Cуществование иммиграционно состоятельного деления на

Ïðåïðèíò 292
íîÿáðü 2014
Â. Ì. Ìàðàêóëèí
Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî
ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû
ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊ
ÓÄÊ 519.865
Äàòà ïîñòóïëåíèÿ
10 íîÿáðÿ 2014 ã.
Ìàðàêóëèí Â. Ì.
Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû. Íîâîñèáèðñê, 2014. 12 ñ. (Ïðåïðèíò / ÐÀÍ. Ñèá. îòä-íèå. Èí-ò ìàòåìàòèêè;  292).
 ðàáîòå èçó÷àåòñÿ âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ èììèãðàöèîííî-ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû â ðàìêàõ îäíîìåðíîãî ìèðà íà îòðåçêå [0,1], ãäå ðàñïðåäåëåíèå
íàñåëåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì ìåðû Ðàäîíà, êîòîðàÿ âîîáùå ãîâîðÿ íå èìååò
ïëîòíîñòè. Äëÿ ýòîãî îáùåãî ñëó÷àÿ äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå äåëåíèÿ íà ñòðàíû â
âèäå îáîáùåííûõ èíòåðâàëîâ, ãäå ìîãóò ïîÿâèòñÿ ñòðàíû íóëåâîãî ðàçìåðà (äëèíû),
íî íåíóëåâîé ìàññû (íàñåëåíèÿ). Ðàáîòà îáîáùàåò Rethinking Alesina and Spolaore's
uni-dimensional world: existence of migration proof country structures for arbitrary
distributed populations by Michel Le Breton, Daniil Musatov, Alexei Savvateev and
Shlomo Weber, ïðåäñòàâëåííóþ êàê äîêëàä íà êîíôåðåíöèè ÂØÝ 2010 ãîäà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà è ôðàçû:
Ñòðàíîîáðàçîâàíèå, ìèð Àëåñèíû è Ñïîëàîðå, ìè-
ãðàöèÿ, ñòàáèëüíîå ðàçáèåíèå, ëåáåãîâñêîå ðàçëîæåíèå ìåðû.
JEL Classication Numbers: D70, H20, H73
Àäðåñ àâòîðà:
Ìàðàêóëèí Â. Ì., Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, ïð. Àêàäåìèêà Êîïòþãà, 4, 630090 Íîâîñèáèðñê, Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. Ïèðîãîâà 2, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ; e-mail: marakul@math.nsc.ru
c
c
Ìàðàêóëèí Â. Ì., 2014
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, 2014
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ Ïðåïðèíò  292, íîÿáðü 2014
Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà
ñòðàíû
Ìàðàêóëèí Â. Ì.
Ââåäåíèå
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ îáùåå ðåøåíèå ïðîáëåìû äåëåíèÿ îòðåçêà
[0, 1]
íà ñòðàíû èíòåðâàëüíîãî âèäà. Äàííûé âîïðîñ âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ â îñíîâîïîëàãàþùåé ðàáîòå
Alesina, Spolaore
(1997) è çàòåì òàêæå èçó÷àåòñÿ â ðÿäå ïîñëåäóþ-
ùèõ ðàáîò. Íàèáîëüøèå ïðîäâèæåíèÿ â ÷àñòè ðàçðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íóæíîãî ðàçáèåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû â
Le Breton et al.
(2010), ãäå ñ ïðèìåíåíèåì
ëåììû Ãåéëà Íèêàéäî Äåáðå áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî
ñîñòîÿòåëüíîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà íà ñòðàíû-èíòåðâàëû, ò. å. òàêîãî, ÷òî íè ó êîãî íåò ñòèìóëîâ ê èçìåíåíèþ ñòðàíû ïðîæèâàíèÿ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ÿ íàìåðåí
ñóùåñòâåííî óñèëèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ÷àñòü è îñëàáèòü óñëîâèÿ íà ðàñïðåäåëåíèå
íàñåëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, â
Le Breton et al.
(2010) áûëî äîêàçàíî, ÷òî
(i) Ðàçáèåíèå íà ñòðàíû ÿâëÿåòñÿ èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíûì åñëè è òîëüêî
åñëè ôóíêöèÿ èíäèâèäóàëüíûõ çàòðàò (íàëîãîâûå èçäåðæêè) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé; ïðè ýòîì (óïðîù¼ííî) èçäåðæêè ïîäñ÷èòûâàþòñÿ êàê ñóììà ðàññòîÿíèÿ îò
ìåñòîïðîæèâàíèÿ äàííîãî èíäèâèäà äî öåíòðà ñòðàíû (ñòîëèöà) ïëþñ äîëÿ îáùèõ
ðàñõîäîâ íà ñîäåðæàíèå ïðàâèòåëüñòâà.
(ii) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå æèòåëåé íà îòðåçêå çàäà¼òñÿ íåïðåðûâíîé
f : [0, 1] → R+ , ðàâíîìåðíî îòäåë¼ííîé îò íóëÿ: f (x) ≥ α > 0, ∀x ∈ [0, 1].
Òîãäà äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n ∈ N ñóùåñòâóåò äåëåíèå îòðåçêà íà n ñòðàíîòðåçêîâ Ki = hwi−1 , wi i, wi−1 < wi , i = 1, 2, . . . , n.
ïëîòíîñòüþ
Ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòè, äà åùå îòäåë¼ííîé îò íóëÿ
çäåñü âûçûâàåò ÿâíîå íåäîóìåíèå: íåóæåëè íàëè÷èå íåçàñåë¼ííûõ ó÷àñòêîâ ìîæåò
êàê-òî ïðåïÿòñòâîâàòü äåëåíèþ íà ñòðàíû? À ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ãîðîäñêèì íàñåëåíèåì? â öèòèðóåìîé ðàáîòå ãîðîäîâ íåò âîîáùå... Â òî æå âðåìÿ ïîíÿòíî, ÷òî
ïåðâîïðè÷èíà îáîèõ óêàçàííûõ íåäîñòàòêîâ èìååò ñóãóáî ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðèðîäó
è ðåøåíèå áóäåò íàéäåíî åñëè óäàñòñÿ ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ
òåõíèêó. Èìåííî íà ýòî íàöåëåíà íàñòîÿùàÿ ðàáîòà, â êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå æè-
µ
ýòî ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ
σ -àëãåáðå.
