2. Êîìáèíàòîðèêà-1 2.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Èñïîëüçóåòñÿ êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A çàäàåòñÿ ôîðìóëîé: |A| ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ , P(A) = = |Ω| îáùåå ÷èñëî èñõîäîâ ïðè ýòîì áëàãîïðèÿòíûìè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, ñîñòàâëÿþùèå ñîáûòèå A. Ïîäñ÷åò ÷èñëà èñõîäîâ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðàâèëàì êîìáèíàòîðèêè è áàçîâûì ôîðìóëàì äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê Pn = n!, ðàçìåùåíèé n! n! k , Ākn = nk è ñî÷åòàíèé Cnk = k!(n−k)! , C̄nk = Cn+k−1 . Akn = (n−k)! Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñòîèò ïîÿñíèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè ýëåìåíòàðíûå èñõîäû ðàâíîâåðîÿòíû. 2.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñëîâ ìîæíî ñîñòàâèòü èç ñëîâà ¾ìàòåìàòèêà¿ ñ ïîìîùüþ ïåðåñòàíîâîê áóêâ? 151 200. ×òî âåðîÿòíåå, òî, ÷òî øåñòèçíà÷íûé íîìåð àâòîáóñíîãî áèëåòà ñîäåðæèò öèôðó 5, èëè ÷òî íå ñîäåðæèò åå? Íàéòè ýòè âåðîÿòíîñòè. Çàìå÷àíèå: íîìåðà 000 000 íå áûâàåò. ≈ 0.531 è ≈ 0.469. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåõçíà÷íûé íîìåð ñëó÷àéíî âçÿòîãî àâòîìîáèëÿ â áîëüøîì ãîðîäå ñîñòîèò à) èç îäèíàêîâûõ öèôð; á) èç ðàçíûõ öèôð? Çàìå÷àíèå: íîìåðà 000 íå áûâàåò. à) ≈ 0.009; á) ≈ 0.721. Íà øàõìàòíîé äîñêå ñòîÿò 2 ëàäüè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè íå áüþò äðóã äðóãà? Ðåøèòü òó æå çàäà÷ó äëÿ n ëàäåé. 7/9 (äëÿ äâóõ ëàäåé). Èç ïîëíîé êîëîäû äëÿ èãðû â ïðåôåðàíñ (32 êàðòû) âûòÿíóëè 10 êàðò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè ýòèõ êàðò åñòü à) õîòÿ áû îäèí òóç; á) ðîâíî îäèí òóç; â) íå ìåíåå äâóõ òóçîâ; ã) ðîâíî äâà òóçà? 1. Îòâåò. 2. Îòâåò. 3. Îòâåò. 4. Îòâåò. 5. 1 à) ≈ 0.797; á) ≈ 0.428; â) ≈ 0.368; ã) ≈ 0.289. Ó÷àñòíèêè ïîêóïàþò áèëåòû, íà êîòîðûõ íàïèñàíî íåñêîëüêî ÷èñåë îò 1 äî 90. Ñòîèìîñòü îäíîãî áèëåòà íå çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà íàïèñàííûõ íà íåì ÷èñåë.  äåíü ðîçûãðûøà èç ìåøêà ñ æåòîíàìè, ïîìå÷åííûìè ÷èñëàìè îò 1 äî 90, âûíèìàþò 5 æåòîíîâ. Âûèãðûâàþò òå áèëåòû, íà êîòîðûõ âñå íàïèñàííûå ÷èñëà ñîäåðæàòñÿ ñðåäè âûòÿíóòûõ æåòîíîâ. Ïðè ýòîì îñóùåñòâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âûïëàòû ïî âûèãðûøíûì áèëåòàì: • ñ îäíèì ÷èñëîì 15 ñòîèìîñòåé áèëåòà; • ñ äâóìÿ ÷èñëàìè 270 ñòîèìîñòåé áèëåòà; • ñ òðåìÿ ÷èñëàìè 5500 ñòîèìîñòåé áèëåòà; • ñ ÷åòûðüìÿ ÷èñëàìè 75 000 ñòîèìîñòåé áèëåòà; • ñ ïÿòüþ ÷èñëàìè 1 000 000 ñòîèìîñòåé áèëåòà. Ðàññ÷èòàéòå äîõîäíîñòü ýòîé ëîòåðåè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæåò ñîäåðæàòü òîëüêî öèôðû 1, 2, 3, 4, 5 (ìîæåò íå ðàç), äåëèòñÿ íà 4? 1/5. Îòâåò. 6. Ãåíóýçñêàÿ ëîòåðåÿ. 7. Îòâåò. 2.3. Äîìàøíåå çàäàíèå Èç ïîëíîé êîëîäû â 36 êàðò âûòÿãèâàþò 2 êàðòû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) âñå êàðòû îäíîãî öâåòà; á) âñå êàðòû ðàçíûõ öâåòîâ? Ðåøèòü òó æå çàäà÷ó äëÿ 4 êàðò. Äëÿ äâóõ êàðò à) 17/35; á) 18/35. Äëÿ ÷åòûðåõ êàðò à) 8/77; á) 0. Íàäî ïîñëàòü 6 ñðî÷íûõ ïèñåì. Êàæäîå èç ïèñåì ìîæíî âðó÷èòü îäíîìó èç 3 êóðüåðîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êàæäûé êóðüåð ïîëó÷èò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ïèñüìî? 729, 20/27. Ñíà÷àëà íàéòè, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûäàòü âñå ïèñüìà îäíîìó êóðüåðó; ïîòîì îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ïèñüìà ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ìåæäó äâóìÿ êóðüåðàìè.  óðíå 10 áåëûõ, 20 ÷åðíûõ è 30 êðàñíûõ øàðîâ. Íàóäà÷ó âûíèìàþòñÿ òðè øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âñå îíè áóäóò à) ðàçíîãî öâåòà; á) îäíîãî öâåòà? à) 300/1711; á) 266/1711. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ãðóïïå èç n ÷åëîâåê ó êîãî-òî ñîâïàäóò äíè ðîæäåíèÿ. Âûâåñòè ôîðìóëó è ïîäñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ïðè n = 10, 20, 22, 23, 30, 50, 100. ≈ 0.117, ≈ 0.411, ≈ 0.476, ≈ 0.507, ≈ 0.706, ≈ 0.970, ≈ 1 − 3 · 10−7 . 8. Îòâåò. 9. Îòâåò. Óêàçàíèå. 10. Îòâåò. 11. Îòâåò. 2