Comportement en temps long pour des modèles de prolifération de prions Pierre Gabriel Laboratoire Jaques-Louis Lions, Université Paris 6 Journée Prion, INRIA Lyon, le 28 mars 2011 Travaux en ollaboration ave Vinent Calvez, Marie Doumi et Léon Matar Tine µ plaements β px q τ px q λ δ Figure: Prolifération des Prions $ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & d dt pq t »8 λ V pt q δ 0 τ px qu pt , x q :V G u proissane q hkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkj dx u t x V t x x u t x x u t x u t x y t u t x x y u t y dy x looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon : Fu p fragmentation p0q p , 0q 0, p0, q 0 p q, p0q 0. p q : quantité de monomères au temps , p , q : quantité de polymères de taille au temps V , B p , q p q B τ p q p , q µ p , q B B »8 β p q p , q 2 β p qκp , q p , q t ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' τ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' % V q u t u x V u x V t x t . , Existene de veteurs propres Théorème (Doumi, G.) Sous ertaines hypothèses tehniques et si βp q 8, lim Ñ 8 τp q alors pour tout ¡ 0 et tout µ P R, il existe une unique solution au problème aux valeurs propres p G F µ q U p ; q Λ p , µ q U p ; q, ³ ave U p ; q ¥ 0 et U p ; q 1. De plus on a Λp , 0q ¡ 0. β τ P 1pr0, ǫsq et x L x x x V V V V x V x x dx V V x V États d'équilibre 1. état d'équilibre sain : ū 0, V̄ λδ États d'équilibre 1. état d'équilibre sain : ū 0, 2. état d'équilibre malade : 8 ¥ 0, 8 0 et u p 8G V u F µq 8 0 et u λδ V̄ 8¡0 V 8δ V satisfaisant ³ λ τ px qu8 px q dx États d'équilibre 1. état d'équilibre sain : ū 0, 2. état d'équilibre malade : 8 ¥ 0, 8 0 et u p 8G V don u F µq 8 0 et u 8¡0 V 8δ V 8 px q ρ8 U pV8 ; x q u λδ V̄ ave satisfaisant ³ λ τ px qu8 px q dx ΛpV8 , µq 0 États d'équilibre 1. état d'équilibre sain : ū 0, 2. état d'équilibre malade : 8 ¥ 0, 8 0 et u p 8G V don et ρ8 u F µq 8 0 et u λδ V̄ 8¡0 V 8δ V 8 px q ρ8 U pV8 ; x q u ³ τ p λq{U p8 ; δ q V x V 8 x dx satisfaisant ¡0 ave don ³ λ τ px qu8 px q dx ΛpV8 , µq 0 0 8 V̄ . V États d'équilibre 1. état d'équilibre sain : ū 0, 2. état d'équilibre malade : 8 ¥ 0, 8 0 et u p 8G V don et ρ8 u F µq 8 0 et u λδ V̄ 8¡0 V 8δ V 8 px q ρ8 U pV8 ; x q u ³ τ p λq{U p8 ; δ q V x V 8 x dx satisfaisant ¡0 ave don ³ λ τ px qu8 px q dx ΛpV8 , µq 0 0 8 V̄ . V Coeients en puissane de x Dans le as où τ px q τ x ν and β px q β x γ , la ondition d'existene de veteur propre est : γ 1 ν ¡ 0. k Coeients en puissane de x Dans le as où τ px q τ x ν and β px q β x γ , la ondition d'existene de veteur propre est : γ 1 ν ¡ 0. On peut alors aluler expliitement les dépendanes de Λ Λp , µq Λp1, 0q γ µ, et il existe un unique état d'équilibre malade orrespondant à k V V V 8 µ Λp , 1 0q k 1 k γ 1 . Existene de plusieurs états d'équilibre malade Théorème (Calvez, Doumi, G.) Sous des hypothèses tehniques on a, pour 0 ou 8, lim Λp , 0q lim β p q. Ñ Ñ L V V L x x L L Existene de plusieurs états d'équilibre malade Théorème (Calvez, Doumi, G.) Sous des hypothèses