кы ь × п ып д я ь

Suites : Calul de Limites
Cours
1- Opérations sur les limites et indétermination (un )n et (vn )n deux suites réelles, l et l′ deux réels.
Limite d'une somme
si lim un =
si lim vn =
ℓ
ℓ′
ℓ + ℓ′
alors lim(un + vn ) =
ℓ
+∞
+∞
ℓ
−∞
−∞
Limite d'un produit :
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
−∞
FI
si lim un =
ℓ
ℓ 6= 0 0
si lim vn =
ℓ′ 6= 0
0
0
le signe se règle ave un tableau de
signe.
alors lim(un vn ) =
ℓℓ′
0
0
si lim un =
ℓ
ℓ 6= 0 0
Limite d'un quotient :
′
si
lim
v
=
ℓ
=
6
0
0+
0
n
le signe se règle ave un tableau de
ℓ
signe.
alors lim(un vn ) =
∞
FI
′
∞
∞
∞
◮Si
|q| < 1, q n → 0
◮Si
limite.
q = 1, q n = 1 → 1
Éhelle des suites lassiques :
ln n ≪ nα
≪
0<α<β
◮Si
nβ ≪ an
q > 1, q n → +∞
0
0 ∞
FI FI
∞
∞
FI
ℓ
2- Croissanes omparées
onvergene des suites géométriques
∞
◮Si
∞
0+
0
∞
∞
0
q 6 −1, q n n'admet pas de
≪ bn ≪ n! ≪ nn
1<a<b
u
= 0.
v
p
Appliation : Polynmes : ap n + ap−1 np−1 + ... + a1 n + a0 ∼ ap np si ap 6= 0.
Remarque : u ≪ v signie lim
3- Équivalents
un
= 1. On note un ∼ vn ou u ∼ v .
vn
u ∼ v ⇔ ∀n ∈ N , un = vn (1 + ǫn ) ave lim un = ǫn = 0 (sous réserve d'existene).
Dénition : On dit que (un ) est équivalente à (vn ) si lim
Remarque :
Propriétés des équivalents :
L'essentiel : Si la suite (un ) onverge vers ℓ et si ℓ 6= 0, alors un ∼ ℓ.
Si un ∼ vn et si lim vn = ℓ (resp. +∞, resp. −∞), alors lim l (resp. +∞, resp. −∞).
Auune suite ne peut être équivalente à 0.
résultats de base :
un ∼ vn ⇔ vn ∼ un
Si un ∼ vn et vn ∼ wn =⇒ un ∼ wn .
Équivalents et opérations Si un ∼ vn alors pour tout réel λ 6= 0, λun ∼ λvn .
un
vn
Si un ∼ vn et wn ∼ rn alors un wn ∼ vn rn et
.
∼
wn
rn
Si un ∼ vn alors ∀k ∈ N , (un )k ∼ vnk et même α ∈ R , un > 0, vn > 0, uαn ∼ vnα .
Par ontre, on ne peut pas additionner des équivalents, ni les omposer ave des fontions.
Quelques équivalents à onnaître : Si la suite (un ) onverge vers 0 et si un 6= 0 partir d'un ertain rang, alors
sin(un ) ∼ un
un →0
ln(1 + un ) ∼ un
un →0
Remarque :
ou 1).
;
tan(un ) ∼ un
un →0
;
√
1 + un − 1 ∼
un →0
;
cos(un ) − 1 ∼ −
un →0
1
un
2
;
(un )2
2
;
eun − 1 ∼ un
un →0
α
(1 + un ) − 1 ∼ αun .
un →0
f (x0 + h) − f (x0 )
= f ′ (x0 ) (ave x0 = 0
Ces limites traduisent, pour des fontions lassiques, lim
h→0
h
BCPST1A - Poinaré