Cours Intégration 1- Calul Intégral Dénition : Soit f dénie et ontinue sur I , intervalle de R , (a, b) ∈ I 2 , on appelle intégrale de a à b de f le réel Z b a b f (t) dt = F (t) a = F (b) − F (a). Théorème : Intégration par parties : Si uZ et v sont deux fontions de lasse C 1 sur un intervalle I alors Z b h ib u′ (t)v(t) dt = u(t)v(t) − ∀(a, b) ∈ I 2 , a a b u(t)v ′ (t) dt a Théorème : Changement de variable : Soit ϕ ∈ C 1 (I), I intervalle, (α, β) ∈ I 2 , f ontinue sur J , intervalle, J ⊂ ϕ(I), alors Z β f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = α Linéarité : (λ, µ) ∈ R 2 , Relation de Chasles : Z b a b ϕ(β) f (u) du ϕ(α) f , g , fontions intégrables sur I , intervalle de R ontenant a, b, c. Z b Z b (λf (t) + µg(t)) dt = λ f (t) dt + µ g(t) dt. 2- Propriétés des intégrales Z Z a f (t) dt + a Croissane de l'intégration Z c f (t) dt = b : seulement si a<b Z a c f (t) dt. a si f est une fontion ontinue et f > 0 sur [a, b], alors Z b de plus f (t) dt > 0 a Si f 6 g sur [a, b] alors b Z f (t) dt 6 a égalité de la moyenne Le réel 1 b−a Z b Z b Z b f (t) dt = 0 ⇔ ∀x ∈ [a, b], f (x) = 0 a g(t) dt a : Si f une fontion ontinue sur [a, b], ∃c ∈ [a, b], 1 b−a Z b f (t) dt = f (c). a f (t) dt s'appelle valeur moyenne de la fontion f sur le segment [a, b]. a Sommes de Riemann : Si f une fontion ontinue sur [a, b], alors Z 1 n 1X k lim f = f (t) dt. n→+∞ n n 0 k=0 3- Extensions Z b Z b Dénition : Si f est prolongeable par ontinuité sur [a, b], f˜, son prolongement alors f (t) dt = f˜(t) dt. a a Dénition : On dit que f est ontinue par moreaux sur [a, b] si il existe un nombre ni de points (xi )i∈[[0,n]] , def a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, tels que les restritions de f à ]xi , xi+1 [ soient prolongeables par ontinuité sur [xi , xi+1 ]. Z b n−1 Z xi+1 def X Dénition : Si f est ontinue par moreaux sur [a, b], f (t) dt f (t) dt = (Chasles). a HMéthode Résolution (E) : y ′ i=0 xi + a(x)y = b(x) où a et b sont des fontions ontinues Les solutions de (H) : y ′ + a(x)y = 0 (équation homogène assoiée) sur I sont les fontions de la forme yH = Ce−A(x) où A est une primitive de a et C ∈ R . On herhe ensuite une solution partiulière y0 de (E) sous la forme y0 (x) = C(x)e−A(x) . HMéthode Résolution de (E) : ay” + by′ + cy = f (x) où a, b, c sont des réels et f une fontion ontinue sur I , intervalle de R . (H) : ay ′′ + by ′ + cy = 0, l'équation homogène assoiée, (Ec ) : ar2 + br + c = 0, l'équation aratéristique assoiée à (H). Solutions de Ec (r1 , r2 ) ∈ R 2 , r1 6= r2 r0 ∈ R r = α ± βi ∈ C Solutions de (H) f : x 7→ λ1 er1 x + λ2 er2 x f : x 7→ (λx + µ)er0 x f : x 7→ eαx (A cos βx + B sin βx), (A, B) ∈ R 2 Lorsque f est de la forme t 7→ P (t)emt alors on herhe une solution partiulière du type t 7→ Q(t)emt , Q étant un polynme dont on indiquera le degré. Lorsque f est de la forme t 7→ sin(ωt) ou t 7→ cos(ωt), il existe une solution partiulière du type t 7→ A sin(ωt) + B cos(ωt) si iω n'est pas solution de (Ec ), t 7→ t(A sin(ωt) + B cos(ωt)) si iω est solution de (Ec ), A et B étant à déterminer. Théorème : L'ensemble des solutions de (E) est SE = {y0 +yH , yH solution de (H)} dans les deux types d'équation. BCPST1A - Poinaré !