ÈÑÒÎÐÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß Â ÑÑÑÐ: ÀÍÀËÈÇ ÔÅÍÎÌÅÍÀ Á.Ò. Ïîëÿê Èíñòèòóò ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ, Ìîñêâà e-mail: boris@ipu.rssi.ru Àííîòàöèÿ. ß íå èñòîðèê; ïåðåä âàìè ëèøü âîñïîìèíàíèÿ ÷åëîâåêà, âîâëå÷åííîãî â ðàçâèòèå òåîðèè è ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè â áûâøåì ÑÑÑÐ. ß ïîíèìàþ, ÷òî ìîÿ òî÷êà çðåíèÿ ìîæåò áûòü î÷åíü ñóáúåêòèâíîé; îäíàêî ÿ ïîñòàðàþñü ïðåäñòàâèòü âîçìîæíî íàèáîëåå øèðîêóþ è áåñïðèñòðàñòíóþ êàðòèíó. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ... 1. Ìàòåìàòèêà â ÑÑÑÐ Ïîçâîëüòå ìíå íà÷àòü ñ îïèñàíèÿ îáùåé ñèòóàöèè â ìàòåìàòèêå è åñòåñòâåííûõ íàóêàõ â ÑÑÑÐ. Äëÿ ìîëîäîãî ÷èòàòåëÿ, êîòîðûé æèâåò òåïåðü â ñîâåðøåííî äðóãèõ óñëîâèÿõ, ýòè çàìåòêè ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ, ïîñêîëüêó ñåãîäíÿ òðóäíî âîîáðàçèòü ñåáå äîâîëüíî ñïåöèôè÷åñêèå óñëîâèÿ æèçíè â ñòðàíå â 1950-60å ãîäû. Öàðèëà êîììóíèñòè÷åñêàÿ òîòàëèòàðíàÿ ñèñòåìà, íàñåëåíèå ïðåáûâàëî â áåäíîñòè, à ïðîìûøëåííîñòü â óïàäêå. Ïîïèðàëèñü ïðàâà ÷åëîâåêà, íå ñîáëþäàëèñü îñíîâíûå ñâîáîäû, òàêèå êàê ñâîáîäà ñëîâà. Ïðè ýòîì íåêîòîðûå îòðàñëè íàóêè (â òîì ÷èñëå ìàòåìàòèêà), ïðîöâåòàëè, è äîñòèæåíèÿ â èññëåäîâàíèÿõ áûëè ñðàâíèìû èëè äàæå ïðåâîñõîäèëè óñïåõè îñòàëüíîãî ìèðà.  ÷åì áûëè ïðè÷èíû òàêîãî ïðîãðåññà? Âî-ïåðâûõ, èññëåäîâàíèÿ â òàêèõ îáëàñòÿõ êàê ôèçèêà è ìàòåìàòèêà ïîëüçîâàëèñü ìîùíîé ãîñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêîé. Ãëàâíûì îáðàçîì ýòî îáúÿñíÿåòñÿ âîåííî-ïðîìûøëåííûìè ìîòèâàìè. Âëàñòü áûëà óáåæäåíà, ÷òî óñïåõ â ïîëó÷åíèè àòîìíîé áîìáû, â ñîðåâíîâàíèè çà îñâîåíèå êîñìîñà è ò.ï. ìîæåò áûòü äîñòèãíóò òîëüêî ïðè óñëîâèè ðàçâèòèÿ îñíîâîïîëàãàþùèõ íàó÷íûõ äèñöèïëèí. Ïîýòîìó ïîëó÷àëè ïîääåðæêó ôóíäàìåíòàëüíûå, ðàâíî êàê è ïðèêëàäíûå èññëåäîâàíèÿ. Îáû÷íî ìàòåìàòèêè è ôèçèêè íå èìåëè ïðîáëåì ñ ôèíàíñèðîâàíèåì ðàáîò. Ñóùåñòâîâàëî ìíîãî íàó÷íûõ èíñòèòóòîâ, íå ñâÿçàííûõ ñ îáó÷åíèåì ñòóäåíòîâ, â êîòîðûõ ñîòðóäíèêè ìîãëè ñêîíöåíòðèðîâàòüñÿ íà ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ, ïî÷òè íå èìåÿ îãðàíè÷åíèé íà äëèòåëüíîñòü ðàáîò è ñòðîãèõ îáÿçàòåëüñòâ äîáèòüñÿ òîãî èëè èíîãî 1 ðåçóëüòàòà. Òàêàÿ ñâîáîäà òâîð÷åñêîãî ïîèñêà â êîìáèíàöèè ñ ãàðàíòèðîâàííûì ïðåáûâàíèåì â äîëæíîñòè äëÿ ó÷åíûõ âñåõ óðîâíåé, ïîðîé ïðèâîäèëè ê âûäàþùèìñÿ äîñòèæåíèÿì. Âî-âòîðûõ, â ÑÑÑÐ ñóùåñòâîâàëà õîðîøàÿ òðàäèöèÿ ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Çà÷àñòóþ óðîâåíü ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ñîâåòñêèõ øêîëàõ áûë âûøå, ÷åì â øêîëàõ ÑØÀ. Áîëåå òîãî, äëÿ òàëàíòëèâûõ øêîëüíèêîâ ñóùåñòâîâàëà ñïåöèàëüíàÿ ñèñòåìà ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ, êîòîðûå âåëè ñòóäåíòû è ïðîôåññîðà óíèâåðñèòåòîâ. Êàæäûé ãîä ïðîâîäèëèñü îëèìïèàäû âñåâîçìîæíûõ óðîâíåé. ß ñ âîñòîðãîì âñïîìèíàþ îäèí òàêîé êðóæîê (â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå) è Ìîñêîâñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå îëèìïèàäû. Îíè îïðåäåëèëè ìîå ïðîôåñèîíàëüíîå áóäóùåå. Ìàòåìàòè÷åñêèå ôàêóëüòåòû íåêîòîðûõ óíèâåðñèòåòîâ áûëè â âûñøåé ñòåïåíè ïîðàçèòåëüíû. Íàïðèìåð, êîíöåíòðàöèÿ âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ XX âåêà íà ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ â 1960õ ãîäàõ íå èìååò àíàëîãîâ â ìèðå: À. Êîëìîãîðîâ, È. Ãåëüôàíä, Ë. Ïîíòðÿãèí, Ï. Àëåêñàíäðîâ, À. Òèõîíîâ, Ë. Ëþñòåðíèê, Â. Àðíîëüä, Þ. Ìàíèí, Ñ. Íîâèêîâ, ß. Ñèíàé, Ð. Äîáðóøèí è ìíîãèå äðóãèå. Ýòè ó÷åíûå ðóêîâîäèëè ïîñòîÿííûìè ñåìèíàðàìè, â êîòîðûõ ó÷àñòâîâàëè ìíîãèå ñòàðøåêóðñíèêè, ÷òî äàâàëî èì íåîáûêíîâåííóþ âîçìîæíîñòü îáùàòüñÿ ñî ñòîëü ëåãåíäàðíûìè ôèãóðàìè, à òàêæå ðàíî âêëþ÷àòüñÿ â èññëåäîâàòåëüñêóþ ðàáîòó. Â-òðåòüèõ, îáó÷åíèå â óíèâåðñèòåòàõ áûëî áåñïëàòíûì, è â ïðèíöèïå ñòóäåíò ñî ñêðîìíûìè ñðåäñòâàìè èç ïðîâèíöèàëüíîãî ãîðîäêà ïîñòóïàë ó÷èòüñÿ â ëó÷øèé, Ìîñêîâñêèé óíèâåðñèòåò, åñëè òîëüêî óñïåøíî ñäàâàë âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû. Ó÷åáíèêè è êíèãè áûëè ïðåäåëüíî äåøåâû è ïóáëèêîâàëèñü áîëüøèìè òèðàæàìè. Íàïðèìåð, öåíà íà ó÷åáíèê Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå Â. Êàðìàíîâà áûëà 44 êîïåéêè (îêîëî 70 öåíòîâ), à òèðàæ òîëüêî îäíîãî èçäàíèÿ ñîñòàâëÿë 60 000 ýêçåìïëÿðîâ. Ïîïóëÿðíàÿ êíèãà Â. Òèõîìèðîâà Ðàññêàçû î ìàêñèìóìàõ è ìèíèìóìàõ ñòîèëà 35 êîïååê ïðè òèðàæå 160 000 ýêçåìïëÿðîâ [1, 2]. Åùå îäíà ïðè÷èíà: äëÿ ÷åñòîëþáèâûõ ìîëîäûõ ëþäåé áûëî íå òàê ìíîãî âîçìîæíîñòåé ñäåëàòü êàðüåðó. Âñïîìíèòå, ÷òî íå áûëî òîãäà òàêèõ ïðîôåññèé êàê áèçíåñìåí, ìåíåäæåð, áàíêèð èëè ïðîãðàììèñò. Áûëî íåâîçìîæíî ñòàòü ïîëèòèêîì, ñóäüåé èëè äèïëîìàòîì, íå áóäó÷è ÷ëåíîì Êîììóíèñòè÷åñêîé ïàðèè. Áîëåå òîãî, íå áûëî íàäåæäû ÷åñòíî çàíèìàòüñÿ èññëåäîâàíèÿìè â áîëüøèíñòâå ãóìàíèòàðíûõ íàóê, ïî÷òè âñå îíè áûëè ïîëèòèçèðîâàíû è íàïîëíåíû ìàðêñèñòêîé òåðìèíîëîãèåé. Òàêèì îáðàçîì, êàðüåðà ìàòåìàòèêà áûëà îäíîé èç íåìíîãèõ ñâîáîäíûõ îò èäåîëîãè÷åñêîãî äàâëåíèÿ. Îäíàêî ó ýòîé èäèëëè÷åñêîé êàðòèíû áûëà è òåìíàÿ ñòîðîíà. Æåëåçíûé 2 çàíàâåñ - íå îäíà òîëüêî ìåòàôîðà, ýòî áûëî ðåàëüíîå ïðåïÿòñòâèå ê ìåæäóíàðîäíûì êîíòàêòàì. Àêàäåìèê Í.Í. Ëóçèí áûë ïîäâåðãíóò óíèçèòåëüíîé òðàâëå ïîñëå ïóáëèêàöèè åãî ñòàòåé â çàïàäíûõ æóïíàëàõ â 1936 ã. [3]. Êîãäà â êîíöå 1940õ ãã. ïðîôåññîð ß.Ç. Öûïêèí ïîëó÷èë ïèñüìî îò àìåðèêàíñêîãî ÷èòàòåëÿ åãî ñòàòüè, îí áûë âûçâàí â ÊÃÁ, áûëî óñòðîåíî äëèòåëüíîå ðàññëåäîâàíèå ïî ýòîìó ïîâîäó, è äåëî åäâà íå äîøëî äî àðåñòà. Êîíå÷íî, â 1950-60õ ãã. ñèòóàöèÿ áûëà íå ñòîëü äðàìàòè÷íà, íî îñòàâàëîñü åùå ìíîãî òðóäíîñòåé. Äàæå åñëè ó÷åíûé áûë ïðèãëàøåí äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíôåðåíöèè çà ðóáåæîì, ñ ïîêðûòèåì âñåõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñõîäîâ, ýòî åùå íè÷åãî íå îçíà÷àëî. Âî-ïåðâûõ, ñóùåñòâîâàë ÷åðíûé ñïèñîê ó÷åíûõ, êîòîðûõ íå âûïóñêàëè çà ðóáåæ íè ïðè êàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ. Ïðè÷èíîé ìîãëà áûòü äèññèäåíòñêàÿ äåÿòåëüíîñòü ó÷åíîãî (íàïðèìåð, åñëè îí ïîäïèñàë ïðîòåñò ïðîòèâ íàñèëüñòâåííîãî ïîìåùåíèÿ ìàòåìàòèêà À. Åñåíèíà-Âîëïèíà â ïñèõèàòðè÷åñêóþ êëèíèêó; äåòàëè, êàñàþùèåñÿ ýòîãî ïèñüìà, èçëîæåíû â [4]), åãî íàöèîíàëüíîñòü, åãî íåñàíêöèîíèðîâàííûå êîíòàêòû ñ èíîñòðàíöàìè. Íî äàæå åñëè ó÷åíûé íå ñîñòîÿë â ýòîì ñïèñêå, îí îáÿçàí áûë ïðîéòè äëèííóþ è óíèçèòåëüíóþ ïðîöåäóðó, è áåç âñÿêîé ãàðàíòèè óñïåõà. Îí äîëæåí áûë ïîëó÷èòü ðåêîìåíäàöèþ îò ñâîåãî ìåñòíîãî êîìèòåòà ïàðòèè è îò ðåêòîðà óíèâåðñèòåòà (õàðàêòåðèñòèêó), çàòåì êàíäèäàòóðà óòâåðæäàëîñü ñïåöèàëüíîé âûåçäíîé êîìèññèåé ðåãèîíàëüíîãî êîìèòåòà ïàðòèè, çàòåì òðåáîâàëîñü ðàçðåøåíèå ÊÃÁ, è íàêîíåö, îí äîëæåí áûë ïðîéòè ïðîâåðêó ÖÊ ÊÏÑÑ.