 ñèëó èçâåñòíîé â ìàòå-
òåëåé íà îòðåçêå îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåðû Ðàäîíà
âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, çàäàííàÿ íà áîðåëåâñêîé
ìàòè÷åñêîì àíàëèçå òåîðåìû, òàê íàçûâàåìîì ðàçëîæåíèè Ëåáåãà, ìåðó
ðàçëîæèòü â ñóììó ÷èñòî äèñêðåòíîé ìåðû
íî ìåðû Ëåáåãà
ìåðû
µ
ϑ,
ò. å. èìååì
ñîîòâåòñòâóåò
µ = ν + ϑ.
ν
µ
ìîæíî
è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëü-
Àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñîñòàâëÿþùåé
íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå
F (x) = ϑ([0, x]), x ∈ [0, 1],
÷òî
ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðàñïðåäåëåíèå ñåëüñêîãî íàñåëåíèÿ. Â òî æå âðåìÿ
÷èñòî äèñêðåòíîå ñëàãàåìîå
ν
ñîîòâåòñòâóåò ãîðîäñêîìó íàñåëåíèþ, èáî òîãäà ìåðà
èìååò ñ÷¼òíûé íîñèòåëü è ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ñóììà ìåð, ñêîíöåíòðèðîâàííûõ â
òî÷êå (ìåðû Äèðàêà), âèäà
ñåáÿ òî÷êó
a
δ({a}) = α = δ(A) äëÿ
α ìîæíî ïîíèìàòü
è íîëü èíà÷å. Çäåñü
3
âñåõ
A⊆[0, 1],
âêëþ÷àþùèõ â
êàê íàñåëåíèå (ìàññà) ãîðîäà,
ñêîíöåíòðèðîâàííîãî (ðàñïîëîæåííîãî) â òî÷êå
a ∈ [0, 1].
Êîíå÷íî, íàëè÷èå ñ÷¼ò-
íîãî ÷èñëà ãîðîäîâ ýòî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ àáñòðàêöèÿ, ïîëó÷åííàÿ çàäàðîì îäíàêî ñëó÷àé êîíå÷íîãî ÷èñëà ãîðîäîâ ïîëíîñòüþ ïîïàäàåò â ðàìêè òåîðèè.
Ïîñëåäíåå: êàêîãî òèïà ðàçáèåíèå íà ñòðàíû ñóùåñòâóåò è ìîæåò ïîëó÷èòñÿ? ýòî îñíîâíîé ïðåäìåò íàñòîÿùåé ðàáîòû. Äåéñòâèòåëüíî, â ïîñòàíîâêå
Le Breton et al.
(2010) ýòîò âîïðîñ íå èìååò çíà÷åíèÿ íåâàæíî, âêëþ÷àþòñÿ èëè íåò êîíöû îòðåçêà â ñòðàíó èáî ìåðà îäíîòî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ ðàâíà íóëþ.  íàøåì ñëó÷àå ýòî
íå òàê, ïîñêîëüêó èìåþòñÿ òî÷êè ñ íåíóëåâîé ìàññîé.  òàêîì ñëó÷àå òî÷êà ìîæåò
ðàçäåëèòüñÿ íà äâå íåðàâíûå ïî ìàññå ÷àñòè, îäíà èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò îäíîìó ñìåæíîìó èíòåðâàëó-ñòðàíå, äðóãàÿ äðóãîìó. Òàêæå ìîæåò ïðîèçîéòè òàêàÿ
ëþáîïûòíàÿ âåùü êàê ïîÿâëåíèå ñòðàí-ãîðîäîâ íóëåâîé äëèíû.
1
Îäíîìåðíûé ìèð ñ ðàçðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì
íàñåëåíèÿ: ìîäåëü è îñíîâíîé ðåçóëüòàò
Le Breton et al.
[0, 1], êîòîðûé íóæíî
ðàçáèòü íà ñòðàíû-èíòåðâàëû. Ðàçáèåíèå çàäà¼òñÿ âåêòîðîì w = (w1 , w2 , . . . , wn ),
w0 = 0, wn = 1, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóþò ñòðàíû Ki = hwi−1 , wi i1 , êàê ïðîìåæóòêè
èíòåðâàëà. Êðîìå òîãî, èìååòñÿ ìåðà µ íà [0, 1], îòðàæàþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå æèòåëåé. Äàëåå âåêòîðó w ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâà âåêòîðà:
Ñëåäóÿ ïîñòðîåíèÿì
(2010), èìååì: îòðåçîê
xi = wi − wi−1 ,
x = (x1 , . . . , xn ),
i = 1, 2, . . . , n
è
a = (a1 , a2 , . . . , an ),
ai = µ(hwi−1 , wi i),
i = 1, 2, . . . , n.
Σn ⊂ Rn ,
Îáà âåêòîðà ïðèíàäëåæàò ñòàíäàðòíîìó ñèìïëåêñó
îòðåçêà-ñòðàíû (ïî ìåðå Ëåáåãà) è
íî, ÷òî
x
îäíîçíà÷íî çàäà¼ò
ai
ýòî ðàçìåð
i-é
ãäå
xi
äëèíà
i-ãî
µ).
ßñ-
ïîïóëÿöèè (ïî ìåðå
w.
x ∈ [0, 1], è æåëàþùåãî áûòü ðåçèäåíòîì
K(wi−1 , wi ) ñ ïðàâèòåëüñòâîì, ðàçìåù¼ííîì â òî÷êå m(wi−1 , wi ) ∈ hwi−1 , wi i,
Çàòðàòû ãðàæäàíèíà, æèâóùåãî â òî÷êå
ñòðàíû
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
c(x, wi−1 , wi ) =
Çäåñü
g
g
µ(hwi−1 , wi i)
+ |m(wi−1 , wi ) − x|.
ýòî çàòðàòû íà ñîäåðæàíèå ïðàâèòåëüñòâà è
ñòîëèöû. Ôóíêöèè
m(wi−1 , wi )
|m(wi−1 , wi ) − x|
ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè. Â
ðàññòîÿíèå äî
Le Breton et al.
(2010) áûëî îáîñíîâàííî, ÷òî ìèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîìó ðàçáèåíèþ íà ñòðàíû
äîëæíà ñîîòâåòñòâîâàòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èíäèâèäóàëüíûõ çàòðàò (ñêëåéêà
c(x, wi−1 , wi ) ïî èíòåðâàëàì ðàçáèåíèÿ).
