À ÍÍ ÒÛ Â À ÀÐÐÈÈ À ÒÛ Ìàòåðèàëû âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ 2007 ãîäà Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âàðèàíò 1 (îëèìïèàäà «Ëîìîíîñîâ-2007») 1. Âû÷èñëèòå (sin α - cos α ) (sin β - cos β) , åñëè sin (α + β) = = 0,8 è cos (α - β) = 0,3 . 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 2 2 ( ). = 2 5 x 5 3. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âûðàæåíèå logb11b50 (b1b2 K b60 ) , ãäå b1, b2,K ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ? 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 8 - x - 2x - 1 £ 1. x + 7 - 2x - 1 5. Íà ñòîðîíå À òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òàêàÿ òî÷êà D, ÷òî îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè À, Ñ è D, êàñàåòñÿ ïðÿìîé ÂÑ. Íàéäèòå AD, åñëè ÀÑ = 9, ÂÑ = 12 è CD = 6. 6. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà à, b è ñ òàêîâû, ÷òî ÍÎÊ (a, b) = 60 è ÍÎÊ (a, c) = 270 ( ÍÎÊ ( x, y ) íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë õ è ó). Íàéäèòå ÍÎÊ (b, c) . 7. Îïðåäåëèòå, ïîä êàêèì óãëîì âèäíî èç íà÷àëà êîîðäèíàò (ò.å. âíóòðè êàêîãî íàèìåíüøåãî óãëà ñ âåðøèíîé â òî÷êå(0, 0) ïîìåùàåòñÿ) ìíîæåñòâî, çàäàííîå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè íåðàâåíñòâîì 2 2 14 x + xy + y + 14 x + 2 y + 4 < 0 . 8. Ãðàíè äâóãðàííîãî óãëà ïåðåñåêàþò áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàäèóñîì 5, îáðàçóÿ ñ åãî îñüþ óãëû â 70° è 80° , à ðåáðî äâóãðàííîãî óãëà ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îñè è óäàëåíî îò íåå íà ðàññòîÿíèå 11. Íàéäèòå îáúåì ÷àñòè öèëèíäðà, ðàñïîëîæåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà. 9. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ x Î (0; π] , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ tg x tg 2x tg 3x + tg x + tg 2x = tg 3x . 10.  òå÷åíèå ÷åòâåðòè ó÷èòåëü ïî ïåíèþ ñòàâèë äåòÿì îöåíêè «1», «2», «3», «4» è «5». Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ îöåíîê Âîâî÷êè îêàçàëîñü ðàâíûì â òî÷íîñòè 3,5. È òîãäà, ïî ïðåäëîæåíèþ Âîâî÷êè, ó÷èòåëü çàìåíèë îäíó åãî îöåíêó «4» ïàðîé îöåíîê «3» è «5». Äîêàæèòå, ÷òî îò ýòîãî ñðåäíÿÿ îöåíêà Âîâî÷êè ïî ïåíèþ óâåëè÷èëàñü. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå åå çíà÷åíèå ïîñëå òàêîé çàìåíû: à) îäíîé îöåíêè «4»; á) âñåõ åãî îöåíîê «4». Âàðèàíò 2 (ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò) 1. Ó÷èòåëü íàçâàë Ïåòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî è ïîïðîñèë íàéòè ñóììó åãî ëîãàðèôìîâ ïî îñíîâàíèÿì 3 è 75. Îäíàêî "# Ïåòÿ ïî îøèáêå íå ñëîæèë ýòè ëîãàðèôìû, à ïåðåìíîæèë èõ, ïîëó÷èâ íåâåðíûé îòâåò, êîòîðûé îêàçàëñÿ âäâîå ìåíüøå âåðíîãî. Êàêîå ÷èñëî íàçâàë åìó ó÷èòåëü? 2. Ãðàôèêè ôóíêöèé f ( x ) = 2 x2 - 2x - 1 è g ( x ) = -5x2 + 2 x + 3 ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ. Íàéäèòå êîýôôèöèåíòû à è b â óðàâíåíèè ïðÿìîé y = ax + b, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òå æå òî÷êè. 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3 cos x 3 sin x + cos x = sin x cos x - 3 sin x . 4. Òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì Î, à òî÷êà K íà ïðÿìîé, êàñàþùåéñÿ ýòîé îêðóæíîñòè â òî÷êå Â, ïðè÷åì ÐAKC = 46° , à äëèíû îòðåçêîâ AK, BK, CK îáðàçóþò âîçðàñòàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ (â óêàçàííîì ïîðÿäêå). Íàéäèòå óãîë AKO è ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è Ñ. Êàêîé èç óãëîâ áîëüøå: ACK èëè AOK? 5. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ ( x - 1) ( y - x ) + (7 - y) (1 - x ) + ( x - y ) ( y - 7) ïðè x Î [ -2; 3] è y Î [0; 11] . 6. Äâà êîíóñà èìåþò îáùóþ âåðøèíó è åäèíñòâåííóþ îáùóþ îáðàçóþùóþ, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ñ èõ îñÿìè óãëû â 30° è 45° . Äâóãðàííûé óãîë ðàñïîëîæåí òàê, ÷òî êàæäàÿ åãî ãðàíü êàñàåòñÿ êàæäîãî èç êîíóñîâ ïî ðàçíûì îáðàçóþùèì. Íàéäèòå âåëè÷èíó ýòîãî óãëà. Âàðèàíò 3 (ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè, îëèìïèàäà «Àáèòóðèåíò-2007», àïðåëü) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå -4 cos3 x + 2 sin 2x + cos x = 0. sin x - 1 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x +3 9x -7 35x -2 - 4 ³ 5 × 35x -2 . 3.  äâóõ îäèíàêîâûõ ñîñóäàõ îáúåìîì ïî 30 ë êàæäûé ñîäåðæèòñÿ âñåãî 30 ë ñïèðòà. Ïåðâûé ñîñóä äîëèâàþò äîâåðõó âîäîé è ïîëó÷åííîé ñìåñüþ äîïîëíÿþò âòîðîé ñîñóä, çàòåì èç âòîðîãî ñîñóäà îòëèâàþò â ïåðâûé 12 ë íîâîé ñìåñè. Ñêîëüêî ñïèðòà áûëî ïåðâîíà÷àëüíî â êàæäîì ñîñóäå, åñëè âî âòîðîì ñîñóäå îêàçàëîñü íà 2 ë ñïèðòà ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì? 4.  ïðÿìîóãîëüíîì ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ ïðÿìûì óãëîì Ñ ïðîâåäåíû áèññåêòðèñà ÀÌ è ìåäèàíà BN, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå K. Íàéäèòå ïëîùàäü äàííîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè AK = 2 + 2 . 5. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè 5π ö æ y = sin x + sin ç x + ÷. è 6ø 6. Íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ äâóõ ñôåð, ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè êîòîðûõ ðàâíî 5. Ïåðâîé ñôåðû ðàäèóñà "$ ÊÂÀÍT 2008/¹1 3 ñ öåíòðîì â òî÷êå O1 ýòà ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ â òî÷êå K, à âòîðîé ñôåðû ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì â òî÷êå O2 ýòà ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ â òî÷êå L, ïðè÷åì KL = 2 6 . ×åìó ðàâåí äâóãðàííûé óãîë, ðåáðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ KL, îäíà èç ãðàíåé ñîäåðæèò òî÷êó O1 , à äðóãàÿ òî÷êó O2 ? òî÷êàõ À è  ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçîê À ðàâåí à, à ðàäèóñ îïèñàííîé îêîëî ∆KLM îêðóæíîñòè ðàâåí R. Íàéäèòå ïëîùàäü ∆KLM . 7. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ à èç ïðîìåæóòêà (-3; 0) íàéäèòå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Âàðèàíò 4 (ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè) 1. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 2π cos 7π ö 18π ö æ æ 3 2 sin ç x + , ÷ sin çè 3x + ÷ = cos 4x + 2 è 25 ø 25 ø é π 4π ù ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó ê - ; ú. ë 10 5 û 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log x + 2 (2 - x ) ³ log5 (2x + 3) - 1 log5 ( x + 2) . 3.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ òî÷êà D ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì âûñîòû, îïóùåííîé èç òî÷êè À íà ñòîðîíó ÂÑ. Îêðóæíîñòü äèàìåòðà 2 3 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè  è D è êàñàåòñÿ âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ACD. Èçâåñòíî, ÷òî AC = 4 3 , à âåëè÷èíà óãëà ÀÂÑ ðàâíà 30° . Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÂÑ. 4. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë (x; y) , óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ì x - y £ -25, ï 2 í x - y £ 8, ï4 x + y £ 1. î 5. Äàíà òðåóãîëüíàÿ ïðèçìà ABCA1B1C1 ( AA1 P BB1 P CC1 ). Íà ðåáðå CC1 âûáðàíà òî÷êà D. Ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êè A, B1 è D, äåëèò ïðèçìó íà äâà ìíîãîãðàííèêà, A BCDB1 è B1 AA1C1D , îòíîøåíèå îáúåìîâ êîòîðûõ ðàâíî 13:17.  êàêîì îòíîøåíèè òî÷êà D äåëèò ðåáðî CC1 ? 6. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü sin (α + β + γ ) , åñëè ïðè ýòèõ α, β, γ ìíîãî÷ëåí îò õ x 4 + 23 sin α x2 + x 21- sin β - cos γ + sin2 β + cos2 γ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà îòíîñèòåëüíî õ? Âàðèàíò 5 (ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 5 x - sin 3 x = 1. 2 sin x 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå ( 3) 2x + 5 × 32 - x - 14 49 - 7 x = 0. 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå x - 2 - 2x + 2 = 2x - 5 - 3x - 1 . 4. Îêðóæíîñòü ðàäèóñà 2, âïèñàííàÿ â ∆KLM , êàñàåòñÿ ñòîðîíû LM â òî÷êå N. Îòðåçîê KN ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà è KN= 8. Íàéäèòå ïëîùàäü ∆KLM . 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî ( log 4 x2 - 4 ) 2 + log 2 x -1 >0. x2 - 4 6.  ∆KLM ÷åðåç òî÷êó N âûñîòû KN ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñòîðîíàì KL è KM è ïåðåñåêàþùèå èõ â (2x 2 - 5ax + 2a2 ) x- 2 =0. a 8. Ñôåðà ðàäèóñà (1 2) 17 êàñàåòñÿ âñåõ ñòîðîí ïðàâèëüíîãî ∆LMN . Òî÷êà S òàêîâà, ÷òî ïëîñêîñòè SLM, SMN è SNL êàñàþòñÿ ñôåðû. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè S äî ïëîñêîñòè LMN ðàâíî 8. Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû SLMN. Âàðèàíò 6 (ôàêóëüòåòû: õèìè÷åñêèé, íàóê î ìàòåðèàëàõ, áèîëîãè÷åñêèé, ôóíäàìåíòàëüíîé ìåäèöèíû, áèîèíæåíåðèè è áèîèíôîðìàòèêè, ãåîãðàôè÷åñêèé, ïñèõîëîãèè) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x 2 -7 x +6 ) 4 x + 23 = 0 . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x2 + 4 x + 4 x2 + 8 x + 16 £1. x+4 2x + 12 3.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå DEF íà ãèïîòåíóçó îïóùåíû ìåäèàíà DM è âûñîòà DQ. Èçâåñòíî, ÷òî 17 8 MD = è sin ÐDMQ = . Íàéäèòå êàòåòû òðåóãîëüíè2 17 êà DEF. 4. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà b1, b2, b3, b4, b5 îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, à ÷èñëà b5,6b3,27b1 àðèôìåòè÷åñêóþ. Íàéäèòå çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè b1, b2, b3, b4, b5 . 5. Ïðÿìàÿ l1 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè (-3; 2) è (1; 1) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ïðÿìàÿ l2 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (-5; 4) è ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé l1 . Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l1 è l2 . 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå ( ) log cos x cos2 x + sin2 x - 2 sin2 x + 5 sin 2x = 0 . 7. Çà 2005 ãîä ÷èñëî êíèã â ôîíäå áèáëèîòåêè ïîñåëêà óâåëè÷èëîñü íà 0,4%, à çà 2006 ãîä íà 0,8%, îñòàâøèñü ïðè ýòîì ìåíüøå 50 òûñÿ÷. Íà ñêîëüêî êíèã óâåëè÷èëñÿ ôîíä áèáëèîòåêè ïîñåëêà çà 2006 ãîä? 8. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñðåäè êîðíåé óðàâíåíèÿ ax2 + (a + 4) x + a + 1 = 0 èìååòñÿ ðîâíî îäèí îòðèöàòåëüíûé. Âàðèàíò 7 (ôàêóëüòåòû: ãåîãðàôè÷åñêèé, ïî÷âîâåäåíèÿ è ôàêóëüòåò ãëîáàëüíûõ ïðîöåññîâ) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x - 1 - 7 = 10 . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 1 1 +9. x -7 x -7 3. Ñóììà ïîëîæèòåëüíîé áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè â 4 ðàçà áîëüøå åå âòîðîãî ÷ëåíà. Âî ñêîëüêî ðàç âòîðîé ÷ëåí ìåíüøå ïåðâîãî? 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin2 11x = cos2 17x . 2 +x£ 2 "% ÂÀÐÈÀÍÒÛ 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 3x 16 + 2 log2x 2 4 16 + 4 log x 16 ³ 0 . 6. Ðåøèòå ñèñòåìó ìï x + y + xy = 7, í 2 2 ïî x + y + xy = 13. 7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà ( ) ( ) ì 5 - 2 6 x + 5 + 2 6 x - 5a = y - y - 8, ï í ïî x2 - (a - 4) y = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. 8. Ïåðèìåòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí 18. ×åðåç ñåðåäèíó D îñíîâàíèÿ À ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó ÂÑ â òî÷êå K è äåëÿùàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ â îòíîøåíèè 5:2, ïðè ýòîì óãîë ADK ðàâåí 135° . Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Âàðèàíò 8 (ãåîëîãè÷åñêèé ôàêóëüòåò) 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x - 12 £ 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2x -4 ( ) - 1 x2 - 7x + 6 £ 0 . æ æ x2 - 2 x ö ö log x ç log2 ç ÷÷ çè è 2 x -1 ø ø÷ log x + 3 2 (2x 2 ) + 9 x + 21 ³ log x + 3 2 (x 2 ) -x . 8. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ñ óðàâíåíèå - 16 - x2 = c + x èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå? Âàðèàíò 10 1. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ 4. Ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ðàâíà 9, ðàäèóñ âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè ðàâåí 1, à äëèíû ñòîðîí À è ÂÑ ðàâíû 3 è 5 ñîîòâåòñòâåííî. ×åìó ðàâíû äëèíû ñòîðîí AD è CD? 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî æ 1ö çè ÷ø 2 πö æ æ 5π ö 5 cos ç 2x + ÷ = 4 sin ç - x÷ - 1 . è è 6 ø 3ø 6. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí 36, à ïëîùàäü ðàâíà 60. Íàéäèòå ñòîðîíû À è ÀÑ, åñëè ÂÑ = 10. 7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò, îòäåëåíèå ýêîíîìèêè) x . 12 - x cos 2x + sin x 1 = cos x . cos x 2 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2 ïðîèçâîäèò â ÷àñ öåëîå ÷èñëî äåòàëåé, íå ïðåâûøàþùåå 16. Ñêîëüêî äåòàëåé â ÷àñ ìîæåò äåëàòü ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðàáî÷èé ñ ñàìîé íèçêîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòüþ? 4. Ðåøèòå ñèñòåìó ìï x 2 - 2y - 3 = 0, í 2 ïî y + 2x - 3 = 0. 