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè, ïîçâîëüòå ìíå ðàññêàçàòü îäíó çàáàâíóþ èñòîðèþ, ñëó÷èâøóþñÿ ñî ìíîé. ß áûë â ÷åðíîì ñïèñêå è íå èìåë øàíñîâ ïîåõàòü çà ðóáåæ. Îäíàêî â 1970 ã. ß ñäåëàë ïîïûòêó. Ðå÷ü øëà î IX Ìåæäóíàðîäíîì ñèìïîçèóìå ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ â Áóäàïåøòå, ãäå ÿ áûë ïðèãëàøåí ñäåëàòü ïëåíàðíûé äîêëàä. Ìíå ïîâåçëî, è ÿ ïîëó÷èë ðàçðåøåíèå (âîçìîæíî, â òîì ñëó÷àå ýòî áûëî ïðîùå, ïîòîìó ÷òî Âåíãðèÿ âõîäèëà â Âîñòî÷íûé áëîê). Ê íåñ÷àñòüþ, ãóëÿÿ â ãîðàõ ïåðåä ïîåçäêîé, ÿ ñëîìàë íîãó. Îäíàêî æåëàíèå ó÷àñòâîâàòü â ñèìïîçèóìå áûëî íàñòîëüêî ñèëüíûì, ÷òî ÿ áûë ãîòîâ åõàòü, íåâçèðàÿ íà ïðîáëåìû ñî çäîðîâüåì. Èòàê, ÿ ïðèáûë äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíèõ èíñòðóêöèé è ïàñïîðòà. Îäíàêî áäèòåëüíûé ñîòðóäíèê âçãëÿíóë íà ìîè êîñòûëè è ñêàçàë: Ïðåäîñòàâüòå ìíå ðàçðåøåíèå âðà÷à, ÷òî âû ìîæåòå åõàòü çà ãðàíèöó. Õîðîøî, ÿ ïîëó÷èë òàêîå ðàçðåøåíèå è ïðèíåñ åãî áþðîêðàòó. Íåò, ÿ âàì îòêàçûâàþ, - îáúÿâèë îí. Ïî÷åìó? - ïðîøåïòàë ÿ. Êàêîå âïå÷àòëåíèå âû ïðîèçâåäåòå íà èíîñòðàííûõ ó÷åíûõ? ×òî ñîâåòñêàÿ íàóêà ñòîèò íà êîñòûëÿõ? È ÿ âûíóæäåí áûë îñòàòüñÿ â Ìîñêâå... Îäíàêî âèçèòû çà ðóáåæ áûëè íå åäèíñòâåííîé ñòîðîíîé íàó÷íîé æèçíè, êîòîðàÿ ñèëüíî çàâèñåëà îò ðåøåíèé ïðåäñòàâèòåëåé âëàñòè. Ïðîäâèæåíèå 3 â äîëæíîñòè, çàùèòû êàíäèäàòñêèõ è äîêòîðñêèõ äèññåðòàöèé, âûáîðû â Àêàäåìèþ Íàóê, ïîëó÷åíèå ðàçëè÷íûõ íàãðàä âñå áûëî ïîä ïàðòèéíûì êîíòðîëåì, è íå áûëî íèêàêîãî øàíñà äîáèòüñÿ óñïåõà áåç ñîîòâåòñòâóþùåãî îäîáðåíèÿ. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îòêàç â îäîáðåíèè îáúÿñíÿëñÿ íå ëè÷íûìè è ïðîôåññèîíàëüíûìè êà÷åñòâàìè, à äàííûìè àíêåòû (ïðè ïîñòóïëåíèè íà ðàáîòó êàæäûé äîëæåí áûë çàïîëíèòü äåòàëüíóþ ñòàíäàðòíóþ àíêåòó). Íàïðèìåð, çíàìåíèòûì ñòàë ïÿòûé ïóíêò àíêåòû, î íàöèîíàëüíîñòè. Åñëè âàì âûïàëî íåñ÷àñòüå áûòü åâðååì, òî âàøà êàðüåðà áûëà ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åíà. Êîíå÷íî, ÿ íå ìîãó îñâåòèòü ýòó âàæíóþ òåìó âî âñåõ äåòàëÿõ, çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè áîëüøå èíôîðìàöèè â [5-7]. È ìíîãèå áëåñòÿùèå ó÷åíûå, â ÷àñòíîñòè â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, áûëè âûíóæäåíû ýìèãðèðîâàòü èç-çà ýòèõ îñêîðáèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Åùå îäíèì èñòî÷íèêîì òðóäíîñòåé äëÿ èññëåäîâàòåëåé áûëà ìàíèÿ ñåêðåòíîñòè. Íèêòî íå ìîã îïóáëèêîâàòü ñòàòüþ áåç ñïåöèàëüíîãî ðàçðåøåíèÿ, ïîäòâåðæäàþùåãî, ÷òî ïóáëèêàöèÿ íå ïðîòèâîðå÷èò ìíîãî÷èñëåííûì îãðàíè÷åíèÿì, ñâÿçàííûì ñ áåçîïàñíîñòüþ. Âñå ïèñüìà çà ãðàíèöó (à òàêæå è èç-çà ãðàíèöû) âñêðûâàëèñü, è èõ ñîäåðæèìîå ïðîâåðÿëîñü. Êàæäûé, êòî îòïðàâëÿëñÿ íà ìåæäóíàðîäíóþ êîíôåðåíöèþ, äîëæåí áûë èìåòü ñïåöèàëüíîå ðàçðåøåíèå, è ïîëíûé òåêñò åãî äîêëàäà äîëæåí áûë áûòü óòâåðæäåí. À ðàáîòà â çàêðûòîì èíñòèòóòå (÷òî ñëó÷àëîñü ñî ìíîãèìè ñïåöèàëèñòàìè â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ), ðàäèêàëüíî óñëîæíÿëà ñèòóàöèþ. Ñïèñîê íåâçãîä ñîâåòñêîé íàóêè âûãëÿäèò ñëèøêîì äëèííûì... ×òîáû çàêîí÷èòü, ïîçâîëüòå ìíå óïîìÿíóòü ïîñëåäíþþ (íî, âîçìîæíî, íå íàèìåíüøóþ) òðóäíîñòü. Áîëüøèíñòâî îáëàñòåé íàóêè èìåëè ñòðîãóþ èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó. Íåêèé áîëüøîé øåô äåðæàë â ñâîèõ ðóêàõ âñå âàæíûå ðåøåíèÿ (ïîåçäêè çà ðóáåæ, âûáîðû, íàãðàäû, ïðîäâèæåíèÿ íà âûñîêèå äîëæíîñòè, è ò.ä.). Íàïðèìåð, òàêèì ãëàâîé â îáëàñòè ÷èñëåííîãî àíàëèçà áûë àêàäåìèê À.Í. Òèõîìèðîâ. Çà íèì ñëåäîâàëè ìåñòíûå øåôû, ïðèíèìàâøèå ðåøåíèÿ íà ëîêàëüíîì óðîâíå (íàçíà÷åíèÿ íà äîëæíîñòè ñðåäíåãî óðîâíÿ, çàùèòû êàíäèäàòñêèõ äèññåðòàöèé, è ò.ï.). Ê ñ÷àñòüþ, â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå áûëî òàêîé ñèëüíîé ìîíîïîëèçàöèè. Ìîæåò áûòü, îòñóòñòâèå åäèíîãî âñåâëàñòíîãî ëèäåðà ñäåëàëî ñîâåòñêîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå áîëåå êîíêóðåíòîñïîñîáíûì è ïðèâåëî ê çíà÷èòåëüíûì óñïåõàì â ýòîé îáëàñòè. Èçëèøíå ãîâîðèòü, ÷òî âñå óïîìÿíóòûå îãðàíè÷åíèÿ è òðóäíîñòè èìåëè ñâîþ äèíàìèêó. Ñèòóàöèÿ â 1940õ - ñåðåäèíå 1950õ ãã. áûëà íàèõóäøåé. Çëàÿ âîëÿ ïðåäñòàâèòåëÿ âëàñòè ìîãëà ïðèâåñòè ó÷åíîãî â ÃÓËÀÃ. Ïåðèîä 19554 1970 ãã. áûë íàèìåíåå òÿãîñòíûì, ýòî áûë çîëîòîé âåê ñîâåòñêîé ìàòåìàòèêè [8], è â òîì ÷èñëå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ýòî áûëî ëó÷øåå âðåìÿ. Ãîäû ñ 1970 ïî 1985 áûëè ïåðèîäîì çàñòîÿ â ïîëèòè÷åñêîé, ñîöèàëüíîé, ýêîíîìè÷åñêîé è íàó÷íîé æèçíè. Âñå íåâçãîäû, óïîìÿíóòûå ìíîþ âûøå, èãðàëè âñå áîëåå è áîëåå çàìåòíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ñîâåòñêîé íàóêè è ïðèâåëè åå, òàêèì îáðàçîì, ê äåãðàäàöèè. Òåïåðü, ïîñëå ýòèõ ââîäíûõ çàìå÷àíèé, îðèåíòèðîâàííûõ íà çàïàäíîãî èëè ìîëîäîãî ÷èòàòåëÿ (ðîññèéñêèå ÷èòàòåëè ìîåãî ïîêîëåíèÿ ñëèøêîì õîðîøî çíàêîìû ñî âñåìè ýòèìè îñîáåííîñòÿìè ñîâåòñêîé íàó÷íîé æèçíè è ìîãóò ìíîãîå äîáàâèòü ê ìîåìó îïèñàíèþ, ïîëüçóÿñü ñâîèì ñîáñòâåííûì îïûòîì), ìû ìîæåì ïåðåéòè ê èñòîðè÷åñêîé ïåðñïåêòèâå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ â ÑÑÑÐ. Êîðíè ýòîãî ðàçâèòèÿ ëåæàò â ïðåäøåñòâóþùèõ ñòîëåòèÿõ, è ìû ìîæåì ïîâòîðèòü çà Íüþòîíîì: Ìû ñòîèì íà ïëå÷àõ ãèãàíòîâ. 2. Ïðåäûñòîðèÿ Ïåðâûé ó÷åíûé, çàíèìàâøèéñÿ îïòèìèçàöèåé â Ðîññèè, áûë èñòèííûé ãèãàíò. Ëåîíàðä Ýéëåð, 1707-1783, æèë â Ðîññè â 1727-1741 è â 1766-1783 ãã. (â öåëîì áîëåå 30 ëåò), è îïóáëèêîâàë îêîëî 850 ñòàòåé è êíèã. Åãî áèîãðàôèÿ è îïèñàíèå åãî ðàáîò èçëîæåíû â [9]. Ýéëåð ïîíèìàë ðîëü çàäà÷ îïòèìèçàöèè; îí ïèñàë: ¾Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê çäàíèå âñåãî ìèðà ñîâåðøåííî è âîçâåäåíî ïðåìóäðûì òâîðöîì, òî â ìèðå íå ïðîèñõîäèò íè÷åãî, â ÷åì íå áûë áû âèäåí ñìûñë êàêîãî-íèáóäü ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà; ïîýòîìó íåò íèêàêîãî ñîìíåíèÿ, ÷òî âñå ÿâëåíèÿ ìèðà ñ òàêèì æå óñïåõîì ìîæíî îïðåäåëèòü èç ïðè÷èí êîíå÷íûõ ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà... ([10], Ïðèëîæåíèå 1). Îí âíåñ âàæíûé âêëàä â ðàçâèòèå ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé òåîðèè è ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè. Âî-ïåðâûõ, îí ïîëó÷èë íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âûñøèõ ïîðÿäêîâ â çàäà÷å áåç îãðàíè÷åíèé. Âî-âòîðûõ, îí áûë îäíèì èç îñíîâàòåëåé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.  ýòîì íàïðàâëåíèè îí ïîëó÷èë íåñêîëüêî ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, òàêèõ êàê íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà (íàçûâàåìîå òåïåðü óðàâíåíèåì Ýéëåðà). Êðîìå òîãî, îí ïðåäëîæèë ïðèìåíÿòü äèñêðåòíûå àïïðîêñèìàöèè ê ðåøåíèþ çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, ÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðâûé ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Íàêîíåö, Ýéëåð ðàññìîòðåë èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, òðàêòóÿ èõ â î÷åíü øèðîêîì ñìûñëå, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâîå èññëåäîâàíèå â 5 îáëàñòè îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè.  XIX âåêå íåôîðìàëüíûì ïðîäîëæàòåëåì ðàáîò Ýéëåðà ñòàë îäèí èç âûäàþùèõñÿ ðîññèéñêèõ ìàòåìàòèêîâ. Ï.Ë. ×åáûøåâ, 1821-1894.  îáëàñòè îïòèìèçàöèè îí ââåë òî, ÷òî òåïåðü íàçûâàåòñÿ ×åáûøåâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.  ïðîñòåéøåé ôîðìå, ýòî çàäà÷à min max |a(t) − x t∈T X xi fi (t)|. i Ñåãîäíÿ ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ýòî ïðèìåð çàäà÷è âûïóêëîé íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè, à òî÷íåå, ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. ×åáûøåâ íàøåë àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ (äëÿ a(t) = 1, fi (t) = ti , T = [0, 1], ðåøåíèå - ïîëèíîì ×åáûøåâà) è äàë îáùóþ õàðàêòåðèñòèêó îïòèìàëüíîé àïïðîêñèìàöèè. Îí òàêæå èññëåäîâàë ìíîæåñòâî äðóãèõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, âîçíèêøèõ ÷àñòüþ èç ïðàêòè÷åñêèõ íóæä (íàïðèìåð ïîñòðîåíèå íàèìåíåå èñêàæåííîé ãåîãðàôè÷åñêîé êàðòû, îïòèìàëüíûé ðàñêðîé, íàèëó÷øèé âûáîð ïàðàìåòðîâ ìåõàíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ äëÿ ÷åð÷åíèÿ êðèâûõ). Êàê è Ýéëåð, ×åáûøåâ ïîíèìàë âàæíîñòü è ðàçíîîáðàçèå ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷.  ÷àñòíîñòè, îí óòâåðæäàë: "òà æå çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îáùåé äëÿ âñåé ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà: êàê ðàñïðåäåëèòü íàøè ðåñóðñû òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü íàèáîëüøóþ âîçìîæíóþ ïðèáûëü? Ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò òàê íàçûâàåìîé òåîðèè ìàêñèìàëüíûõ è ìèíèìàëüíûõ êîëè÷åñòâ. Ýòè çàäà÷è, ÿâëÿÿñü ÷èñòî ïðàêòè÷åñêèìè, èìåþò îñîáîå çíà÷åíèé è äëÿ òåîðèè: âñå çàêîíû óïðàâëÿþùèå äâèæåíèåì âçâåøåííîãî è íåâåñîìîãî âåùåñòâà, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷ òàêîãî ðîäà. Ìû íå äîëæíû íå çàìåòèòü èõ ïëîäîòâîðíîãî âëèÿíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê". Èññëåäîâàíèÿ ×åáûøåâà â îáëàñòè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ïðîäîëæèëè äâà åãî âåëèêèõ ïîñëåäîâàòåëÿ. À.À. Ìàðêîâ, 1856-1922, èçâåñòåí ñâîèìè ðàáîòàìè â îáëàñòè òåîðèè ÷èñåë è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (Ìàðêîâñêèå öåïè, Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû).  òî æå âðåìÿ, îí âíåñ âêëàä è â ðàçâèòèå íåêîòîðûõ îáëàñòåé îïòèìèçàöèè. Íàïðèìåð, îí ðàññìîòðåë òàê íàçûâàåìóþ ïðîáëåìó ìîìåíòîâ min 0 ≤ f (t) ≤ L, Z b tn f (t)dt, a Z b ti f (t)dt a = ci , i = 1, ..., n − 1. Ýòî íåñòàíäàðòíàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè ñ èíòåãðàëüíûìè ôóíêöèîíàëàìè öåëè è îãðàíè÷åíèé (íå ñîäåðæàùàÿ ïðîèçâîäíûõ, â îòëè÷èå îò çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ). Îí òàêæå ÿâëÿåòñÿ àâòîðîì íåðàâåíñòâà Ìàðêîâà, 6 ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è: max max |P 0 (x)| P (x)∈Π a≤x≤b |P (x)| ≤ M, a ≤ x ≤ b, ãäå Π - ìíîæåñòâî âñåõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå áîëåå n. Ô.Ì. Ëÿïóíîâ, 1857-1918. Íà ïåðâûé âçãëÿä, åãî ðàáîòû íå èìåëè îòíîøåíèÿ ê îïòèìèçàöèè. Íà ñàìîì äåëå ýòî íå ñîâñåì òàê. Ëÿïóíîâ ðàçðàáîòàë òåîðèþ óñòîé÷èâîñòè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé; åå ïðîñòåéøåå óòâåðæäåíèå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ðåøåíèå x(t) óðàâíåíèÿ ẋ = f (x) óñòîé÷èâî, åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ V (x) (ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà) òàêàÿ, ÷òî (∇V (x), f (x)) < 0. Ìû ìîæåì âçãëÿíóòü íà ýòî èíà÷å. Âûøåïðèâåäåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ýòî íåïðåðûâíûé ïî âðåìåíè ìåòîä ìèíèìèçàöèè V (x). Òàêèì îáðàçîì, ïåðåä íàìè ñèñòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíò äëÿ ïðîâåðêè ñõîäèìîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè. 3. Ïèîíåð Ë.Â. Êàíòîðîâè÷, 1912-1986. Îí çàêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé Óíèâåðñè- òåò â âîçðàñòå 18 ëåò è ñòàë ïðîôåññîðîì â 22 ãîäà, ñâîþ ïåðâóþ ðàáîòó îí îïóáëèêîâàë, êîãäà åìó áûëî 16. Îí óäîñòîèëñÿ íåîáû÷íîé êîìáèíàöèè íàãðàä: Ñòàëèíñêàÿ ïðåìèÿ (1949 ã.), Ëåíèíñêàÿ ïðåìèÿ (1965 ã.) è Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ (1975 ã.). Áèîãðàôè÷åñêèå äàííûå î Êàíòîðîâè÷å, âêëþ÷àÿ åãî àâòîáèîãðàôèþ Ìîé ïóòü â íàóêå , ìîæíî íàéòè â òîìå [13], îïóáëèêîâàííîì íà àíãëèéñêîì ÿçûêå, à òàêæå â [14-16]. Êàíòîðîâè÷ âíåñ çíà÷èòåëüíûé âêëàä â ÷èñëåííûå îáëàñòè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, îí ñòàë îäíèì èç îñíîâàòåëåé ÷èñëåííîãî àíàëèçà â íàøåé ñòðàíå, îí áûë îäíèì èç ïåðâûõ, êòî ïðèçíàë èíôîðìàòèêó êàê íîâóþ âåòâü ìàòåìàòèêè. Îäíàêî äëÿ âñÿêîãî, êòî çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ïðîãðàììèðîâàíèåì, îí íåñîìíåííî îòåö íîâîé íàóêè ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ, êîòîðàÿ âêëþ÷àåò ñòàíäàðòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Èìåííî ñ åãî èìåíåì ñâÿçàíû ñëåäóþùèå òðè ïðîðûâà â îïòèìèçàöèè: • ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå, 1939 ã.; 7 • îáùèå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè, 1940 ã.; • òåõíèêà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, 19391948 ãã. Ðàññìîòðèì êðàòêî êàæäûé èç íèõ. 3.1. Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå  1939 ã. Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ îïóáëèêîâàë ìàëåíüêóþ êíèæêó (âñåãî 67 ñòðàíèö) [17], â êîòîðîé ðàññìàòðèâàëñÿ íîâûé òèï îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Ôîðìû çàïèñè ýòèõ çàäà÷ áûëè èíûìè, ÷åì ñòàíäàðòíàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ãîðàçäî ïîçæå, â [20] Êàíòîðîâè÷ óòâåðæäàåò, ÷òî ìîäåëü, ðàññìàòðèâàåìàÿ â çàïàäíîé ëèòåðàòóðå, åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé åãî ìîäåëè; ýêâèâàëåíòíîñòü ðàçëè÷íûõ ôîðìóëèðîâîê çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå âñåì áûëà ïîíÿòíà â òî âðåìÿ. Êíèãà ýòà ïîÿâèëàñü â îòâåò íà âîïðîñû èíæåíåðîâ è ýêîíîìèñòîâ è íå áûëà îñíîâàíà íà ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèÿõ àâòîðà èëè äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ.  êíèãå ïðèâåäåíî ìíîãî ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, à òàêæå èçëîæåíû èäåè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà äâîéñòâåííûõ ïåðåìåííûõ (íàçûâàåìûõ ðàçðåøàþùèìè ìíîæèòåëÿìè). Îäíàêî ðåâîëþöèîííàÿ êíèãà íå ïîëó÷èëà çàìåòíîãî îòêëèêà ñðåäè ýêîíîìèñòîâ è ìàòåìàòèêîâ! Òîìó áûëî íåñêîëüêî ïðè÷èí. Âî-ïåðâûõ, ïðè òîòàëèòàðíîé ñèñòåìå, ñóùåñòâîâàâøåé â Ñîâåòñêîì Ñîþçå, íå âîçíèêàëî ñïðîñà íà ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïåðâîé ôðàçå èç [20]: Ïëàíèðîâàíèå íàöèîíàëüíîé ýêîíîìèêè èëè åå îòäåëüíûõ îòðàñëåé â ìàñøòàáå ãîñóäàðñòâà âîçìîæíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷àñòíàÿ (êàïèòàëèñòè÷åñêàÿ) ñîáñòâåííîñòü íà ñðåäñòâà ïðîèçâîäñòâà áóäåò çàìåíåíà íà íàðîäíóþ (ñîöèàëèñòè÷åñêóþ) ñîáñòâåííîñòü, ñîöèàëèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà áûëà îñíîâàíà íà âîëþíòàðèñòñêèõ, àäìèíèñòðàòèâíûõ ìåòîäàõ. Èäåè âûñøåé ðàöèîíàëüíîñòè (òî åñòü òî, ÷òî âûãîäíî ëèäåðàì ñòðàíû â äàííûé ìîìåíò) ïðåâàëèðîâàëè íàä çäðàâûì ñìûñëîì è ðàçóìíûìè ðàññóæäåíèÿìè (ñì. ðàçäåë 5.1.7 íèæå). Âî-âòîðûõ, êíèãà íå áûëà íàïèñàíà êàê ìàòåìàòè÷åñêèé òåêñò, è ïîýòîìó ìàòåìàòèêè íå îáðàòèëè íà íåå âíèìàíèÿ. Ýòî áûë ïðîñòî íàáîð ïðèìåðîâ, îáúÿñíåíèé òåðìèíîâ è íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé. Ïåðâàÿ ñòðîãàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòüÿ ïî îáùåé çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ áûëà îïóáëèêîâàíà Êàíòîðîâè÷åì òîëüêî â 1957 ã. Åãî âòîðàÿ êíèãà ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ [20] âûøëà â ñâåò â 1961 ã. Îíà ñîäåðæàëà äâà ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿ (íàïèñàííûõ â ñîàâòîðñòâå ñ Ã. Ðóáèíøòåéíîì), â êîòîðûõ äàâàëàñü ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è 8 ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ïðèâîäèëèñü ÷èñëåííûå ìåòîäû åå ðåøåíèÿ; îäíàêî îñíîâíîå óñèëèå áûëî íàïðàâëåíî íà îáåñïå÷åíèå ñîâìåñòèìîñòè ñ ìàðêñèñòñêîé äîãìîé. Íàïðèìåð, äâîéñòâåííûå ïåðåìåííûå íàçûâàëèñü îáúåêòèâíî îáóñëîâëåííûìè îöåíêàìè (î.î.î.), à íå öåíàìè. 3.2. Îáùèå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè  [18] Êàíòîðîâè÷ ðàññìîòðåë ñàìóþ îáùóþ çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå: min f (x). x∈Q Çäåñü f (x) äèôôåðåíöèðóåìûé ôóíêöèîíàë â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X , Q ⊂ X ìíîæåñòâî, êîòîðîå äîïóñêàåò âûïóêëóþ êîíè÷åñêóþ àïïðîêñèìàöèþ K â òî÷êå x∗ ∈ Q. Äëÿ òàêîé çàäà÷è Êàíòîðîâè÷ ïîëó÷èë ñëåäóþùåå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà. Òåîðåìà. Åñëè x∗ - òî÷êà ìèíèìóìà, òî f 0 (x∗ ) ∈ K ∗ .  