Ãåîìåòðèÿ7. 27 íîÿáðÿ. Îêðóæíîñòü.

Ìàòåìàòè÷åñêèé êðóæîê ïðè ÊÃÓ. 9 êëàññ.
2006-2007 ó÷åáíûé ãîä.
http://www.kazan-math.jino-net.ru/
Ãåîìåòðèÿ7. 27 íîÿáðÿ. Îêðóæíîñòü.
1. Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ABC ïðîäîëæåíû äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà, â òî÷êàõ A1 , B1 , C1 . Âûðàçèòå óãëû òðåóãîëüíèêà A1 B1 C1
÷åðåç óãëû òðåóãîëüíèêà ABC .
2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîé õîðäû AB äàííîé îêðóæíîñòè îòíîøåíèå AB 2 : AD, ãäå
AD ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â òî÷êå B , èìååò îäíî è òî æå
çíà÷åíèå.
3. Äâå îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ äðóã äðóãà èçíóòðè â òî÷êå A. Îòðåçîê AB ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì áîëüøåé îêðóæíîñòè. Õîðäà BD áîëüøåé îêðóæíîñòè êàñàåòñÿ ìåíüøåé îêðóæíîñòè â òî÷êå C . Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçîê AC áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABD.
4. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû a, b, c, ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé
ðàâíû R, r. Äîêàæèòå, òî:
;
à) ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé abc
4R
á) abc = 2(a + b + c)rR.
5. Äîêàæèòå, ÷òî êâàäðàò áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ðàâåí ðàçíîñòè ìåæäó ïðîèçâåäåíèåì ïðèëåæàùèõ ñòîðîí è ïðîèçâåäåíèåì îòðåçêîâ, íà êîòîðûå ýòà áèññåêòðèñà äåëèò
òðåòüþ ñòîðîíó.
6. Íà îêðóæíîñòè äàíû ÷åòûðå òî÷êè A, B, C, D â óêàçàííîì ïîðÿäêå; K, L, M, N ñåðåäèíû äóã AB, BC, CD, DA ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî KL è LN ïåðïåíäèêóëÿðíû.
7. Ïî äàííûì óãëàì α è β , îáðàçîâàííûì ïðîäîëæåíèÿìè ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí
âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îïðåäåëèòå óãëû ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
8. Äèàãîíàëè ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ABCD ñ áîêîâîé ñòîðîíîé AB ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå P . Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îïèñàííîé îêîëî íåå îêðóæíîñòè ëåæèò íà îêðóæíîñòè,
îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà AP B .
9. Íà îêðóæíîñòè äàíû ÷åòûðå òî÷êè A, B, C, D â óêàçàííîì ïîðÿäêå. Òî÷êà M ñåðåäèíà äóãè AB , K òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ õîðä AB è M D, E òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ õîðä
AB è M C . Äîêàæèòå, ÷òî îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà CDKE ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.
10. ×åðåç äàííóþ òî÷êó M ïðîâåäåíû âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, íà êîòîðûõ äàííàÿ
îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O îòñåêàåò îòðåçêè, ÿâëÿþùèåñÿ åå õîðäàìè. Íàéäèòå, ìíîæåñòâî
ñåðåäèí òàêèõ õîðä, åñëè òî÷êà M ëåæèò: à) âñå îêðóæíîñòè; á) âíóòðè îêðóæíîñòè è íå
ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì; â) íà îêðóæíîñòè.
11. Îòðåçîê AB ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîâ O. Íà êàæäîì ðàäèóñå
OM îêðóæíîñòè îòëîæåí îòðåçîê OX , ðàâíûé ïåðïåíäèêóëÿðó, ïðîâåäåííîìó èç òî÷êè
M ê ïðÿìîé AB . Íàéäèòå ìíîæåñòâî òî÷åê X .
12. Äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O1 è O2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êà÷ A è B . ×åðåç òî÷êó A
ïðîâåäåíû äèàìåòðû AC è AD ýòèõ îêðóæíîñòåé. Íàéäèòå CD, åñëè AB = a, à ïëîùàäü
÷åòûðåõóãîëüíèêà AO1 BO2 ðàâíà S .
13. Áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà ïðè âåðøèíå C òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O â òî÷êå D. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ DO äåëèò ñòîðîíó AB
ïîïîëàì.
14. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B . ×åðåç ýòè òî÷êè ïðîâåäåíû ñåêóùèå
M AP è CBD (òî÷êè M è C ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè, à òî÷êè P è D íà äðóãîé).
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñåêóùèå íå ïåðåñåêàþòñÿ âíóòðè îêðóæíîñòè, òî M C k P D.
15. Äàí òðåóãîëüíèê ABC . à) Áèññåêòðèñû óãëîâ A, B, C ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ
îêðóæíîñòü â òî÷êàõ A1 , B1 , C1 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå AA1 , BB1 , CC1 ñîäåðæàò âûñîòû òðåóãîëüíèêà A1 B1 C1 . á) Ïðîäîëæåíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííûõ
èç åãî âåðøèí A, B, C, ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü îêîëî íåãî îêðóæíîñòü â òî÷êàõ
A1 , B1 , C1 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå AA1 , BB1 , CC1 ñîäåðæàò áèññåêòðèñû
óãëîâ òðåóãîëüíèêà A1 B1 C1 .
16.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD ïðîâåäåíû áèññåêòðèñû óãëîâ. Äîêàæèòå,
÷òî ÷åòûðå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ A è C ñ áèññåêòðèñàìè óãëîâ B è D ëåæàò
íà îäíîé îêðóæíîñòè.
17. Îòðåçîê AH âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABC . Èç âåðøèí B è C ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿðû BB1 è CC1 ê ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèêè
ABC è HB1 C1 ïîäîáíû.
18. Âíóòðè óãëà ABC ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòà òî÷êà M òàê, ÷òî
∠BM C = 30◦ , ∠BM A = 17◦ . Íàéäèòå ∠BAM è ∠BCM .
19. Âîêðóã ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà AP E îïèñàí ïðÿìîóãîëüíèê ABCD, ïðè÷åì
òî÷êè P è E ëåæàò íà ñòîðîíàõ BC è CD ñîîòâåòñòâåííî; òî÷êè K è M ñåðåäèíû
ñòîðîí AE è AP . Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèêè BKC è CM D ïðàâèëüíûå.
20. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå O ðàçäåëåíà íà ðàâíûå äóãè n äèàìåòðàìè. Äîêàæèòå, ÷òî îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, ïðîâåäåííûõ èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M , ëåæàùåé
âíóòðè îêðóæíîñòè, ê ýòèì äèàìåòðàì, ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà.
21. Èç òî÷êè M , ëåæàùåé âíóòðè äàííîãî îñòðîãî óãëà ñ âåðøèíîé A, ïðîâåäåíû
ïåðïåíäèêóëÿðû M P è M E ê ñòîðîíàì ýòîãî óãëà. Èçâåñòíî, ÷òî AP = a, AE = b, AM = c.
Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ïðÿìîé P E .
22. Âåðøèíû A è B òðåóãîëüíèêà ABC ñ ïðÿìûì óãëîì C ñêîëüçÿò ïî ñòîðîíàì
ïðÿìîãî óãëà ñ âåðøèíîé P . Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà C ïåðåìåùàåòñÿ ïðè ýòîì ïî îòðåçêó.
23. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíîñòè äî õîðäû åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ðàññòîÿíèÿìè îò êîíöîâ õîðäû äî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â ýòîé
òî÷êå.