SVE201-2010-2011 C. Reder Peut-on aluler AB , BA, et si oui, les aluler. Feuille d'exeries 3 : Calul matriiel Exerie 1. a) A = 0 1 Exerie 2. Exerie 3. 1 1 B= 1 2 b) A = 1 −1 0 3 B= 2 1 Etant donnée une matrie A, sous quelle ondition peut-on aluler A2 = AA ? a) Développer le produit (A + B)(A + B), où A et B sont des matries arrées de même taille. 0 b) Soit A = 00 10 et B = −1 . Caluler C = A + B, puis C 2. 0 1 ) Caluler C 2 en utilisant le a). (3I2 + 4B)2 . a) Développer b) On prend B = 00 10 . Caluler B2 . Quels sont les oeients de la matrie (3I2 + 4B)2 ? Quels sont les oeients de la matrie (3I2 + 4B)3 ? Exerie 4. Exerie 5. a) On pose 0 1 0 B= 0 0 1 0 0 0 2 1 0 2 0 0 . Caluler B2, B3, Bn pour n ≥ 4. 2 0 1 2 b) En déduire les oeients de , de 2 0 0 1 2 0 3 0 1 2 , de 2 0 0 n 1 0 2 1 0 2 On onsidère la matrie C de l'exerie 3b. C −1 . a) Sans alul supplémentaire, déduire de l'exerie 3 que Cest inversible et donner b) Quelles sont les solutions du système C xy = 37 ? Du système C xy = 01 ? 42 Exerie 6. Exerie 7. On pose 1 0 0 1 0 0 0 B= 0 0 , et A = 3I3 − B. 1) Utiliser l'exerie 5-a pour développer le produit A(aI3 + bB + cB2 ), où a, b, c sont des réels arbitraires. 2) Déterminer a, b, c pour que e produit soit égal à I3 . 2) En déduire que A est inversible et donner les oeients de A−1 . a) Par la méthode du pivot de Gauss, résoudre le système Exerie 8. −x où α, β, γ sont des réels arbitraires. x −1 A= 0 1 b) En déduire que la matrie donner les oeients de A−1. − + + y 4y 0 2 1 3 −4 0 1 2z 3z = α = β = γ est inversible, et, sans alul supplémentaire,