к ж × рь ж в

Université Lyon 1
Capes Math. 2008-2009
Séries entières.
Exerie 3.1
Déterminer le rayon de onvergene des séries entières
+∞ n
X
n
n=0
∞
X
n!
z
zn
√ √
n
n=1
+∞
X
n=1
+∞
X
n
n=0
+∞
X
n
1
1+
n
n 2
z
n!
z 2n+1
1.3 . . . (2n + 1)
n!z n
n=0
+∞ X
n
n=1
(−1)n
1+
n
Exerie 3.2
Caluler le rayon de onvergene et la somme de la série
la somme on érira n2 = n(n − 1) + n).
Démontrer que la série
et aluler sa somme.
Exerie 3.3
n 2
P+∞
n=0 n
zn
2 xn
(pour le alul de
P+∞ x2 −nx
e
onverge pour tout réel x positif
n=1
n
Soit an z n une série entière de rayon de onvergene R > 0. Déterminer les rayons de onvergene des séries :
Exerie 3.4
P
X
a2n z n ,
X an
n!
zn ,
X n! an
nn
zn.
√
Pour la troisème série on pourra utiliser la formule de Stirling : n! ∼ nne−n 2πn
lorsque n tend vers l'inni.
Exerie 3.5
Caluler le rayon de onvergene et la somme des séries entières :
+∞
X
n=0
Exeries d'analyse
xn
2n + 1
et
+∞
X
2n + 3
n=0
15
2n + 1
xn .
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On pose an = 1 + 1/2 + 1/3 . . . + 1/n.
P
n
1. Rayon de onvergene de la série +∞
n=1 an x ?
2. Soit f (x) la somme de ette série. En utilisant la relation an = an−1 + 1/n,
montrer que xf (x) − f (x) est la somme d'une série entière simple.
3. En déduire f (x).
Exerie 3.6
Exerie 3.7
Rayon de onvergene et somme de
+∞
X
n=1
1
Réponse : 1 − 1 −
z
1
zn .
n(n + 1)
log(1 − z).
Exerie 3.8 (Vrai ou faux)
Les armations suivantes sont elles vraies ou fausses ?
P
P∞
n
n
n
1. Les séries ∞
n=0 an z et
n=0 (−1) an z ont même rayon de onvergene.
P∞
P
∞
n
n
n
2. Les séries n=0
Pa∞n z etn n=0 (−1) an z ont même domaine
P de onvergene,
n
n
autrement dit, n=0 an z est onvergente si et seulement si ∞
n=0 (−1) an z est
onvergente.
P
n
3. Si la série ∞
n=0 an z a un rayon de onvergene inni, alors elle onverge uniformément sur R.
P
n
4. Il existe une série entière ∞
n=0 an x de rayon de onvergene R, 0 < R < ∞,
qui ne onverge en auun des points de la frontière du disque de onvergene.
P
n
5. Il existe une série entière ∞
n=0 an x de rayon de onvergene R, 0 < R < ∞,
qui onverge en tous les points de la frontière du disque de onvergene.
6. Soit
+∞
X
an xn une série entière à oeients positifs ou nuls, qui n'est pas un
n=0
ponynme et f (x) =
voisinage de +∞.
Exerie 3.9
Montrer que
n
n=0 an x .
P+∞
X
n≥0
Alors pour tout α > 0, xα = o(f (x)) au
1
= 4 log 2 − 2.
+ 2)
2n (n
Exerie 3.10
1. Quel est le rayon de onvergene de la série entière
+∞
X
xn
?
n+1
n=0
2. Montrer que ette série onverge uniformément sur [−1, a] pour tout a < 1 (on
utilisera le théorème des séries alternées).
3. En déduire la valeur de la somme
P+∞ (−1)n
.
n=0
n+1
4. En utilisant la méthode de sommation d'Abel, montrer que si 0 < r < 1,
onverge uniformément sur Dr = {z ∈ C ; |z| ≤ 1, |1 − z| ≥ r}.
Exeries d'analyse
16
+∞
X
xn
n+1
n=0
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Exerie 3.11
Quel est le rayon de onvergene de la série entière
+∞
X
n=0
xn
?
