Ê ÂÀÀÐ ÍÈ T À2 0  Í0 2Ò/ №Û2 34 Материалы вступительных экзаменов 2001 года Институт естественных наук и экологии при «Курчатовском институте» МАТЕМАТИКА Âàðèàíò ïèñüìåííîãî ýêçàìåíà 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé R| S| T a2 − x2 − a2 − y2 = b; b 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 3 g 2 a2 − x2 + a2 − y2 = 2b + x + y . FG H tg x − IJ − 2ctg x + tg FG x + π IJ = 0 . H 4K 6K π 2 3. Ê ïàðàáîëå y = x − 3 x + 3 ïðîâåäåíû äâå êàñàòåëüíûå. Îäíà èç íèõ êàñàåòñÿ ëåâîé âåòâè ïàðàáîëû è îäíîâðåìåííî 2 2 êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì 5 x − 50 x + 5 y + 53 = 0 . Òàíãåíñ óãëà ìåæäó äâóìÿ êàñàòåëüíûìè ðàâåí 4/7. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ïàðàáîëîé è ýòèìè êàñàòåëüíûìè. 4. Îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç îñíîâàíèÿ âñåõ âûñîò òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå åå ðàäèóñ, åñëè íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 4, à ðàññòîÿíèå ìåæäó îñíîâàíèÿìè âûñîò, ëåæàùèìè íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, ðàâíî 3. 5. Íà ñôåðå ñ ðàäèóñîì 2 ðàñïîëîæåíû òðè ïîïàðíî êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì 1. Íàéäèòå îáúåì è ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè óñå÷åííîãî êîíóñà, îáå îêðóæíîñòè îñíîâàíèé êîòîðîãî ëåæàò íà ýòîé æå ñôåðå è êàñàþòñÿ êàæäîé èç äàííûõ îêðóæíîñòåé. 1 6. Íå ïîëüçóÿñü êàëüêóëÿòîðîì, âû÷èñëèòå 1,0000000011 ñ 30 çíàêàìè ïîñëå çàïÿòîé. ФИЗИКА Вариант письменного экзамена 1. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü v0 íóæíî ñîîáùèòü òåëó íåáîëüøîé ìàññû â öåíòðå àñòåðîèäà ìàññîé Ì è ðàäèóñîì R, ÷òîáû îíî ÷åðåç ðàäèàëüíóþ øàõòó óøëî íà áåñêîíå÷íîñòü? Ïëîòíîñòü àñòåðîèäà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé âî âñåì åãî îáúåìå. 2. Öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ òîíêèìè ñòåíêàìè, èçãîòîâëåííûìè èç îäíîãî ìàòåðèàëà è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ òîëùèíó, ïîêîèòñÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå (ðèñ.1). Îáúåì ñîñóäà V, ïëîùàäü åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S, ìàññà ñòåíîê m. ∆ Âíóòðè íàõîäèòñÿ òîíêèé ïîäâèæíûé ïîðøåíü ìàñNe Ar ñîé M, ãåðìåòè÷åñêè ðàçM äåëÿþùèé ñîñóä íà äâå S m m ÷àñòè. Ëåâàÿ ÷àñòü çàïîëíåíà íåîíîì ìàññîé m1 , ïðàâàÿ àðãîíîì ìàññîé Рис. 1 m2 .  íà÷àëüíûé ìîìåíò ñîñóä óäåðæèâàþò, à ïîðøåíü îòâîäÿò âïðàâî îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà ðàññòîÿíèå ∆ , ìàëîå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîäîëüíûìè ðàçìåðàìè ÷àñòåé ñîñóäà. Çàòåì ñîñóä è ïîðøåíü îòïóñêàþò. Íàéäèòå ïåðèîä è àìïëèòóäó êîëåáàíèé ñîñóäà, ñ÷èòàÿ m1 è m2 ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ m è M. Òðåíèåì è îòêëîíåíèåì ïðîöåññà êîëåáàíèé îò èçîòåðìè÷åñêîãî ïðåíåáðå÷ü. Àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ñèñòåìû ðàâíà T. 3. Ìåæäó äâóìÿ îáêëàäêàìè íåçàðÿæåííîãî ïëîñêîãî âîçäóøíîãî êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C, çàêîðî÷åííîãî íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R, ïîìåùàþò ïîäîáíóþ îáêëàäêàì ïðîâîäÿùóþ ïëàñòèíó ñ çàðÿäîì q > 0 íà ðàññòîÿíèè x îò îäíîé èç îáêëàäîê. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ çàðÿäîâîãî ðàâíîâåñèÿ ïëàñòèíó áûñòðî óäàëÿþò èç êîíäåíñàòîðà. Ïîëàãàÿ, ÷òî çà âðåìÿ ïåðåìåùåíèÿ ïëàñòèíû çàðÿä êîíäåíñàòîðà íå óñïåâàåò èçìåíèòüñÿ, îïðåäåëèòå âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå òîêà ÷åðåç ðåçèñòîð ñðàçó ïîñëå óäàëåíèÿ ïëàñòèíû è ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ïðè óäàëåíèè ïëàñòèíû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà d ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè. 4. Íåïîäâèæíûé òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S íàõîäèòñÿ íà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ñîáèðàþùåé L1 è ðàññåèâàþùåé L2 ëèíç, ðàñïîëîæåííûõ âïëîòíóþ äðóã ê äðóãó (ðèñ.2). Îïòè÷åñêèå L L îñè ëèíç ñîâïàäàþò, à èõ ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì F2 = −2 F1 , ãäå F1 v v ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû S L1 . Ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà * d äî ëèíçû L1 ðàâíî d = 3 F1 . Îáå ëèíçû íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ äðóã îò äðóãà ñ îäèíà- Рис. 2 êîâûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè v. Íàéäèòå âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî ñèñòåìîé ëèíç, â ìîìåíò íà÷àëà èõ äâèæåíèÿ. 5.  âåðòèêàëüíîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B íàõîäÿòñÿ ãîðèçîíòàëüíûå ïðîâîäÿùèå ðåéêè (ðèñ.3). Ïî ðåéêàì, ðàññòîÿíèå m ìåæäó êîòîðûìè l, ìîæåò ñêîëüçèòü áåç òðåv íèÿ ïðîâîäÿùèé áðóR l B ñîê ìàññîé m, ïðèêðåïëåííûé ê àáñîëþòíî óïðóãîé ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k. Ðåéêè çàìê- Рис. 3 íóòû íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R áîëüøîé âåëè÷èíû. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå áóäåò âûäåëÿòñÿ â ðåçèñòîðå çà ïåðèîä êîëåáàíèé áðóñêà, ïîñëå òîãî êàê åìó ìãíîâåííî ñîîáùèëè ñêîðîñòü v. Ñîïðîòèâëåíèå ðååê è áðóñêà íå ó÷èòûâàòü. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Ôîìè÷åâ 35 ÂÀÐÈÀÍÒÛ Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ РФ МАТЕМАТИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 (факультеты прикладной математики и информационной безопасности) 1. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíû òðè ÷èñëà: −3 − 5 − x ; x − 2 − 4 ; 2õ 3, è íàèáîëüøåå èç ýòèõ ÷èñåë îòðèöàòåëüíî. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 2 − 3 cos 2 x + sin 2 x = 4 cos 3 x . 3. Ïåðâûé ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí b, à åå ðàçíîñòü ðàâíà 5. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b, ïðè êîòîðûõ ñóììà ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ýòîé ïðîãðåññèè äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè n = 30. 4.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ óãîë  ðàâåí 45°. Èç îñíîâàíèÿ K áèññåêòðèñû CK ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿðû KM è KN ê ñòîðîíàì ÀÑ è ÂÑ ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå îòíîøåíèå äëèí ñòîðîí À è ÀÑ, åñëè CN = MN. 5. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå: 9 log 3 13 + 28 ? 3 log 3 13 èëè Îòâåò îáîñíóéòå. Òàáëèöàìè è êàëüêóëÿòîðîì ïîëüçîâàòüñÿ íå ðàçðåøàåòñÿ. 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 5 1+ 3 − x 3− x x−4 ≤ x −4⋅4 . 3 Вариант 2 (факультеты специальной техники и информационной безопасности) 1. ×èñëî 28 ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ à, 3 3 b òàê, ÷òî ñóììà a + b ìèíèìàëüíà. Íàéäèòå à, b. 2. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êîðíåé èìååò óðàâíåíèå sin 3 x − sin 7 x = 0 íà îòðåçêå x ∈ 0; 2 π ? 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 6 8 bx + 1gbx + 2g + bx + 4gbx − 1g = 1. 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log log e x − 2 x − 4 j > 0 . 1 5 4 2 5. Ìàøèíà âûåçæàåò èç ïóíêòà À â ïóíêò  è, äîåõàâ äî Â, òóò æå ïîâîðà÷èâàåò îáðàòíî. ×åðåç 5 ÷àñîâ ïîñëå âûåçäà ìàøèíà áûëà â 80 êì îò Â, à åùå ÷åðåç ÷àñ â 160 êì îò À. Èçâåñòíî, ÷òî íà âåñü ïóòü òóäà è îáðàòíî ìàøèíà çàòðàòèëà íå áîëåå 15 ÷àñîâ. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò À äî Â. 6. Îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà äåëèòñÿ âûñîòîé íà îòðåçêè 36 ñì è 14 ñì. Ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñíîâàíèþ ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, äåëÿùàÿ òðåóãîëüíèê íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. Íà êàêèå îòðåçêè ýòà ïðÿìàÿ äåëèò îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà? ФИЗИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 (факультеты специальной техники и информационной безопасности) 1. Òåëî áðîøåíî ñ âûñîòû H íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 . Íàéäèòå äàëüíîñòè L ïîëåòà òåëà. 2. Ïóëÿ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 , ïðîáèâàåò ëåæàùóþ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà êîðîáêó è âûëåòàåò â òîì æå íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ v0 3 . Ìàññà êîðîáêè â ïÿòü ðàç áîëüøå ìàññû ïóëè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó êîðîáêîé è ñòîëîì µ . 1) Íàéäèòå ñêîðîñòü v êîðîáêè ñðàçó ïîñëå âûëåòà èç íåå ïóëè. 2). Íà êàêîå ðàññòîÿíèå s ïðîäâèíåòñÿ êîðîáêà? Âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïóëè è êîðîáêè ìàëî. 3.  ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 1, èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ R1 è R2 , åìêîñòü êîíäåíñàòîðà C, ÝÄÑ E áàòàðåè ñ ïðåíåáðåR æèìî ìàëûì âíóòðåí1 íèì ñîïðîòèâëåíèåì. 2 Ïåðâîíà÷àëüíî êëþ÷ K íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè C E 1, ïî öåïè òå÷åò ïîñòîR ÿííûé òîê. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q2 âûäåëèòñÿ íà ðåçèñòîðå ñîïðîòèâëåíèåì R2 ïîñëå ïåðåêëþ÷åíèÿ êëþ÷à èç Рис. 1 ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2? Ñîïðîòèâëåíèåì ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü. 4. Çàïàÿííóþ ïðîáèðêó ñ ãàçîì îõëàäèëè äî òåìïåðàòóðû T = 283 Ê. Äàâëåíèå ïðè ýòîì óïàëî äî 70% ïåðâîíà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ. Íàéäèòå íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó T0 ãàçà. Èçìåíåíèåì îáúåìà ïðîáèðêè ïðåíåáðå÷ü. 5. Ñîëíå÷íûé ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îòâåðñòèå â ñòàâíå, o ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ ñòîëà óãîë α = 48 . β Ïîä êàêèìè óãëàìè ê ïîâåðõíîñòè ñòîëà ìîæíî ðàñïîëîæèòü ïëîñêîå çåðêàëî, ÷òîáû èçìåíèòü íàïðàâëåíèå ëó÷à íà ãîðèçîíòàëüíîå? Îòâåò ïîÿñíèòå ðèñóíêîì. Вариант 2 (факультеты прикладной математики и информационной безопасности) 1. Âàãîí øèðèíîé d, äâèæóùèéñÿ ïðÿìîëèíåéíî ñî ñêîðîñòüþ v, áûë ïðîáèò ïóëåé, äâèãàâøåéñÿ âñå âðåìÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ âàãîíà. Ñìåùåíèå îòâåðñòèÿ â ñòåíêàõ âàãîíà îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãó ðàâíî l. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü v1 äâèæåíèÿ ïóëè. 2. Ãðóç, ïîäâåøåííûé íà ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè, ñâîáîäíîãî âðàùàåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.  âåðõíåé òî÷êå îêðóæíîñòè ñêîðîñòü ãðóçà ðàâíà v. Ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè â íèæíåé òî÷êå îêðóæíîñòè â n ðàç ïðåâûøàåò ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè â âåðõíåé òî÷êå îêðóæíîñòè. Îïðåäåëèòå äëèíó íèòè L. → 3.  îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B ïîìåùåíî ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ðàäèóñîì a, îñü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ðèñ.2). Îò öåíòðà ê êîëüöó îòõîäÿò äâà îäèíàêîâûõ ïðîâîäÿùèõ ñòåðæíÿ, èìåþùèõ ýëåêòðè÷åñêèé êîíòàêò ìåæäó ñîáîé è êîëüöîì. Îäèí ñòåðæåíü íåïîäâèæåí, à äðóãîé ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã îñè êîëüöà. Çà îäèí ïîëíûé îáîðîò ñòåðæíÿ ïî íåìó ïðîòåêàåò çàðÿä Q. Íàéäèòå: 1) ñóììàðíîå ýëåêòB ðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå R ñòåðæíåé; 2) òåïëîâóþ ìîùíîñòü P, ω âûäåëÿþùóþñÿ â öåïè â ïðîöåññå âðàùåíèÿ. ÑîïðîòèâëåíèРис. 2 åì êîëüöà ïðåíåáðå÷ü. Ê Â À Í T 2002/№2 36 p 4. Îïðåäåëèòå ðàáîòó îäíîãî ìîëÿ ãàçà â ïðîöåññå 2 1-2-3-4-1, èçîáðàæåííîì íà ðèñóíêå 3. Äàâëåíèå ãàçà â ñîñòîÿíèÿõ 2 è 3 âòîðîå áîëüøå, ÷åì â ñîñòîÿíèÿõ 1 è 4. Îáúåì ãàçà â ñîñòîÿíèè 2 4 1 âäâîå áîëüøå, à â ñîñòîÿíèÿõ 3 è 4 âòðîå áîëüøå, ÷åì â ñîñòîÿíèè 1. Òåìïåðàòóðà V â ñîñòîÿíèè 1 ðàâíà T. 5. Ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà Рис. 3 äî ëèíçû d = 10 ì, îò ëèíçû äî äåéñòâèòåëüíîãî èçîáðàæåíèÿ f = 2,5 ì. Îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F ëèíçû. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Ëåäåíåâ, Â.Êèðèëëîâ, À.Ïè÷êóð 3 Московский институт электронной техники (технический университет) МАТЕМАТИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 1. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y= 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå b x − 3g F 2 − 9x I GH 1 − 5x JK −1 −1 2 − 3x + 2 . −1 = 2 x−2 . 3. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè 32,5, 37,5, 42,5 ... íóæíî âçÿòü, ÷òîáû èõ ñóììà áûëà áîëüøå 2160? 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 1 ≤ 3. 1−2 x 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå log b1− x g2 8 − log1− x 32 = 0,7 . 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 5 sin 2 x + 10 sin x = 6 . 7.  òðåóãîëüíèêå AÂC AB = BC. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î (Î ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÑ) êàñàåòñÿ ñòîðîí À è ÂÑ â òî÷êàõ Ì è N. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà MN, åñëè ÀÎ = = 3, à ÂÎ = 4. 8. Ó÷åíèê, ìàñòåð è ïîäìàñòåðüå ïî î÷åðåäè òêóò òêàíü. Åñëè ó÷åíèê ñîòêåò 2 ì òêàíè, ïîäìàñòåðüå 5 ì, à ìàñòåð 4 ì, òî îíè çàòðàòÿò íà ðàáîòó 1 ÷àñ 6 ìèíóò. Åñëè ó÷åíèê ñîòêåò 3 ì òêàíè, ïîäìàñòåðüå 2 ì, à ìàñòåð 2 ì, òî îíè çàòðàòÿò íà ðàáîòó 54 ìèíóòû. Êàêîå âðåìÿ îíè çàòðàòÿò íà ðàáîòó, åñëè ó÷åíèê ñîòêåò 5 ì òêàíè, ïîäìàñòåðüå 29 ì, à ìàñòåð 22 ì? 9.  ïðàâèëüíîé ïðèçìå ABCA′B ′C ′ AB = 4 3 , AA ′ = 8 . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÂÑ è ÀÌ, ãäå Ì ñåðåäèíà îòðåçêà B ′C ′ . 10. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàlog 2 âåíñòâó 2 x − y ≥ x − y . 11. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå b x − 2g 2 b g − 0,2 arcsin sin x + a = 0 èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå? Вариант 2 1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 4 −4 8 9c + 6 d + c d 16 2 − 3c . 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x −10 x 3 5 −3 = 8. 10 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2 x + 3x ≤ 2 . 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå b x + 5g log e x 4−x 2 j − 4 = 2 x + 10 . 5. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ FG H sin x cos 2 x + sin x − 55 π sin 2 x cos x − sin x 2 IJ K, åñëè ctg x = −2 . 6.  ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðîèçâåäåíèå ÷ëåíîâ ñ 9-ãî ïî 16-é ðàâíî 6, à ïðîèçâåäåíèå ÷ëåíîâ ñ 17-ãî ïî 24-é ðàâíî 12. Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ âîñüìè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. 7.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD óãîë BAD ðàâåí 60°. Òî÷êà K ñåðåäèíà ñòîðîíû CD. Îòðåçêè AK è BD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Å. Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÀÂ, åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Å äî ïðÿìîé ÂÑ ðàâíî 2 3 . 8. Âûñîòà óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà 4, à ïëîùàäü îäíîãî èç åãî îñíîâàíèé íà 44% áîëüøå ïëîùàäè äðóãîãî. Íàéäèòå âûñîòó ïîëíîãî êîíóñà. 1− 2 x 9. Ãðàôèê ôóíêöèè y = 2 îòðàçèëè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé y = x − 3 . Ãðàôèê êàêîé ôóíêöèè ïîëó÷èëñÿ? 10. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå c x − 4a + 1 + x − 8a + 1 − 4h e2ax 2 j + 24 ax − x + 22a − 11 = 0 èìååò ðîâíî òðè êîðíÿ? 11. Èç äâóõ ïóíêòîâ À è  îäíîâðåìåííî íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè âûåõàëè äâà àâòîìîáèëÿ. Åñëè áû àâòîìîáèëè íå èçìåíÿëè ñêîðîñòè, òî èõ âñòðå÷à ïðîèçîøëà áû ÷åðåç 4 ÷àñà. Îäíàêî, ïðîåõàâ 260 êì, ïåðâûé àâòîìîáèëü âûíóæäåí áûë óáàâèòü ñêîðîñòü íà 50 êì/÷, âòîðîé óáàâèë ñêîðîñòü íà 30 êì/÷ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èì 150 êì.  