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå £ 1. 6. Ñóììà ïåðâûõ ïÿòíàäöàòè ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ñîñòîÿùåé èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøå 337, íî ìåíüøå 393. ×åìó ðàâåí âîñüìîé ÷ëåí ýòîé ïðîãðåññèè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí êðàòåí ÷åòûðåì? 7. ×èñëà x, y, z òàêîâû, ÷òî ìï x + 1 = z + y, í 2 ïî xy + z + 14 - 7z = 0. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ z ñóììà x2 + y2 ìàêñèìàëüíà? Íàéäèòå ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå. 8.  êàêîì îòíîøåíèè äåëèò îáúåì êóáà ABCDA1B1C1D1 , ãäå AA1 P BB1 P CC1 P DD1 , ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó À è öåíòðû ãðàíåé A1B1C1D1 è B1C1CB ? Âàðèàíò 9 (ôàêóëüòåòû: ñîöèîëîãè÷åñêèé è ôèëîëîãè÷åñêèé) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå - x - 3 - x = 10 . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî ( x - 2) ( x - 5) ( x - 8) ³ -1 . ( x + 2) ( x + 5) ( x + 8 ) 3. Îäèí ðàáî÷èé áðèãàäû, ñîñòîÿùåé èç 5 ÷åëîâåê, ïðîèçâîäèò â ñðåäíåì 14 äåòàëåé â ÷àñ, ïðè÷åì êàæäûé èç ðàáî÷èõ x2 - x - 42 = 0 , íàéäèòå âñå ÷èñëà ó, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî -7 y2 - 10 y + 34 ³ 4 x + 7 . 2. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ cos 3x = sin x , óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîâðåìåííî äâóì íåðàâåíñòâàì: sin x ³ 0, cos x £ 0 . 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî æ 2 ö æ 3x ö x x -3 <0. ç x - log2 ç ÷ - log 3 5 ÷ log5 125 × 25 5 è ø è ø ( ) ( ) 4. Áðèãàäå ãðóç÷èêîâ âûäåëåíà íåêîòîðàÿ ñóììà äåíåã íà ðàçãðóçêó áàðæè, îäíàêî 3 ÷åëîâåêà çàáîëåëè è â ðàáîòå íå ó÷àñòâîâàëè. Îñòàâøèåñÿ âûïîëíèëè çàäàíèå, çàðàáîòàâ êàæäûé íà 1,5 òûñÿ÷è ðóáëåé áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå ðàáîòû â ñîñòàâå ïîëíîé áðèãàäû. Îïðåäåëèòå âûäåëåííóþ áðèãàäå ñóììó äåíåã, åñëè 5%-é ñáîð çà åå áàíêîâñêèé ïåðåâîä îáîøåëñÿ ðàáîòîäàòåëþ äîïîëíèòåëüíî â âåëè÷èíó, íàõîäÿùóþñÿ â ïðåäåëàõ îò 1,2 äî 1,6 òûñÿ÷ ðóáëåé. 5. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òî÷êà K òàê, ÷òî òðåóãîëüíèê ABK ðàâíîñòîðîííèé. Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè K äî öåíòðà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ðàâíî 6 è âåëè÷èíà óãëà ACB ðàâíà 5 . Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÀÂ. arcsin 2 13 6. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ æaö f ( x ) = 2 - x x + arcsin ç ÷ è 10 ø íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé íà îòðåçêå ÷èñëîâîé îñè, êîòîðûé ñîåäèíÿåò êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ( ) ( ) x2 - a2 - 8a + 14 x + a2 - 6a + 6 (8 - 2a ) . 7.  îñíîâàíèè ïèðàìèäû SABCD ëåæèò ïàðàëëåëîãðàìì ABCD, íå ÿâëÿþùèéñÿ ðîìáîì. Âåðøèíû À,  è Ñ ðàñïîëîæåíû íà íåêîòîðîé ñôåðå òàê, ÷òî ïðÿìàÿ AD ïðîõîäèò ÷åðåç "& ÊÂÀÍT 2008/¹1 öåíòð ýòîé ñôåðû. Âåðøèíà S, òàêæå ëåæàùàÿ íà äàííîé ñôåðå, ðàâíîóäàëåíà îò êîíöîâ äèàãîíàëè ÀÑ îñíîâàíèÿ. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå îáúåìà ïèðàìèäû, åñëè AC = 2 3 , BD = 2. Âàðèàíò 11 (Ìîñêîâñêàÿ øêîëà ýêîíîìèêè) 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 6 x 2 + 4a2 + 6ax - 3x - 24a + 35 < 0 ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî öåëîå ÷èñëî. 7. Îïðåäåëèòå, êàêàÿ èç äâóõ ïèðàìèä SABC èëè QKNM èìååò ìåíüøèé îáúåì, åñëè äëèíû ðåáåð SA, SB, SC è QK, QN, MN ðàâíû 2, à äëèíû ðåáåð ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ è KN, KM, QM ðàâíû 3 . Âàðèàíò 13 x2 - 3x + 2 £ x - 1 . (ôàêóëüòåò ãîñóäàðñòâåííîãî óïðàâëåíèÿ) 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå log -2 cos x ( 3 sin x - cos 2x ) = 0 . x 1 x 1 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî - ³ - . 10 5 4 2 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4 × 25 x - 23 × 5 x + 15 = 0 . 5. Äëÿ ïåðåâîçêè 90 ò ãðóçà çàòðåáîâàëè íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ ãðóçîâèêîâ.  ñâÿçè ñ òåì ÷òî íà êàæäóþ ìàøèíó ïîãðóçèëè íà 0,75 ò ìåíüøå, äîïîëíèòåëüíî áûëî çàòðåáîâàíî åùå 4 ãðóçîâèêà. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èëîñü ÷èñëî ãðóçîâèêîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíîé çàÿâêîé? 6. Íàéäèòå âñå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x2 - 14 x + 4 y2 + 32y + 88 = 0 . 7. Äèàãîíàëè âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Å. Íàéäèòå ïåðèìåòð è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, åñëè ÂÑ = CD = 6, À = 7 è ÑÅ = 3. 8. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå x -1 - a2 + 2a - 1 = 0 16 x - 3 × 23 x +1 + 2 × 4 x +1 - (4 - 4a ) × 2 èìååò òðè ðàçëè÷íûõ êîðíÿ? Âàðèàíò 12 (Èíñòèòóò ñòðàí Àçèè è Àôðèêè) 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x + 3 ( x - 1 - 3) £ 0 . 2. Ôåðìåð ïîëó÷èë êðåäèò â áàíêå ïîä îïðåäåëåííûé ïðîöåíò ãîäîâûõ. ×åðåç ãîä ôåðìåð â ñ÷åò ïîãàøåíèÿ êðåäè1 ÷àñòü îò âñåé ñóììû, êîòîðóþ îí äîëæåí òà âåðíóë â áàíê 6 áûë áàíêó ê ýòîìó âðåìåíè. À åùå ÷åðåç ãîä â ñ÷åò ïîëíîãî ïîãàøåíèÿ êðåäèòà ôåðìåð âíåñ â áàíê ñóììó, íà 20% ïðåâûøàþùóþ âåëè÷èíó ïîëó÷åííîãî êðåäèòà. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ ïî êðåäèòó â äàííîì áàíêå? 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî æ x2 - 2x ö ³ 0. log 1 ç log 4 x + 10 ÷ø è 2 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 2 + y2 - 4 x - 2 y + 1 + 6 x + 2y - x2 - y2 - 9 + z . 2 5.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíû À è ÂÑ â òî÷êàõ Ð è Q ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî, ÷òî À = 3, AC = 5 , äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû À ê ñòîðîíå ÂÑ, ðàâíà 6 è äëèíû îòðåçêîâ ÀÐ, PQ, QC ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà PQ. 6. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç + x + y - 1 = 2 x - y + 1 sin z + 6 sin2 1. Íà âåëîòðåêå, èìåþùåì ôîðìó îêðóæíîñòè, èç äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê îäíîâðåìåííî ñòàðòóþò äâà âåëîñèïåäèñòà ñî ñêîðîñòÿìè 775 è 800 ìåòðîâ â ìèíóòó ñîîòâåòñòâåííî. Ñêîëüêî ïîëíûõ êðóãîâ ïðîåäåò ïåðâûé âåëîñèïåäèñò ê ìîìåíòó, êîãäà åãî äîãîíèò âòîðîé, åñëè äëèíà âåëîòðåêà ðàâíà ÷åòâåðòè êèëîìåòðà? 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x - 1 1 1æ 1ö - = ç sin x + ÷ . 