ýòîé òåîðåìå f 0 (x) îáîçíà÷àåò ãðàäèåíò ôóíêöèè f (x), à K ∗ - êîíóñ, ñîïðÿæåííûé ê K . Óäèâèòåëüíî, íî ýòà áëèñòàòåëüíàÿ ñòàòüÿ òàêæå íå âñòðåòèëà îòêëèêà. Âîçìîæíî, ïîòîìó, ÷òî îíà îïåðåäèëà ñâîå âðåìÿ. 3.3. Òåõíèêà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà Ïåðâàÿ ñòàòüÿ î ñõîäèìîñòè èòåðàòèâíîãî ìåòîäà ìèíèìèçàöèè êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà áûëà îïóáëèêîâàíà Êàíòîðîâè÷åì â 1939 ãîäó. Ïîçäíåå (1944, 1945, 1947ãã.) îí ïðîäîëæèë ýòî èññëåäîâàíèå. Ðåçóëüòàòû áûëè îáîáùåíû â áîëüøîé ñòàòüå [19], îïóáëèêîâàííîé â 1948 ã. â âåäóùåì ñîâåòñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì æóðíàëå Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. Ñðåäè ìíîãèõ äðóãèõ ðåçóëüòàòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ÷èñëåííûì àíàëèçîì, ñòàòüÿ ñîäåðæàëà äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè (è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè) ìåòîäà íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà äëÿ êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà è ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïîìèìî ýòèõ ïðàêòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ, ñòàòüÿ äåìîíñòðèðîâàëà óñïåøíîå ïðèìåíåíèå ïðèåìîâ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ê çàäà÷àì îïòèìèçàöèè. Ýòà ðàáîòà óñòàíîâèëà âûñîêèé óðîâåíü ñòàíäàðòîâ ê îáîñíîâàíèþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ â îïòèìèçàöèè. 9 4. Ïÿòèäåñÿòûå: ïîÿâëåíèå íîâîé íàóêè Ê íà÷àëó 1950õ ãîäîâ â îáëàñòè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ïîÿâèëîñü íåñêîëüêî íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé. Íåñêîëüêî ðàáîò áûëè ïîñâÿùåíû ëèíåéíûì íåðàâåíñòâàì, ×åáûøåâñêèì àïïðîêñèìàöèÿì íåñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñâÿçàííûì âîïðîñàì. Ñ.Í. ×åðíèêîâ èññëåäîâàë òåîðèþ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ (ïðèíöèï ãðàíè÷íûõ ðåøåíèé, îïèñûâàþùèé âåðøèíû ìíîæåñòâà ðåøåíèé). Äâîå óêðàèíñêèõ ó÷åíûõ, Å.ß. Ðåìåö è Ñ.È. Çóõîâèöêèé ïðåäëîæèëè êîíå÷íûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ íàèëó÷øåé ×åáûøåâñêîé àïïðîêñèìàöèè; ôàêòè÷åñêè ýòè ìåòîäû áûëè àëãîðèòìàìè, ïîäîáíûìè ñèìïëåêñ-ìåòîäó, äëÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ïðÿìûõ èëè äâîéñòâåííûõ). Ýòî èññëåäîâàíèå îáîáùåíî â ìîíîãðàôèÿõ [21-23], îïóáëèêîâàííûõ ãîðàçäî ïîçæå, ÷åì îðèãèíàëüíûå ðàáîòû. Íàïðèìåð, ïåðâàÿ êíèãà (íà óêðàèíñêîì ÿçûêå) ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì ×åáûøåâñêèõ àïïðîêñèìàöèé áûëà íàïèñàíà â 1935 ã.  ýòî æå âðåìÿ, áëàãîäàðÿ íàó÷íûì øêîëàì Í.È. Àõèåçåðà è Ì.Ã. Êðåéíà, áûë äîñòèãíóò çíà÷èòåëüíûé ïðîãðåññ â èññëåäîâàíèè îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïðîáëåìîé ìîìåíòîâ Ìàðêîâà [24,25]. Îäíîâðåìåííî áûëè íà÷àòû èíòåíñèâíûå èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ã.Ø Ðóáèíøòåéí, áûâøèé ñòóäåíò Ë. Êàíòîðîâè÷à îïóáëèêîâàë ïåðâóþ ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è èõ àíàëèç íà ðóññêîì ÿçûêå â 1955 [26].  Ñîâåòñêîì Ñîþçå ñòàëè èçâåñòíû ðåçóëüòàòû çàïàäíûõ ó÷åíûõ (Äæ. Äàíöèãà, Õ. Êóíà, À. Òàêêåðà, Ä. Ãåéëà è äð.) ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ. Âàæíóþ ðîëü â ýòîì ïðîöåññå ñûãðàëè ïåðåâîäû îðèãèíàëüíûõ ðàáîò íà ðóññêèé ÿçûê, ïåðâûì èç êîòîðûõ áûë ïåðåâîä [27]. Ïîÿâèëèñü ðóññêèå ó÷åáíèêè ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ è ñìåæíûì âîïðîñàì. Ïåðâûìè ïóáëèêàöèÿìè ïî ìàòðè÷íûì èãðàì áûëè ðàáîòû Í.Í. Âîðîáüåâà è Å.Ñ. Âåíòöåëü [29], à ïåðâûé ðóññêèé ó÷åáíèê ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ áûë íàïèñàí Ä.Á. Þäèíûì è Å.Ã. Ãîëüøòåéíîì [28]. Âàæíûå ñîáûòèÿ ïðîèñõîäèëè â îáëàñòè àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ.  1956 ã. Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí ñ ñîàâòîðàìè äàëè íîâóþ ôîðìóëèðîâêó çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è ïîëó÷èëè íîâîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè, òàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà. Ýòî áûëî äàëåêî èäóùåå ïðîäîëæåíèå ðåçóëüòàòîâ â îáëàñòè âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ [30]. Êàê ÷èòàòåëü ìîæåò çàêëþ÷èòü, ýòî áûëî âðåìÿ âûñîêîé àêòèâíîñòè. Îäíàêî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áûëè ðàçðîçíåíû è íå ðàññìàòðèâàëèñü êàê 10 ÷àñòè åäèíîé íàó÷íîé äèñöèïëèíû. Åñòü ëè êàêàÿ-ëèáî ñâÿçü ìåæäó ëèíåéíûì ïðîãðàììèðîâàíèåì è îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì, ìåæäó ïðîáëåìîé ìîìåíòîâ è ×åáûøåâñêîé àïïðîêñèìàöèåé èëè ìåæäó ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè è ìåòîäàìè ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ?  50õ ãîäàõ òèïè÷íûé îòâåò áûë îòðèöàòåëüíûé. 5. Øåñòèäåñÿòûå: çîëîòîé âåê Ê íà÷àëó 1960õ ãîäîâ ñèòóàöèÿ êîðåííûì îáðàçîì èçìåíèëàñü. Âðåìÿ ïðèøëî; âñå ÷àñòè ãîëîâîëîìêè áûëè ãîòîâû ñëîæèòüñÿ â ïðåêðàñíóþ öåëîñòíóþ êàðòèíó è íåìåäëåííî ïðèâëå÷ü â íåå êàëåéäîñêîï íîâûõ äåòàëåé. 5.1. Îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé 5.1.1. Îáùàÿ òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ïåðâûì ïðîðûâîì â ýòî âðåìÿ ñòàëî ïîíèìàíèå îáùåé ïðèðîäû ðàçëè÷íûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷.  ñòàòüå Êàíòîðîâè÷à [18] âïåðâûå ôîðìóëèðóåòñÿ ñõåìà àíàëèçà ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, îäíàêî â íåé íå ñîäåðæèòñÿ íèêàêèõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ îáùèõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè äëÿ îòäåëüíûõ çàäà÷. Ýòîò íåäîñòàòîê âîñïîëíèë ôîðìàëèçì Äóáîâèöêîãî-Ìèëþòèíà [31]: òåîðåìà î êîíóñå, ñîïðÿæåííîì ê ïåðåñå÷åíèþ íåñêîëüêèõ êîíóñîâ, ñòàëà ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ôîðìóëèðîâêè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ýêñòðåìóìà â åäèíîîáðàçíîé ìàíåðå. Ýòîò ïîäõîä õîðîøî ðàáîòàë äëÿ øèðîêîãî êëàññà îïòèìçàöèîííûõ çàäà÷, óïîìÿíóòûõ âûøå: çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, òåîðèè àïïðîêñèìàöèé è ìíîãèõ äðóãèõ. Áîëåå òîãî, îí äàë âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü íîâûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ íåêîòîðûõ òðóäíûõ çàäà÷ (íàïðèìåð äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà ôàçîâûå ïåðåìåííûå). Äàííàÿ òåõíèêà ñòàëà øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ ñîâåòñêèìè èññëåäîâàòåëÿìè, è â åå ïîïóëÿðèçàöèè áîëüøóþ ðîëü ñûãðàëà êíèãà [33] È. Ãèðñàíîâà. Ïîçäíåå Â. Áîëòÿíñêèé [32] ðàñøèðèë ïîäõîä è íàçâàë åãî ìåòîäîì øàòðîâ. Äðóãîé ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé Á. Ïøåíè÷íûì â ñåðåäèíå 60õ ãîäîâ (è ïðåäñòàâëåííûé â åãî êíèãàõ [34, 35]), îñíîâàí íà ìåòîäàõ âûïóêëîãî àíàëèçà. Îí òàêæå èñïîëüçîâàë èíñòðóìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè. Ýòó ëèíèþ èññëåäîâàíèé ïðîäîëæèëà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìîíîãðàôèÿ À. Èîôôå è Â. Òèõîìèðîâà [37]. Àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ íà çàïàäå âûïîëíÿëè Ð.Ò. Ðîêàôåëëàð, Ë. Íåéøòàäò, Õ. Õàëêèí, Ë. Áåðêîâèòö, È. Âàðãà è äðóãèå. 11 Îáùàÿ òåîðèÿ äâîéñòâåííîñòè äëÿ çàäà÷ âûïóêëîé îïòèìèçàöèè áûëà ðàçðàáîòàíà Å. Ãîëüøòåéíîì [36]. 5.1.2. ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ îáùèõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ïàðàëëåëüíî ñ ðàçðàáîòêîé îáùåé òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ âîçíèêëî ïîíèìàíèå, ÷òî ÷èñëåííûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ òàêæå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â åäèíîé ñèñòåìå.  ïóáëèêàöèÿõ [38, 39] ïðèâîäÿòñÿ ÷èñëåííûå ãðàäèåíòíûå ìåòîäû áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè è èõ ðàñøèðåíèÿ äëÿ îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè: ìåòîäû ïðîåêöèè ãðàäèåíòà, óñëîâíîãî ãðàäèåíòà, ìåòîä Íüþòîíà äëÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè, ìåòîäû îòñåêàþùèõ ïëîñêîñòåé, øòðàôíîé ôóíêöèè è íåêîòîðûå äðóãèå. Äîêàçûâàþòñÿ îáùèå òåîðåìû î ñõîäèìîñòè è î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ýòèõ ìåòîäîâ íà çàäà÷àõ êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòåé, ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ (ê ñòàíäàðòíîé çàäà÷å ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, è ò.ä.). Ýòî íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèé îñòàâàëîñü íåêîòîðîå âðåìÿ î÷åíü àêòèâíûì (ñì. íàïðèìåð ìîíîãðàôèè [40-42]). 5.1.3. Íåãëàäêàÿ îïòèìèçàöèÿ. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè òðàäèöèîííî ðàçðàáàòûâàëèñü äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è îñíîâûâàëèñü íà ãðàäèåíòíûõ àïïðîêñèìàöèÿõ. Í. Øîð ïåðâûì èñïîëüçîâàë ýòîò ïîäõîä â íåãëàäêîé âûïóêëîé îïòèìèçàöèè.  ñâîåé êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè (1964) îí ïðåäëîæèë ñóáãðàäèåíòíûé ìåòîä äëÿ îïòèìèçàöèè íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è ïðèìåíèë åãî ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷è, äâîéñòâåííîé ê òðàíñïîðòíîé çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîçäíåå ýòîò ïîäõîä áûë ðàñøèðåí è îáîñíîâàí Í. Øîðîì, Þ. Åðìîëüåâûì è Á. Ïîëÿêîì [44-46]. Ìîíîãðàôèÿ [47] îáîáùàåò ýòè èññëåäîâàíèÿ, ñì. òàêæå [43]. Äðóãîé ìåòîä, òàê íàçûâàåìûé ìåòîä öåíòðîâ òÿæåñòè áûë ïðåäëîæåí À. Ëåâèíûì [48] (è íåçàâèñèìî Íüþìàíîì â ÑØÀ). Ïîçäíåå áûëî äîêàçàíî, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì îòíîñèòåëüíî ïîðÿäêà ñõîäèìîñòè ñðåäè âñåõ ìåòîäîâ íåãëàäêîé âûïóêëîé îïòèìèçàöèè, êîòîðûå èñïîëüçóþò òîëüêî çíà÷åíèÿ ñóáãðàäèåíòà, îäíàêî îí âêëþ÷àë òðóäîåìêóþ îïåðàöèþ íàõîæäåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè ìíîãîãðàííèêà. Â. Äåìüÿíîâ ðàçðàáîòàë ìíîãî÷èñëåííûå ìåòîäû äëÿ îòäåëüíûõ êëàññîâ çàäà÷ íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè, ïðåèìóùåñòâåííî äëÿ ìèíèìàêñíûõ çàäà÷ [49,50]. 5.1.4. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ. Çà÷àñòóþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé è èõ ãðà12 äèåíòîâ èñêàæåíû ñëó÷àéíûì øóìîì.  òàêèõ ñèòóàöèÿõ òðåáóåòñÿ ìîäèôèöèðîâàòü ýôôåêòèâíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè, ÷òîáû ñîõðàíèòü èõ ñõîäèìîñòü. Ýòî ìîæíî äîáèòüñÿ ïóòåì óñðåäíåíèÿ èëè ïóòåì ðåãóëèðîâàíèÿ øàãà â èòåðàòèâíûõ ìåòîäàõ, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ â ìåòîäàõ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè â ñòàòèñòèêå. Òàêîé ïåðåñìîòð ìåòîäîâ ìèíèìèçàöèè ïðè ñëó÷àéíîì øóìå áûë ïðåäïðèíÿò Þ. Åðìîëüåâûì [51]. Ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ èòåðàòèâíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ê çàäà÷àì èäåíòèôèêàöèè, îöåíêè, ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ è ò.ä. ïðèâåäåíû â êíèãå ß. Öûïêèíà [52]. Èíîãäà ñëó÷àéíîñòü ñïåöèàëüíî âêëþ÷àåòñÿ â ïðîöåññ ìèíèìèçàöèè, êàê, íàïðèìåð, â ìåòîäàõ ñëó÷àéíîãî ïîèñêà. Àêòèâíûì ñòîðîííèêîì òàêèõ ìåòîäîâ áûë Ë. Ðàñòðèãèí [53].  îáëàñòè ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (â òîì ñìûñëå, êàê ýòîò òåðìèí ïîíèìàåòñÿ â çàïàäíîé ëèòåðàòóðå) ïðîèñõîäèëî íå òàê óæ ìíîãî ñîáûòèé, è òåì íå ìåíåå ïîÿâèëñÿ ó÷åáíèê, íàïèñàííûé Ä. Þäèíûì [54]. 5.1.5. Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ñâÿçàííûå âîïðîñû. Ïîñëå äîëãîãî ïåðåðûâà â ÑÑÑÐ âîçîáíîâèëèñü èññëåäîâàíèÿ â ýòîé îáëàñòè. Îíè áûëè ñîñðåäîòî÷åíû íà ðàçðàáîòêå ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ äëÿ ðåàëèçàöèè ñèìïëåêñ-ìåòîäà è åãî âàðèàíòîâ (È. Ðîìàíîâñêèé, Ó. Ìàëêîâ, Ê. Êèì, À. ×åðêàññêèé, Â. Ñêîêîâ, À. Ñòàíåâè÷óñ è äð.), ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à, ìåòîäû äåêîìïîçèöèè, ×åáûøåâñêèå àïïðîêñèìàöèè) [55] è èòåðàòèâíûõ ìåòîäîâ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [56-58]. Ñóäüáà ñòàòüè [56] áûëà îñîáåííî èíòåðåñíîé. È. Äèêèí áûë ó÷åíèêîì Êàíòîðîâè÷à, è â ñâîåé êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè îí ñòðîãî ñôîðìóëèðîâàë ýâðèñòè÷åñêèå ïðàâèëà, êîòîðûå åãî ðóêîâîäèòåëü ïðåäëîæèë äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Äèêèí äîêàçàë ñõîäèìîñòü èòåðàòèâíîãî àëãîðèòìà, íî íå ñìîã îöåíèòü ñêîðîñòü åãî ñõîäèìîñòè. Ñòàòüÿ (êàê è ðàííèå ðàáîòû Êàíòîðîâè÷à, î êîòîðûõ ìû ãîâîðèëè âûøå) íå ïðèâëåêëà íèêàêîãî âíèìàíèÿ è áûëà çàáûòà äî êîíöà 1980õ ãîäîâ, êîãäà áûëî ïðèçíàíî, ÷òî ðåàëèçîâàííàÿ âåðñèÿ çíàìåíèòîãî àëãîðèòìà Êàðìàðêàðà [65] î÷åíü áëèçêà îðèãèíàëüíîìó ìåòîäó Äèêèíà. 5.1.6. Äèñêðåòíàÿ îïòèìèçàöèÿ. Ïåðâàÿ ìîíîãðàôèÿ ïî äèñêðåòíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ íà ðóññêîì ÿçûêå áûëà îïóáëèêîâàíà â 1969 ãîäó [59]. Óñèëèÿ èññëåäîâàòåëåé â ýòîé îáëàñòè (Þ. Ôèíêåëüøòåéí, À. Êîðáóò, À. Ôðèäìàí, Å. Ëåâíåð, È. Ñèãàë, È. Ñåðãèåíêî, Â. Åìåëè÷åâ, À. Êàðçàíîâ, Å 13 Äèíèö, Ñ. Ëåáåäåâ è äð.) áûëè íàïðàâëåíû â îñíîâíîì íà ðåøåíèå ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷. 5.1.6. Ïðèëîæåíèÿ.  íà÷àëå 1960õ ãã. ñóùåñòâîâàëà âåñüìà îïòèìèñòè÷åñêàÿ âåðà â ïðàêòè÷åñêóþ ïðèìåíèìîñòü èäåé îïòèìàëüíîãî ïëàíèðîâàíèÿ ñîöèàëèñòè÷åñêèõ ýêîíîìèêè è îáùåñòâà. Ìíîãèå ìàòåìàòèêè áûëè óáåæäåíû, ÷òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëåé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòàòü îïòèìàëüíûå ïëàíû è öåíû. Îäíàêî ðåàëüíûå ïîïûòêè ïðèìåíèòü ýòîò ïîäõîä ïðîâàëèëèñü. Ìíîãî èñòîðèé îá ýòîì ìîæíî íàéòè â [16]. Âîò òîëüêî îäíà èç íèõ. Èñïîëüçóÿ ðàáîòû Êàíòîðîâè÷à ïî îïòèìàëüíîìó ðàñêðîþ êóñêîâ çàäàííîé ôîðìû èç ïðÿìîóãîëüíîãî ëèñòà, èíæåíåðû è ýêîíîìèñòû ôàáðèêè, ïðîèçâîäèâøåé ñòàëüíûå èçäåëèÿ, ñìîãëè çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü âûïóñê ïðîäóêöèè. Îäíàêî îíè ñòîëêíóëèñü ñ íåîæèäàííûìè íåïðèÿòíûìè ïîñëåäñòâèÿìè. Âî-ïåðâûõ, êàê ðåçóëüòàò, ïëàí íà ñëåäóþùèé ãîä óâåëè÷èëñÿ (äëÿ ñèñòåìû ñîöèàëèñòè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ áûëî îáû÷íî òðåáîâàòü íåêîòîðîãî ïðèðîñòà ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè àâòîìàòè÷åñêè êàæäûé ãîä), íî òåïåðü ó ôàáðèêè óæå íå áûëî ðåçåðâîâ, ÷òîáû âûïîëíèòü íîâûé óâåëè÷åííûé ïëàí. Âî-âòîðûõ, ó êàæäîãî ïðåäïðèÿòèÿ áûë ïëàí ñáîðà ìåòàëëîëîìà. Î÷åâèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ðàñêðîÿ, êîëè÷åñòâî îòõîäîâ ñòàëè óìåíüøèëîñü, è ýòîò ïëàí âûïîëíèòü íå óäàëîñü. Ðóêîâîäñòâî ôàáðèêè ïîëó÷èëî ïàðòèéíûé âûãîâîð è, êàê ñëåäñòâèå, îòêàçàëîñü îò äàëüíåéøåãî ñîòðóäíè÷åñòâà ñ ìàòåìàòèêàìè. Ãîðàçäî ïîçäíåå Êàíòîðîâè÷ îðãàíèçîâàë è ðóêîâîäèë ðàáîòîé ñïåöèàëüíîé êîìèññèè, ÷òîáû èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ ìîäåëåé â ñîâåòñêîé ýêîíîìèêå. Îñíîâíîé öåëüþ áûëî íàéòè ïðèìåðû èõ óñïåøíîãî èñïîëüçîâàíèÿ è ðàñïðîñòðàíèòü ýòîò îïûò íà äðóãèå îòðàñëè ïðîèçâîäñòâà è îáñëóæèâàíèÿ. Ïîñëå îáøèðíîãî èññëåäîâàíèÿ, êîìèññèÿ êîíñòàòèðîâàëà, ÷òî òàêîé ïîëîæèòåëüíûé îïûò ñîâåðøåííî îòñóòñòâóåò. 