Î ìåðå µ. Âíå âñÿêîãî ñîìíåíèÿ â îáùåì
ñëó÷àå ýòî äîëæíà áûòü ìåðà Ðàäî-
íà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, çàäàííàÿ íà áîðåëåâñêîé
σ -àëãåáðå.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå
ýòîé ìåðû (èçó÷àåòñÿ ïåðâîíà÷àëüíî) ïðåäïîëàãàåòñÿ íàëè÷èå ó íå¼ íåïðåðûâíîé
f : [0, 1] → R+ òàêàÿ, ÷òî
Z
µ(B) =
f (x)dµ(x), B ∈ B,
ïëîòíîñòè, ò. å. ñóùåñòâóåò
B
1
Ïðîìåæóòîê ha, bi ⊂ R ýòî îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ: [a, b],
4
.
(a, b], [a, b), (a, b)
ãäå
B
÷åí â
áîðåëåâñêàÿ
σ -àëãåáðà
Le Breton et al.
íà
[0, 1].2
Äëÿ íåïðåðûâíîé
f
íóæíûé ðåçóëüòàò ïîëó-
(2010), íî êàê åãî ðàñïðîñòðàíèòü íà îáùèé ñëó÷àé? Ðàññìîò-
ðèì äàëåå ïðèìåð ðàñïðåäåëåíèÿ æèòåëåé íà îòðåçêå ñ ðàçðûâíîé ïëîòíîñòüþ.
Ïðèìåð 1
Ïðåäïîëîæèì íà
[0, 21 ) = A
è
( 12 , 1] = B
íàñåëåíèå ðàñïðåäåëåíî êàê1
òî íåïðåðûâíî, íî ìåðà òî÷êè
íåíóëåâàÿ. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî
2
ðàñïîëàãàþòñÿ
ñòðàí-èíòåðâàëîâ. Ïóñòü µ(A) = x > 0, µ(B) = y > 0,
µ({ 21 }) = z > 0, ïðè÷¼ì ýòè âåëè÷èíû óäîâëåòâîðÿþò
ñòîëèöû
â öåíòå
|x − y| < z =⇒
1
1
1
1
<
&
< .
x+z
y
y+z
x
1
1
Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äåëåíèå íà (äâå) ñòðàíû âèäà [0, i, h , 1] íåâîçìîæíî.
2
2
Îäíàêî âîçìîæíî
0 < α < 1 íàñåëåíèÿ ãîðîäà { 12 } îòíåñòè ê ëåâîé ñòðàíå,
à äðóãóþ ÷àñòü 0 < 1 − α < 1 ê ïðàâîé. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà
÷àñòü
èçäåðæåê ó æèòåëåé ãîðîäà, ïðèíàäëåæàùèõ ðàçíûì þðèñäèêöèÿì, èìååì:
1
1
=
x + αz
y + (1 − α)z
Çíà÷èò, åñëè äîëÿ
⇒
2αz = y − x + z > 0 ⇒ α =
y−x+z
< 1.
2z
(1)
α æèòåëåé ãîðîäà èìååò ¾ëåâóþ¿ þðèñäèêöèþ, à ïðî÷èå ¾ïðà-
âóþ¿, òî íè ó êîãî èç íèõ íå áóäåò ñòèìóëà ìåíÿòü ãðàæäàíñòâî.
ðàâíîìåðíî
Áîëåå òîãî, åñëè, íàïðèìåð, íàñåëåíèå
ðàñïðåäåëåíî íà èíòåðâàëàõ
1
1
[0, 2 ), ( 2 , 1] (ïëîòíîñòü òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ 2x â ïåðâîì ñëó÷àå è 2y âî âòîðîì),
òî íåòðóäíî óêàçàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äðóãîãî ìèãðàöèîííî óñòîé÷èâîãî äåëåíèÿ îòðåçêà íà äâå ñòðàíû íå ñóùåñòâóåò. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì äèíàìèêó
1
èìååì ¾ñòðàíû¿ [0, ti,
èçìåíåíèÿ çàòðàò ó ãðàíè÷íîãî èíäèâèäóóìà. Äëÿ 0 < t <
2
ht, 1] è èçäåðæêè:
c1 (t, 0, t) =
g
t
+ ,
2xt 2
c2 (t, t, 1) =
g
1−t
g
1−t
+
<
+
1
2
y+z
2
y + z + 2x( 2 − t)
c1 (t, 0, t) − c2 (t, t, 1) >
=⇒
g
1
g
+t− −
= f (t).
2xt
2 y+z
g
limt→+0 f (t) = +∞. Èìååì òàêæå f 0 (t) = 1 − 2xt
2 < 0 ïðè x < 2g ,
1
1
îòêóäà ìîæíî çàêëþ÷èòü f (t) > 0, t ∈ (0, ]. Çíà÷èò, â èíòåðâàëå (0, ) ðàçäåëÿþùàÿ
2
2
ñòðàíû ãðàíèöà ïîÿâèòüñÿ íå ìîæåò. Ïîäîáíûì îáðàçîì ïðè y < 2g íå ìîæåò áûòü
1
ìåæñòðàíîâîé ãðàíèöû â èíòåðâàëå ( , 1).
2
Çäåñü
f ( 12 ) > 0
è
Íà ýòîì æå ïðèìåðå ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðè îïðåäåë¼ííûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ
ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ñòðàíû íóëåâîãî ðàçìåðà ïðè
òðè
íåíóëåâîé
ìàññå. Äåéñòâèòåëüíî,
ïóñòü ñòîèò çàäà÷à äåëåíèÿ íà
ñòðàíû. Òåïåðü 1-ÿ è 3-ÿ ñòðàíû âêëþ÷àþò â
1
1
1
ñåáÿ îòðåçêè [0, ) è ( , 1] ñîîòâåòñòâåííî è ÷àñòè íàñåëåíèÿ ãîðîäà { }, îñòàâøååñÿ
2
2
2
íàñåëåíèå êîòîðîãî îáðàçóåò 2-þ ñòðàíó. Íàéòè òàêîãî ðîäà äåëåíèå ìîæíî òàêèì
îáðàçîì.
Åñëè èç ðàññìîòðåíèÿ âðåìåííî èñêëþ÷èòü 2-þ ñòðàíó âìåñòå ñî âñåì å¼ íàñåëåíèåì, òî ìû ïîëó÷èì óæå èçâåñòíîå íàì äåëåíèå (1), ãäå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàñå0
ëåíèå ¾ðåäóöèðîâàííîãî¿ ãîðîäà ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó z . Èìååì: â ïåðâóþ ñòðàíó
Íàïîìíþ, ÷òî áîðåëåâñêàÿ σ-àëãåáðà çàäà¼òñÿ òîïîëîãèåé, ò. å. ñòðóêòóðîé îòêðûòûõ (èëè
çàìêíóòûõ) ïîäìíîæåñòâ. Äàëåå ñ íèìè ïðîäåëûâàåì òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè (îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ïåðåõîä ê äîïîëíåíèþ), ïðè÷¼ì â ñ÷¼òíîì ÷èñëå ðàç, ïîëó÷àÿ ðàçíûå (è
òîëüêî òàêèå) ýëåìåíòû àëãåáðû. Êàæäàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà (ò. å. èíòåãðèðóåìàÿ)
îòíîñèòåëüíî áîðåëåâñêîé àëãåáðû.
