êàôåäðà Ïðîáëåìû òåîð. ôèçèêè, II êóðñ Ââåäåíèå â òåîðèþ ãðóïï Ëåêöèÿ 8. Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, àëãåáðû Ëè. Äëÿ ëþáîé êðèâîé íà÷èíàþùåéñÿ â òî÷êå x0, g : [0, 1] → M , g(0) = x0 ìîæíî ðàññìîòðåòü ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå 0: g0(0). Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òàêèõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ â òî÷êå x0, îáîçíà÷åíèå Tx M . Ïðèìåðû. 1. Ñôåðà S 2 Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàëîå ïðèðàùåíèå (δx, δy, δx) ê òî÷êå (x, y, z) ëåæàëî òîæå íà ñôåðå íåîáõîäèìî ÷òîáû xδx + yδy + zδz = 0. 2. Åñëè ìíîãîîáðàçèå çàäàíî óðàâíåíèå f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì 0 ∂f ∂f 1 ∂f 2 δx + δx + · · · + δxN = 0 1 2 N ∂x ∂x ∂x ñëó÷àÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé f 1 = f 2 = · · · = f l = 0 Àíàëîãè÷íî, äëÿ ïðîñòðàíñòâî â òî÷êå îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé 1 ∂f ∂f 1 2 ∂f 1 N 1 δx + δx + · · · + δx = 0 ∂x1 ∂x2 ∂xN ... l l l ∂f δx1 + ∂f δx2 + · · · + ∂f δxN = 0 ∂x1 ∂x2 ∂xN êàñàòåëüíîå Óñëîâèå, ÷òî ðàíã ìàòðèöû ( ∂x∂f ) ðàâåí l ýòî êàê ðàç óñëîâèå òîãî, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò k = N − l ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé, ò.å. êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê òî÷êå ýòî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k. Çàìå÷àíèå. Äðóãîé îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî ïðîñòî òåíçîðû ñ îäíèì âåðõíèì èíäåêñîì.  ñàìîì äåëå, ïóñòü åñòü äâà íàáîðà ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò (x1, x2, . . . , xk ) è (y1, y2, . . . , yk ). Êðèâàÿ y(t) = (y1(t), y2(t), . . . , yk (t)) èìååò êàñàòåëüíûé âåêòîð (δy 1 , δy 2 , . . . , δy k ). Ïî ôîðìóëå ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè δyi = Pj ∂x∂y δxj , êàê è ïîëîæåíî äëÿ òåíçîðà. Çàìå÷àíèå. Åñëè åñòü ãëàäêîå îòîáðàæåíèå ìíîãîîáðàçèé F : X → Y , òî ïî êàæäîé êðèâîé g : [0, 1] → X ìîæíî ïîñòðîèòü êðèâóþ h = F ◦ g : [0, 1] → Y . Ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå dF êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ: êàñàòåëüíîìó âåêòîðó g0 â òî÷êå x0 ìû ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàñàòåëüíûé âåêòîð h0 â òî÷êå y0 = F (x0). Åñëè âûáðàòü ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû x(1), . . . , x(n) îêîëî è y(1), . . . , y(m) òî îòîáðàæåíèå ∂F (j) dF çàäàåòñÿ ìàòðèöåé . ∂x(i) Äàëåå ìû áóäåì èçó÷àòü ìíîãîîáðàçèÿ êîòîðûå èìåþò äîïîëíèòåëüíî ñòðóêòóðó ãðóïïû. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ìàòðè÷íûìè ãðóïïàìè Ëè. Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî G ⊂ GL(n) ÿâëÿþùååñÿ ïîäãðóïïîé è èìåþùåå ñòðóêòóðó ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ (ìàòðè÷íîé) . Ïðèìåðû. 1. Ãðóïïà âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö Gl(n). Ýòî îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî â ìíîæåñòâå âñåõ ìàòðèö Rn ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì. i i j Ãðóïïîé Ëè 2 . Ãðóïïà ìàòðèö ñ åäèíè÷íûì îïðåäåëèòåëåì SL(n). Çàäàåòñÿ îäíèì óðàâíåíèåì det(X) − 1 = 0. Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî äèôôåðåíöèàë íå ðàâåí íóëþ, ïðîâåðèì ýòî â òî÷êå X = E . Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ïîëó÷àåì, ÷òî 2 X ∂ det ∂xij δxij = δx11 + · · · + δxnn 6= 0. Èç ýòîãî âû÷èñëåíèÿ âèäíî, ÷òî êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì â òî÷êå E ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö ñî ñëåäîì ðàâíûì 0. 