3n + 2
1. Montrer que ette série onverge uniformément sur [−1, a] pour tout a < 1.
2. En déduire que la somme de ette série est ontinue sur [−1, 1[ puis la valeur de
+∞
X
(−1)n
3n + 2
n=0
3. Montrer que, pour tout r satisfaisant 0 < r < 1, la onvergene est uniforme sur
Dr = {z ∈ C ; |z| ≤ 1, |1 − z| ≥ r}.
Exerie 3.12
sin t
est développable en série entière au voisinage de 0
1. Montrer que la fontion
t
et expliiter e développement.
2. Prouver que
k=∞
π
X
sin t
π 2k+1
(−1)k
dt =
·
t
(2k + 1)(2k + 1)!
0
k=0
Z π
sin t
3. En déduire la valeur approhée
dt = 1.8519 . . .
t
0
Z
On onsidère l'équation diérentielle 3xy ′ + (2 − 5x)y = x.
1. Montrer qu'elleP
admet une unique solution développable en série entière au voisin
nage de 0, y = ∞
n=0 an x , et que ette série entière est de rayon de onvergene
inni.
Exerie 3.13
2. Expliiter les an . Réponse : y =
∞
X
n=1
3. On note Rn (x) =
∞
X
Q
5n−2 xn
.
2≤k≤n (3k + 2)
ak xk les reste d'ordre n de la série entière de somme y(x).
k=n+1
Montrer que, lorsque 3n + 8 > 5 |x| on a
|Rn (x)| ≤ an+1 |x|
4.
Appliation
n+1
∞ X
3n + 8
5 |x| k−n−1
≤ an+1 |x|n+1
3n + 8
3n + 8 − 5 |x|
k=n+1
: Caluler y(1) à 2.10−5 près.
Déterminer (an ) de sorte que y(x) =
nage de 0 et solution de l'équation diérentielle
Exerie 3.14
P+∞
n=0 an x
n
soit dénie au voisi-
4xy ′′ + 2y ′ + y = 0.
Caluler le rayon de onvergene et la somme des séries obtenues. Remarquer que
l'ensemble des solutions est un espae vetoriel. Quelle est sa dimension ? Est-e en
ontradition ave les théorèmes généraux sur les équations diérentielles linéaires ?
Exeries d'analyse
17
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Exerie 3.15
f (x) =
f (x) =
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Développement en série entière au voisinage de 0 de :
3
(1 − x)(1 + 2x)
f (x) = h(x) cos(x)
ex
1−x
f (x) = atan(x + a)
f (x) = log 1 − 2x cos a + x2
(a > 0)
p
√
f (x) = x + 1 + x2
Pour le (4) on posera a + i = reiα , r > 0. Pour le (6) on herhera, au moyen de deux
dérivations suessives, une équation diérentielle linéaire d'ordre 2 vériée par f .
Exerie 3.16
On note Tn le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments.
1. Montrer que T0 = 1 et pour tout n ≥ 0, Tn+1 =
n
P
k=0
Cnk Tk .
2. Prouver que que Tn /n! ≤ 1 pour tout n. En déduire que le rayon de onvergene
R de la série entière est au moins égal à 1.
3. Montrer que pour |x| < R on a
∞ T xn
P
x
n
= ee −1 .
n=0 n!
La fontion z 7→ ee −1 est dérivable (holomorphe) sur C tout entier.
Il en résulte, mais ei n'est pas au programe du apes, qu'elle est développable
en série entière de rayon de onvergene inni.
Remarque :
Exerie 3.17
z
On onsidère la série entière
∞
X
xn
.
Cn
n=0 2n
1. Déterminer son rayon de onvergene R et montrer que f dénie sur ]−R, R[ par
f (x) =
∞
X
xn
est solution de l'équation : x(4 − x)f ′ − (x + 2)f = −2.
n
C
n=0 2n
2. Résoudre l'équation homogène x(4 − x)u′ − (x + 2)u = 0 sur l'intervalle ]0, 4[.
√
Réponse : u(x) = k x(4 − x)−3/2
3. Prouver que, pour x ∈ ]0, 4[,
r
f (x) = 4
x
(4 − x)3
r
4−x
− atan
x
r
4−x
+c
x
4. Démontrer (soigneusement) que c = π/2 et en déduire la valeur de
Réponse
:
Exeries d'analyse
2π 4
+ √
3 9 3
18
∞
X
1
·
n
C
2n
n=0
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