2
5
µ([0, 21 )) + αz 0 = x + αz 0 è àíàëîãè÷íî äëÿ òðåòüåé ñòðàíû 0
00
α = y−x+z
. Äàëåå ÷èñëåííîñòü (ìàññó) íàñåëåíèÿ 2-é ñòðàíû z
2z 0
âêëþ÷åíî íàñåëåíèå
y + (1 − α)z 0 ,
ãäå
ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà èçäåðæåê ó ãîðîäñêîãî æèòåëÿ
íå âêëþ÷¼ííîãî
â ñòðàíû 1, 3 (îíè ñîñòàâëÿþò íàñåëåíèå 2-é ñòðàíû) è èçäåðæåê ó ãîðîæàíèíà èç
(íàïðèìåð) ïåðâîé ñòðàíû. Èìååì:
g
1
g
+ = 00
0
x + αz
4
z
=⇒
1
2
1
= 00 ,
+
0
x+y+z
4g
z
1
0
00
îòêóäà íàõîäèì îáùåå ÷èñëî z æèòåëåé ãîðîäà { }, ýòî z = z + z . Íàïðèìåð ïðè
2
g = 12 , x = y = 1, z 0 = 2 äîëæíî áûòü z 00 = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, z = 3. Òàêèì îáðàçîì,
â ýòîì ñëó÷àå òðåòü æèòåëåé ãîðîäà íàõîäèòñÿ â þðèñäèêöèè ïåðâîé ñòðàíû, òðåòü
â òðåòüåé è îñòàâøàÿñÿ òðåòü îáðàçóåò ñàìîñòîÿòåëüíóþ ñâîáîäíóþ ñòðàíó.
Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ äâóõ ñòðàí ìîæíî íàéòè óñëîâèÿ ïðè êîòîðûõ äëÿ òð¼õñòðàíîâîãî äåëåíèÿ
âñåãäà
îáðàçóåòñÿ ñòðàíà-ãîðîä. Íàïðèìåð ïðîàíàëèçèðóåì òà1
0
0
0
êîé âàðèàíò äåëåíèÿ íà ñòðàíû: [0, t i, ht , ti è ht , 1], ãäå t < , ò. å. ãîðîä ïîëíîñòüþ
2
âêëþ÷àåòñÿ â òðåòüþ ñòðàíó. Òàê êàê ñòîëèöû â öåíòðå, òî èçäåðæêè ãðàíè÷íîãî
0
æèòåëÿ â òî÷êå t ðàâíû èçäåðæêàì ïîòðåáèòåëÿ â òî÷êå t , êîòîðûå ìîæíî âû÷èñ-
3
ëèòü êàê ïîëóñóììó èçäåðæåê ïåðâîé è âòîðîé ñòðàíû :
t0
g
t − t0
t
g
1 g
+ +
+
+ .
≥
0
0
2 2xt
2 2x(t − t )
2
xt 4
Íàéä¼ì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èçäåðæêè æèòåëÿ 3-é ñòðàíû â òî÷êå
t ìåíüøå âåëè-
÷èíû èç ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé çàêëþ÷àåì,
÷òî äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü
f (t) =
g
3t
g
1
+
>
+ .
xt
4
x + z + y − 2tx 2
0
è, åñëè ëåâàÿ áóäåò óáûâàòü (f (t) < 0), òî
1
äîñòàòî÷íî áóäåò èìåòü íóæíîå íåðàâåíñòâî â òî÷êå t = ; óñëîâèÿ ñâîäÿòñÿ ê
2
Çäåñü ïðàâàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò ïî
2g
3
>
x
8
&
t
2g 3
g
1
+ >
+
x
8
z+y 2
⇐
g
3
>
x
16
& z + y ≥ 4g.
Íàïðèìåð, óñëîâèÿ ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðè
z = 3,
x = y = g = 1.
Ïîäîáíûì îáðàçîì àíàëèçèðóþòñÿ è îñòàëüíûå ñëó÷àè. Ñîäåðæàòåëüíûé îòâåò
òàêîé: ñòðàíà íóëåâîé äëèíû ïîÿâèòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ, åñëè ãîðîä äîñòàòî÷íî
áîëüøîé ìàññû.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âîçìîæíî áûëî àíàëèçèðîâàòü îáùèé ñëó÷àé íóæíî ñíà÷àëà
ðàçîáðàòüñÿ ñ èìåþùèìèñÿ â ýòîé ïîñòàíîâêå ôóíêöèîíàëüíûìè ïðîñòðàíñòâàìè è
òîïîëîãèÿìè. Ñäåëàåì ýòî.
Ìåðû Ðàäîíà îáðàçóþò ñòàíäàðòíûé ñèìïëåêñ â ïðîñòðàíñòâå
c
ñòðàíñòâî âñåõ ñ÷¼òíî àääèòèâíûõ ( ountably
ñêîé
σ -àëãåáðå
íà
[0, 1].
 ñâîþ î÷åðåäü
additive)
ca([0, 1])
ca([0, 1])
ïðî-
ìåð, çàäàííûõ íà áîðåëåâ-
èçîìîðôíî ïðîñòðàíñòâó âñåõ
ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ íàä ïðîñòðàíñòâîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
3
4
Ïðèìåíÿåì a1 + 1b ≥ a+b
∀a > 0, b > 0.
6
C([0, 1]),
ðàññìîòðåííûõ ñ òîïîëîãèåé íîðìû ìàêñèìóì (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü).
Çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà
ϕµ ,
àññîöèèðîâàííîãî ñ ìåðîé
µ,
çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé
Z
ϕµ (f ) =
f ∈ C([0, 1]).
f (x)dµ(x),
[C([0, 1])]0 = ca([0, 1]) è ðàññìîòðåòü äâîéñòâåííîñòü (duality or pairing) hC([0, 1]), ca([0, 1])i, â êîòîðîé áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå h·, ·i
Òàêèì îáðàçîì, ìû âïðàâå íàïèñàòü
(ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå) çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé
Z
hf, µi =
f ∈ C([0, 1]),
f (x)dµ(x),
µ ∈ ca([0, 1]).