ðåçóëüòàòå ýòîãî âñòðå÷à ïðîèçîøëà ïîçæå, íî òàêæå ÷åðåç öåëîå ÷èñëî ÷àñîâ. Îïðåäåëèòå ïåðâîíà÷àëüíûå ñêîðîñòè àâòîìîáèëåé, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öåëîå ÷èñëî êèëîìåòðîâ â ÷àñ, à ðàññòîÿíèå ìåæäó À è  ðàâíî 800 êì. ФИЗИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 1. Íåáîëüøîå òåëî áðîøåíî ñ ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòüþ v0 ñ âûñîòû H íàä ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ ñòîëà ñî ñïåöèàëüíûì ïîêðûòèåì. Îáúåìíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñâîéñòâà ñòîëà òàêîâû, ÷òî ïðè êàæäîì óäàðå âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè òåëà, îñòàâàÿñü íåèçìåííîé ïî âåëè÷èíå, èçìåíÿåò íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå, à ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè óìåíüøàåòñÿ â äâà ðàçà. Íà êàêîå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå L âäîëü ãîðèçîíòà óäàëèòñÿ òåëî îò òî÷êè ïåðâîãî óäàðà? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. 37 ÂÀÐÈÀÍÒÛ 2. Ïîñëå çàãðóçêè êîðàáëÿ ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé åãî âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ îò ðàâíîâåñèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ îò T1 = 7 c äî T2 = 7,5 c . Íàéäèòå ìàññó ∆m äîáàâëåííîãî 2 ãðóçà. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïî âàòåðëèíèè S = 500 ì . 3. Ê íèæíåìó êîíöó íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k = 200 Í/ì ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 1 êã è áåç òîë÷êà îòïóñòèëè. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ äåôîðìàöèþ ∆l ïðóæèíû. 4. Òðè îäèíàêîâûõ ñîñóäà, ñîåäèíåííûõ òîíêèìè òðóáêàìè, çàïîëíåíû ãàçîîáðàçíûì ãåëèåì ïðè òåìïåðàòóðå T = = 40 Ê. Çàòåì îäèí èç ñîñóäîâ íàãðåëè äî T1 = 100 Ê, äðóãîé äî T2 = 400 Ê, à òåìïåðàòóðà òðåòüåãî ñîñóäà îñòàëàñü íåèçìåííîé. Âî ñêîëüêî ðàç n óâåëè÷èëîñü äàâëåíèå â ñèñòåìå? 5.  äëèííîé ãîðèçîíòàëüíîé òåïëîèçîëèðîâàííîé òðóáêå ìåæäó äâóìÿ îäèíàêîâûìè íåïðîâîäÿùèìè òåïëî ïîðøíÿìè ìàññîé m = 0,5 êã êàæäûé íàõîäèòñÿ ν = 1 ìîëü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 300 Ê.  íåêîòîðûé ìîìåíò êàæäîìó ïîðøíþ ñîîáùàþò îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòè v = 10 ì/ñ, íàïðàâëåííûå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Äî êàêîé ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðû T íàãðååòñÿ ãàç? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Âíåøíåå äàâëåíèå ðàâíî íóëþ. 6. Äâà îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ âîçäóøíûõ êîíäåíñàòîðà çàðÿæåíû äî ðàçíûõ íàïðÿæåíèé. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òî÷å÷íûé çàðÿä, ïîìåùåííûé ìåæäó ïëàñòèíàìè ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà, â n = 2 ðàçà áîëüøå ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òàêîé æå çàðÿä âíóòðè âòîðîãî êîíäåíñàòîðà. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå W1 W2 ýíåðãèé êîíäåíñàòîðîâ. 7. Ïåðâûå τ1 = 10 ñ òîê â ïðîâîäíèêå ðàâíîìåðíî âîçðàñòàë îò íóëÿ äî I = 2 À, ñëåäóþùèå τ 2 = 40 ñ òîê ïðîäîëæàë ðàâíîìåðíî ðàñòè îò I äî 2I, è ïîñëåäíèå τ 3 = 10 ñ òîê ðàâíîìåðíî óìåíüøàëñÿ îò 2I äî íóëÿ. Îïðåäåëèòå çàðÿä q, ïðîøåäøèé ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà âñå óêàçàííîå âðåìÿ. 8. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ñîñòîèò èç êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C = 2 ïÔ è îäíîãî âèòêà, èíäóêòèâíîñòü êîòîðîãî L = = 1 ìêÃí, à ñîïðîòèâëåíèå ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå U ä = 6 B . Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå Φ m ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî âèòîê. 9. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè d1 = F 2 îò òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F íà åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Ëèíçó ðàçðåçàþò ïîïîëàì ïëîñêîñòüþ, â êîòîðîé ëåæèò ãëàâíàÿ îïòè÷åñêàÿ îñü, è îäíó ïîëîâèíêó óäàëÿþò îò èñòî÷íèêà òàê, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòîé ïîëîâèíêîé ëèíçû è èñòî÷íèêîì ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì d2 = 3 F 2 . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå õ ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè èñòî÷íèêà, ôîðìèðóåìûìè äâóìÿ ïîëîâèíêàìè ëèíçû. 10. Êàêàÿ äîëÿ η ýíåðãèè ôîòîíà èçðàñõîäîâàëà íà ðàáîòó ïî âûðûâàíèþ ôîòîýëåêòðîíà, åñëè êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîýôôåêòà ñîîòâåòñòâóåò äëèíå âîëíû λ ê = 307 íì è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíà K = 1 ýÂ? Ïîñòîÿí−34 Äæ ⋅ ñ , ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå íàÿ Ïëàíêà h = 6,6 ⋅ 10 c = 3 ⋅ 10 8 ì ñ , 1ý = 1,6 ⋅ 10 −19 Äæ. Вариант 2 1. Ëåòåâøèé âåðòèêàëüíî ââåðõ ñíàðÿä âçîðâàëñÿ íà ìàêñèìàëüíîé âûñîòå.  ðåçóëüòàòå îáðàçîâàëîñü áîëüøîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ, ðàçëåòåâøèõñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ îñêîëêîâ, êîòîðûå âûïàäàëè íà çåìëþ â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè τ . Íàéäèòå âåëè÷èíó v0 ñêîðîñòè îñêîëêîâ â ìîìåíò âçðûâà. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. 2. Äîñêà ìàññîé M = 4 êã äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ v0 = 1 ì/ñ. Íà äîñêó îñòîðîæíî îïóñêàþò ñâåðõó íåáîëüøîå òåëî ìàññîé m = 1 êã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé è òåëîì µ = 0,4 . ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå îïóñêàíèÿ òåëà åãî ñêîëüæåíèå ïî ïîâåðõíîñòè äîñêè ïðåêðàòèòñÿ? 3. Äâà áðóñêà ñ ìàññàìè m1 = 300 ã è m2 = 100 ã, íàõîäÿùèõñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, ñîåäèíåíû ñæàòîé ïðóæèíîé, ñòÿíóòîé íèòêîé. Ïðè ïåðåæèãàíèè íèòêè ïåðâûé áðóñîê ïðèîáðåòàåò ñêîðîñòü v = 1 ì/ñ. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v1 áóäåò äâèãàòüñÿ ýòîò áðóñîê, åñëè âî âðåìÿ ïåðåæèãàíèÿ íèòêè âòîðîé áðóñîê óäåðæèâàòü íà ìåñòå? Íà÷àëüíàÿ äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå. 4.  öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ ϕ1 = 80% ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 27 oC . Îáúåì âîçäóõà V1 = 1,5 ë. Êàêîé ñòàíåò âëàæíîñòü ϕ 2 , åñëè îáúåì âîçäóõà óìåíüøèòü äî V2 = 0,37 ë, à òåìïåðàòóðó ïîâûñèòü äî t2 = 100 oC ? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè òåìïåðàòóðå t1 ðàâíî pí1 = 3,6 êÏà , à ïðè òåìïåðàòóðå t2 pí2 = 100 êÏà . 5. Íà êàêóþ âûñîòó H ìîæíî áûëî áû ïîäíÿòü ãðóç ìàññîé 3 m = 10 êã, åñëè áû óäàëîñü ïîëíîñòüþ èñïîëüçîâàòü ýíåðãèþ, îñâîáîæäàþùóþñÿ ïðè îñòûâàíèè ñòàêàíà ÷àÿ? Îáúåì ñòàêàíà V = 250 ñì 3 , íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ÷àÿ t1 = 100 oC , êîíå÷íàÿ òåìïåðàòóðà t2 = 20 oC . Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû c = 4,2 êÄæ êã ⋅ Ê , ïëîòíîñòü âîäû ρ = 10 3 êã ì 3 . 6. Íåçàðÿæåííûé ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð ïîìåùàþò âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, âåê→ òîð íàïðÿæåííîñòè E êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëàñòèíàì êîíäåíñàòîðà. Ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû S. Ïëàñòèíû ñîåäèíÿþò ïðîâîëîêîé. Íàéäèòå âåëè÷èíó çàðÿäà q íà êàæäîé ïëàñòèíå. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ðàâíà ε 0 . 