3. ×åðåç O(n) îáîçíà÷àåòñÿ ãðóïïà âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Íàéäåì êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê åäèíèöå. Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿ XX t = E . Ðàññìîòðèì ìàëîå ïðèðàùåíèå X = E + tδX + o(t). Òîãäà ïîëó÷àåì δX + δX t = 0, ò.å. êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö. Óðàâíåíèå çàäàþùåå O(n) XX t = E ÿâëÿåò ñîáîé n(n + 1)/2 óðàâíåíèé íà ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðûõ âñåãî n2. ×òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé çàäàåò ïîäìíîãîîáðàçèå íàäî óáåäèòñÿ, ÷òî ðàíã ìàòðèöû èç ïðîèçâîäíûõ ìàêñèìàëüíûé, ò.å. ðàâåí n(n+1) 2 . Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà çàäàííîå ýòîé ìàòðèöåé èìååò ðàçìåðíîñòü n(n−1) 2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîñîñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû èìåííî òàêóþ ðàçìåðíîñòü è èìåþò. Ýòî è åñòü ðàçìåðíîñòü ãðóïïû O(n). Äî ñèõ ïîð ìû èçó÷àëè òîëüêî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â åäèíèöå. Íà ñàìîì äåëå, ýòîãî äîñòàòî÷íî, êàê âèäíî èç ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè. Ïóñòü g ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ãðóïïû, X(t) êðèâàÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç E : X(t) = E + tδX + o(t). Ðàññìîòðèì êðèâóþ Y (t) = X(t)g. Òîãäà Y (0) = g è êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ýòîé êðèâîé â òî÷êå g ðàâåí δXg. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî âñå êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê òî÷êå g ïîëó÷àåòñÿ èç êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ê E óìíîæåíèåì ñïðàâà íà g. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî SL(n) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé Ëè ðàçìåðíîñòü n2 − 1, O(n) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé ðàçìåðíîñòè n(n−1) 2 . Ïîñëåäíÿÿ êîíñòðóêöèþ èìååò åùå îäíî ïðèìåíåíèå. Ïî ëþáîìó A ∈ TE G ìîæíî ïîñòðîèòü âåêòîðíîå ïîëå êîòîðîå â òî÷êå g ðàâíî Ag (ò.å. âûáðàòü êàñàòåëüíûé âåêòîð â êàæäîé òî÷êå). Ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå G(t)0 = AG(t), åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíòà G(t) = exp(tA). Ò.å. ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî A ∈ TE G ìàòðèöà exp(A) ∈ G. Òåîðåìà 1. à) Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì (áèåêòèâíûì è ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì) íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ â TE G íà íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü E â G. á) Ëþáàÿ ìàëàÿ îêðåñòíîñòü E ñâÿçíîé ãðóïïû G ïîðîæäàåò G êàê ãðóïïó. Ýòà òåîðåìà â ÷àñòíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî TE G â áîëüøîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåò ãðóïïó G. Íî íå ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö ìîæåò áûòü êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì ê ãðóïïå. Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü A, B ∈ TE G. Ðàññìîòðèì ýêñïîíåíöèàëüíûå êðèâûå g(t) = E + At + A2 t2 /2 + o(t2 ), h(s) = E + Bs + B 2 s2 /2 + o(s2 ). Òîãäà: g(t)h(s)g(−t)h(−s) = E + o · t + 0 · s + 0 · t2 + o · s2 + (AB − BA)ts + . . . . (1) Îòñþäà âçÿâ ïàðàìåòðû t = s = √τ , ñëåäóåò, ÷òî êîììóòàòîð [A, B] = AB − BA ∈ TE G. Îïðåäåëåíèå 2. Àëãåáðîé Ëè íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî g ñíàáæåííîå áèëèíåéíîå îïåðàöèåé [·, ·] : g⊗g → g óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì äâóì àêñèîìàì: Àíòèêîììóòàòèâíîñòü [x, y] = −[y, x] Òîæäåñòâî ßêîáè [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êîììóòàòîð ìàòðèö [A, B] = AB − BA óäîâëåòâîðÿåò àíòèêîììóòàòèâíîñòè è òîæäåñòâó ßêîáè. Ïðèìåðû. 1. Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê åäèíèöå ê ëþáîé ãðóïïå Ëè G. Îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ LieG èëè ìàëåíüêîé ãîòè÷åñêîé áóêâîé g. Äëÿ ìàòðè÷íûõ ãðóïï: a) Àëãåáðà Ëè ãðóïïû âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö GL(n) ðàçìåðà n × n îáîçíà÷àåòñÿ gl(n). Ñîñòîèò èç âñåõ ìàòðèö ðàçìåðà n × n á) Àëãåáðà Ëè ãðóïïû âñåõ ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì 1 SL(n) îáîçíà÷àåòñÿ sl(n). Ñîñòîèò èç âñåõ ìàòðèö ðàçìåðà n × n c íóëåâûì ñëåäîì. â) Àëãåáðà Ëè ãðóïïû âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö O(n) îáîçíà÷àåòñÿ so(n). Ñîñòîèò èç âñåõ êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö ðàçìåðà n × n. 2. Âåêòîðà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 . Êîììóòàòîð âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Çàìå÷àíèå. Òîæäåñòâî ßêîáè ââåäåííîå ìîæíî åùå ïåðåïèñàòü â âèäå: [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x.z]], ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð [x, ·] ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëó Ëåéáíèöà. 3. Ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ qi è pi ñî ñêîáêîé Ïóàññîíà: X ∂f ∂g ∂f ∂g · − · {f, g} = ∂p ∂q ∂q ∂pi i i i i Äîìàøíåå çàäàíèå Ðåøåíèÿ íàäî ïðèñëàòü èëè ïðèíåñòè äî íà÷àëà ëåêöèè 14 àïðåëÿ. Ïîìèìî ïèñüìåííîé ñäà÷è íàäî áûòü ãîòîâûì îòâåòèòü íà âîïðîñû ïî ðåøåíèÿì. Äîêàæèòå òîæäåñòâî (1). Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî so(n) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ëè. (ò.å. êîììóòàòîð äâóõ êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé). Çàäà÷à 3. Äâóìåðíûõ òîð çàäàí R4 óðàâíåíèÿìè x2 + y 2 = 1, z 2 + u2 = 1. Äîêàæèòå ÷òî òîð ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì. Ïîêðîéòå åãî êàðòàìè, íàïèøèòå ôóíêöèè çàìåíû êîîðäèíàò ìåæäó ðàçíûìè êàðòàìè (õîòÿ áû äëÿ îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ êàðò). Çàäà÷à 4. à) Íàéäèòå êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê E ó ãðóïïû óíèòàðíûõ ìàòðèö U (n) (ò.å. ìàòðèö çàäàííûõ óðàâíåíèåì XX ∗ = E ). á) Íàéäèòå ðàçìåðíîñòü ãðóïïû U (n). Çàäà÷à 5. à) Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà SO(3) (îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû ñ îïðåäåëèòåëåì 1) ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé. á) Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö O(3) íå ñâÿçíàÿ. Óïðàæíåíèå 1. Óêàçàíèå: à) âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ëþáîå ýëåìåíò èç SO(3) ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì âîêðóã íåêîòîðîé îñè. Ïóñòü I1, I2, . . . , Il áàçèñ â àëãåáðåPËè. Òîãäà êîììóòàòîð áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñíîâà ðàçëàãàåòñÿ ïî áàçèñó [Ii, Ij ] = k ckij Ik . ×èñëà cij íàçûâàþòñÿ . Ïî àíàëîãèè ñ òåì, ÷òî êîíå÷íàÿ ãðóïïà îïèñûâàåòñÿ òàáëèöåé óìíîæåíèÿ, àëãåáðà Ëè îïèñûâàåòñÿ ñâîèìè ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè. Çàäà÷à 6. Àëãåáðà Ëè so(3) èçîìîðôíà àëãåáðå âåêòîðîâ R3 . ñòðóêòóðíû- ìè êîíñòàíòàìè Óêàçàíèå: Âûáåðèòå óäà÷íûé áàçèñ â so(3) è ïðîâåðüòå ñîâïàäåíèå ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò. Ìàòåðèàëû, à òàêæå ïîëåçíàÿ èíôîðìàöèÿ åñòü íà ñàéòå: [qft.itp.ac.ru/mbersht/Group.html]