Äëÿ äâîéñòâåííîñòè ïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòü è èçó÷àòü ðàçíûå èíäóöèðîâàííûå
äâîéñòâåííîñòüþ òîïîëîãèè; âàæíåéøèìè â èõ ÷èñëå ÿâëÿþòñÿ ñëàáûå òîïîëîãèè.
Ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà íà èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå (çäåñü ýòî
èëè ñîïðÿæ¼ííîì (ñåé÷àñ
áàÿ ñî çâåçäîé
4
ca([0, 1])),
C([0, 1]))
â òàêîì ñëó÷àå ÷àñòî ãîâîðÿò, ÷òî ýòî
ñëà-
. Ïî îïðåäåëåíèþ ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ ýòî òàêàÿ ñëàáåéøàÿ ëîêàëüíî
âûïóêëàÿ òîïîëîãèÿ, ïðè êîòîðîé íåïðåðûâíû òîëüêî ôóíêöèîíàëû èç âòîðîãî ýëå-
σ(C([0, 1]), ca([0, 1])) ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ (ïî òðàäèöèè îáîçíà÷àåòñÿ σ ) íà C([0, 1]), çàäàííàÿ ïðîñòðàíñòâîì ca([0, 1]). Ñëàáàÿ ñî çâåç∗
5
äîé σ (ca([0, 1]), C([0, 1])) çàäà¼òñÿ íà ca([0, 1]) è îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç C([0, 1]). Ñëàìåíòà äóàëüíîñòè.  íàøåì ñëó÷àå
áûì òîïîëîãèÿì ìîæíî äàòü ðàçíûå õàðàêòåðèçàöèè, ïîëåçíûå â ðàçíûõ ñëó÷àÿõ íàïðèìåð â òåðìèíàõ ýëåìåíòîâ ôèëüòðà îêðåñòíîñòåé íóëÿ èëè åãî áàçû. Âåñüìà
ïîëåçíîé ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèçàöèÿ â òåðìèíàõ ñõîäèìîñòè (íàïðàâëåííîãî ñåìåé∗
ñòâà èëè ñåòè). Ïðèâåä¼ì äàëåå òàêóþ õàðàêòåðèçàöèþ äëÿ σ (ca([0, 1]), C([0, 1])):
Z
µξ −→ µ
ξ∈Ξ
⇐⇒
∀g ∈ C([0, 1]),
Z
g(x)dµξ (x) −→
ξ∈Ξ
g(x)dµ(x).
(2)
Èç äàííîãî îïðåäåëåíèÿ (è äðóãèõ åìó ïîäîáíûõ) ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî ïî÷åìó ñëàáûå òîïîëîãèè çà÷àñòóþ íàçûâàþò òîïîëîãèÿìè ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè.
Çà÷åì ÿ âñ¼ ýòî ïèñàë? ïðî äâîéñòâåííîñòü è ïðî÷. Ê îáùåìó ñëó÷àþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîïóëÿöèè íà îòðåçêå ÿ áóäó ïîäáèðàòüñÿ ÷åðåç ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
äëÿ óæå äîêàçàííîãî ñëó÷àÿ ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ, ò. å. ÿ õî÷ó, ÷òîáû íàøëîñü
ñåìåéñòâî
fξ ∈ C([0, 1])
òàêîå, ÷òî äëÿ ìåðû
µξ (f ) = µξ ,
çàäàííîé ïî ôîðìóëå
Z
µξ (B) =
fξ (x)dx,
B∈B
(3)
B
ìû áû èìåëè
µξ −→ µ.
ξ∈Ξ
Ãëàâíîå çäåñü ýòî ïîíÿòü â êàêîì ñìûñëå ñõîäèòñÿ ñåìåé-
ñòâî è óñòàíîâèòü åãî ñóùåñòâîâàíèå. ß óòâåðæäàþ, ÷òî íóæíî âçÿòü ñëàáóþ ñî
∗
çâåçäîé òîïîëîãèþ σ (ca([0, 1]), C([0, 1])), òîãäà ïðîñòðàíñòâî C([0, 1]) áóäåò ïëîò∗
íî â ca([0, 1]), ò. å. åãî çàìûêàíèå â σ äà¼ò âñå ca([0, 1]), à çíà÷èò ëþáóþ íàïåð¼ä
çàäàííóþ ìåðó ìîæíî áóäåò ðåàëèçîâàòü êàê ïðåäåë ìåð ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ.
6
Íèæå ÿ ïðèâåäó (ñîáñòâåííîå) êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî òåì áîëåå, ÷òî íà
Ïðîèñõîäèò îò àíãëîÿçû÷íîé òðàäèöèè îáîçíà÷àòü äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ
ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ äîáàâëåíèåì ∗, íàïðèìåð, L∗ äëÿ L. Âî ôðàíêîôîíñêîé òðàäèöèè çäåñü
ïèøóò øòðèõ L0 , íàïðèìåð ñì. Áóðáàêè.
5 Èìååò çíà÷åíèå ïîðÿäîê âõîæäåíèÿ àðãóìåíòà ñíà÷àëà òî, íà ÷¼ì òîïîëîãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ,
à ïîòîì òî, ÷òî å¼ îïðåäåëÿåò.
6 Êàæåòñÿ ýòî äîëæåí áûòü êàêîé-òî èçâåñòíûé êëàññè÷åñêèé ôàêò. Èñêàòü íóæíî ãäå-òî â
ðàéîíå Äàíôîðä Øâàðö, òîì 1.
4
7
íåîòðèöàòåëüíóþ
ïîëîæèòåëüíûìè
ñàìîì äåëå òðåáóåòñÿ íåìíîãî äðóãîå: íàì íóæíî ÷òîáû êàæäóþ
ìåðó ìîæíî áûëî ðåàëèçîâàòü êàê ïðåäåë ìåð ñ
íåïðåðûâíûìè
ïëîòíîñòÿìè.
 ñëàáîé ñî çâåçäîé òîïîëîãèè σ∗(ca([0, 1]), C([0, 1])) ìíîæåñòâî
K ⊂ ca([0, 1]) âñåõ ìåð ñ ïîëîæèòåëüíûìè íåïðåðûâíûìè ïëîòíîñòÿìè ïëîòíî â ca+([0, 1]) â êîíóñå íåîòðèöàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà ca([0, 1]).
Äîêàçàòåëüñòâî.
K σ ∗ (ca([0, 1]), C([0, 1]))
∗
∗
Ëåììà 1
Ðàññìîòðèì çàìûêàíèå
çíà÷èì
cl (K).
