EQUILIBRE ET CROISSANCE D'UNE SURFACE A. MORPHOLOGIE D'EQUILIBRE D'UNE INTERFACE Dans e premier tutorat traitant de la morphologie des interfaes, nous allons modeliser une interfae d'equilibre entre deux milieux, par exemple un liquide et une vapeur. Dans un prohain tutorat, on traitera du probleme de la roissane d'une interfae - hors equilibre par denition - sous une ation exterieure (deposition de partiules, appliation d'une fore, et...). Dans un soui de simpliite, nous nous plaerons a deux dimensions, ou l'interfae est une ligne, que nous allons modeliser ii de deux manieres: tout d'abord (partie I) en adoptant un formalisme ontinu, puis (partie II) dans un formalisme disret ou l'interfae separe deux domaines d'aimantations opposees. I. MODELISATION CONTINUE D'UNE INTERFACE Nous allons modeliser l'interfae omme une ligne ontinue et derivable y(x). Nous la supposerons presque plate, 'est-a-dire (dy=dx)2 1. L'energie de l'interfae est proportionnelle a sa longueur totale L: H = L, ou est une onstante positive, appelee tension de ligne. 1. Soit L la longeur de l'interfae projetee sur l'axe des x, exprimer L en fontion de L et de (dy=dx)2. 2. Montrer qu'en hoisissant omme onditions aux limites periodiques: y(0) = y (L) = 0, la deomposition de Fourier de y (x) peut s'erire: nx 1 X y (x) = An sin L n=1 Les An representent maintenant les degres de liberte independants du systeme, et varient de 1 a +1. Montrer que H s'erit, a une onstante additive pres: H= 1 2 X 2 2 4L n=1 n An Que peut-on dire de ette deomposition? 3. Que vaut, a une onstante multipliative pres, la probabilite d'observer la valeur An pour le mode n? Quelle est la probabilite jointe P (An; Am) entre 1 y Vapeur Liquide L Fig. 1. Interfae liquide/vapeur a deux dimensions. l'interfae, L sa longueur developpee. L est la longueur projetee de deux modes n et m ? On en deduira les valeurs moyennes hAni et hAnAm i. Montrer qu'on retrouve le theoreme d'equipartition de l'energie. 4. Deduire de es resultats la valeur moyenne du produit hy(x)y(x0)i, par exemple pour x0 x, en utilisant la propriete: 1 1 X 2 jxj x2 os nx = 0 x 2 2 6 2 +4 n=1 n On pose:y = y(x0) y(x) la dierene d'ordonnees entre deux points d'absisses x et x0 . Quand x et x0 sont eloignes, hy 2i1=2 peut ^etre onsideree omme l'epaisseur de l'interfae. 2 x Deduire de l'expression de hy(x)y(x0)i alulee plus haut elle de < y2 >. Que vaut < y2 > lorsque jx0 xj L ? Montrer que le probleme onsidere est similaire a elui d'une marhe aleatoire (Tut 1) et expliquer pourquoi. Que vaut ii le oeÆient de diusion? Pour quelle valeur de jx0 xj la utuation de y est-elle maximale ? Comment se omporte l'epaisseur de l'interfae en fontion de L? II. MODELISATION DISCRETE DE L'INTERFACE Nous allons maintenant proeder a une modelisation disrete, et supposer que l'interfae separe deux zones d'aimantations positive (voir Fig. 2, la phase du bas est onstituee de spins d'Ising pointant vers le haut) et negative (Fig. 2, la phase du haut est onstituee de spins d'Ising pointant vers le bas). Chaque spin est suppose se trouver a un noeud d'un reseau arre de maille elementaire a = 1. On supposera l'ehantillon arre, de taille L = N dans les deux diretions. On a don N 2 spins. Le Hamiltonien de e systeme s'erit: X Si Sj Si ; Sj = 1 H= J <ij> ou la somme des interations n'est etendue qu'aux plus prohes voisins (e qu'on note par < ij >), et J est une onstante positive. 1. Quelle est l'energie assoiee a une interfae plane (etat fondamental) ? Montrer que lorsque l'interfae n'est plus retiligne, sa longueur developpee est egale a : N X L = (1 + jypj) p=1 ou yp est la hauteur de la marhe au point d'absisse xp. En deduire que l'energie en exes par rapport au niveau fondamental peut s'erire: N X H = 2NJ + 2J jypj p=1 pour la onguration omportant des marhes de hauteur yp. 2. On suppose que l'extr^emite gauhe de l'interfae est xe, et que son extr^emite droite est libre de se positionner n'importe ou. Les hauteurs de marhe sont supposees ^etre des variables aleatoires independantes pouvant prendre toutes les valeurs entieres entre 1 et +1. Montrer que la fontion de partition Z de l'interfae peut se fatoriser, et qu'on a: Z = N 3 y Région de spins "down" Région de spins "up" L Fig. 2. Interfae entre la region du bas, d'aimantation positive, et la region du haut d'aimantation negative, a deux dimensions. L = N est la taille du systeme, la longueur projetee de l'interfae, le pas du reseau etant hoisi egal a 1. ou est la fontion de partition d'une marhe: = e 2J oth(J ) ave = 1=kT , ou k est la onstante de Boltzmann. Caluler l'energie moyenne par unite de longueur de l'interfae: = E=N et la tension de ligne f (egale a l'energie libre par unite de longueur: f = F=N ). Quelles sont les limites de et de f a basse et haute temperature? 3. Montrer que la probabilite pour qu'une marhe soit de hauteur p, asendante 4 x ou desendante, est egale a: P (jyj = p) = 2e 2J (1+p) En deduire que : et verier que: Montrer aussi que: hjyji = sinh12J = 2J (1 + hjy ji) hy2i = 2(sinh1 J )2 4. Soit y la dierene de hauteurs entre deux points de l'interfae d'absisses xp et xp+q : pX +q yi y = i=p+1 Utiliser le theoreme de la limite entrale (les yp sont des variables aleatoires independantes) pour relier la variane 2 y de la distribution des y a elle, y2 de la distribution des y . On remarquera que y2 = hy 2i puisque hy i = 0. En deduire h(y)2i1=2 , qui peut ^etre onsideree omme l'epaisseur de l'interfae lorsque q est grand. Montrer que l'on retrouve, dans ette limite, le resultat etabli lors de l'approhe ontinue: h(y)2i / q / jx0 xj Que vaut dans e modele ? 5