5.2. Ãëàâíûå íàó÷íûå öåíòðû  îòëè÷èå îò ÑØÀ, ãäå îãðîìíîå ÷èñëî íàó÷íûõ ñîîáùåñòâ ðàñïðåäåëåíû ïî ìíîãèì óíèâåðñèòåòàì, ãîñóäàðñòâåííûì è ïðîìûøëåííûì èññëåäîâàòåëüñêèì èíñòèòóòàì, ðàáîòû ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ â ÑÑÑÐ áûëè ñêîíöåíòðèðîâàíû ëèøü â íåñêîëüêèõ íàó÷íûõ öåíòðàõ. Ìîñêâà: Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò (È. Ãèðñàíîâ, Â. Òèõîìèðîâ, Á. Ïîëÿê, Ô. Âàñèëüåâ), ëàáîðàòîðèÿ Þäèíà â çàêðûòîì èññëå14 äîâàòåëüñêîì èíñòèòóòå (Ä. Þäèí, Å. Ãîëüøòåéí, ïîçäíåå À. Èîôôå, À. Íåìèðîâñêèé), Öåíòðàëüíûé ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò (Å. Ãîëüøòåéí, ïîçäíåå Â. Ñêîêîâ, Í. Òðåòüÿêîâ, Þ. Íåñòåðîâ), Âû÷èñëèòåëüíûé öåíòð ÀÍ ÑÑÑÐ (Í. Ìîèñååâ, Þ. Åâòóøåíêî, ïîçäíåå Ë. Õà÷èÿí, À. Àíòèïèí), äðóãèå èíñòèòóòû (À. Äóáîâèöêèé, À. Ìèëþòèí); Êèåâ: Èíñòèòóò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà (Þ. Åðìîëüåâ, Á. Ïøåíè÷íûé, Í. Øîð, Â. Ìèõàëåâè÷, Å. Íóïìèíñêèé), äðóãèå èíñòèòóòû (Ñ. Çóõîâèöêèé, Ð. Ïîëÿê, Ì. Ïðèìàê); Íîâîñèáèðñê: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò (Ë. Êàíòîðîâè÷, Ã. Ðóáèíøòåéí, È. Äèêèí, Â. Áóëàâñêèé, À. Ðóáèíîâ, À. Êàïëàí); Ëåíèíãðàä: Ëåíèíãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò (Â. Äåìüÿíîâ, È. Ðîìàíîâñêèé, À. Âåðøèê). Êðîìå ýòèõ ÷åòûðåõ öåíòðîâ, èññëåäîâàíèÿ âåëèñü â íåêîòîðûõ ïðîâèíöèàëüíûõ ãîðîäàõ, òàêèõ êàê Õàðüêîâ (Þ. Ëþáè÷, Ã. Ìàéñòðîâñêèé), Ñâåðäëîâñê (È. Åðåìèí), Èðêóòñê (Â. Áóëàòîâ), Ìèíñê (Ð. Ãàáàñîâ, Ô. Êèðèëëîâà, ïîçäíåå Á. Ìîðäóõîâè÷), Âîðîíåæ (Ì. Êðàñíîñåëüñêèé, À. Ëåâèí), è ïð. 5.3. Îñíîâíûå æóðíàëû Ïóáëèêàöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïîÿâëÿëèñü â ðàçëè÷íûõ æóðíàëàõ. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ñïèñîê îñíîâíûõ æóðíàëîâ. • Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, Ìîñêâà; æóðíàë ïî ÷èñëåííîìó àíàëèçó. • Êèáåðíåòèêà, Êèåâ; æóðíàë ïî èíôîðìàòèêå, òåîðèè ñèñòåì è îïòèìèçàöèè. • Ýêîíîìèêà è ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, Ìîñêâà; æóðíàë ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå. • Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà, Ìîñêâà; æóðíàë ïî óïðàâëåíèþ. • Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, Ìîñêâà; âñå îáëàñòè íàóêè. 15 Îäíàêî ó íàñ íèêîãäà íå áûëî ñïåöèàëüíîãî æóðíàëà ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ! 5.4. Ãëàâíûå ñîáûòèÿ Æèçíü îïòèìèçàöèîííîãî ñîîáùåñòâà â 1960õ ãã. áûëà íàñûùåíà ïðîôåññèîíàëüíûìè ñîáûòèÿìè. Íàçîâåì ëèøü íåñêîëüêî âàæíåéøèõ. • Ñåìèíàðû è êóðñû ëåêöèé ïî îïòèìèçàöèè â ÌÃÓ, ñ 1961 ã. , È. Ãèðñàíîâ, Â. Òèõîìèðîâ, Á. Ïîëÿê; • Ñåìèíàðû è ëåêöèè â Êèåâå, ñ 1960 ã., Ñ. Çóõîâèöêèé, Á. Ïøåíè÷íûé, Í. Øîð; • Ìåæäóíàðîäíûé êîíãðåññ ìàòåìàòèêîâ, Ìîñêâà, 1966 ã.  òî âðåìÿ ýòî áûë ïåðâûé ñëó÷àé îáùåíèÿ ñ çàïàäíûìè ñïåöèàëèñòàìè, è îí ñûãðàë âàæíóþ ðîëü â íàøåì âîâëå÷åíèè â ìåæäóíàðîäíîå ñîîáùåñòâî; • Çèìíèå øêîëû ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ è ñìåæíûì âîïðîñàì â Äðîãîáû÷å. Ïðîâîäèëèñü åæåãîäíî ñ 1968 ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì Ñ. Çóõîâèöêîãî.  íåêîòîðûå ãîäû îíè ñîáèðàëè äî 500 (!) ó÷àñòíèêîâ; • Ëåòíèå øêîëû ïî îïòèìèçàöèè, ïðîâîäèëèñü ñ 1966 ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì Í.Í. Ìîèñååâà; • All-Union Symposia on Optimal Programming Software, ïðîâîäèëèñü ñ 1970 ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì Å. Ãîëüøòåéíà; • Âñåñîþçíûå êîíôåðåíöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ; • Âñåñîþçíûå ñèìïîçèóìû ïî ýêñòðåìàëüíûì çàäà÷àì, ñ 1963 ã.; • Âñåñîþçíàÿ êîíôåðåíöèÿ ïî ÷èñëåííîìó àíàëèçó, 1965, Ìîñêâà, ìíîãèå ñåññèè áûëè ïîñâÿùåíû îïòèìèçàöòîííûì çàäà÷àì. 6. 1970-80å ãîäû: íîâûå íàïðàâëåíèÿ Êàê ÿ îòìå÷àë ðàíåå, ïåðèîä ïîñëå 1970õ ãîäîâ õàðàêòåðèçîâàëñÿ ïîñòåïåííûì ñîêðàùåíèåì ìíîãèõ èññëåäîâàòåëüñêèõ îáëàñòåé â ÑÑÑÐ, êîñíóëîñü ýòî è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ê òîìó áûëî ìíîãî âíóòðåííèõ ïðè÷èí (ñïåöèôèêà ðàçâèòèÿ ëþáîé íàóêè), à òàêæå è îáùàÿ àòìîñôåðà çàñòîÿ ñîâåòñêîãî îáùåñòâà ñûãðàëà ñâîþ íåèçáåæíóþ ðîëü. Êàê áû òî 16 íè áûëî, æèçíü ñîîáùåñòâà ñòàëà ìåíåå àêòèâíîé (ïðîâîäèëîñü ìåíüøå êîíôåðåíöèé ïî îïòèìèçàöèè, îíè ñîáèðàëè ìåíüøå ó÷àñòíèêîâ, ïîÿâëÿëîñü ìåíüøå íîâûõ èäåé, è ò.ä.). Òåì íå ìåíåå, â ýòî âðåìÿ ïðîèçîøëî íåñêîëüêî ïðîðûâîâ, è ÿ íàçîâó íåêîòîðûå èç íèõ. 6.1. Ñëîæíîñòü îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ è ýôôåêòèâíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè  ñåðèè ïóáëèêàöèé 1976-1979 ãã. (îáîáùåííûõ â ìîíîãðàôèè [60]) À. Íåìèðîâñêèé è Ä. Þäèí ââåëè íîâîå ïîíÿòèå ñëîæíîñòè îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Èõ ïîäõîä çàêëþ÷àëñÿ â ñëåäóþùåì. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, ñíàáæåííûõ îðàêóëîì, ò.å. íåêîòîðûì èñòî÷íèêîì èíôîðìàöèè î òîì èëè èíîì îòäåëüíîì ýëåìåíòå ñåìåéñòâà. Íàïðèìåð, ìû ðàññìàòðèâàåì êëàññ çàäà÷ áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé ôóíêöèè. Òîãäà îðàêóë äàåò çíà÷åíèå ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè è åå ãðàäèåíòà â ëþáîé òî÷êå. Êàêîâû ïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñòè ïðîèçâîëüíîãî ìåòîäà, èñïîëüçóþùåãî ýòó èíôîðìàöèþ? Íåìèðîâñêèé è Þäèí óñòàíîâèëè íèæíèå ãðàíèöû äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Íàïðèìåð, îíè îáíàðóæèëè, ÷òî äëÿ óïîìÿíóòîãî êëàññà çàäà÷ áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé ôóíêöèè íå ñóùåñòâóåò ìåòîäà, êîòîðûé √ äàåò ðåøåíèå ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ν çà ìåíåå, ÷åì O( Q ln 1/ν) âû÷èñëåíèé ãðàäèåíòà, ãäå Q îòíîøåíèå êîíñòàíòû Ëèïøèöà ãðàäèåíòà ê êîíñòàíòå ñòðîãîé âûïóêëîñòè. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû äëÿ êëàññîâ ëèïøèöåâûõ íåïðåðûâíûõ (ìíîãîýêñòðåìàëüíûõ) çàäà÷, îáùèõ âûïóêëûõ çàäà÷, çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè (ãäå îðàêóë äàåò çíà÷åíèå ãðàäèåíòà, èñêàæåííîå ñëó÷àéíûì øóìîì), è äð. Òàêèì îáðàçîì, àâòîðàì óäàëîñü íàéòè ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ìèíèìèçàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìåòîä èìååò ñëîæíîñòü, ñîâïàäàþùóþ ïî ïîðÿäêó ñ íèæíåé îöåíêîé, òî îí îïòèìàëåí, ò.å. íå ñóùåñòâóåò äðóãèõ ìåòîäîâ, êîòîðûå ðåøàþò âñå çàäà÷è êëàññà áûñòðåå (â îòíîøåíèè ïîðÿäêà). Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ñëîæíîñòè â [60] îòëè÷àåòñÿ îò ñòàíäàðòíîé àñèìïòîòè÷åñêîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ýòî íå àñèìïòîòè÷åñêîå ñâîéñòâî. Ñåðüåçíûé âêëàä â òåîðèþ ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ áûë ñäåëàí Þ. Íåñòåðîâûì [61]. Òàê, îí íàøåë îïòèìàëüíûé ìåòîä ìèíèìèçàöèè ãëàäêèõ âûïóêëûõ (íå îáÿçàòåëüíî ñòðîãî âûïóêëûõ) ôóíêöèé. 6.2. Ìåòîä ýëëèïñîèäîâ è ïîëèíîìèàëüíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ 17 Âûøå ÿ óïîìèíàë ìåòîä öåíòðîâ òÿæåñòè À. Ëåâèíà [48] äëÿ ìèíèìèçàöèè íåäèôôåðåíöèðóåìûõ âûïóêëûõ ôóíêöèé.  1976 ã. Þäèíûì è Íåìèðîâñêèì [62], à ãîä ñïóñòÿ íåçàâèñèìî Í. Øîðîì [63] áûëà ïðåäëîæåíà ðåàëèçóåìàÿ âåðñèÿ ýòîãî ìåòîäà (â êîòîðîé âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè ìíîãîãðàííèêà çàìåíåíà òðèâèàëüíîé çàäà÷åé íàõîæäåíèÿ öåíòðà îïèñàííîãî ýëëèïñîèäà). Íà îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ýëëèïñîèäîâ Ë. Õà÷èÿí ïîñòðîèë èòåðàòèâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, äëÿ êîòîðîãî áûëà äîêàçàíà ïîëèíîìèàëüíàÿ ñëîæíîñòü [64]. Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ: ÿâëÿåòñÿ ëè çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ NP-ñëîæíîé èëè íåò, îñòàâàâøèéñÿ äîëãîå âðåìÿ îòêðûòûì, áûë ðåøåí. 6.3. Ïîëèíîìèàëüíûå ìåòîäû âíóòðåííèõ òî÷åê è ïîëóîïðåäåëåííîå ïðîãðàììèðîâàíèå Íåñìîòðÿ íà ñâîþ íàäåæíîñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ ñëîæíîñòè, ìåòîä ýëëèïñîèäîâ äëÿ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå ñòàë ñîïåðíèêîì ñèìïëåêñ-ìåòîäó. Èñòèííûé âû÷èñëèòåëüíûé ïðîãðåññ ñâÿçàí ñ ìåòîäîì Êàðìàðêàðà [65]. Ïðîäîëæàÿ ýòó ëèíèþ èññëåäîâàíèé, Þ. Íåñòåðîâ è À. Íåìèðîâñêèé çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëè ïîäõîä â ñåðèè ñòàòåé, îïóáëèêîâàííûõ â 1987-1989 ãã. è îáîáùåííûõ ïîçäíåå â ìîíîãðàôèè [66]. Îíè ïîñòðîèëè ïîëèíîìèàëüíûå ìåòîäû âíóòðåííèõ òî÷åê äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ çàäà÷ âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Áîëåå òîãî, îíè ðàçðàáîòàëè îáùèå ïîíÿòèÿ è ïðèåìû (ñàìîñîãëàñîâàííûå ôóíêöèè, áàðüåðû) äëÿ òàêîãî ðàñøèðåííîãî ïîäõîäà. Îäíèì èç çíà÷èòåëüíûõ âêëàäîâ ýòèõ ìàòåìàòèêîâ ñòàëî èññëåäîâàíèå çàäà÷ ïîëóîïðåäåëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ò.å. çàäà÷ îïòèìèçàöèè, â êîòîðûõ â êà÷åñòâå îãðàíè÷åíèÿ ôèãóðèðóåò òðåáîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè íåêîòîðûõ ìàòðèö. Îíè ïîëó÷èëè ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷, îñíîâàííûé íà ìåòîäàõ âíóòðåííèõ òî÷åê ñ ñàìîñîãëàñîâàííûìè áàðüåðíûìè ôóíêöèÿìè. Ýòè ðàáîòû îòêðûëè íîâóþ ýðó â ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè. Áîëåå òîãî, îäèí èç êëàññîâ çàäà÷ ïîëóîïðåäåëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òàê íàçûâàåìûå ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà, íàøåë ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ â óïðàâëåíèè [68]. 6.4. Ðàçâèòèå íåâûïóêëîãî è íåãëàäêîãî àíàëèçà 18 Ïðèåìû îáùåãî àíàëèçà, ïîÿâèâøèåñÿ â 1960õ ãã. äëÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, áûëè ðàçðàáîòàíû íà îñíîâå èëè êëàññè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ (äëÿ ãëàäêèõ çàäà÷), èëè âûïóêëîãî àíàëèçà (äëÿ íåãëàäêèõ âûïóêëûõ çàäà÷). Íîâûå òèïû ïðèëîæåíèé òðåáîâàëè ðàçâèòèÿ áîëåå ñëîæíûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå ïîëó÷èëè íàçâàíèå íåâûïóêëûé àíàëèç. Îäèí èç íàèáîëåå óñïåøíûõ ïîäõîäîâ â íåâûïóêëîì àíàëèçå áûë ïðåäëîæåí Á. Ìîðäóõîâè÷åì [69], îí îñíîâàí íà ìåòîäå ìåòðè÷åñêèõ àïïðîêñèìàöèé. À. Èîôôå (íàïðèìåð, ñì. [70]) èçáðàë äðóãîé ïóòü, îí èñïîëüçîâàë ðàñøèðåíèå ïîíÿòèÿ ñóáäèôôåðåíöèàë íà íåäèôôåðåíöèðóåìûå îòîáðàæåíèÿ. Þ. Íåñòåðîâ [61] ðàçðàáîòàë òåîðèþ ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà ïîëó÷èòü èñ÷èñëåíèå äëÿ íåãëàäêèõ ôóíêöèé. Å. Ëåâèòèí ñèñòåìàòè÷åñêè èññëåäîâàë òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ çàäà÷ ãëàäêîé è íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè [71]. 7. Çàêëþ÷åíèå ß ïèøó ýòó ñòàòüþ ïîñëå ìíîãèõ äðàìàòè÷åñêèõ ñîáûòèé â íàøåé ñòðàíå, òàêèõ êàê ðàçâàë ÑÑÑÐ è êîíåö êîììóíèñòè÷åñêîé ñèñòåìû. Êîíå÷íî, ïîëèòè÷åñêèå è ýêîíîìè÷åñêèå èçìåíåíèÿ ñèëüíî ïîâëèÿëè íà ñèòóàöèþ ñ íàóêîé â Ðîññèè. Îðãàíèçàöèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé íå ïðåòåðïåëà íèêàêèõ èçìåíåíèé è, ïî-âèäèìîìó, óñòàðåëà. Íåäîñòàòîê ãîñóäàðñòâåííîãî ôèíàíñèðîâàíèÿ è îòñóòñòâèå ïîääåðæêè ñî ñòîðîíû ïðîèçâîäñòâà è áèçíåñà íåèçáåæíî âåäåò ê ìåäëåííîìó, íî íåóêëîííîìó ñîêðàùåíèþ èññëåäîâàòåëüñêèõ èíñòèòóòîâ. Ïîñêîëüêó íåò áîëüøå ïðåæíèõ ïðåïÿòñòâèé ê îòúåçäó çà ðóáåæ, ìíîãèå ñïåöèàëèñòû ïðåäïî÷èòàþò ýìèãðàöèþ êàê ñïîñîá ðåøèòü ñâîè ëè÷íûå ïðîáëåìû. Ñåãîäíÿ ëèøü íåáîëüøàÿ ÷àñòü ó÷åíûõ, çàíèìàþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ïðîãðàììèðîâàíèåì, îñòàåòñÿ â ñòðàíå.  Ðîññèè ïðîâîäèòñÿ î÷åíü ìàëî ñåìèíàðîâ è êîíôåðåíöèé, è ìàòåìàòèêàì çàòðóäíèòåëüíî ïîñåùàòü ïîäîáíûå ìåðîïðèÿòèÿ çà ðóáåæîì, ïî ïðè÷èíå íåäîñòàòî÷íîãî ôèíàíñèðîâàíèÿ. Íàêîíåö, è ýòî òîæå íåìàëîâàæíî, íàó÷íàÿ ðàáîòà áîëüøå íå ïðèâëåêàåò ìîëîäûõ ëþäåé, è ñîîáùåñòâî ñòàðååò. Òåì íå ìåíåå, ìíå áû íå õîòåëîñü çàêàí÷èâàòü íà ñòîëü ïåññèìèñòè÷åñêîé íîòå. ß âåðþ, ÷òî âåëèêèå òðàäèöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé â Ðîññèè ñìîãóò ïðåîäîëåòü ñåãîäíÿøíèå òðóäíîñòè, è íàóêà âîçðîäèòñÿ... Àâòîð áëàãîäàðèò ìíîãî÷èñëåííûõ êîëëåã è äðóçåé çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ ïî òåìå äàííîé ñòàòüè. Àâòîð ïðèçíàòåëåí Ï. Ùåðáàêîâó è À. Êîíí çà ïîìîùü â ïîäãîòîâêå òåêñòà. 19 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Â.Ã. Êàðìàíîâ Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì.: Íàóêà, 1975, 272 ñ. [2] Â.Ì. Òèõîìèðîâ Ðàññêàçû î ìàêñèìóìàõ è ìèíèìóìàõ. Ì.: Íàóêà, 1986, 190 ñ. [3] Äåëî àêàäåìèêà Í.Í. Ëóçèíà. Îòâ. ðåä. Ñ.Ñ. Äåìèäîâ, Â.Â. Ëåâøèí, ÑÏá: ÐÕÃÈ, 1999, 310 ñ. [4] À.Ñ. Åñåíèí-Âîëïèí Ôèëîñîôèÿ, ëîãèêà, ïîýçèÿ, çàùèòà ïðàâ ÷åëîâåêà. Ì.: ÐÃÃÓ, 1999, 450 ñ. [5] G. Freiman It Seems, I am a Jew. South. Illinois Univ. Press, Feer & Simons, Inc., 1980, 97 pp. [6] A. Vershik Admission to the mathematical faculty in Russia in the 1970s and 1980s. - Math. Intelligencer, 1994, V. 16, N 4, p. 4-5. [7] A. Shen Entrance examinations to the Mekh-mat. - Math. Intelligencer, 1994, V. 16, N 4, p. 6-10. [8] S. Zdravkovska, P.L. Duren, eds. Golden years of Moscow Mathematics. Amer. Math. Soc. And London Math. Soc., 1993. [9] À.Ï. Þøêåâè÷ Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè â Ðîññèè äî 1917 ãîäà. Ì.: Íàóêà, 1968, 592 ñ. [10] L. Euler (1744): Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive propietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Lausannae et Genevae, 1744 (in Latin). Ïåðåâîä ñ ëàò. Ë. Ýéëåð Ìåòîä íàõîæäåíèÿ êðèâûõ ëèíèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè ìàêñèìóìà, ëèáî ìèíèìóìà èëè ðåøåíèå èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è, âçÿòîé â ñàìîì øèðîêîì ñìûñëå. Ì-Ë.: ÀÍ ÑÑÑÐ, 1934. [11] Ìàòåìàòèêà â ÑÑÑÐ çà ñîðîê ëåò. 1917-1957. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959, ò. 1, 1002 ñ., ò.2, 819 ñ. [12] Ìàòåìàòèêà â ÑÑÑÐ. 1917-1957. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1969, ò. 1-2, 1579 ñ. [13] L.J. Leifman, ed. Functional Analysis, Optimization, and Mathematical Economics: Acollection of Papers Dedicated to the Memory of Leonid Vital'evich Kantorovich. Oxford University Press, 1990. 20 [14] I.V. Romanovskii L.V. Kantorovich's works in mathematical programming. In: M. Iri, K. Tanabe, eds., Mathematical Programming: Recent Developments and Applications. Tokyo, Kluwer, 1989, pp. 365-382. [15] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ìîé ïóòü â íàóêå. - Óñïåõè ìàò. íàóê, 1987, ò. 42, âûï. 2, ññ. 183-213. [16] À. Êàöåíåëèáîéãåí Ë.Â. Êàíòîðîâè÷: Ïîëèòè÷åñêàÿ äèëåììà â íàó÷íîé äåÿòåëüíîñòè. - Ýêîíîìèêà è ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, 1997, ò.33, âûï. 3, ññ. 30-42. [17] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îðãàíèçàöèè è ïëàíèðîâàíèÿ ïðîèçâîäñòâà., Ë.: Èçä.-âî Ëåíèíãðàäñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1939, 64 ñ. [18] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Îá îäíîì ýôôåêòèâíîì ìåòîäå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ ýêñòðåìàëüíûõ ïðîáëåì. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1940, N 28, ññ.212-215. [19] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. - Óñïåõè ìàò. íàóê, 1948, ò. 3, âûï.6, ññ. 89-185. [20] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ýêîíîìè÷åñêèé ðàñ÷¼ò íàèëó÷øåãî èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñîâ. Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1960, 347 ñ. [21] Ñ.Í. ×åðíèêîâ Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1968, 488 ñ. [22] Å.ß. Ðåìåç Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê.äóìêà, 1969, 623 ñ. [23] Ñ.È. Çóõîâèöêèé Î ïðèáëèæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé â ñìûñëå Ï.Ë. ×åáûøåâà. - Óñïåõè ìàò. íàóê, 1956, ò.11, âûï.2, ññ.125-129. [24] Í.È. Àõèåçåð Êëàññè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ìîìåíòîâ. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961, 310 ñ. [25] Ì.Ã. Êðåéí, À.À. Íóäåëüìàí Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ìàðêîâà è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. Ì.: Íàóêà, 1973, 551 ñ. [26] Ã.Ø. Ðóáèíøòåéí Çàäà÷à îá ýêñòðåìàëüíîé òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îñè è ìíîãîãðàííèêà. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1955, ò. 115, N 3, c. 627-630 [27] Linear Inequalities and Related Systems. Kuhn, H., Tucker, A., eds., Ann. Math. Studies, No. 38, Princeton, Princeton Univ. Press, 1956. Ïåðåâîä ñ àíãë. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà è ñìåæíûå âîïðîñû Ã. Êóí, À. Òàêêåð, ðåä. Ì.: ÈË, 1959. 21 [28] Ä.Á. Þäèí, Å.Ã. Ãîëüøòåéí Çàäà÷è è ìåòîäû ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1964, 491 ñ. [29] Å.Ñ. Âåíòöåëü Ýëåìåíòû òåîðèè èãð. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959. [30] Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí, Â.Ã. Áîëòÿíñêèé, Ç.Â. Ãàìêðåëèäçå, Å.Ô. Ìèùåíêî Å.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. [31] À.ß. Äóáîâèöêèé, À.À. Ìèëþòèí Çàäà÷è íà ýêñòðåìóì ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, ò. 149, N 4, 1963, c. 759-762. [32] Â.Ã. Áîëòÿíñêèé Ìåòîä øàòðîâ â òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. - Óñïåõè ìàò. íàóê, ò. 30, âûï. 3, 1975, ñ. 3-55. [33] È.Â. Ãèðñàíîâ Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1970, 118 ñ. [34] Á.Í. Ïøåíè÷íûé Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. Ì.: Íàóêà, 1969, 152 ñ. [35] Á.Í. Ïøåíè÷íûé Âûïóêëûé àíàëèç è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. Ì.: Íàóêà, 1980, 320 ñ. [36] Å.Ã. Ãîëüøòåéí Òåîðèÿ äâîéñòâåííîñòè â ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè è åå ïðèìåíåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1971, 352 ñ. [37] À.Ä. Èîôôå, Â.Ì. Òèõîìèðîâ Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Íàóêà, 1974, 479 ñ. [38] Å.Ñ. Ëåâèòèí, Á.Ò. Ïîëÿê Ìåòîäû ìèíèìèçàöèè ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé. - ÆÂÌ è ÌÔ, 1966, ò. 6, N 5, ñ. 787-823. [39] Â.Ô. Äåìüÿíîâ, À.Ì. Ðóáèíîâ Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ë.: Èçä-âî ËÃÓ, 1968, 180 ñ. [40] Á.Í. Ïøåíè÷íûé, Þ.Ì. Äàíèëèí ×èñëåííûå ìåòîäû â ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà, 1975, 320 ñ. [41] Ô.Ï. Âàñèëüåâ Ëåêöèè ïî ìåòîäàì ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1974, 374 ñ. [42] Á.Ò. Ïîëÿê Ââåäåíèå â îïòèìèçàöèþ. Ì.: Íàóêà, 1983, 384 ñ. 22 [43] N.Z. Shor (1991): The development of numerical methods for nonsmooth optimization in the USSR. In: Lenstra, J.K., RinnoyKan,A.H.G., Shrijver,A., eds., History of Mathematical Programming, Amsterdam, CWI, NorthHolland, pp. 135-139. [44] Þ.Ì. Åðìîëüåâ Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Êèáåðíåòèêà, N 4, 1966, c. 1-17. [45] Á.Ò. Ïîëÿê Îäèí îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, ò.174, N 1, 1967, ñ. 33-36. [46] Á.Ò. Ïîëÿê Ìèíèìèçàöèÿ íåãëàäêèõ ôóíêöèîíàëîâ. - ÆÂÌ è ÌÔ, ò. 9, N 3, 1969, ñ. 509-521. [47] Í.Ç. Øîð Ìåòîäû ìèíèìèçàöèè íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 1979, 200 ñ. [48] À.Þ. Ëåâèí Îá àëãîðèòìå ìèíèìèçàöèè âûïóêëûõ ôóíêöèé. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1985, ò. 160, N 6, ñ. 1244-1247. [49] Â.Ô. Äåìüÿíîâ, Â.Í. Ìàëîçåìîâ Ââåäåíèå â ìèíèìàêñ. Ì.: Íàóêà, 1972, 368 ñ. [50] Â.Ô.Äåìüÿíîâ, Ë.Â.Âàñèëüåâ Íåäèôôåðåíöèðóåìàÿ îïòèìèçàöèÿ. Ì.: Íàóêà, 1981, 384 ñ. [51] Þ.Ì. Åðìîëüåâ Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1976, 240 ñ. [52] ß.Ç Öûïêèí Àäàïòàöèÿ è îáó÷åíèå â àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ì.: Íàóêà, 1968, 400 ñ. [53] Ë.À. Ðàñòðèãèí Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ïîèñêà. Ì.: Íàóêà, 1968, 376 ñ. [54] Ä.Á. Þäèí Çàäà÷è è ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Ñîâ. Ðàäèî, 1979. [55] Å.Ã. Ãîëüøòåéí, Ä.Á. Þäèí Íîâûå íàïðàâëåíèÿ â ëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè. Ì.: Ñîâ. Ðàäèî, 1966, 524 ñ. [56] È.È. Äèêèí Èòåðàòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷ ëèíåéíîãî è êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1967, ò. 174, N 4, ñ.747-748. 23 [57] Á.Ò. Ïîëÿê, Í. Â. Òðåòüÿêîâ Îá îäíîì èòåðàöèîííîì ìåòîäå ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è åãî ýêîíîìè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè. - Ýêîíîìèêà è ìàò. ìåòîäû, 1972, ò.8, N 5, c. 740-751. [58] Â.Ç. Áåëåíüêèé, Â.À. Âîëêîíñêèé è äð. Èòåðàòèâíûå ìåòîäû â òåîðèè èãð è ïðîãðàììèðîâàíèè. Ì.: Íàóêà, 1974, 240 c. [59] À.À. Êîðáóò, Þ.Þ. Ôèíêåëüøòåéí. Äèñêðåòíîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì.: Íàóêà 1969, 368 ñ. [60] À.Ñ. Íåìèðîâñêèé, Ä.Á. Þäèí. Ñëîæíîñòü çàäà÷ è ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè. Ì.: Íàóêà, 383 ñ. [61] Þ.Å. Íåñòåðîâ Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû â íåëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989, 301 ñ. [62] Ä.Á. Þäèí, À.Ñ. Íåìèðîâñêèé Èíôîðìàöèîííàÿ ñëîæíîñòü è ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ âûïóêëûõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. - Ýêîíîìèêà è ìàò. ìåòîäû, 1976, ò. 12, N 2, ñ. 357-369. [63] Í.Ç. Øîð Ìåòîäû îòñå÷åíèÿ ñ ðàñòÿæåíèåì ïðîñòðàíñòâà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. - Êèáåðíåòèêà, 1977, N 1, ñ.4250. [64] Ë.Ã. Õà÷èÿí Ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì â ëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1979, ò. 244, N 5, c. 1093-1096. [65] N. Karmarkar A new polynomial-time algorithm for linear programming. Combinatorica, 1984, N 4, pp. 373-395. [66] Yu.E. Nesterov, A.S. Nemirovskii Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Philadelphia, SIAM, 1994, 405 pp. [67] R. Saigal, L. Vanderberghe, H. Wolkowitz, eds. Handbook of Semidenite Programming. Waterloo, Kluwer, 2000. [68] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. Philadelphia, SIAM, 1994, 193 pp. [69] Á.Ø. Ìîðäóõîâè÷ Ìåòîäû àïïðîêñèìàöèé â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè è óïðàâëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1988, 359 ñ. [70] A.D. Ioe Nonsmooth analysis: dierential calculus of nondierentiable mapping. - Trans. Amer. Math. Soc., 1981, V. 266, N 1, pp. 1-56. 24 [71] Å.Ñ. Ëåâèòèí Òåîðèÿ âîçìóùåíèé â ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè è ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1992, 360 ñ. 25