ßñíî, ÷òî
cl (K)⊆ca+ ([0, 1])
â
, êîòîðîå îáî-
è ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, ñëàáî-
çâ¼çäíî çàìêíóòûì êîíóñîì. Ïðåäïîëîæèì óòâåðæäåíèå ëåììû íåâåðíî. Âîçüì¼ì
ν ∈ ca+ ([0, 1]) \ cl∗ (K). Ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ 2-é êëàññè÷åñêîé òåîðåìû îòäåëèìîñòè (ñòðîãàÿ ðàçäåëèìîñòü çàìêíóòûõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, îäíî èç êîòîðûõ
êîìïàêòíî) è ìîæåì íàéòè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë G, íåïðåðûâíûé â òîïîëîãèè
∗
ñëàáîé ñî çâåçäîé, ñòðîãî îòäåëÿþùèé ν îò cl (K), ò. å.
G(cl∗ (K)) ≥ γ > G(ν).
∃γ ∈ R :
(4)
Äàëåå â îòíîøåíèè ðàçäåëÿþùåãî ôóíêöèîíàëà ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
(i) Òàê êàê ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí â ñëàáîé ñî çâåçäîé òîïîëîãèè, òî îí äîëæåí
çàäàâàòüñÿ íåêîòîðîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé
g ∈ C([0, 1])
ïî ôîðìóëå
Z
G(µ) =
g(x)dµ(x), µ ∈ ca([0, 1]).
G(cl∗ (K)) ≥ γ , òî (îò ïðîòèâíîãî, K êîíóñ) ñòàíäàðòíî çàêëþ÷àåì
Z
∗
G(cl (K)) ≥ 0 ⇒
g(x)h(x)dx ≥ 0 ∀h ∈ C+ ([0, 1]) ⇒ g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, 1].
(ii) Òàê êàê
(iii) Èç (ii) è
ν≥0
çàêëþ÷àåì
R
g(x)dν(x) ≥ 0,
îòêóäà èç ïðàâîé ÷àñòè (4) ñëåäóåò
γ ≥ 0.
Íàêîíåö, òàê êàê
γ ≤ 0,
0 ∈ cl∗ (K),
÷òî ñîâìåñòíî ñ (iii) äà¼ò
îòñþäà ñëåäóåò
0 = γ = G(ν),
òî ëåâîå íåðàâåíñòâî â (4) ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü
γ = 0.
Îäíàêî ïðè
fξ , ξ ∈ Ξ
è
γ ≥
÷òî ïðîòèâîðå÷èò (4).
Èòàê, äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ñåìåéñòâà ìåð
ïëîòíîñòüþ
ν ≥0
ñëàáî-çâ¼çäíî ñõîäÿùèåñÿ
µξ ñ
ê µ,
R
g(x)dν(x) ≥ 0
ïîëîæèòåëüíîé íåïðåðûâíîé
ò. å. óäîâëåòâîðÿþò (3) è (2).
Ýòîìó ñåìåéñòâó ñîîòâåòñòâóåò äâà ñåìåéñòâà òî÷åê èç ñòàíäàðòíîãî ñèìïëåêñà,
n
n
ýòî xξ = (xξ1 , xξ2 , . . . , xξn ) ∈ Σ è aξ = (aξ1 , aξ2 , . . . , aξn ) ∈ Σ . Â ñèëó êîìïàêòíîñòè
ñèìïëåêñà ìû ìîæåì ñ÷èòàòü ýòè ñåìåéñòâà ñõîäÿùèìèñÿ, ò. å. èìååì
(µξ , xξ , aξ ) −→(µ, x, a) ∈ ca+ ([0, 1]) × Σn × Σn .
ξ∈Ξ
Çäåñü íóæíî óêàçàòü, ÷òî, â îòëè÷èè îò ïëîòíîñòè, ðàâíîìåðíî îòäåë¼ííîé îò íóëÿ,
çäåñü âåêòîðû
x è a ìîãóò èìåòü íóëåâûå êîìïîíåíòû, ÷òî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå
ñòðàí ñ íóëåâûì íàñåëåíèåì èëè íóëåâîãî ðàçìåðà (ñòðàíà-ãîðîä, êàê ïîëèñû â
äðåâíåé Ãðåöèè).
Äàëåå, êîíå÷íî, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî òðîéêà
(µ, x, a)
îïðåäåëÿåò èñêîìîå ðàçáè-
åíèå íà ñòðàíû. ß îòìå÷ó ñðàçó, ÷òî èçíà÷àëüíî íå ïðåäïîëàãàëàñü íàëè÷èå ó ìåðû
8
µ
ïðîèçâîäíîé ïî ìåðå Ëåáåãà, ò. å. íàøà ìåðà íå îáÿçàíà áûòü àáñîëþòíî íåïðå-
ðûâíîé îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà (ñì. òåîðåìó Ðàäîíà Íèêîäèìà). Îäíàêî ïðè
ýòîì âñåãäà èìååò ìåñòî
íîé è òî÷å÷íîé, ò. å.
h : [0, 1] → R+
ðàçëîæåíèå Ëåáåãà
µ = ϑ + ν,
áîðåëåâñêîé ìåðû â ñóììó íåïðåðûâ-
ãäå äëÿ íåêîòîðîé èçìåðèìîé ïî Ëåáåãó ôóíêöèè
âûïîëíåíî
Z
ϑ(B) =
B ∈ B,
h(x)dx,
B
è äëÿ ñ÷¼òíîãî ñåìåéñòâà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê
ν({yk }) > 0,
k = 1, 2, . . . ,
ν(B) =
yk ∈ [0, 1]
X
ν({yk }),
èìååò ìåñòî
B ∈ B.
k:yk ∈B
Òàêèì îáðàçîì, âñå íàñåëåíèå îòðåçêà äåëèòñÿ íà äâå ÷àñòè äåðåâåíñêóþ, êàê-òî
ïðèìåðíî ðàâíîìåðíî-íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå è ãîðîäñêîå íàñåëåíèå, ðàñïðåäåë¼ííîå ïî íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîìó ÷èñëó òî÷åê íàñåëåíèå
ãîðîäà ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó
k -ãî
µ({yk }) > 0, k = 1, 2, . . .
Êàê ôîðìàëüíî ðàçîáðàòüñÿ ñî âñåìè ýòèìè äåëàìè? Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíóþ
òðîéêó
(µ, x, a),
êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð
ðàçáèâàþùèé îòðåçîê
[0, 1]
w = (w1 , w2 , . . . , wn ), w0 = 0, wn = 1
íà ñåãìåíòû ïî ïðàâèëó:
[0, w1 i, w1 = x1 ; hw1 , w2 i, w2 = x1 + x2 ; . . . hwn−1 , wn i, wn−1 = x1 + · · · + xn−1 , wn = 1.
