Préparation à l'agrégation interne de mathématiques - Année 2012-2013 Polynmes - 24 otobre 2012 Exerie 0. 1 Déterminer les raines de X 2 dans Z/36Z. L'anneau (et algèbre) Exerie 1. K[X] des polynmes, degré (inversibles et irrédutibles) 1. Démontrer que les polynmes inversibles sont les polynmes onstants non nuls. 2. Démontrer que les polynmes de degré 1 sont irrédutibles. Exerie 2. (division eulidienne) Eetuer la division eulidienne dans R[X] de X 4 − 2X 3 − X 2 + X − 1 par X 2 + X + 1. Exerie 3. (l'anneau K[X] est eulidien don prinipal) 1. À l'aide d'une division eulidienne, démontrer que pour tout idéal I de K[X], il existe un polynme P dans I tel que I = {P Q : Q ∈ K[X]}. 2. Si u est un endomorphisme d'un espae vetoriel sur K, qu'obtient-on en onsidérant {P ∈ K[X] : P (u) = 0}? Exerie 4. (divisibilité) Montrer que, pour tout polynme P de K[X], P (X) − X divise P (P (X)) − X . 2 Évaluation, fontion polynomiale, raines Exerie 5. (shéma de Hörner) Déterminer, en utilisant le shéma de Hörner, la valeur en 2 du polynme P = 3X 5 − 4X 4 + 3X 3 − 10X 2 − 5X + 4. Combien e alul néessite-t-il d'opérations ? Comparer ave le alul naïf . Exerie 6. (idéaux, Vandermonde et orps nis) 1. Soit ∆ un sous-ensemble de K. Vérier que l'ensemble I∆ des polynmes P de K[X] vériant P̃ (x) = 0 pour tout x dans ∆ est un idéal de K[X]. 2. Déterminer I{0} et I{0;1} . 3. On suppose uniquement pour ette question que K est le orps Z/pZ (p premier). Déterminer un générateur expliite de l'idéal IK∗ , de l'idéal IK . 1 4. Si ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn } est un sous-ensemble (ordonné) de n + 1 éléments du orps K et P = a0 + a1 X + . . . + an X n est un polynme dans K[X], onsidérons les matries suivantes 1 x0 . . . xn0 1 x1 . . . xn 1 M = . . ∈ Mn+1 (K) . . . . . . . 1 xn . . . xnn ; a0 a1 V = . ∈ Mn+1,1 (K) .. an (a) Que vaut le produit M V ? En déduire que P appartient à I∆ si et seulement si V appartient au noyau ker M . (b) À quelle ondition, portant sur ∆, la matrie M est-elle inversible ? () En déduire que le morphisme K[X] → KK : P 7→ P̃ est injetif si et seulement si K est inni. Exerie 7. (exemples de fatorisation sur R et C) 1. Sahant que P = X 4 − 2X 3 − 11X 2 + 12X + 36 a deux raines multiples, fatoriser P sur R. 2. Sahant que P = X 4 + 2X 3 + 7X 2 + 8X + 12 a une raine imaginaire pure, fatoriser P sur C. π 3. Soient P = X 6 + 1 et ω = ei 6 . Caluler P (ω), P (ω 3 ) et P (ω 5 ) puis en déduire la fatorisation de P dans C[X] puis dans R[X]. Exerie 8. (utilisation des raines) 1. Démontrer que, pour tout entier n > 1, le polynme X 2 − 3X + 2 divise dans R[X] le polynme Pn = (X − 2)2n + (X − 1)n − 1. 2. Déterminer l'ensemble P ∈ C[X] : P (X 2 ) = P (X)P (X + 1) . Exerie 9. (utilisation du polynme dérivé) 1. Déterminer les polynmes P de C[X] de degré 5 vériant : (X − 1)3 divise P (X) + 1 et (X + 1)3 divise P (X) − 1. 2. Démontrer que le polynme Pn = X n − X + 1 n'a que des raines simples sur C si n > 2. Exerie 10. (liens entre oeients et raines) 1. Déterminer le nombre omplexe k de sorte que le polynme 2X 3 − X 2 − 7X + k ait deux raines omplexes de somme 1. Les déterminer. 3 x+y+z =1 2. Résolution, sur C, du système xy + yz + xz = −2 3 x + y3 + z3 = 7 Polynmes et arithmétique des entiers Exerie 11. (P GCD et raines de l'unité) Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Déterminer le P GCD des polynmes X a − 1 et X b − 1. Exerie 12. (un pont Wilsonxexerie 6) Démontrer le théorème de Wilson en utilisant le polynme P = X p−1 − 1 dans Z/pZ[X] et les relations entre oeients et raines. 2 Exerie 13. (Z est intégralement los ) On onsidère un polynme P unitaire et à oeients entiers : P = X d + ad−1 X d−1 + · · · + a0 ave ad−1 , · · · , a0 dans Z. Démontrer que toute raine de P qui n'est pas entière n'est pas rationnelle. Indiation : Supposer que pq est une raine rationnelle érite sous forme irrédutible et utiliser le théorème de Gauss. Exerie 14. (approximation de nombres algébriques) Soit x un nombre réel irrationnel algébrique, 'est-à-dire une raine d'un polynme P = an X n + an−1 X n−1 +· · ·+a0 de degré n, à oeients entiers et que l'on peut supposer sans raine rationnelle. Le but de l'exerie est de montrer que le réel x est mal approhé par les rationnels et d'utiliser e ritère pour donner un exemple expliite de nombre transendant. 1. Soit pq un nombre rationnel (p et q entiers) de l'intervalle [x−1; x+1]. En appliquant l'inégalité des aroissements nis à la fontion φ : t 7→ P p p x − q > C P q 2. En déduire, pour tout rationnel 3. Démontrer que la série de Liouville). p q p q − P (t), démontrer que ave C = sup [x−1;x+1] !−1 |P ′ (t)| (p et q entiers, q > 1) de l'intervalle [x − 1; x + 1], l'inégalité C x − pq > n . q X 1 dénit un nombre transendant. (Ce nombre est appelé onstante 10n! n>1 3