 ñåäè» íå ïîçâîëÿþò ñäâèíóòü òåòðàýäð âî âíåøíþþ (ïî îòíîøåíèþ ê íåìó) ñòîðîíó îò ëþáîé åãî ãðàíè. Èçáðàííûå çàäà÷è îòáîðà íà Ðîññèéñêóþ îëèìïèàäó 1. Íåò. Åñëè òðè òàêèå õîðäû íàøëèñü, òî îíè äåëÿò ïëîùàäü êðóãà â îäèíàêîâîì îòíîøåíèè 3:4 è ïîòîìó ðàâíû. Ñåêòîðû ìåæäó èõ êîíöàìè ðàâíîâåëèêè, ïîýòîìó ìåæäó õîðäàìè îäèíàêîâûå óãëû ïî 60°. Íî òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòè ñåêòîðû ìåíüøå ïî ïëîùàäè, ÷åì ñîñåäíèå óñå÷åííûå ñåêòîðû. 2. Ñðåäè öèôð ÷èñëà n íå áîëåå äâóõ åäèíèö, à îñòàëüíûå íóëè. Âñåãäà S ab ≤ S a S b , ïðè÷åì ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè óìíîæåíèè «â ñòîëáèê» íåò ïåðåíîñîâ èç îäíîãî ðàçðÿäà â äðóãîé. Åñëè ïðè âîçâåäåíèè n â ÷åòâåðòóþ ñòåïåíü íåò ïåðåíîñîâ, òî ÷åòâåðòàÿ ñòåïåíü êàæäîé öèôðû îäíîçíà÷íîå ÷èñëî. Åñëè â çàïèñè n õîòÿ áû òðè åäèíèöû, òî ïðè âîçâåäå2 íèè n â êâàäðàò ïîÿâëÿåòñÿ ïåðåíîñ. Åñëè åäèíèö íå áîëåå äâóõ, òî ïåðåíîñà íå âîçíèêàåò. 3. Òàê êàê âïèñàííûå óãëû KBD è KCA ðàâíû, òî òî÷êè X, Y, B, C ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Òîãäà óãëû CBY è CXY ðàâíû êàê âïèñàííûå. Äàëåå èñïîëüçóåì ðàâåíñòâî âïèñàííûõ óãëîâ CBD è CAD. 4. (Ðåøåíèå îñíîâàíî íà ðàáîòå ó÷åíèöû 10 êëàññà ëèöåÿ «Âòîðàÿ øêîëà» Å.Ìóðàâüåâîé.) Òðåóãîëüíèêè, â êîòîðûå âïèñàíû ðàâíûå îêðóæíîñòè, áóäåì íàçûâàòü îòìå÷åííûìè. Åñëè îòìå÷åíû êàêèå-ëèáî äâà òðåóãîëüíèêà, «ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû AD», òî À = ÀÑ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îòìå÷åíû ÀÎÅ è ÀÎF, òî ∠ ÀÅ = = ∠ AFC, îòêóäà ∠ ÀÂÅ = ∠ ÀÑF. Ïóñòü îòìå÷åíû ÎÂF è ÎÑÅ. Òîãäà â ýòèõ òðåóãîëüíèêàõ ðàâíû óãëû ïðè âåðøèíå Î, îïóùåííûå èç Î íà BF è CE âûñîòû è ðàäèóñû âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé. Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè, ÷òî ðàâíû è ñàìè òðåóãîëüíèêè. Òàê êàê ∠ OBF ≠ ∠ OEC, òî ∠ OBF = = ∠ OCÅ. Ðàâåíñòâî ∠ OBD = ∠ OCD ñëåäóåò è èç îòìå÷åííîñòè òðåóãîëüíèêîâ OBD è OCD; äîêàçàâ ýòî, ìû çàâåðøèëè áû ðåøåíèå çàäà÷è. ( ñàìîì äåëå, êàêóþ áèññåêòðèñó l íè âîçüìè, íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà ïàðà «ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî l» îòìå÷åííûõ òðåóãîëüíèêîâ.) Îäíàêî ìû íå óìååì äîêàçûâàòü ýòî ðàâåíñòâî áåç âû÷èñëåíèé; íå ïðèáåãàÿ ê íèì, ìû îêîí÷èì ðåøåíèå íåñêîëüêî ïî-äðóãîìó. Î÷åâèäíî, ó òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ åñòü âåðøèíà, ê êîòîðîé ïðèìûêàþò îòìå÷åííûå òðåóãîëüíèêè, íàïðèìåð, À. Çíà÷èò, À = ÀÑ. Îïèðàÿñü íà ýòî, äîêàæåì, ÷òî èç îòìå÷åííîñòè OFB è OFA ñëåäóåò ÀÑ = ÂÑ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 , O2 , O3 öåíòðû îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â òðåóãîëüíèêè ÀÎÅ, ÀÎF, BOF ñîîòâåòñòâåííî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî O1O2 | | BC , O2 O3 | | AB , O3 O1 | | BE , îòêóäà O2 O3 = = O1O2 . Çíà÷èò, îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O2 è O3 èìåþò îáùóþ òî÷êó êàñàíèÿ ñ CF, CF ⊥ O2 O3 , îòêóäà ÀÑ = ÂÑ. 5. Çàôèêñèðîâàâ k, ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî ÷èñëó ðåáåð n. Íà÷àëî î÷åâèäíî. Äëÿ èíäóêòèâíîãî ïåðåõîäà îò n 1 ê n ñîòðåì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå êàêèå-òî âåðøèíû À è Â. Òåïåðü êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê åñòü ìíîãî÷ëåí P k . Èç íåãî íóæíî âû÷åñòü êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê ãðàôà, ïîëó÷àåìîãî ïðè îòîæäåñòâëåíèè À è Â. Íî ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ ýòî òàêæå íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí Q k . 6. Åñëè x ≤ 0 , òî x = − y 2 äëÿ íåêîòîðîãî ó, è f x = b g bgbg bg e d b g ij d b gi bg bg 2 bg =f f f y = − f y ≤ 0 .  îáëàñòè x > 0 ôóíêöèÿ f x âçàèìíî îäíîçíà÷íà, è èç íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò åå ñòðîãàÿ ìîíîòîííîñòü. Åñëè f a > 0 äëÿ íåêîòîðîãî à > 0, òî 2 f f x âîçðàñòàåò ïðè õ = à, òîãäà êàê −x óáûâàåò. 7. n + 1. Äëÿ n = 0 è n = 1 ðåçóëüòàò î÷åâèäåí. Ïóñòü îí âåðåí äëÿ êàêîãî-òî n > 1.  êóáå ñ ðåáðîì 2 è ïëîòíîé ðàññòàn íîâêîé ëàäåé «ðàçäóåì» åäèíè÷íûå êóáèêè â 2 ðàç. Íà ìåñòî ëàäåé ïîñòàâèì êóáû ñ ïëîòíîé ðàññòàíîâêîé è n + 1 «óãëîâèêîì». Ïîëó÷èì êóá ñ ðåáðîì 2 n +1 è íå ìåíåå ÷åì n + 2 «óãëîâèêàìè». Áîëüøå èõ áûòü è íå ìîæåò: åñëè «óãëîâèê» ñ ðåáðîì l ñîäåðæèòñÿ â «óãëîâèêå» ñ ðåáðîì m, òî m ≥ 2l . Ïîñëåäíåå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â èõ «ðàçíîñòè» ìîæíî ðàñ2 ñòàâèòü íå áîëåå 3 m − l ëàäåé òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã d b gi b bg g