Ïðè ýòîì çàòðàòû æèòåëÿ
y ∈ hwi−1 , wi i i-é
ñòðàíû â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå ñîñòàâ-
ëÿþò âåëè÷èíó
c(y, wi−1 , wi ) =
1
υ(hwi−1 , wi i)
+ |y − m(wi−1 , wi )|.
Êîíå÷íî, çäåñü âàæíî òîëüêî òî, ÷òî ýòè çàòðàòû äåëÿòñÿ íà äâå ñîñòàâëÿþùèå, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ îáùàÿ äëÿ âñåõ ÷ëåíîâ ñòðàíû è çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà å¼ æèòåëåé,
â òî âðåìÿ êàê âòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìåñòîì ïðîæèâàíèÿ è, ãëàâíîå, óäàë¼ííîñòüþ
îò öåíòðà. Çäåñü â ôîðìóëå
υ
ýòî íåêîòîðàÿ ìåðà, àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ îòíîñè-
òåëüíî ìåðû Ëåáåãà ïîýòîìó ýòî íåâàæíî êàêèå èç êîíöîâ ïðîìåæóòêà
hwi−1 , wi i
âêëþ÷åíû â ñòðàíó, à êàêèå íåò â îáùåì ñëó÷àå ýòî, êîíå÷íî, íå òàê. Ïàðàìåòð
m(wi−1 , wi ) ∈ hwi−1 , wi i
â ôîðìóëå ýòî ÷òî-òî òèïà ìåäèàíû ðàññìàòðèâàåìîãî ïðî-
ìåæóòêà, íå îáÿçàòåëüíî â òî÷íîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà. Çàòðàòû æèòåëÿ ñòðàíû
ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû è â ñóùåñòâåííî áîëåå îáùåì âèäå, îäíàêî ýòî íåâàæíî
íà äàííûé ìîìåíò.  òî÷êàõ, ïî êîòîðûì îñóùåñòâëÿëñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, áûëè
âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1
1
ξ
ξ
ξ
ξ
+|wiξ −m(wi−1
, wiξ )| = c(wiξ , wi−1
, wiξ ) = c(wiξ , wiξ , wi+1
)=
+|wiξ −m(wiξ , wi+1
)|
aξi
aξ(i+1)
ãäå
ξ
aξi = µξ (hwi−1
, wiξ i).
 ðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó åñëè çàìåòèòü, ÷òî
íèêàêîé èç çíàìåíàòåëåé ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ íå ìîæåò. Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî èìååò
ìåñòî: ïðåäïîëàãàÿ ïðîòèâíîå âîçüì¼ì äâå ñîñåäíèå ñòðàíû òàêèå, ÷òî ìåðà îäíîé
èç íèõ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ìåðà äðóãîé â ïðåäåëå îòëè÷íà îò íóëÿ. Òàêàÿ ïàðà
íàéä¼òñÿ, èáî ìåðû âñåõ ñòðàí ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ íå ìîãóò, ò. ê. èõ ñóììà ðàâíà
åäèíèöå. Íî òåïåðü äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
ξ
â äàííîé ïàðå ñòðàí íàðóøàåòñÿ
óñëîâèå ìèãðàöèîííîé ñîñòîÿòåëüíîñòè çàòðàòû îäíîé èç ñòðàí â ïîãðàíè÷íîé
9
òî÷êå ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à ó äðóãîé ê êîíå÷íîìó çíà÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà
a = (a1 , a2 , . . . , an ) ñòðîãî áîëüøå íóëÿ
è èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
1
1
+ |wi − m(wi−1 , wi )| =
+ |wi − m(wi , wi+1 )|, i = 1, 2, . . . , n − 1.
ai
ai+1
Äàëåå íóæíî ïðîâåñòè êîððåêòíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà íà ñòðàíû-ïðîìåæóòêè. Çäåñü
áóäåò ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 2
Ïðåäåëüíàÿ òðîéêà (µ, x, a) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì7
µ([0, wi ]) ≥ a1 + · · · + ai ≥ µ([0, wi )),
Äîêàçàòåëüñòâî.
ñèðóåì
i
Ïóñòü
i = 1, 2, . . . , n.
ε > 0 äîñòàòî÷íî ìàëàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Ôèê-
è ðàññìîòðèì äâå ôóíêöèè, çàäàííûå ïî ôîðìóëàì:

 1,
αε (y) =
1 − y−wεi +2ε ,

0,

 1,
1 − y−wεi −ε ,
βε (y) =

0,
ïðè
ïðè
ïðè
ïðè
ïðè
ïðè
Ïî ïîñòðîåíèþ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
αε (·) ≤
ãäå
:
χ([0, wiξ ])
χ([0, wiξ ))(·)
ξ
0 ≤ y ≤ wi − 2ε,
wi − 2ε ≤ y ≤ wi − ε,
y ≥ wi − ε,
0 ≤ y ≤ wi + ε,
wi + ε ≤ y ≤ wi + 2ε,
y ≥ wi + 2ε.
èìååì
≤ χ([0, wiξ ])(·) ≤ βε (·),
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ (èíäèêàòîðíàÿ) ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà
[0, wiξ ].
Îò-
ñþäà ïîëó÷àåì
Z
αε (·)dµξ ≤
µξ ([0, wiξ ))
=
i
X
Z
aξj ≤
βε (·)dµξ ,
j=1
îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïî
ξ
â ñèëó ñëàáî-çâ¼çäíîé ñõîäèìîñòè ìåð èìååì
Z
αε (·)dµ ≤
lim
ε→0+
i
X
Z
aj ≤ lim
ε→0+
j=1
βε (·)dµ.
Êðîìå òîãî, èìååì
sup αε (·) = χ([0, wi ))(·) ≤ χ([0, wi ])(·) = inf βε (·),
ε>0
ε>0
8
îòêóäà çàêëþ÷àåì
Z
µ([0, wi )) = sup
αε (·)dµ ≤
ε>0
i
X
Z
aj ≤ inf
j=1
ε>0
βε (·)dµ = µ([0, wi ]).
 ñèëó ëåììû 2 ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ïî-ñòðàíîâîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà
[0, 1]:
 íåðàâåíñòâå ñïðàâà ñòîèò ìåðà ïîëóîòêðûòîãî èíòåðâàëà, à ñëåâà çàìêíóòîãî, ò. å. ðàçíèöà
ìåæäó ìíîæåñòâàìè â îäíó òî÷êó wi .
