Théorie de Galois nie Arnaud Girand 3 mars 2011 On se donne dans toute la suite une orps K. 1 Extensions galoisiennes nies Dénition 1.1 (Extension galoisienne) Une extension nie de K est dite galoisienne si elle se diagonalise ellemême. ☞ On rappelle que pour qu'une extension L/K se diagonalise ellemême, il faut et il sut que : cardEndKalg (L) = [L : K] De plus, si L/K est nie, elle est algébrique et don EndK (L) = AutK (L), e qui nous permet de "retrouver" la dénition "lassique" d'extension galoisienne. Dénition 1.2 (Groupe de Galois) Soit L/K une extension galoisienne. Alors on appelle groupe de Galois de L sur K le groupe : Gal(L/K) := AutK (L) ✌ Si nulle ambiguité n'est à raindre, on s'empressera d'érire "Gal(L)". C'est un abus ondamnable. Proposition 1.1 Soit L/K une extension galoisienne. Soit A/K une sous extension de L. Alors L/A est galoisienne. ✖ Une extension galoisienne d'une extension galoisienne n'est pas néessairement galoisienne ! Proposition 1.2 Soit L/K une extension nie. Soit Ω une lture algébrique de K ontenant L. On pose : d := [L : K] ; G := AutK (L) ; FixG (L) := {x ∈ L | ∀g ∈ G g(x) = x}. On a alors l'équivalene entre les propriétés suivantes : (i) L/K est galoisienne ; (ii) card(G) = d ; (iii) card(G) ≥ d ; (iv) FixG (L) = K ; (v) pour tout x ∈ L, les raines du polynme minimal de x sont simples et appartiennent à L. Corollaire 1.2.1 Soient L et L′ deux extensions galoisiennes de K. Soit Ω une lture algébrique de K. On suppose que : K ⊂ L′ ⊂ L ⊂ Ω Posons : 1 G := Gal(L) ; G′ := Gal(L′ ) ; H := AutL′ (L). Alors : (i) H ⊳ G ; (ii) G′ ∼ = G/H . Corollaire 1.2.2 (Corps de déomposition d'un polynme séparable) Soit P ∈ K[X] une polynme séparable. Soit Ω une lture algébrique de K. Alors la sousextension de Ω/K engendrée par les raines de P est galoisienne. On l'appelle orps de déomposition de P . Proposition 1.3 Soit P ∈ K[X] une polynme séparable. Soit Ω une lture algébrique de K. Soit E le orps de déomposition de P . Alors : G := Gal(E) opère transitivement sur l'ensemble X des raines de P dans Ω ⇔ P est irrédutible 2 Théorie de Galois nie Proposition 2.1 Soit L un orps. Soit H un groupe ni d'automorphismes de L. On pose F := FixH (L). Alors : (i) L/F est une extension galoisienne ; (ii) Gal(L/F ) = H . Théorème 2.2 (Correspondane de Galois) Soit L/K une extension nie galoisienne. Soit G le groupe de Galois de L/K. Alors : (i) pour tout sousgroupe H de G, l'ensemble FixH (L) est un sousorps de L ontenant K et : [FixH (L) : K] = (G : H) i.e [L : FixH (L)] = card(H) (ii) pour tout sousorps E de L ontenant K, l'extension L/E est galoisienne et : Gal(L/E) = {σ ∈ G | ∀x ∈ E, σ(x) = x} (iii) les appliations H 7→ FixH (L) et E 7→ Gal(L/E) sont des bijetions réiproques, déroissantes pour l'inlusion, entre l'ensemble des sousgroupes de G et elui des sousorps de L ontenant K. Terminons par une (anti)équivalene de atégories . . . Soient L/K une extension galoisienne et G son groupe de Galois. On note G la atégorie des ensembles nis sur lesquels G agit (les morphismes sont les appliations ϕ : X → Y X, Y ∈ G telles que ∀x ∈ X, ∀g ∈ G, ϕ(g.x) = g.ϕ(x)). Notons également D la atégorie des Kalgèbres nies diagonalisées par L, i.e des Kalgèbres A telles que cardHomKalg (A, L) = [A : K]. Pour A ∈ D, on pose : S(A) := HomK (A, L) Et pour A, B ∈ D et f ∈ HomD (A, B), on pose : S(f ) : S(B) → S(A) η 7→ η ◦ f On dénit ainsi un fonteur ontravariant S : D → G . On a alors le résultat suivant : 2 Proposition 2.3 Le fonteur S : D → G est une antiéquivalene de atégories. Démonstration : f. [DD05℄, p. 309311. Référenes [DD05℄ Régine Douady and Adrien Douady. Algèbre et théories galoisiennes. Cassini, 2005. 3