4 2 3è 4ø 3. Äèàãîíàëü ðàçáèâàåò âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè äëèíîé 5, 12 è 13. Íàéäèòå ðàäèóñ íàèìåíüøåãî êðóãà, â êîòîðûé ìîæíî ïîìåñòèòü òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê. 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x (log4 x)2 - 2 ³ log2 - 1 . 4 5. Ãîðîä àäìèíèñòðàòèâíî ïîäåëåí íà ïÿòü ÷àñòåé: çàïàäíóþ, ñåâåðíóþ, âîñòî÷íóþ, þæíóþ è öåíòðàëüíóþ. Ñðåäíÿÿ öåíà äèçåëüíîãî òîïëèâà ïî áåíçîçàïðàâî÷íûì ñòàíöèÿì â âîñòî÷íîì ðàéîíå ñîñòàâëÿåò 18 ðóáëåé çà ëèòð, â çàïàäíîì 18 ðóáëåé 35 êîïååê, â öåíòðàëüíîì 20 ðóáëåé ñ ïîëòèíîé, â ñåâåðíîì ðàéîíå 17 ðóáëåé ñ ÷åòâåðòüþ ñîîòâåòñòâåííî, â þæíîì ðàéîíå öåíà ñîâïàäàåò ñî ñðåäíåé öåíîé ïî âñåì áåíçîçàïðàâêàì ãîðîäà. Èçâåñòíî, ÷òî â öåíòðàëüíîé ÷àñòè áåíçîçàïðàâî÷íûõ ñòàíöèé â ïîëòîðà ðàçà áîëüøå, ÷åì â çàïàäíîé, à íà âîñòîêå íà òðåòü áîëüøå, ÷åì íà çàïàäå. Âî ñêîëüêî ðàç áåíçîçàïðàâî÷íûõ ñòàíöèé â ñåâåðíîì ðàéîíå ìåíüøå, ÷åì íà âîñòîêå, åñëè ñðåäíÿÿ öåíà äèçòîïëèâà ïî çàïðàâî÷íûì ñòàíöèÿì ãîðîäà ñîñòàâëÿåò 18 ðóáëåé 60 êîïååê? 6. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ à è b òàêèå, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìï bx - y = 2a, í 2 2 2 ïî( x - b) + y = a èìååò ðîâíî òðè ðåøåíèÿ. 7. Îáùåñòâî ðûáîëîâîâ è îõîòíèêîâ, äâå òðåòè ÷ëåíîâ êîòîðîãî ðûáîëîâû, à îäíà òðåòü îõîòíèêè, ðåøèëî ïåðåèçáðàòü ïðàâëåíèå. Ïðåäñåäàòåëü îáùåñòâà ïîäãîòîâèë ïðîåêò ñîñòàâà ïðàâëåíèÿ èç 100 ÷åëîâåê. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî îõîòíèêîâ ìîæíî áûëî âêëþ÷èòü â ïðîåêò ñîñòàâà ïðàâëåíèÿ, ÷òîáû çà íåãî ïðîãîëîñîâàëî áîëåå ïîëîâèíû ÷ëåíîâ îáùåñòâà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî çà ïðîåêò ïðîãîëîñóåò ñòîëüêî ïðîöåíòîâ ðûáîëîâîâ, ñêîëüêî ðûáîëîâîâ â ïðåäëîæåííîì ïðîåêòå, è ñòîëüêî ïðîöåíòîâ îò ÷èñëà îõîòíèêîâ, ñêîëüêî â íåì îõîòíèêîâ? Âàðèàíò 14 (äîïîëíèòåëüíûé íàáîð íà ïëàòíûå îáðàçîâàòåëüíûå ïðîãðàììû äëÿ àáèòóðèåíòîâ ôàêóëüòåòîâ ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî, âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè, õèìè÷åñêîãî, áèîëîãè÷åñêîãî, ïî÷âîâåäåíèÿ, ãåîãðàôè÷åñêîãî, íàóê î ìàòåðèàëàõ, ôóíäàìåíòàëüíîé ÂÀÐÈÀÍÒÛ ìåäèöèíû, ïñèõîëîãèè, áèîèíæåíåðèè è áèîèíôîðìàòèêè, Ìîñêîâñêîé øêîëû ýêîíîìèêè) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå lg y 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 lg y = 3 . 2 cos4 x + sin 3 x = 1 . 3. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåí êâàäðàò. Äâå åãî âåðøèíû èìåþò êîîðäèíàòû (4; - 5) è (-6; 5) . Íàéäèòå êîîðäèíàòû äâóõ äðóãèõ åãî âåðøèí. 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3 1 - +2 x - 2×9 1 1 - + x 4 £ 27 - 1 x . 5. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû SABCD ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê ABCD, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà Q. Ðåáðî SA ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ, à ðåáðà SB è SD íàêëîíåíû ê íåé ïîä óãëàìè δ è γ . Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû. 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 9ö πö æ æ arcsin x - ÷ lg ç x 2 + ÷ > 0 . èç 6ø è 25 ø 7. Îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R îïèñàíà ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ. Ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ñëóæàò òî÷êè êàñàíèÿ îêðóæíîñòè è òðàïåöèè, ðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè. 8. Ê äåñÿòè÷íîé çàïèñè öåëîãî ÷èñëà n ¹ 0 ïðèïèñàëè ñïðàâà êàêóþ-òî öèôðó. Ê ïîëó÷èâøåìóñÿ íîâîìó ÷èñëó ïðèáàâèëè êâàäðàò ÷èñëà n, à ïîòîì âû÷ëè 3. Ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 14n. Êàêîå ÷èñëî n áûëî âçÿòî è êàêàÿ öèôðà áûëà ïðèïèñàíà? ÔÈÇÈÊÀ Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò Çàäà÷è óñòíîãî ýêçàìåíà 1. Äâà òîíêèõ æåñòêèõ ñòåðæíÿ äëèíîé L êàæäûé âðàùàþòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíûõ òî÷åê O1 è O2 â ïëîñêîñòè ðèñóíêà 1. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè ðàâíî h. Íàéäèòå ìîäóëü ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òî÷êè Ñ ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñòåðæíåé âäîëü ïåðâîãî ñòåðæíÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà óãîë ìåæäó ñòåðæíÿìè ðàâåí α , óãîë CO1O2 ðàâåí β , à ñêîðîñòè ñâîáîäíûõ êîíöîâ r r ñòåðæíåé ðàâíû u u è 1 2. Ðèñ. 1 2. Íåïîäâèæíûé êëèí ñ óãëîì α ïðè îñíîâàíèè èìååò ãëàäêóþ íèæíþþ è øåðîõîâàòóþ âåðõíþþ ÷àñòè ñâîåé íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Íà âåðõíåé ÷àñòè êëèíà óäåðæèâàþò òîíêèé îäíîðîäíûé æåñòêèé ñòåðæåíü ìàññîé m, ðàñïîëîæåííûé â ïëîñêîñòè ðèñóíêà 2. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ñòåðæíåì è âåðõíåé ÷àñòüþ êëèíà ðàâåí µ . Ïîñëå òîãî êàê ñòåðæåíü îòïóñêàþò, îí íà÷èíàåò ïîñòóïàòåëüíî ñêîëüçèòü ïî êëèíó. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñèëû íàòÿæåíèÿ ñòåðæíÿ â ïðîöåññå åãî äâèæåíèÿ. Âëèÿíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 3. Ê âåðòèêàëüíîé ñòåíå îäíèì êîíöîì øàðíèðíî ïðèêðåïëåí îäíîðîäíûé òÿæåÐèñ. 2 ëûé æåñòêèé ñòåðæåíü, íà "' äðóãîì êîíöå êîòîðîãî ïîäâåøåí ãðóç, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3. Ñòåðæåíü óäåðæèâàþò â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè ëåãêîé æåñòêîé ïðîâîëîêîé, ïðèêðåïëåííîé ê íåìó íà ðàññòîÿíèè l = 30 ñì îò øàðíèðà. Äðóãîé êîíåö ïðîâîëîêè ïðèêðåïëåí Ðèñ. 3 ê ñòåíå òàê, ÷òî ïðîâîëîêà è ñòåðæåíü ëåæàò â îäíîé âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè h îò øàðíèðà äîëæíà áûòü ïðèêðåïëåíà ê ñòåíå ïðîâîëîêà, ÷òîáû åå àáñîëþòíîå óäëèíåíèå áûëî ìèíèìàëüíûì? Òðåíèåì â øàðíèðå ïðåíåáðå÷ü. 4. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæàò îäèíàêîâûå ãðóçû ìàëûõ ðàçìåðîâ, ðàñïîëîæåííûå â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ìàññà êàæäîãî ãðóçà ðàâíà m. Ãðóçû ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé îäèíàêîâûìè ëåãêèìè ïðóæèíàìè æåñòêîñòüþ k. Ãðóçû ñìåùàþò îò ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ Ðèñ. 4 òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4. Ïîñëå ýòîãî ãðóçû îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò. Îïðåäåëèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ãðóçîâ. Ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè êîëåáàíèÿõ îñè ïðóæèí îñòàþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè. 5. Íà ðèñóíêå 5 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü âíóòðåííåé ýíåðãèè U èäåàëüíîãî ãàçà, èñïîëüçóåìîãî â êà÷åñòâå ðàáî÷åãî âåùåñòâà òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ, îò êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q, êîòîðîå ãàç ïîëó÷èë ñ ìîìåíòà 1 íà÷àëà öèêëà 1 231. Íàéäèòå ÊÏÄ ýòîãî öèêëà. 6.  öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ ñìåñü âîçäóõà, íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà è âîäû â ñêîíäåíñèðîâàííîì ñîñòîÐèñ. 5 ÿíèè. Ìàññà âîäû ðàâíà ìàññå âîäÿíîãî ïàðà. Åñëè èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèòü îáúåì ñìåñè â k = 2 ðàçà, åå äàâëåíèå óâåëè÷èòñÿ â n = = 1,5 ðàçà. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ äàâëåíèå ñìåñè, åñëè åå îáúåì íå óìåíüøàòü, à óâåëè÷èâàòü ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå äî òåõ ïîð, ïîêà âñÿ âîäà íå èñïàðèòñÿ? 7. ×åòûðå íåçàðÿæåííûå îäèíàêîâûå ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñòèíû, ïëîùàäü êàæäîé èç êîòîðûõ S, ðàñïîëîæåíû â âîçäóõå íà ìàëîì ðàññòîÿíèè d ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6. Âíóòðåííèì ïëàñòèíàì ñîîáùèëè ðàâíûå ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó çàðÿäû. Çàòåì âíåøíèå ïëàñòèíû ñîåäèíèëè ìåæäó ñîáîé ÷åðåç ðåçèñòîð, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R.  Ðèñ. 6 # ÊÂÀÍT 2008/¹1 ðåçóëüòàòå â ýòîì ðåçèñòîðå âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q. Ïðåíåáðåãàÿ èçëó÷åíèåì, îïðåäåëèòå ìîäóëü q çàðÿäîâ âíóòðåííèõ ïëàñòèí. 8. Ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü, îäèí êîíåö êîòîðîãî øàðíèðíî çàêðåïëåí â òî÷êå Î, âðàùàþò ñ òàêîé ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω , ÷òî îí îáðàçóåò ñ âåðòèêàëüþ ïîñòîÿííûé óãîë α (ðèñ.7). Äðóãîé êîíåö ñòåðæíÿ êàñàåòñÿ ïðîâîäÿùåé ïîëóñôåðû. Öåíòð ïîëóñôåðû ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Î. Ðàäèóñ ïîëóñôåðû R. Âñÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì âåðòèêàëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî Â. Ðèñ. 7 Ê ïîëóñôåðå ïîäêëþ÷åí ðåçèñòîð ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì r. Äðóãîé êîíåö ðåçèñòîðà ïîäêëþ÷åí ê ñòåðæíþ â òî÷êå Î. Íàéäèòå ìîùíîñòü P, âûäåëÿþùóþñÿ â ðåçèñòîðå. 9. Ê èäåàëüíîé êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè, çàøóíòèðîâàííîé ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R, ïîäêëþ÷àþò íà âðåìÿ τ èñòî÷íèê ñ ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì è ÝÄÑ - . Ïðè ýòîì çà âðåìÿ ïîäêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà è âðåìÿ ïîñëå åãî îòêëþ÷åíèÿ â ðåçèñòîðå âûäåëÿþòñÿ îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Íàéäèòå èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè L. 10. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû Ë ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F è ïëîñêîãî çåðêàëà Ç, ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû. Ìåæäó ëèíçîé è çåðêàëîì íàõîäèòñÿ ñòåðæåíü Ñ, ðàñïîëîæåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 8. Ðàññòîÿíèå îò ñòåðæíÿ äî Ðèñ. 8 ëèíçû ðàâíî d, ïðè÷åì d > F. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå õ ìåæäó ëèíçîé è çåðêàëîì, ïðè êîòîðîì îòíîøåíèå ðàçìåðîâ äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ èçîáðàæåíèé ñòåðæíÿ ðàâíî k >1. Ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè Çàäà÷è óñòíîãî ýêçàìåíà 1. Òÿæåëî íàãðóæåííóþ ëîäêó ïîäòÿãèâàþò ê ïðèñòàíè ñ ïîìîùüþ âåðåâêè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç ðîëèê, íàõîäÿùèéñÿ íà âûñîòå h íàä óðîâíåì âîäû. Ïî êàêîìó çàêîíó äîëæíà ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì ñèëà F (t ) , êîòîðóþ íóæíî ïðèêëàäûâàòü ê âåðåâêå, ÷òîáû ïîääåðæèâàòü ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëîäêè â âîäå ïîñòîÿííîé è ðàâíîé v0 ?  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ëîäêà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v0 , Ðèñ. 9 ñèëà, ñ êîòîðîé òÿíóò çà âåðåâêó, ðàâíà F0 , à ðàññòîÿíèå îò ëîäêè äî ïðèñòàíè ñîñòàâëÿåò l0 (ðèñ.9). Ñîïðîòèâëåíèå âîäû ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè ëîäêè. 2. Ïðàâàÿ ÷àøà ðû÷àæíûõ âåñîâ íàõîäèòñÿ ïîä ìåëêèì ìîðîñÿùèì äîæäåì, à ëåâàÿ óêðûòà îò íåãî íàâåñîì. Êàæäàÿ ÷àøà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîíêîñòåííóþ öèëèíäðè÷åñêóþ 2 åìêîñòü ñ ïëîùàäüþ äíà S = 0,05 ì è âûñîòîé áîðòèêà h = = 1 ìì. Èíòåíñèâíîñòü ðàâíîìåðíî ïàäàþùåãî äîæäÿ òàêîâà, ÷òî äîæäåâàÿ âîäà öåëèêîì çàïîëíÿåò ïðåäâàðèòåëüíî îïîðîæíåííóþ ÷àøó âåñîâ çà âðåìÿ τ = 30 c. Êàêîé ìàññû m ãèðþ íóæíî ïîëîæèòü íà ëåâóþ ÷àøó âåñîâ, ÷òîáû óðàâíîâåñèòü âåñû â ñëó÷àå, êîãäà ïðàâàÿ ÷àøà çàïîëíåíà äîæäåâîé âîäîé äî êðàåâ? Êàïëè äîæäÿ ïàäàþò âåðòèêàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v = 3 ì/c. Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 103 êã ì 3 . Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Ñîóäàðåíèå êàïåëü ñ âîäîé â ÷àøå ñ÷èòàòü íåóïðóãèì. 3. Ðàçâèâàÿ ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ, àâòîáóñ äâèæåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ó÷àñòêó øîññå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0 . Êîãäà àâòîáóñ ïðè íåèçìåííîé ìîùíîñòè äâèãàòåëÿ âúåçæàåò íà ïîäúåì ñ óãëîì íàêëîíà α1 , åãî ñêîðîñòü ïàäàåò äî v1 . Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v2 àâòîáóñ áóäåò ïðåîäîëåâàòü ïîäúåì ñ óãëîì íàêëîíà α 2 < α1 ïðè òîé æå ìîùíîñòè, ðàçâèâàåìîé äâèãàòåëåì? Ïðîñêàëüçûâàíèå âåäóùèõ êîëåñ àâòîáóñà íà âñåõ ó÷àñòêàõ øîññå îòñóòñòâóåò. Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè àâòîáóñà. 4. Äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà ïîäâåøåíû íà íåâåñîìûõ íåðàñòÿæèìûõ íèòÿõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 10. Ñèëû íàòÿæåíèÿ âåðõíåé è ñðåäíåé íèòåé Ðèñ. 10 T1 è T2 èçâåñòíû. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ T3 íèæíåé íèòè, åñëè îíà ãîðèçîíòàëüíà. 5. Òîíêîñòåííûé ñòàêàí âìåñòèìîñòüþ V0 = 200 ñì 3 è ìàññîé m = 100 ã ïîãðóæàþò â âîäó, äåðæà åãî äíîì ââåðõ. Íà êàêîé ãëóáèíå h ïðåäîñòàâëåííûé ñàìîìó ñåáå ñòàêàí ïåðåñòàíåò âñïëûâàòü? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 105 Ïà, ïëîòíîñòü âîäû ρ = 103 êã ì 3 , òåìïåðàòóðà âîäû íå ìåíÿåòñÿ ñ ãëóáèíîé. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Ðàçìåðàìè ñòàêàíà ïî ñðàâíåíèþ ñ ãëóáèíîé åãî ïîãðóæåíèÿ, äàâëåíèåì ïàðîâ âîäû, à òàêæå îáúåìîì ñòåíîê ñòàêàíà ïðåíåáðå÷ü. 6. Ñàäîâûé íàñîñ, ðàñïîëîæåííûé â ñêâàæèíå íà ãëóáèíå h, ïîäàåò âîäó íà ïîâåðõíîñòü çåìëè ïî øëàíãó ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ S. Êàêóþ ìîùíîñòü N ðàçâèâàåò íàñîñ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí íàïîëíÿåò âîäîé âåäðî îáúåìîì V çà âðåìÿ τ ? Ïëîòíîñòü âîäû ρ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. 7. Ê ïîòîëêó ïîêîÿùåéñÿ êàáèíû ëèôòà íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k ïîäâåøåíà ãèðÿ ìàññîé m.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ëèôò íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ââåðõ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a. Êàêîé ïóòü s ïðîéäåò êàáèíà ëèôòà ê òîìó ìîìåíòó, êîãäà äëèíà ïðóæèíû äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ? 8.  êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, ñîâåðøàþùèé ìåæïëàíåòíûé ïåðåëåò, ïîïàë ìåòåîðèò, ïðîáèâøèé â êîðïóñå ìàëåíüêîå îòâåðñòèå, ÷åðåç êîòîðîå íàðóæó ñòàë âûõîäèòü âîçäóõ. Îáúåì êîðàáëÿ V = 1000 ì 3 , íà÷àëüíîå äàâëåíèå âîçäóõà â íåì p0 = 105 Ïà, òåìïåðàòóðà t = 27 °C . ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå ïîïàäàíèÿ ìåòåîðèòà äàâëåíèå âîçäóõà â êîðàáëå óìåíüøèòñÿ íà ∆p = 103 Ïà , åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ S = 1 ñì2 ? Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà Μ = = 29 ã/ìîëü, óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,3 Äæ (ìîëü × Ê ) . Ïðè ðåøåíèè ó÷åñòü, ÷òî ∆p = p0 ; òåìïåðàòóðó âîçäóõà âíóòðè êîðàáëÿ ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé, à ïðîöåññ èñòå÷åíèÿ âîçäóõà êâàçèðàâíîâåñíûì. 9.  çàêðûòîì öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïîä íåâåñîìûì òîíêèì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ îäèí ìîëü èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 300 Ê (ðèñ.11).  ïðîñòðàíñòâå íàä ïîðøíåì ñîçäàí âàêó- Ðèñ. 11 ÂÀÐÈÀÍÒÛ óì. Ïîðøåíü óäåðæèâàåòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðóæèíîé, ïîìåùåííîé ìåæäó ïîðøíåì è êðûøêîé öèëèíäðà, ïðè÷åì ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà, åñëè ïîðøåíü ðàñïîëàãàåòñÿ ó äíà öèëèíäðà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íóæíî ñîîáùèòü ãàçó, ÷òîáû åãî îáúåì óâåëè÷èëñÿ â n = 1,5ðàçà? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,3 Äæ ( ìîëü × Ê ) . Òåïëîåìêîñòüþ ñîñóäà è òåïëîîáìåíîì ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé ïðåíåáðå÷ü. 10.  çàêðûòîì ñ îäíîãî êîíöà öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå íàõîäÿòñÿ äâà òîíêèõ ïîðøíÿ, ñïîñîáíûõ ïåðåìåùàòüñÿ áåç òðåíèÿ è ðàçäåëÿþùèõ ïðîñòðàíñòâî âíóòðè ñîñóäà íà äâà îòñåêà (ðèñ.12).  ëåâîì îòñåêå çàêëþ÷åí âîäÿíîé ïàð ïðè äàâëåíèè ð, à â ïðàâîì âîçäóõ ïðè òîì æå Ðèñ. 12 äàâëåíèè, ïðè÷åì äëèíû îòñåêîâ îäèíàêîâû è ðàâíû L. Ïðàâûé ïîðøåíü ìåäëåííî ïåðåäâèíóëè âëåâî íà ðàññòîÿíèå l. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå x ñìåñòèòñÿ ïðè ýòîì ëåâûé ïîðøåíü? Òåìïåðàòóðó ïàðà è âîçäóõà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå ðàâíî 2p. 11. Ïëàñòèíû ïëîñêîãî âîçäóøíîãî êîíäåíñàòîðà ðàñïîëîæåíû ãîðèçîíòàëüíî. Âåðõíÿÿ ïëàñòèíà ñäåëàíà ïîäâèæíîé è íàõîäèòñÿ â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè íà âûñîòå h = 1 ìì íàä íèæíåé ïëàñòèíîé, êîòîðàÿ çàêðåïëåíà. Êîíäåíñàòîð çàðÿäèëè äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U = 1000 Â, îòêëþ÷èëè îò èñòî÷íèêà è îñâîáîäèëè âåðõíþþ ïëàñòèíó. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåòåò ïàäàþùàÿ ïëàñòèíà ê ìîìåíòó ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ íèæíåé ïëàñòèíîé? Ìàññà âåðõíåé ïëàñòèíû m = 4,4 ã, 2 ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû S = 0,01 ì , ýëåêòðè÷åñêàÿ ïî-12 ñòîÿííàÿ ε0 = 8,85 × 10 Ô ì . Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 . 12. Ýêðàí ýëåêòðîííî-ëó÷åâîé òðóáêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê ñ äèàãîíàëüþ d = 51 ñì è ñîîòíîøåíèåì ñòîðîí 3:4. Ñèëà òîêà â ýëåêòðîííîì ëó÷å I = 0,5 ìÀ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ýëåêòðîíû ëó÷à, ïîïàâøèå íà ýêðàí, îñòàþòñÿ íà íåì, ðàñïðåäåëÿÿñü ïî åãî ïîâåðõíîñòè ðàâíîìåðíî. ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ óñòðîéñòâà íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ýêðàíà äîñòèãíåò ïî âåëè÷èíå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè óåäèíåííîãî ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà ðàäèóñîì R = 10 ñì, çàðÿæåííîãî äî ïîòåíöèàëà ϕ = 3 êÂ? Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ε0 = 8,85 × 10 -12 Ô/ì. 13.  öåïè, èçîáðàÐèñ. 13 æåííîé íà ðèñóíêå 13, êëþ÷ K â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè íàõîäèëñÿ â çàìêíóòîì ñîñòîÿíèè.  íåêîòîðûé ìîìåíò êëþ÷ ðàçîìêíóëè. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q âûäåëèëîñü â ñõåìå ïîñëå ýòîãî? Åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ C1 = 1 ìêÔ è C2 = 2 ìêÔ, ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà R = 4 Îì, ÝÄÑ èñòî÷íèêà - = 10 Â, åãî âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 1 Îì. 14. Äëÿ èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû t ñîáðàíà ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç ÷åòûðåõ ðåçèñòîðîâ è ïîäêëþ÷åíÐèñ. 14 íàÿ ê èñòî÷íèêó ñ ÝÄÑ U # è ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèñ.14). Òåìïåðàòóðíûå êîýôôèöèåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ ïîïàðíî ðàâíû è ñîñòàâëÿþò α1 è α 2 ñîîòâåòñòâåííî, à ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ ðåçèñòîðîâ ïðè òåìïåðàòóðå 0 °C îäèíàêîâû. Êàê çàâèñèò íàïðÿæåíèå U12 ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 îò òåìïåðàòóðû? Ñ÷èòàòü, ÷òî â äèàïàçîíå èçìåðÿåìûõ òåìïåðàòóð α1t = 1 è α 2t = 1 . 