8 Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òàêîå ñâîéñòâî èíòåãðàëà êàê ïîðÿäêîâàÿ íåïðåðûâíîñòü: åñëè ñåìåéñòâî
ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ïî îòíîøåíèþ ïîðÿäêà (ìîíîòîííî âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò), òî è
çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ áóäóò ñõîäèòñÿ.
7
10
µ([0, w1 )) ≤ a1 ≤ µ([0, w1 ]) = µ([0, w1 )) + µ({w1 }).
0 ≤ β1 ≤ 1 òàêîé, ÷òî
(i) Èìååì:
Çíà÷èò, íàéä¼òñÿ
a1 = µ([0, w1 )) + β1 · µ({w1 }).
µ([0, w2 )) ≤ a1 + a2 ≤ µ([0, w2 ]) = µ([0, w2 )) + µ({w2 }).
0 ≤ α2 = 1 − β1 ≤ 1 íàéä¼òñÿ 0 ≤ β2 ≤ 1 òàêîé, ÷òî
(ii) Èìååì:
Çíà÷èò, äëÿ
a2 = α2 · µ({w1 }) + µ((w1 , w2 )) + β2 · µ({w2 }),
i-ÿ ñòðàíà ÿâëÿåòñÿ ãîñóäàðñòâîì, âêëþ÷àþùåì â ñåáÿ
âñåõ æèòåëåé èç (wi−1 , wi ), à òàêæå äîëþ αi æèòåëåé èç ãîðîäà {wi−1 } è äîëþ
βi æèòåëåé ãîðîäà {wi }, ãäå α1 = βn = 1.
è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì,
×òî âñ¼ ýòî îçíà÷àåò ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé òåìå? Äåëî â òîì, ÷òî â ìèðå, ñîîòâåòñòâóþùåì òðîéêå
(µ, x, a), ìîãóò ïîÿâèòñÿ ñòðàíû
íóëåâîãî ðàçìåðà ïðè íåíóëå-
âîé ìàññå, ïðè÷¼ì ýòè ñòðàíû (÷àñòè÷íî èëè âñå) ìîãóò êîíöåíòèðîâàòüñÿ â îäíîé
òî÷êå íàïðèìåð, ýòî ñëó÷àé, êîãäà â âåêòîðå
âåêòîðå
a
x
ïîÿâëÿþòñÿ ñìåæíûå íóëè, à â
ýòè êîìïîíåíòû ñòðîãî áîëüøå íóëÿ. ×òî ýòî îçíà÷àåò? Âî-ïåðâûõ, ìåðà
äàííîé òî÷êè
w
ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíàÿ (yk
= wi = w
äëÿ íåêîòîðûõ
k, i),
à
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî æèâóùèé â ýòîé òî÷êå íàðîä ìîã ðàñïðåäåëèòñÿ, êàê ìèíèìóì, ïî
4-ì ãîñóäàðñòâàì: äâóì ýòî òå, íîìåðà êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþò íóëÿì, è òàêæå èõ
ñîñåäè... Ôîðìàëüíûé ÷èñëåííûé ïðèìåð áûë ïðèâåä¼í âûøå, à ïðèìåðû èç æèçíè
ïåðåä ãëàçàìè ðàçäåë¼ííûé Áåðëèí, âñÿêèå òàì Âàòèêàíû, Ñàí-Ìàðèíî è äðóãèå
êàðëèêîâûå ãîñóäàðñòâà.
Èòàê, ðåçþìèðóåì: â ïî-ñòðàíîâîì ðàçáèåíèè èíòåðâàëû ìîãóò áûòü íóëåâîé
äëèíû è ñ äðîáíûìè êîíöàìè åñëè êîíåö èíòåðâàëà ïîïàë â íîñèòåëü
ν.
Äîëÿ â
êðàéíåé òî÷êå èíòåðâàëà óêàçûâàåò íà ÷àñòü æèâóùåãî â ýòîé òî÷êå íàñåëåíèÿ, ïîïàäàþùóþ ïîä þðèñäèêöèþ äàííîé ñòðàíû. Äàëåå åñòåñòâåííûì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ íàäëåæàùàÿ ìîäåðíèçàöèÿ ïîíÿòèÿ èììèãðàöèîííî-ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ
íà ñòðàíû ñ ó÷¼òîì äðîáíûõ êîíöîâ, íóëåâîãî ðàçìåðà è ïðî÷. Ýòó ðóòèííóþ ðàáîòó
ÿ îñòàâëÿþ ÷èòàòåëþ.
Çàêëþ÷åíèå
Èòàê, âûøå áûëà îáîñíîâàíà âîçìîæíîñòü ïî-ñòðàíîâîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà íà ñòðàíû-èíòåðâàëû â ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèÿ æèòåëåé îïèñàííîãî ìåðîé Ðàäîíà. À äàëüøå
ÿ õî÷ó ïðåäëîæèòü åùå îäíó èäåþ ïî÷åìó áû íå îñâîáîäèòü ïàðàìåòð ÷èñëà
ñòðàí? Âîçìîæíî, â çàòðàòû èíäèâèäîâ íàäî âíåñòè òàêæå ðàñõîäû íà âñåìèðíîå
ïðàâèòåëüñòâî (ÎÎÍ?), èëè ÷òî-òî òèïà äèïëîìàòè÷åñêèõ èçäåðæåê. Íàâåðíîå çäåñü
ìîæíî ðàçîáðàòüñÿ ïóò¼ì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîêà è òî÷íî êàê íå çíàþ...
11
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
Alesina, A. and E. Spolaore (1997). On the number and size of nations// Quarterly
Journal of Economics
113, 1027-1056.
Le Breton, M., Musatov, M., Savvateev, A. and S. Weber
(2010). Rethinking
Alesina and Spolaore's uni-dimensional world: existence of migration proof country
structures for arbitrary distributed populations//
in
: Proceedings of XI International
Academic Conference on Economic and Social Development. Moscow, 6 8 April 2010:
University Higher School of Economics
12
Ìàðàêóëèí Âàëåðèé Ìèõàéëîâè÷
Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû
Ïðåïðèíò  292
Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê Ñ. Ì. Àíöûç
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 11.11.14. Ôîðìàò
60 × 84 1/8.
Óñë. ïå÷. ë. 1,4. Ó÷.-èçä. ë. 1,3. Òèðàæ 75 ýêç.
Çàêàç  186
Îòïå÷àòàíî â ÎÎÎ ¾Îìåãà Ïðèíò¿
ïð. Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê 630090