7. Êîíäåíñàòîð ïîäêëþ÷åí ê êëåììàì èñòî÷íèêà. Êîãäà ïàðàëëåëüíî êîíäåíñàòîðó ïîäêëþ÷èëè ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 10 Îì, ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà óìåíüøèëàñü â n = = 1,44 ðàçà. Îïðåäåëèòå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r èñòî÷íèêà. 8. Îïðåäåëèòå ÷àñòîòó ν ïåðåìåííîãî òîêà, ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C = 4 ìêÔ è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 250 Îì, åñëè ìàêñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà íèõ ðàâíû UC = 1,6 B è U R = 8 B. 9. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè d îò òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü ïðåäìåò ïåðïåíäèêóëÿðíî îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû, ÷òîáû ðàññòîÿíèå l îò ïðåäìåòà äî åãî äåéñòâèòåëüíîãî èçîáðàæåíèÿ, ñîçäàâàåìîãî ëèíçîé, áûëî ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì? Ðàññòîÿíèå l îòñ÷èòûâàåòñÿ âäîëü ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû. 10. Çà îäíî è òî æå âðåìÿ ðàñïàëîñü δ 1 = 75% ÿäåð îäíîãî ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà è δ 2 = 87,5% ÿäåð äðóãîãî ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå T1 T2 ïåðèîäîâ ïîëóðàñïàäà ÿäåð ýòèõ âåùåñòâ. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áåðåñòîâ, Í.Áîðãàðäò, È.Êîæóõîâ, Ñ.Êóêëèí, Ä.Íè÷óãîâñêèé, À.Îâ÷èííèêîâ, Ò.Îëåéíèê, Ò.Ñîêîëîâà b g Ê Â À Í T 2002/№2 38 Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана МАТЕМАТИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 1. Îäèí ðàáî÷èé âûïîëíèë 5/7 íåêîòîðîãî çàêàçà, à çàòåì åãî ñìåíèë äðóãîé ðàáî÷èé; òàêèì îáðàçîì, âåñü çàêàç áûë âûïîëíåí çà 20 ÷. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ êàæäûé ðàáî÷èé ìîæåò âûïîëíèòü ýòîò çàêàç, åñëè, ðàáîòàÿ âìåñòå, îíè âûïîëíèëè áû åãî çà 10 ÷? 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå FG H sin x + cos 5 x − IJ = 2K b π g 3 sin 3 x + π . Óêàæèòå åãî êîðíè, ëåæàùèå â ïðîìåæóòêå π 2; π . 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1+ x 3 + 9 = 28 ⋅ 3 x . 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 2 x x −1 b g R|x − 2x + y S| x + x = 2 |T y − a 2 2 = 1, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Íàéäèòå ýòî ðåøåíèå ïðè êàæäîì à. 7.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäå TABCD ñ âûñîòîé 6 è ñòîðîíîé îñíîâàíèÿ 11 ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç àïîôåìó TK áîêîâîé ãðàíè TAB è ïàðàëëåëüíàÿ ìåäèàíå ÂÌ áîêîâîé ãðàíè ÒÂÑ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ýòîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ ìåäèàíà ÂÌ? 1. Îäèí ðàáî÷èé çà ÷àñ äåëàåò íà 2 äåòàëè ìåíüøå, ÷åì äðóãîé; ñîîòâåòñòâåííî, íà èçãîòîâëåíèå 100 äåòàëåé îí çàòðà÷èâàåò íà 2,5 ÷ áîëüøå. Êàêîå âðåìÿ òðàòèò êàæäûé ðàáî÷èé íà èçãîòîâëåíèå 100 äåòàëåé? 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + cos x + 2 cos x = 0 . 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1+ sin x +4 b 1− sin x F GH 2 = 33 . g 1 + log x 3 − 2 x < 0 . 5. Òðàïåöèÿ ABCD ñ îñíîâàíèÿìè À = 2, CD = 5 è âûñîòîé, ðàâíîé 4, ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó À è ïåðåñåêàþùåé îñíîâàíèå CD. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ñóììà êâàäðàòîâ ïëîùàäåé ýòèõ ÷àñòåé? b + y−a g I JK 2 = 25 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Íàéäèòå ýòî ðåøåíèå ïðè êàæäîì à. 7. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA1 B1C1 D1 ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äèàãîíàëü AC1 è ïàðàëëåëüíîé äèàãîíàëè îñíîâàíèÿ BD, åñëè ðàññòîÿíèå îò BD äî ñåêóùåé ïëîñêîñòè ðàâíî l, à äðóãàÿ äèàãîíàëü îñíîâàíèÿ ÀÑ îáðàçóåò ñ ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ óãîë 30° è ñ äèàãîíàëüþ AC1 óãîë 60°. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ë.Ïàðøåâ Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена МАТЕМАТИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 1. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n > 1 îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ b g b x +x2−gb2xn− 1g . fn x = à) Íàéäèòå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé. á) Íàðèñóéòå ãðàôèê ôóíêöèè R|b x − 4gf b xg, åñëè x ≤ 1; gb x g = S |T x , åñëè x > 1. â) Ïðè êàêèõ à óðàâíåíèå gb x g − a = 0 èìååò ðîâíî äâà ðåøåíèÿ? F 10 I = 0,81 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå G b g . H 3 JK 2 2 2 3 x −3 −2 x 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x 1 + cos x Вариант 2 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî R| |S || x + 4 Tb g + log 2 x + 2 ≤ 3 . 5. Êàêàÿ íàèáîëüøàÿ ïëîùàäü ìîæåò áûòü ó ïðÿìîóãîëüíèêà, îäíà ñòîðîíà êîòîðîãî ëåæèò íà îñè õ, äðóãàÿ íà 3 ïðÿìîé õ = 4, à îäíà èç âåðøèí íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x (0 < x < 4)? 6. Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé 2⋅4 6. Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé x +1 x y = log 2 2 + , + x +1 x = 5 cos x − ctg x . 4. Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Èçâåñòíî, ÷òî o ∠BAD = ∠CBD = 90 , BD = a, CD = b. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè À, Â, D, à äðóãàÿ ÷åðåç òî÷êè Â, Ñ, D. 5.  îñíîâàíèè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ëåæèò ðîìá ñî ñòîðîíîé à è îñòðûì óãëîì α . Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû îñíîâàíèé ïàðàëëåëåïèïåäà, ðàâíà S. Îïðåäåëèòå îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà. Вариант 2 1. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ bg 2 fn x = 2n + 2 x − x . à) Íàéäèòå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé. á) Íàðèñóéòå ãðàôèê ôóíêöèè 1 2 f4 x , åñëè x ≤ 2; g x = 2 R| b g bg S |Tx, åñëè x > 2. ÂÀÐÈÀÍÒÛ bg â) Ïðè êàêèõ à óðàâíåíèå g x = a èìååò ðîâíî òðè ðåøåíèÿ? x −2 x −2 =4+4 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5 ⋅ 2 . 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 9 cos 2x + 5 = 8 cos4 x . 4. Ïëîùàäü ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, îïèñàííîé îêîëî êðóãà, ðàâíà S, à âûñîòà òðàïåöèè â äâà ðàçà ìåíüøå åå áîêîâîé ñòîðîíû. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ âïèñàííîãî êðóãà. 5.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìå ïîñòðîåíî ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû äâóõ ñìåæíûõ ñòîðîí îñíîâàíèÿ, ïåðåñåêàþùåé òðè áîêîâûõ ðåáðà è íàêëîíåííîé ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì β . Ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ðàâíà à. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ã.Õàìîâ, Î.Êîðñàêîâà Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского ФИЗИКА Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Вариант 1 1.  ñîñóäå åìêîñòüþ 5 ë íàõîäèòñÿ ãåëèé ïîä äàâëåíèåì 400 êÏà. Ñòåíêè ñîñóäà ìîãóò âûäåðæàòü ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå 2 ÌÏà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ìîæíî ñîîáùèòü ãàçó, ÷òîáû ñîñóä íå ðàçîðâàëñÿ? 2.  âîäó îïóñòèëè ïðÿìîóãîëüíûé ñòåêëÿííûé êëèí (ðèñ.1). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ óãëà ϕ ëó÷ ñâåòà, ïðîøåäøèé ÷åðåç ãðàíü AB, ïîëíîñòüþ äîéäåò äî ãðàíè AC? B A Âîçäóõ Ëó÷ ïàäàåò ïî íîðìàëè ê Âîäà ãðàíè AB. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà 1,5, âîäû 1,33. 3. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð ϕ ðàäèóñîì 3 ñì, çàðÿæåííûé äî ïîòåíöèàëà 60 Â, C îêðóæàþò êîíöåíòðè÷åñРис. 1 êîé ïðîâîäÿùåé îáîëî÷êîé, ðàäèóñ êîòîðîé 15 ñì, à çàðÿä îáîëî÷êè ðàâåí íóëþ. Øàð ñîåäèíÿþò ñ îáîëî÷êîé òîíêèì ïðîâîäíèêîì. ×åìó ñòàíåò ðàâåí ïîòåíöèàë øàðà ïîñëå ýòîãî? Êàêîé çàðÿä ïðîéäåò ïî ïðîâîäíèêó? 4. Ïóëÿ ïðîáèâàåò çàêðåïëåííóþ äîñêó òîëùèíîé 3,6 ñì è âûëåòàåò èç íåå, ïîòåðÿâ 20% ñêîðîñòè. Íàéäèòå ìèíèìàëüíóþ òîëùèíó äîñêè, êîòîðóþ íóæíî ïîñòàâèòü âñëåä çà ïåðâîé, ÷òîáû ïóëÿ â íåé çàñòðÿëà. Ñèëû òðåíèÿ â îáåèõ äîñêàõ îäèíàêîâû, ñèëó òÿæåñòè íå ó÷èòûâàòü. 5. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê òî÷êàì A è B ñõåìû (ðèñ.2) âîëüòìåòðà îí ïîêàçûâàåò 20 Â. ×òî ïîêàæåò àìïåðìåòð, åñëè åãî ïîäêëþ÷èòü ê òåì æå òî÷êàì âìåñòî âîëüòìåòðà? Àìïåðìåòð è âîëüòìåòð èäåàëüíûå, R = 50 Îì, âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì èñòî÷íèA êà ÝÄÑ ïðåíåáðå÷ü. R 2R 6. Ìåòàëëè÷åñêîå êîëüöî ëåæèò íà íåïðîâîäÿùåé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ëèíèè èíäóêB 2R R öèè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè êîëüöà. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî Рис. 2 ïîëÿ íà÷èíàåò èçìåíÿòñÿ 39 bg 2 ïî çàêîíó B t = B0 − bt , ãäå b = 10 Òë/ñ. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå B0 , ïðè êîòîðîì êîëüöî áóäåò ðàçîðâàíî. Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû êîëüöà 0,01 Îì/ì, ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðîâîëîêè, ïðè êîòîðîé êîëüöî ðâåòñÿ, ðàâíà 10 Í, ðàäèóñ êîëüöà 10 ñì. Èíäóêòèâíîñòü êîëüöà íå ó÷èòûâàòü, äî ðàçðûâà êîëüöî íå äåôîðìèðóåòñÿ. Вариант 2 1. Ïî ãðàôèêó çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè îò âðåìåíè (ðèñ.3) îïðåäåëèòå ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òåëà íà ïåðâîé ïîëîâèíå ïóòè. 2. Ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð ñ ïëîùàäüþ ïëàñòèí 2 200 ñì è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè 1 ìì ïîäêëþ÷èëè ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Íà ïëàñòèíàõ ïðè ýòîì ïîÿâèëñÿ çàðÿä 0,2 ìêÊë. Íå îòêëþ÷àÿ îò èñòî÷íèêà, êîíäåíñàòîð çàïîëíèëè æèäv, êèì äèýëåêòðèêîì ñ ïðîì/ñ íèöàåìîñòüþ ε = 2 . Íà 2 ñêîëüêî èçìåíèëàñü ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà? 3. Ïåðâè÷íàÿ îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà èìååò 11000 âèòêîâ. Îíà âêëþ÷åíà â ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà, íàïðÿæåíèå â ñåòè 220 Â. Êî âòîðè÷íîé îá0 4 8 t,c ìîòêå ïîäêëþ÷åíà íàãðóçРис. 3 êà, êîòîðàÿ ïîòðåáëÿåò ìîùíîñòü 40 Âò ïðè ñèëå òîêà âî âòîðè÷íîé öåïè 2 À. Íàéäèòå ÷èñëî âèòêîâ âòîðè÷íîé îáìîòêè, åñëè åå ñîïðîòèâëåíèå 1 Îì. 4. Ñ èäåàëüíûì ãàçîì â êîëè÷åñòâå 1 ìîëü ïðîâîäÿò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîõîð è äâóõ èçîáàð. Îòíîøåíèå äàâëåíèé íà èçîáàðàõ ðàâíî 5/4, îòíîøåíèå îáúåìîâ íà èçîõîðàõ ðàâíî 6/5. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîãî öèêëà â êîîðäèíàòàõ ð, V è íàéäèòå ðàáîòó ãàçà çà îäèí öèêë, åñëè ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ðàâíà 100 Ê. 5. Íà íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé 1 ì âèñèò áðóñîê.  áðóñîê ïîïàäàåò ïóëÿ, ëåòåâøàÿ ãîðèçîíòàëüíî, è çàñòðåâàåò â íåì. Ïðè êàêîé 3 2 ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè ïóëè 1 áðóñîê ñäåëàåò ïîëíûé îáîðîò âîêðóã òî÷êè ïîäâåñà? Ìàññà áðóñêà â 20 ðàç áîëüøå ìàññû ïóëè. 6. Òðè ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñ15 ìì 25 ìì òèíû (ðèñ.4) îäèíàêîâû, èõ ðàçìåðû ãîðàçäî áîëüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó ïëàñòèíàìè. Ïëàñòèíà 2 çàðÿæåíà, íàïðÿÊ æåííîñòü åå ýëåêòðè÷åñêîãî R 4 ïîëÿ ðàâíà 10 Â/ì. Êëþ÷ Ê çàìûêàþò. Ïîñëå óñòàíîâëåРис. 4 íèÿ ðàâíîâåñèÿ ïëàñòèíó 2 î÷åíü áûñòðî (çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ íå óñïåâàþò èçìåíèòüñÿ) ïåðåäâèãàþò íà 15 ìì ïî íàïðàâëåíèþ ê ïëàñòèíå 3. Íàéäèòå ñèëó òîêà ÷åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 60 Îì ñðàçó ïîñëå ýòîãî. Вариант 3 1. Íàéäèòå ìàññó Ñîëíöà, çíàÿ, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Çåìëè ïî îðáèòå ðàâíà 30 êì/ñ. Îðáèòó ìîæíî ñ÷èòàòü êðóãîâîé ñ ðàäèóñîì 150 ìëí êì. Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ 6,67 ⋅ 10 −11 Í ⋅ ì 2 êã 2 . 2.  ñîñóä ïîìåñòèëè êóñîê ëüäà ìàññîé 1 êã, èìåþùèé Ê Â À Í T 2002/№2 40 òåìïåðàòóðó 10 °C. Êàêàÿ ìàññà âîäû îêàæåòñÿ â ñîñóäå ïîñëå òîãî, êàê åãî ñîäåðæèìîìó ñîîáùàò 106 Äæ òåïëà? Óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè ëüäà è âîäû 2,1 êÄæ êã ⋅ Ê è 4,2 êÄæ êã ⋅ Ê ñîîòâåòñòâåííî, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà 333 êÄæ/êã, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû 2250 êÄæ/êã. 3. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 100 ìêÔ, çàðÿæåííûé äî íåêîòîðîãî íàïðÿæåíèÿ, çàìûêàþò íà êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ 0,04 Ãí. ×åðåç êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ýíåðãèÿ îêàæåòñÿ ðàñïðåäåëåííîé ïîðîâíó ìåæäó êîíäåíñàòîðîì è êàòóøêîé? Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ íå ó÷èòûâàòü. 4. Äâà øàðà, îäèí ðàäèóñîì 5 ñì ñ çàðÿäîì +0,8 íÊë, äðóãîé ðàäèóñîì 10 ñì ñ çàðÿäîì 2 íÊë, ñîåäèíÿþò òîíêîé ïðîâîëîêîé. Êàêîé çàðÿä m ïðîéäåò ïî íåé? Øàðû íàõîäÿòñÿ äàëåêî äðóã îò äðóãà. 5. Êëèí ìàññîé 2m íàõî2m äèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïî30 âåðõíîñòè (ðèñ.5). Íà êëèí êëàäóò áðóñîê ìàññîé m, êîРис. 5 òîðûé íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ïî êëèíó. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ìåæäó êëèíîì è ïëîñêîñòüþ, êëèí îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì? Óãîë íàêëîíà êëèíà 30°, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è êëèíîì 0,5. 6. Ýëåêòðè÷åñêèé ïðèáîð Ï ïîäêëþ÷åí ê ñåòè ïåðåìåííîãî òîêà ñ íàïðÿæåíèåì 220  è ÷àñòîòîé 50 Ãö ÷åðåç êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C = 0,5 ìêÔ C A (ðèñ.6). Àìïåðìåòð ïîêàçûâàåò 0,01 À, ïîêàçàíèÿ âîëüòìåòðà 180 Â. Íàéäèòå Ï V ìîùíîñòü, ïîòðåáëÿåìóþ ~ ïðèáîðîì. Àìïåðìåòð è âîëüòìåòð èäåàëüíûå, ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ íå ó÷èòûâàòü. Рис. 6 Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëà Ò.Ìåäèíà b b g g Российский государственный университет нефти и газа им. И.М.Губкина F H 7. Âû÷èñëèòå o b g b g cos π 6 cos 3 x − sin π 6 sin 3 x = 1 2 . 9. Ïðè êàêîì îòëè÷íîì îò íóëÿ çíà÷åíèè ïàðàìåòðà à êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x 3 + 4 x 2 + 6 x + a , ïðîâåäåííàÿ â òî÷êå åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Îõ, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýòîãî ãðàôèêà ñ îñüþ Îó? 10. Ñêîëüêî öåëûõ ÷èñåë âõîäèò â îáëàñòü ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 11. ABCD ðîìá ñ îñòðûì óãëîì BAD. Ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ ABD è BCD, ðàâíî 3 , à ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÑ è ACD, ðàâíî 6 . Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ðîìá. 12.  ïðàâèëüíóþ òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð ðàäèóñà 2, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ýòîãî øàðà äî áîêîâîãî ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíî 3. Íàéäèòå êîñèíóñ ïëîñêîãî óãëà ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû. Вариант 2 1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå è âû÷èñëèòå åãî çíà÷åíèå ïðè à = 2,03: F GH 3 6 7a 2 7 2a − 2 I⋅ J 7a − 2 K 2 6 2 2 + 6 7a . b g b g 6 2x − 5 > 4 x − 4 . 3. Ñóììà 7-ãî è 27-ãî ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâíà 18. Íàéäèòå 17-é ÷ëåí ýòîé ïðîãðåññèè. 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 x − 0,25 = x + 0,5 . e 6j 2 9 + 32 x − 16 x . 3. Äàíà àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé 7-é ÷ëåí ðàâåí 24, à 10-é ÷ëåí ðàâåí 33. Íàéäèòå ïåðâûé ÷ëåí ïðîãðåññèè. 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå x−8 :4 x −8 = j. 5 log 6 10 3 3 8 . cos2 10o − cos2 100o . cos 20o 2 2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè 8. Íàéäèòå â ãðàäóñàõ íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ tg 3 x + tg π 4 = 3. 1 − tg 3 x tg π 4 b g b g 9. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà à ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x 3 − 15 x 2 − 9 x + a , â êîòîðûõ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ýêñòðåìóìà, ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò? x 10. Íàéäèòå 2 , ãäå õ áîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ x x 2 ⋅ 2,5 x −1 = 25 . 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 25 − 2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà + 4 2b − 4b . b x − 5g x − 5 = −169 . 5 x + 150 log x 9 ≥ 1 ? log 9 6. Âû÷èñëèòå lg 6 7. Âû÷èñëèòå 1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå: y= o 8. Íàéäèòå â ãðàäóñàõ íàèáîëüøèé îòðèöàòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ e Вариант 1 2 2 + 2b I. K sin 20 − cos 20 ctg 125 . Ïèñüìåííûé ýêçàìåí 3 o 3 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå МАТЕМАТИКА 16 2 + 8b 5 6. Äàíî: log a b = 5,6 . Íàéäèòå log a b a 2−2 x ⋅5 6 x −9 = 25 . 11.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ âåðøèíó  41 ÂÀÐÈÀÍÒÛ ñ öåíòðîì îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè Î, ïåðåñåêàåò ñòîðîíó ÀÑ â òî÷êå D. Èçâåñòíî, ÷òî AD : DC = = 4 : 1, sin ∠ABC = 0,75 . Íàéäèòå îòíîøåíèå OD : OB. 12. Îáúåì ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû SABCD ðàâåí 500, áîêîâàÿ ãðàíü ïèðàìèäû îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû óãîë β , cos β = 0,4 . Âïèñàííûé â ïèðàìèäó øàð êàñàåòñÿ åå áîêîâûõ ãðàíåé â òî÷êàõ Ì, N, Ð, Q. Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû SMNPQ. 12. Êâàäðàòíàÿ ðàìêà ñî ñòîðîíîé 6,8 ìì, ñäåëàííàÿ èç 2 ìåäíîé ïðîâîëîêè ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 1 ìì , ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíîìåðíî ìåíÿåòñÿ íà 12 Òë çà 0,2 ñ. ×åìó ðàâíà ïðè ýòîì ñèëà òîêà â ðàìêå? −8 Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè 1,7 ⋅ 10 Îì ⋅ ì . ФИЗИКА 1. Äâà êàìíÿ íàõîäÿòñÿ íà îäíîé âåðòèêàëè íà ðàññòîÿíèè 40 ì äðóã îò äðóãà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íèæíèé êàìåíü áðîñàþò âåðòèêàëüíî ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ, à âåðõíèé êàìåíü îòïóñêàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. ×åðåç ñêîëüêî ñåêóíä îíè ñòîëêíóòñÿ? 2. Òåëåæêà ìàññîé 100 êã âìåñòå ñ ÷åëîâåêîì ìàññîé 80 êã äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 0,4 ì/ñ. ×åëîâåê íà÷èíàåò èäòè ïî òåëåæêå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ òåëåæêè. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè (â ñì/ñ) ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè îíà îñòàíîâèòñÿ? 3. Íà êàêóþ âåëè÷èíó ïëîòíîñòü íåêîòîðîãî òåëà áîëüøå, ÷åì ïëîòíîñòü æèäêîñòè, êîòîðàÿ ðàâíà 800 êã ì 3 , åñëè âåñ òåëà â ýòîé æèäêîñòè â 9 ðàç ìåíüøå, ÷åì â âîçäóõå? 3 4. Ñêîëüêî òûñÿ÷ ìîëåêóë âîçäóõà íàõîäèòñÿ â 3 ìì ñîñóäà ïðè 27 °C, åñëè âîçäóõ â ñîñóäå îòêà÷àí äî äàâëåíèÿ 1,66 ìêÏà? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ 26 8300 Äæ êìîëü ⋅ Ê , ÷èñëî Àâîãàäðî 6 ⋅ 10 1 êìîëü . 5. Îïðåäåëèòå íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó (â êåëüâèíàõ) 70 ã àçîòà, åñëè ïðè èçîáàðíîì íàãðåâàíèè äî 350 Ê ãàç ñîâåðøèë ðàáîòó 1,66 êÄæ. Ìîëÿðíàÿ ìàññà àçîòà 28 êã/êìîëü, óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ 8300 Äæ êìîëü ⋅ Ê . 6. Ñêîëüêî âèòêîâ ïðîâîëîêè ñëåäóåò âïëîòíóþ íàìîòàòü íà ôàðôîðîâóþ òðóáêó ðàäèóñîì 5 ñì, ÷òîáû èçãîòîâèòü ðåîñòàò ñîïðîòèâëåíèåì 200 Îì? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå −6 ïðîâîëîêè 5 ⋅ 10 Îì ⋅ ì , åå äèàìåòð 3 ìì. 7. Ïîä êàêèì íàïðÿæåíèåì íàõîäèòñÿ ïåðâè÷íàÿ îáìîòêà òðàíñôîðìàòîðà, èìåþùàÿ 350 âèòêîâ, åñëè âî âòîðîé îáìîòêå 200 âèòêîâ è íàïðÿæåíèå íà íåé 120 Â? 8. Ïðåäìåò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 6 ñì îò äâîÿêîâûïóêëîé ëèíçû ñ îïòè÷åñêîé ñèëîé 10 äèîïòðèé. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè (â ñì) îò ëèíçû íàõîäèòñÿ ìíèìîå èçîáðàæåíèå ýòîãî ïðåäìåòà? 9. Ê áðóñêó, ëåæàùåìó íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì íàêëîíà α (sin α = 0,6), äâàæäû ïðèëîæèëè ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó, ïûòàÿñü ïîäíÿòü åãî ââåðõ ïî ïëîñêîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àå âåëè÷èíà ñèëû áûëà â 2 ðàçà áîëüøå, à âî âòîðîì â 2 ðàçà ìåíüøå äåéñòâóþùåé íà áðóñîê ñèëû òÿæåñòè. Âî ñêîëüêî ðàç ñèëà òðåíèÿ â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì âî âòîðîì, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí 0,8? 10. Âåðòèêàëüíàÿ òðóáêà ñ ïîðøíåì îïóùåíà íèæíèì êîíöîì â ðòóòü. Âíà÷àëå ïîðøåíü íàõîäèòñÿ íà óðîâíå ðòóòè â ñîñóäå, à çàòåì åãî ìåäëåííî ïîäíèìàþò íà âûñîòó 87,5 ñì. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé ïîðøíÿ è òðåíèåì, íàéäèòå 2 ñîâåðøåííóþ ïðè ýòîì ðàáîòó. Ïëîùàäü ïîðøíÿ 10 ñì . Âîçäóõà ïîä ïîðøíåì íåò, äàâëåíèåì ïàðîâ ðòóòè ïðåíåáðå÷ü. Ïëîòíîñòü ðòóòè 13600 êã ì 3 , àòìîñôåðíîå äàâëåíèå 750 ìì ðò. ñò. 11. Äâà îäèíàêîâûõ âîçäóøíûõ êîíäåíñàòîðà ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è ïðèñîåäèíåíû ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Îäèí èç íèõ çàïîëíÿþò äèýëåêòðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ 3. Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèòñÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â ýòîì êîíäåíñàòîðå? 12. Çàìêíóòûé ïðîâîä èçîãíóò â âèäå âîñüìåðêè è ïîìåùåí â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè. Ñ÷èòàÿ ïåòëè âîñüìåðêè îêðóæíîñòÿìè ðàäèóñîâ 5 ñì è 8 ñì, íàéäèòå ñèëó òîêà (â ìÀ), êîòîðûé áóäåò Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âíèìàíèå! Åñëè åäèíèöû èçìåðåíèÿ íå óêàçàíû, âûðàçèòå îòâåò â åäèíèöàõ ÑÈ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàé2 òå ðàâíûì 10 ì ñ . Вариант 1 1. Ìÿ÷ áðîøåí ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè ïîä óãëîì 30° ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ 30 ì/ñ. Ñêîëüêî ñåêóíä äëèëñÿ ïîëåò ìÿ÷à äî åãî óäàðà î çåìëþ? 2. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè Ìàðñà îò óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà Çåìëå, åñëè ðàäèóñ Çåìëè â äâà ðàçà áîëüøå ðàäèóñà Ìàðñà, à ìàññà Çåìëè â 10 ðàç áîëüøå ìàññû Ìàðñà? 3. Ïîñëå ðàçãðóçêè â ãàâàíè îñàäêà ïàðîõîäà óìåíüøèëàñü íà 80 ñì. Ñêîëüêî òîíí ãðóçà ñíÿëè ñ ïàðîõîäà, åñëè ïëîùàäü 2 ñå÷åíèÿ ïàðîõîäà íà óðîâíå âàòåðëèíèè 3600 ì ? Ïëîòíîñòü 3 âîäû 1000 êã ì . 4. Êàêîâà ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (â êÄæ) ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ â áàëëîíå åìêîñòüþ 15 ë ïðè äàâëåíèè 400 êÏà? 5. Çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ñîçäàåò â âàêóóìå â íåêîòîðîé òî÷êå íàïðÿæåííîñòü 40 Â/ì. Êàêàÿ ñèëà (â íàíîíüþòîíàõ) áóäåò äåéñòâîâàòü íà çàðÿä 7 íÊë, ïîìåùåííûé â ýòó òî÷êó, åñëè âñþ ñèñòåìó ïîìåñòèòü â êåðîñèí, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü êîòîðîãî ðàâíà 2,5? 6. Äâà ïðîâîäíèêà ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê ñåòè ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Äëèíà ïåðâîãî ïðîâîäíèêà â 3 ðàçà áîëüøå, à ïëîùàäü åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â 15 ðàç áîëüøå, ÷åì âòîðîãî.  ïðîâîäíèêàõ âûäåëÿåòñÿ îäèíàêîâàÿ ìîùíîñòü. Âî ñêîëüêî ðàç óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ïåðâîãî ïðîâîäíèêà áîëüøå, ÷åì âòîðîãî? 7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 2,5 ñì ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé 0,003 ì. Îïðåäåëèòå íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðóçèêà ìàÿòíèêà (â ñì/ñ). 8. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðåäìåòîì è åãî óìåíüøåííûì â 6 ðàç ìíèìûì èçîáðàæåíèåì ðàâíî 25 ñì. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ëèíçû (â ñì). 9. Êàêîå óñêîðåíèå ïðèîáðåòóò ñàíêè ìàññîé 4 êã, åñëè ïîòÿíóòü çà âåðåâêó ñ ñèëîé 28 Í, íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí 0,3. Ñ÷èòàòü 3 = 1,7 . 10. Ãðóç ìàññîé 2 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå. Íà ãðóç äâàæäû ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ñèëîé, íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ è ðàâíîé â ïåðâîì ñëó÷àå 15 Í, à âî âòîðîì ñëó÷àå 5 Í. Âî ñêîëüêî ðàç ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ãðóçà (îòñ÷èòàííàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè) â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì âî âòîðîì? 11. Èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç â êîëè÷åñòâå 1 ìîëü íàõîäèòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 200 Ê. Îáúåì ãàçà óâåëè÷èâàþò â 2 ðàçà òàê, ÷òî äàâëåíèå ëèíåéíî çàâèñèò îò îáúåìà è óìåíüøàåòñÿ íà 20%, à çàòåì ãàç èçîõîðíî íàãðåâàþò äî ïåðâîíà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ïîëó÷èë ãàç â äâóõ ïðîöåññàõ? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ 8300 Äæ êìîëü ⋅ Ê . b g Вариант 2 b g b g Ê Â À Í T 2002/№2 42 ïðîòåêàòü ïî ïðîâîäó ïðè óáûâàíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñî ñêîðîñòüþ 0,2 Òë/ñ. Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû ïðîâîäà 0,5 Îì/ì. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Á.Ïèñàðåâñêèé, À.×åðíîóöàí Санкт+Петербургский государственный технический университет 2 x − 2 = 3. 1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 2 3. Íàéäèòå sin 2α , åñëè sin α = 1 3. 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå −1 . 2 4 2 x = log x 4 . 3. Íàéäèòå ìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ 2 x − 6x + 7 = x − 1. x x − 2 = 1. 7. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ Dx ôóíêöèè 4. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå 2 log 5 4 ⋅ log 4 9 ⋅ log 9 25 . 6. Äëÿ ñêîëüêèõ öåëûõ çíà÷åíèé n âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì? 7. Âû÷èñëèòå 5 cos 3α , åñëè tg 3α 2 = 2 . 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå b x g 3n + 7 n +1 x 9⋅2 + 3 = 5⋅3 . 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî e log 3 4 − 4 x 2 y= x −x . 12. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå: a = arccos 1 2 = arcsin 4 5 ? 13. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî b g b g b2 x − 3g èëè b = 2 x − 3x + 2 ≥ 0 . 14. Íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ ctg x − tg x = 2 3 . 15. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè b y = x−2 g x − 1. 16. Íàéäèòå ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ôóíêöèè y = x x − 1 , çàäàííîé íà ïðîìåæóòêå −2; 0 . 17. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé R|x + y = 10, S|x + y = 4. T 2 2 18. Òðåóãîëüíèê ÀÂÑ âïèñàí â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì CD. Õîðäà À ïàðàëëåëüíà CD. Íàéäèòå ÀÂ, åñëè ÀÑ = 4, Ñ = 3. 19. Äëÿ äâóãðàííîãî óãëà α ïðè áîêîâîì ðåáðå ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû âåðíî ðàâåíñòâî cos α = . 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå 8 x =2 x +1 . 5 9. Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = 2 x â òî÷êå x0 = 1 . 10. Íàéäèòå óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè, ñèììåòðè÷íîé ïðÿìîé ëèíèè ó = õ + 1 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ëèíèè õ = 1. 11. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2 j ≥ 1. 3 x−2 x− 10. Òðåòèé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí 2. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ ïÿòè ÷ëåíîâ ýòîé ïðîãðåññèè. 11. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ Dx ôóíêöèè 2 x −4 y= Óáåäèòåñü, ÷òî ýòî ÷èñëî öåëîå. 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2x < x + 3 . x 2 x − 3x + 2 = 0 . 2 x 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x − 1 > . x +1 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå log 2 2. Íàéäèòå áîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ (физико+технический факультет) a − 2a Вариант 2 a ⋅ a + 2a + 1 − a ïðè a > 0. Вариант 1 −a g 1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå Ïèñüìåííûé ýêçàìåí −2 b (физико+механический факультет) МАТЕМАТИКА 2a = 1/5. Íàéäèòå êîñèíóñ ïëîñêîãî óãëà ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû. 20. Äëÿ ñêîëüêèõ öåëûõ çíà÷åíèé n ñóììà êâàäðàòîâ 2 êîðíåé óðàâíåíèÿ nx − n + 2 x + 2 = 0 ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì? x < 1. 12. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé |RSx + 2y = 5, |Tlog x + log 2 2 y = 1. 13. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè ó = 2|x| è ó = 3 õ. 14. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò äâóçíà÷íûõ ÷åòíûõ ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå 2? 15. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 2 x −1 x ≥ log 2 x −1 2 . x 16. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = 9 − 4 ⋅ 3 íà ïðîìåæóòêå 0; 2 . 17. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos x = x cos 2 x . 18. Îïðåäåëèòå ïåðèìåòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ðàâíî 5, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí 1. 19. Íàéäèòå îáúåì êîíóñà, åñëè ïëîùàäü åãî ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà 8π , à ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà π . 20. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = x − a x + 2 íà ïðîìåæóòêå 1; 4 îòðèöàòåëüíî? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè È.Êîìàð÷åâ, Å.Ïîäñûïàíèí, Ñ.Ïðåîáðàæåíñêèé 43 ÂÀÐÈÀÍÒÛ Новосибирский государственный университет ФИЗИКА Письменный экзамен Физический факультет Êàæäûé âàðèàíò ñîñòîÿë èç çàäà÷ òðåõ òèïîâ. Ïåðâûå òðè çàäà÷è ðàñ÷åòíûå, ðàçëè÷íîé òðóäíîñòè: îò ïî÷òè ñòàíäàðòíûõ äî ñðàâíèòåëüíî ñëîæíûõ, òðåáóþùèõ ñìåêàëêè, ãëóáîêèõ çíàíèé, óìåíèÿ ðàçîáðàòüñÿ â íåïðèâû÷íîé èëè óñëîæíåííîé ñèòóàöèè. ×åòâåðòàÿ çàäà÷à ýòà çàäà÷à-îöåíêà. Äëÿ åå ðåøåíèÿ íàäî ïîíÿòü ðàññìàòðèâàåìîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, ñôîðìóëèðîâàòü ïðîñòóþ (òàê êàê íóæíà òîëüêî îöåíêà) ôèçè÷åñêóþ ìîäåëü ýòîãî ÿâëåíèÿ, âûáðàòü ðàçóìíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è, íàêîíåö, ïîëó÷èòü ÷èñëåííûé ðåçóëüòàò, áîëåå èëè ìåíåå ñîîòâåòñòâóþùèé ðåàëüíîñòè.  òåêñòå çàäà÷è ïîä÷åðêèâàëîñü, ÷òî àáèòóðèåíò ìîæåò ñàì âûáðàòü íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âåëè÷èíû è èõ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Ïÿòàÿ çàäà÷à ýòî çàäà÷à-äåìîíñòðàöèÿ, â êîòîðîé íàäî îáúÿñíèòü ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, äåìîíñòðèðóåìîå â àóäèòîðèè. Çäåñü íàäî ïîíÿòü ñóùíîñòü ÿâëåíèÿ è ñðåäè ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ âûäåëèòü ãëàâíûé. Вариант 1 1.Äâà îäèíàêîâûõ øàðà ïëîòíîñòüþ ρ ñîåäèíåíû íåâåñîìîé íèòüþ, ïåðåáðîøåííîé ÷åðåç çàêðåïëåííûé áëîê. Îäèí èç øàðîâ, ïîãðóæåííûé â âÿçêóþ æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ ρ 0 , ïîäíèìàåòñÿ ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ v. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ρ ρ 0 , åñëè óñòàíîâèâøàÿñÿ ñêîðîñòü ñâîáîäíî ïàäàþùåãî â æèäêîñòè øàðà òàêæå ðàâíà v. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. 2. Äâà ïîðøíÿ ðàçíîé ôîðìû, íî îäèíàêîâîãî ñå÷åíèÿ S ñ ìàññàìè m è M ðàñïîëîæåíû âïëîòíóþ äðóã ê äðóãó â äëèííîé òðóáå ñå÷åíèåì S, íàïîëíåííîé ãàçîì ñ äàâëåíèåì ð, êàê ïîêàçàv íî íà ðèñóíêå 1. Ïðàâîìó m M ïîðøíþ ñîîáùàþò ñêîðîñòü v. Íàéäèòå ìàêñèp p ìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîðøíÿìè. Ïîðøíè Рис. 1 äâèæóòñÿ â òðóáå áåç òðåíèÿ, ãàç â îáëàñòü ìåæäó ïîðøíÿìè íå ïðîíèêàåò, èçìåíåíèåì äàâëåíèÿ ãàçà ïðåíåáðå÷ü. 3. Îïðåäåëèòå çàðÿäû íà êîíäåíñàòîðàõ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2. Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì áàòàðååê ïðåíåáðå÷ü. Äî âêëþ÷åíèÿ â öåïü çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðîâ áûëè ðàâíû íóëþ. C 4. Îöåíèòå âðåìÿ ïðîR õîæäåíèÿ ñèãíàëà ïðè ðàçãîâîðå ïî ñïóòíèêîâîìó òåëåôîíó, èñïîëüçóþùåìó r U U ñïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ íà C ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòå (ò.å. ïîñòîÿííî «âèñÿùèé» íàä îäíîé è òîé æå òî÷êîé Рис. 2 çåìíîé ïîâåðõíîñòè). 5. Ïó÷îê ñâåòà îò ëàçåðà ïàäàåò íà áîêîâóþ ãðàíü ñòåêëÿííîé ðàâíîáåäðåííîé ïðÿìîóãîëüíîé ïðèçìû è âûõîäèò èç íåå ïîä óãëîì 90°, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3 ñëåâà. Åñëè ê íàêëîííîé ãðàíè ïðèëîæèòü ñóõóþ áóìàãó, òî íè÷åãî íå èçìåíèòñÿ. Îäíàêî åñëè ïðèëîæèòü ìîêðóþ ÷åðíóþ áóìàãó, Рис. 3 èíòåíñèâíîñòü âûõîäÿùåãî èç ïðèçìû ñâåòà ðåçêî óìåíüøèòñÿ. Îáúÿñíèòå äåìîíñòðèðóåìîå ÿâëåíèå. Вариант 2 1.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïåðâûé èç äâóõ îäèíàêîâûõ óïðóãèõ øàðîâ îòïóñêàþò ñ íóëåâîé ñêîðîñòüþ ñ âûñîòû h, à âòîðîé, íàõîäÿùèéñÿ ïîä ïåðâûì, âûñòðåëèâàþò ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè ñî ñêîðîñòüþ v âåðòèêàëüíî ââåðõ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ âòîðîé øàð óïàäåò íà çåìëþ? Óñêîðåíèå ñâîM áîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. v 2. Ïîðøåíü ìàññîé m p m S ðàñïîëîæåí âïëîòíóþ ê äíó îòêðûòîé ïðîáèðêè ìàññîé Ì è ñå÷åíèåì S p (ðèñ.4). Êàêóþ ìèíèl ìàëüíóþ íà÷àëüíóþ ñêî- Рис. 4 ðîñòü v íàäî ñîîáùèòü ïðîáèðêå, ÷òîáû ïîðøåíü èç íåå âûëåòåë? Äëèíà ïðîáèðêè l, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ð. Ïîðøåíü â ïðîáèðêå äâèæåòñÿ áåç òðåíèÿ, âîçäóõ â îáëàñòü ìåæäó ïîðøíåì è äíîì ïðîáèðêè íå ïðîíèC êàåò. R R 3. Îïðåäåëèòå çàðÿäû íà êîíäåíñàòîðàõ â öåïè, èçîáC ðàæåííîé íà ðèñóíêå 5. U Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèC U åì áàòàðååê ïðåíåáðå÷ü. Äî âêëþ÷åíèÿ â öåïü çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòî- Рис. 5 ðîâ áûëè ðàâíû íóëþ. 4. Îöåíèòå ìàêñèìàëüíóþ øèðîòó ìåñòíîñòè, ãäå åùå ìîæíî ðàçãîâàðèâàòü ïî ñïóòíèêîâîìó òåëåôîíó, èñïîëüçóþùåìó ñïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ íà ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòå (ò.å. ïîñòîÿííî «âèñÿùèé» íàä îäíîé è òîé æå òî÷êîé çåìíîé ïîâåðõíîñòè). 5. Ñì. çàäà÷ó 5 âàðèàíòà 1. Факультет естественных наук Àáèòóðèåíòàì ïðåäîñòàâëÿëîñü ïðàâî âûáîðà ìåæäó ýêçàìåíîì ïî ôèçèêå è ýêçàìåíîì ïî õèìèè. Вариант 3 1. Äâå áóñèíêè íàõîäÿòñÿ íà ñîãíóòîé ïîä óãëîì α ñïèöå íà ðàññòîÿíèÿõ l1 è l2 îò òî÷êè èçãèáà. Èõ îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ îäíà áóñèíêà äîãîíèò äðóãóþ íà ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå ïóòè? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. 2. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí âûñîòîé Í, îïóùåííûé ââåðõ äíîì â æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ ρ , ïëàâàåò ïîãðóæåííûì äî ãëóáèíû h1 . Ñòàêàí, ïëàâàþùèé âíèç äíîì, ïîãðóæåí äî Ê Â À Í T 2002/№2 44 ãëóáèíû h2 . Íàéäèòå âåëè÷èíó àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ p0 ïðè ýòîì. Óñêîðåíèå ñâîR áîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. ~U 3. Ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äèîäîâ è ðåçèñòîðîâ, èçîáðàD æåííàÿ íà ðèñóíêå 6, ïîär êëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî òîêà. Îïðåäåëèòå, Рис. 6 êàêàÿ ÷àñòü ïîëíîé òåïëîâîé ìîùíîñòè ïðèõîäèòñÿ íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R. Ñîïðîòèâëåíèåì äèîäîâ â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè ïðåíåáðå÷ü. 4. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû è ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè l îò ëèíçû. Íàéäèòå ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ v1 , åñëè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû ðàâíî F. D r Геолого+геофизический факультет Àáèòóðèåíòàì ïðåäîñòàâëÿëîñü ïðàâî âûáîðà ìåæäó ýêçàìåíîì ïî ôèçèêå è ýêçàìåíîì ïî õèìèè. Вариант 4 1. Îöåíèòå ìàññó àòìîñôåðû Âåíåðû. Ìàññó è ðàäèóñ Âåíåðû ñ÷èòàòü ðàâíûìè çåìíûì. Ðàäèóñ Çåìëè R = 6400 êì, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 , äàâëåíèå ó ïî7 âåðõíîñòè ïëàíåòû p = 10 Ïà. 2. Íàéäèòå òåïëîâóþ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùóþñÿ â ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 7. Ñõåìà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèåì r, îäíîãî ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R è áàòàðåéêè ñ ÝÄÑ U. Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì áàòàðåéêè ïðåíåáðå÷ü. 3. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ñîîñíûõ ëèíç, îäíà èç êîòîðûõ ðàññåèâàþùàÿ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì −F1 , à äðóãàÿ ñîáèðàþùàÿ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì +F2 (ðèñ.8). Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, ïàU r r r D d r R Рис. 8 Рис. 7 äàþùèé âäîëü îïòè÷åñêîé îñè íà ðàññåèâàþùóþ ëèíçó, îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì è ïîñëå âûõîäà èç ñîáèðàþùåé ëèíçû. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíçàìè l è îòíîøåíèå äèàìåòðîâ ïó÷êîâ ñâåòà d/D íà âõîäå è âûõîäå èç ñèñòåìû. 4. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ áðóñîê ìàññîé m. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è → ïëîñêîñòüþ µ . Ê áðóñêó ïðèêëàäûâàþò ñèëó F , íàïðàâëåííóþ ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó. Èçîáðàçèòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû òðåíèÿ îò âåëè÷èíû ñèëû F. Ðàññìîòðèòå ñëó÷àè α > 0 è α < 0. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ã.Ìåëåäèí, À.Ìèëüøòåéí ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XLII Международная математическая олимпиада XLII Международная математическая олимпиада (ММО) прошла с 1 по 14 июля 2001 года в Вашингтоне и была приуроченакпразднованию225летиянезависимостиСША. НацеремонииоткрытияММОсвидеоприветствиемкучастни камолимпиадыобратилсяПрезидентСШАДж.Буш,а4июля все гости ММО могли любоваться фейерверком в честь Дня Независимости во время вечернего круиза на теплоходах по рекеПотомак. Олимпиада,вкоторойпринялиучастие473школьникаиз85 странмира,принеслакомандеРоссиикакприятныедостиже ния(второйразподряднашимшкольникамудалосьзавоевать наММО5(!)золотыхмедалей),такиобиднуюнеудачу(лидеру нашейкомандыА.Халявинунехватилолишьдвухочковдля завоеваниязолота). ВсоставкомандыРоссиинаММОвошлиставшиезолотыми медалистамиодиннадцатиклассникиАндрейВоробьев(Санкт Петербург,ФМЛ239),МихаилГарбер(Ярославль,школа33), Алексей Глазырин (Челябинск, лицей 11), Сергей Соколов (Рыбинск,школа30),СергейСпиридонов(Ижевск,школа41), атакжезавоевавшийвовторойразсеребрянуюмедальММО десятиклассникАндрейХалявин(Киров,ФМШ35).Запасным членомкомандыбылАрсенийАкопян(Москва,лицей«Вторая школа»). Приведемрезультатынашихучастников: С.Спиридонов А.Воробьев С.Соколов М.Гарбер А.Глазырин А.Халявин 1 6 7 7 7 7 7 2 7 4 0 7 3 7 3 7 1 5 4 7 1 4 7 7 7 7 7 7 5 7 7 7 7 7 4 6 5 7 7 0 0 2 Σ 39 33 33 32 31 28 XLIIММОподтвердилатенденциювыходанаведущиепози циидинамичноразвивающихсяазиатскихстран,атакжестран, возникших после распада СССР. В неофициальном команд ном зачете лучшие команды расположились в следующем порядке: Очки Золото Серебро Бронза 1. Китай 225 6 0 0 2–3. Россия 196 5 1 0 2–3. США 196 4 2 0 4–5. Болгария 185 3 3 0 4–5. Ю.Корея 185 3 3 0 6. Казахстан 168 4 1 0 7. Индия 148 2 2 2