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4MA2DF02
Analyse : série 3
Série 3 : Propriétés de l'intégrale
1. En s'appuyant sur la dénition de l'intégrale de Riemann (CRM p. 80) ou en se basant sur
l'interprétation graphique de l'intégrale (aire) illustrer/expliquer les propriétés suivantes
de l'intégrale (CRM p.81). (Il n'est pas demandé de livrer une démonstration formelle mais
de se onvainre de es propriétés.)
f
Soient
g
et
des fontions intégrables sur les intervalles donnés dans les armations
suivantes. Alors :
(a) Si
f (x) ≤ 0
pour tout
x ∈ [a; b],
alors
b
Z
f (x) dx ≤ 0
a
(b)
Z
a
Z
b
f (x) dx = −
b
()
f (x) dx +
a
(d) Si
(e)
b
f (x) dx
a
c
f (x) ≤ g (x)
Z
b
Z
b
c
Z
f (x) dx =
b
f (x) dx
a
x ∈ [a; b],
pour tout
λf (x) dx = λ
a
(f )
Z
Z
Z
alors
Z
b
f (x) dx ≤
a
Z
b
g (x) dx
a
b
f (x) dx
a
(f (x) + g (x)) dx =
a
Z
b
f (x) dx +
a
Z
b
g (x) dx
a
2. Utiliser les propriétés de l'intégrale pour répondre aux questions suivantes. Représenter
graphiquement es situations à l'aide de fontions ontinues.
(a) Si
Z
7
f (x) dx = −3
Z
et
−1
alors que vaut
Z
2
3f (x) dx = −1
et
7
Z
2
(f (x) + g (x)) dx = 1
−1
2
g (x) dx
?
−1
(b) Si
Z
b
f (x) dx > 0
et
a
alors quel est le signe de
AK
Z
a
Z
b
g (x) dx <
Z
a
f (x) dx
b
a
(g (x) − f (x)) dx
?
b
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Analyse : série 3
3. (Révision) Caluler les primitives suivantes :
(a)
Z
cos (3x)
dx
sin2 (3x)
(b)
Z
x3 + x2
dx
x
()
AK
Z p
ln (x)
dx
x
1
−
3 sin (3x)
x3
3
+c
(c ∈ R)
+c
(c ∈ R)
+c
(c ∈ R)
x2
+
2
p
2 ln3 (x)
3
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