15. Äâà ïàðàëëåëüíûõ ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåðæíÿ ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îäíîðîäíîìó ìàãíèòíîìó ïîëþ ñ èíäóêöèåé B (ðèñ.15). Ñòåðæíè ñîåäèíåíû íåïîäâèæíûì ïðîâîäíèêîì ñîïðîòèâëåíèåì R. Äâà äðóãèõ ïðîâîäíèêà ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 è Ðèñ. 15 R2 íàõîäÿòñÿ ñëåâà è ñïðàâà îò íåïîäâèæíîãî ïðîâîäíèêà è ñêîëüçÿò ïî ñòåðæíÿì â îäíó è òó æå ñòîðîíó ñî ñêîðîñòÿìè v1 è v2 . Êàêîé òîê I òå÷åò ïî íåïîäâèæíîìó ïðîâîäíèêó? Ñîïðîòèâëåíèå ñòåðæíåé ïðåíåáðåæèìî ìàëî. 16. Öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 16, ñîñòîèò èç êîíäåíñàòîðà, êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè, èñòî÷íèêà ñ ÝÄÑ - è ïðåíåáðåæèìî ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì, à òàêæå êëþ÷à K.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè êëþ÷ ðàçîìêíóò, à êîíäåíñàòîð çàðÿæåí äî íàïðÿæåíèÿ U0 ñ ïîëÿðíîñòüþ, óêàçàííîé íà ðèñóíêå. Êà- Ðèñ. 16 êîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Umax ìîæåò äîñòè÷ü íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à? Ñîïðîòèâëåíèåì êàòóøêè è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü. 17. Îïòè÷åñêàÿ ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 17, ñîñòîèò èç íåïðîçðà÷íîãî ýêðàíà ñ ìàëåíüêèì îòâåðñòèåì O è äâóõ ïëîñêèõ çåðêàë 1 è 2. Ëó÷ ñâåòà ïðîõîäèò ÷åðåç îòâåðñòèå O, îòðàæàåòñÿ îò çåðêàë 1 è 2 è âûõîäèò îáðàòíî ÷åðåç ýòî îòâåðñòèå, ïðè÷åì óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à íà çåðêàëî 1 ðàâåí α , à ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà 2 ëó÷ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî çåðêàëó 1. Êîãäà çåðêàëî 1 ñìåñòèëè âëåâî ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå íà ðàññòîÿíèå d1 , ëó÷ ïåðåñòàë ïîïàäàòü â îòâåðñòèå O. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå d2 íóæíî ñìåñòèòü ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå çåðêàëî 2, ÷òîáû ëó÷ ñíîâà ïîïàë â ýòî Ðèñ. 17 îòâåðñòèå? Ðàçìåð îòâåðñòèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàë. 18. Îïòè÷åñêèé ñêàíåð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàâèëüíóþ øåñòèãðàííóþ ïðèçìó ñ çåðêàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, âðàùàþùóþñÿ âîêðóã ñâîé îñè O (ðèñ.18). Øèðèíà êàæäîé ãðàíè à. Ñíèçó íà ñêàíåð ïàäàåò âåðòèêàëüíûé ñâåòîâîé ëó÷, ïðîäîëæåíèå êîòîðîãî ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè à/2 îò îñè âðàùåíèÿ ñêàíåðà. Ðÿäîì ñî ñêàíåðîì âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåíà òîíêàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà áîëüøîãî äèàìåòðà. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû ðàâíî F, à åå ãëàâíàÿ îïòè÷åñêàÿ îñü ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ ñêàíåðà.  ïðàâîé ôîêàëüíîé # ÊÂÀÍT 2008/¹1 ïëîñêîñòè ëèíçû ðàñïîëîæåí øèðîêèé ýêðàí, íèæíèé êðàé êîòîðîãî íàõîäèòñÿ íà îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû. Îïðåäåëèòå äëèíó d îòðåçêà, êîòîðûé çàìåòàåò íà ýêðàíå ñâåòîâîé ëó÷, îòðàæåííûé îò ïîâåðõíîñòè ñêàíåðà. 19. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ îäèíàêîâûõ òîíêèõ ñîáèðàÐèñ. 18 þùèõ ëèíç ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F êàæäàÿ. Ëèíçû ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè L äðóã îò äðóãà (F < L < 2F) òàê, ÷òî èõ ãëàâíûå îïòè÷åñêèå îñè ñîâïàäàþò. Ñëåâà îò ñèñòåìû íà ðàññòîÿíèè 2F îò ëåâîé ëèíçû íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h ñìåñòèòñÿ èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà, äàâàåìîå ýòîé ñèñòåìîé, åñëè ïðàâóþ ëèíçó ñäâèíóòü ïåðïåíäèêóëÿðíî åå îïòè÷åñêîé îñè âíèç íà ðàññòîÿíèå H? 20. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà «êîëüöà Íüþòîíà» íàáëþäàåòñÿ â îòðàæåííîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåòå ñ äëèíîé âîëíû λ = 0,63 ìêì. Èíòåðôåðåíöèÿ âîçíèêàåò â çàïîëíåííîì áåíçîëîì òîíêîì çàçîðå ìåæäó âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû è ïëîñêîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé. Íàéäèòå ðàäèóñ r ïåðâîãî (âíóòðåííåãî) òåìíîãî êîëüöà, åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 10 ì, à ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ëèíçû è ïëàñòèíêè îäèíàêîâû è ïðåâûøàþò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ áåíçîëà n = 1,5. Ñâåò ïàäàåò ïî íîðìàëè ê ïëàñòèíêå. Õèìè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âàðèàíò 1 1. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí ýëåêòðîëèçà Ôàðàäåÿ. 2. ×òî òàêîå ñèñòåìà îòñ÷åòà? 3. Ïðîòîí äâèæåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ ïî ïðÿìîé ëèíèè. Êàêîâà ñêîðîñòü ïðîòîíà, åñëè èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ  = 50 ìÒë, à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = 104  ì ? 4. Íà òîíêóþ ðàññåèâàþùóþ ëèíçó ïàäàåò ëó÷ ñâåòà 1, õîä ïðåëîìëåííîãî â ëèíçå ëó÷à 2 èçâåñòåí (ðèñ.19). Ëèíçó çàìåíèëè íà ñîáèðàþùóþ ñ òåìè æå ïîëîæåíèÿìè ôîêóñîâ. Ïîñòðîéòå õîä ëó÷à 1 ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â ýòîé ëèíçå. 5.  áàëëîíå íàõîäèòñÿ äâóõàòîìíûé èäåàëüíûé ãàç. Ïðè íàãðåâàíèè ãàçà Ðèñ. 19 åãî àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà óâåëè÷èëàñü â äâà ðàçà, à ïîëîâèíà ìîëåêóë äèññîöèèðîâàëà (ðàñïàëàñü íà àòîìû). Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèëîñü (óâåëè÷èëîñü èëè óìåíüøèëîñü) äàâëåíèå ãàçà â áàëëîíå? 6. Ïî äâóñêàòíîé êðûøå âäîëü ïîâåðõíîñòè À ñîñêàëüçûâàåò ñîñóëüêà (ðèñ.20). Êàêîâà ñêîðîñòü ñîñóëüêè v0 â ìîìåíò îòðûâà îò ïîâåðõíîñòè ÀÂ, åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè  äî òî÷êè ñîóäàðåíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ êðûøè ÂÑ ðàâíî l, à ñêîðîñòü ñîÐèñ. 20 ñóëüêè ïåðåä ñîóäàðåíè- åì â n ðàç áîëüøå v0 ? Ñ÷èòàòü óãîë α èçâåñòíûì, ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 7. Íà ëåãêîé äèýëåêòðè÷åñêîé íèòè â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïîäâåøåí ìàëåíüêèé ïîëîæèòåëüíî Ðèñ. 21 çàðÿæåííûé øàðèê (ðèñ.21). Øàðèê îòêëîíèëè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òàê, ÷òî íèòü ñòàëà ãîðèçîíòàëüíîé, è îòïóñòèëè. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè ïðè ïðîõîæäåíèè øàðèêîì íèæíåãî ïîëîæåíèÿ. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà  è íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ øàðèêà. Ìàññà è çàðÿä øàðèêà m è q ñîîòâåòñòâåííî, äëèíà íèòè l. 8. Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ïó÷êà ñâåòà îò ãåëèé-íåîíîâîãî ëàçåðà ñ äëèíîé âîëíû λ = 633 íì íàáëþäàåòñÿ âñåãî k = 7 äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ. Êàêîâ ïåðèîä d äàííîé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè? 9.  öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 22, ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðîâ R = 4 Îì, âíóòðåííåå ñî- Ðèñ. 22 ïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà r = 2 Îì. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à K? 10. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ êëèí, èìåþùèé ìàññó Ì = 0,64 êã (ðèñ.23). Î ãëàäêóþ íàêëîííóþ ïîâåðõíîñòü êëèíà óäàðÿåòñÿ øàðèê ìàññîé m = 0,15 êã, ëåòåâøèé ãîðèçîíòàëüíî. Êàêèì äîëæåí áûòü óãîë êëèíà α , ÷òîáû øàðèê îòñêî÷èë âåðòèêàëüíî ââåðõ? Óäàð ñ÷èòàòü àáñîëþòíî Ðèñ. 23 óïðóãèì. Âàðèàíò 2 1. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîíû ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà. 2. ×òî òàêîå ðåçîíàíñ? 3. Ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ ïðîâîäÿùèì êîíòóðîì, ìåíÿåòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 24. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ÝÄÑ, èíäóöèðóåìîé â ýòîì êîíòóðå. 4. Äâà îäèíàêîâûõ áðóñêà íàõîäÿòñÿ íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè íà îäíîì óðîâíå. Áðóñêàì ñîîáùàþò îäèíàêîâûå íà÷àëüíûå ñêîðîñòè âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè: ïåðâîìó âíèç, ê îñíîâàíèþ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, âòîðîìó â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, ê âåðøèÐèñ. 24 íå ïëîñêîñòè. Êàêîé èç áðóñêîâ áóäåò èìåòü áóëüøóþ ñêîðîñòü, êîãäà îíè îêàæóòñÿ ó îñíîâàíèÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? Ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è ïîâåðõíîñòüþ µ < tg α . ÎÒÂÅÒÛ, ÓÂÊÀÀÐÇÈÀÀÍÍÈÒßÛ, 5.  ñåðåäèíå íåïîäâèæíî çàêðåïëåííîãî ãîðèçîíòàëüíîãî öèëèíäðè÷åñêîãî ñîñóäà, îòêðûòîãî ñ îäíîé ñòîðîíû, íàõîäèòñÿ òîíêèé ïîðøåíü.  çàêðûòîé ÷àñòè öèëèíäðà âîçäóõ. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñèëó ñëåäóåò ïðèëîæèòü ê ïîðøíþ, ÷òîáû ìåäëåííî âûòàùèòü åãî èç öèëèíäðà? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 105 Ïà . Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà S = 4 ñì2 . Òåìïåðàòóðó ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Âîçäóõ ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì. 6. Áàòàðåÿ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êîíäåíñàòîðîâ, ñîåäèíåííûõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 25. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ýëåêòðîåìêîñòü áàòàðåè (óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíüøèòñÿ) ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à K? 7. Äëÿ ðàçìîðàæèâàíèÿ âîäîïðîâîäíîé òðóáû, â êîòîðîé çàìåðçëà Ðèñ. 25 âîäà, ïðèìåíèëè ýëåêòðè÷åñêèé íàãðåâàòåëü. Íàãðåâàòåëü ïîäêëþ÷èëè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèåì U = 220 Â. Êàêèì äîëæíî áûòü ñîïðîòèâëåíèå íàãðåâàòåëÿ, ÷òîáû çà âðåìÿ τ = 1 ìèí îí ðàñòàïëèâàë m = 1 êã ëüäà? Ó÷åñòü, ÷òî ïîòåðè òåïëà ñîñòàâëÿþò k = 40%. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 3,3 × 105 Äæ êã . 8. Ñòåðæåíü äëèíîé l = 1 ì îïèðàåòñÿ íà ïîë è íà ñòåíó. Íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ñêîëüçèò ïî ïîëó, óäàëÿÿñü îò ñòåíû, à âåðõíèé ñêîëüçèò ïî ñòåíå âíèç. Íàéäèòå ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé Ñ, ëåæàùåé íà ñåðåäèíå ñòåðæíÿ, ïðè äâèæåíèè ñòåðæíÿ îò âåðòèêàëüíîãî äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. ÐÅØÅÍÈß #! 9.  öåïè, ñõåìà êîòîðîé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 26, ðåçèñòîðû èìåþò ñîïðîòèâR1 = 100 Îì ëåíèÿ è R2 = 200 Îì . Àìïëèòóäà ïîäâåäåííîãî íàïðÿæåíèÿ U0 = 20 B . Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëÿåòñÿ â öåïè çà âðåìÿ τ = 1 ìèí ? Ðèñ. 26 Ïåðèîä êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ T = τ . Äèîäû ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè. 10. Òîíêèé ñòåðæåíü À ðàñïîëîæåí ïîä óãëîì α = 45° ê ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñîáèðàþùåé ëèíçû (ðèñ.27). Ïîä êàêèì óãëîì β ê îñè ðàñïîëîæåíî äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå ñòåðæíÿ, äàâàåìîå ëèíçîé? Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû F = = 20 ñì. Ðàññòîÿíèå îò íèæíåãî êîíöà ñòåðæíÿ äî ëèíçû d = 60 ñì. Ðèñ. 27 Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áåãóíö, Ñ.Âîëîøèí, Â.Âîðîíèí, Å.Ãðèãîðüåâ, Ä.Äåíèñîâ, À.Çîòååâ, Â.Êîðîëåâ, Ò.Ëóêàøåíêî, Ã.Ìåäâåäåâ, Â.Ïàíôåðîâ, Â.Ïîãîæåâ, À.Ðàçãóëèí, È.Ñåðãååâ, À.Ñêëÿíêèí, Â.Óøàêîâ, Å.Õàéëîâ, Ñ.×åñíîêîâ, Å.Øèêèí, Á.Ùåäðèí ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 68» (ñì. «Êâàíò» ¹4 çà 2007 ã.) 1. Çàíóìåðóåì ìîíåòû ñëåâà íàïðàâî âäîëü ãîðèçîíòàëüíîãî îòðåçêà, íà êîòîðîì îíè ëåæàò: 1, 2, , 99, 100. Ñäâèíåì âñå ÷åòíûå ìîíåòû âíèç, à ïîòîì «èçîãíåì» äâà ïîëó÷åííûõ ãîðèçîíòàëüíûõ îòðåçêà ñ ìîíåòàìè òàê, ÷òîáû âåðõíèå (íå÷åò- 1 1 1 1 1 201 + + + + + £2. r q p n m mnpqr Ðèñ. 1 íûå) ìîíåòû ðàñïîëîæèëèñü âäîëü âåðõíåé ÷àñòè îêðóæíîñòè, à íèæíèå (÷åòíûå) âäîëü íèæíåé (ðèñ.1).  ýòîì ñëó÷àå ëþáûå äâå ñîñåäíèå ìîíåòû îòëè÷àþòñÿ ïî âåñó ìåíåå, ÷åì íà 0,02 ãðàììà. Ðèñ. 2 2. à) Ñì. ðèñ.2. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî åñëè ïðè ïåðåñå÷åíèè òðåõ êðóãîâ îáðàçóþòñÿ 6 îáëàñòåé, òî íàéäåòñÿ êðóã, ñîäåðæàùèé ðîâíî 3 îáëàñòè. Ëþáàÿ ñóììà, áîëüøàÿ 15 è ñîñòàâëåííàÿ èç ÷èñåë îò 1 äî 6, òðåáóåò íàëè÷èÿ â êàæäîì êðóãå íå ìåíåå 4 îáëàñòåé. á) Ñì. ðèñ.3 (îäèí èç êðóãîâ ïîëíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ â äðóÐèñ. 4 ãîì). â) Ñì. ðèñ.4.  ìíîãîóãîëüíèêàõ ACEFLGHK, ABDLFHK, BCEGLK ñóììà ÷èñåë ðàâíà 16. 3. Çàïèøåì äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî â âèäå Ðèñ. 3 Ñóììà äðîáåé â ëåâîé ÷àñòè ìàêñèìàëüíà ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà p, q, r, m, n ïðèíèìàþò ìèíèìàëüíî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, òî åñòü âûáèðàþòñÿ èç ìíîæåñòâà {1, 3, 5, 7, 9}. Òîãäà â 1 1 1 1 1 201 = 2 £ 2. ëåâîé ÷àñòè ñòîèò âûðàæåíèå + + + + + 1 3 5 7 9 945 4. Òðàäèöèîííîå ðåøåíèå îñíîâàíî íà ñâîéñòâå ñðåäíåé ëèíèè òðåóãîëüíèêà. Ìû ïðèâåäåì äðóãîå ðåøåíèå, èñïîëüçóþùåå èäåþ ïëîùàäè. Ïóñòü òî÷êà Ì äåëèò ïîïîëàì ñòîðîíó ÀÂ, à òî÷êà N ñòîðîíó CD ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD è ïóñòü MN äåëèò ïîïîëàì äèàãîíàëü ÀÑ â òî÷êå K (ðèñ.5). Òàê êàê â ÷åòûðåõóãîëüíèêå Ðèñ. 5