tehniques on a, pour 0 ou 8, lim Λp , 0q lim β p q. Ñ Ñ L V V L x L x L Corollaire Si β p q lim β p q 0 lim Ñ8 Ñ0 alors, pour µ susamment petit, il existe au moins deux valeurs de telles que Λ p , µ q 0. x x x V V x ements Λp , µq V 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 V 0.01 1 2 V 0.005 V̄ 0 Unstable Stable Stable −0.005 −0.01 −0.015 0 0.5 1 1.5 2 Figure: Stabilité quand 2.5 3 V̄ V1 3.5 4 V ements Λp , µq V 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 V 0.01 1 2 V 0.005 V̄ 0 Unstable Stable Stable −0.005 −0.01 −0.015 0 0.5 1 1.5 2 Figure: Instabilité quand 2.5 3 V1 V̄ V2 3.5 4 V ements Λp , µq V 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 V 0.01 1 2 V 0.005 V̄ Unstable 0 Stable Stable −0.005 −0.01 −0.015 0 0.5 1 1.5 2 Figure: Stabilité quand 2.5 V2 V̄ 3 3.5 4 V Stabilité des états d'équilibre malade Théorème (Greer, Prüss, Pujo-Menjouet, Webb) Pour les oeients τ p q τ et β p q β , on a l'alternative x x x Stabilité des états d'équilibre malade Théorème (Greer, Prüss, Pujo-Menjouet, Webb) Pour les oeients τ p q τ et β p q β , on a l'alternative x - si V̄ x x 8 , alors il n'y a pas d'équilibre malade et V l'état d'équilibre sain est globalement asymptotiquement stable, Stabilité des états d'équilibre malade Théorème (Greer, Prüss, Pujo-Menjouet, Webb) Pour les oeients τ p q τ et β p q β , on a l'alternative x - si V̄ x x 8 , alors il n'y a pas d'équilibre malade et V l'état d'équilibre sain est globalement asymptotiquement stable, - si ¡ V̄ 8 , il existe un unique état d'équilibre malade et V l'état d'équilibre malade est globalement asymptotiquement stable. aements Λp V , µq 0.15 0.1 0.05 V̄ 0 Unstable Stable −0.05 8 V −0.1 −0.15 −0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 V Figure: Stabilité quand V̄ V8 aements Λp V , µq 0.15 0.1 0.05 V̄ 0 Unstable Stable −0.05 8 V −0.1 −0.15 −0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 V Figure: Instabilité quand V8 V̄ Considérons l'équation B upt , x q f » x p u B τ px qupt , x q µupt , x q Bt Bx F u pt , x q (1) Considérons l'équation B upt , x q f » x p u B τ px qupt , x q µupt , x q Bt Bx Les états d'équilibre orrespondent aux valeurs 8 I telles que »8 0 x p u 8 px q dx 0 Λpf pI8 q, µq . F u pt , x q (1) Supposons que τ p q x Dans e as on a x , β px q β x γ and κp , q 1 κ0 x y Λpf pI q, µq f pI q µ. Les états d'équilibre orrespondent aux valeurs p 8 q µ. f I 8 I y x y telles que . Théorème (G.) Si ¥ 0 et Ñ R est une fontion ontinue telle que p8q µ, p0q ¡ µ alors toute solution de (1) onverge vers un point d'équilibre U p p 8 q, q. Si de plus est dérivable, alors 8 est loalement asymptotiquement stable si 1p 8q 0 et instable si 1 p 8q ¡ 0. p f :R and f f f I f x I f I f I On peut aussi onsidérer davantage de nonlinéarités B upt , x q f » x p u B xupt , x q g » x q u upt , x q Bt Bx Fγ u pt , x q (2) On peut aussi onsidérer davantage de nonlinéarités B upt , x q f » x p u B xupt , x q g » x q u upt , x q Bt Bx Dans e as on peut observer des solutions périodiques. Fγ u pt , x q (2) Théorème (G.) Il existe des fontions et pour lesquelles il existe des solutions périodiques à (2). Plus préisément il existe des solutions de la forme p , q p q U p p q; q ave et des fontions périodiques. f u t x Q W g Q t W t x 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Un modèle Prion plus général $ ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' % d V pt q dt λ V pt q δ f » x p upt , x q dx » τ px qu pt , x q dx , B upt , x q V pt qf » x p upt , x q dx B τ px qupt , x q Bt Bx µ upt , x q F u pt , x q. Un modèle Prion plus général $ ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' % d V pt q dt λ V pt q δ f » x p upt , x q dx » B upt , x q V pt qf » x p upt , x q dx B τ px qupt , x q Bt Bx µ upt , x q Ce modèle a été introduit par ave 1 et F u pt , x q. Greer, Van Den Driesshe, Wang et Webb p τ px qu pt , x q dx , f p q 1 1 ω pω ¡ 0q. I I Pour 1, p q 1 1ω , et les oeients τ p q τ, β p q β il existe au plus un état d'équilibre malade p 8 , 8q et on a p f I x I V x u x , Pour 1, p q 1 1ω , et les oeients τ p q τ, β p q β il existe au plus un état d'équilibre malade p 8 , 8q et on a p f I x I V x x , u Théorème (Greer, Van Den Driesshe, Wang et Webb) - si V̄ 8 , alors il n'y a pas d'équilibre malade et V l'état d'équilibre sain est globalement asymptotiquement stable, - si ¡ V̄ 8 , il existe un unique état d'équilibre malade et V l'état d'équilibre malade est globalement asymptotiquement stable. Solutions périodiques Théorème (G.) Si τ p q , β p q β γ et κp , q 1 κ0 , alors il existe des fontions et des oeients λ, δ et µ pour lesquels il existe des solutions de la forme p p q, p qU p p q; qq où , et sont périodiques. x x x x x x y y y f V V W Q t Q t W t x Un modèle ave oalesene $ ' ' ' & ' ' ' % d dt V pq t »8 0 τo px q V pt qτon px q p, q u t x dx , B p , q B p qτ p q τ p q p , q on o B B t u t x x V t x x u t x Qpu qpt , x q, Un modèle ave oalesene $ ' ' ' & ' ' ' % d dt V pq t »8 0 τo px q V pt qτon px q p, q u t x dx , B p , q B p qτ p q τ p q p , q on o B B t u t x Q Q Qf V x t x x u t x Qpu qpt , x q, ave » »8 1 Q p qp q 2 0 p , q p q p q p q 0 p , q p q » »8 1 Qf p qp q 2 p q 0 fp , q 0 fp , q p q . x u x k y x y u y u x y dy u x k x y u y x u x u x k y x y dy k x y u x y dy dy , Conservation de la masse d dt V pq t »8 0 p, q xu t x dx 0. Conservation de la masse d dt $ ' ' ' & ' ' ' % x x V pq t B Q p qp q B B Qf p qp q B u u x x »8 x x p, q xu t x 0 »x»8 0 »x 0 yk »8 x x y yk y f dx 0. p, qpqpq y z u y u z p, qp y z u y z q dzdy dzdy . , t 3 0 p , 0.5q 1.5 u 1 1 0.6 0.4 0.2 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 x t 90 12 p , 20q 20 u x p , 12q PSfrag replaements 30 2.5 20 3 3.5 4 3.5 4 WENO order 1 100 60 40 t 120 WENO order 1 70 50 2 x 80 u x WENO order 1 0.8 u x PSfrag replaements x p0, q 2 0.5 ements 0.5 1.2 2.5 ements t 1.4 initial 80 60 40 20 10 0 0 0 0.5 1 1.5 2 x 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x Figure: Comparaison entre le shéma d'ordre 1 et le shéma d'ordre 5