Université Rennes I Liene STS-Mention Mathématiques F. Nier Cours GEAF Contrle ontinu du 4/11/2008, 1 heure. Donner des réponses onises. a) 1 pt L'intersetion de deux sous-espaes anes est-elle toujours un sous-espae ane ? Dans la négative donner un ontre-exemple. b) 0,5 pt Qu'est-e qu'un repère artésien dans R3 ? ) 0,5 pt Qu'est-e qu'un repère ane dans le plan ane R2 ? d) 0,5 pt Quelle ondition sur le orps ommutatif K permet de dénir le milieu de deux points dans un K-espae ane ? e) 0.5 pt Si deux sous-espaes anes de E , F et G dirigés respetivement par F et G, ne s'intersetent pas, quelle relation vérient les quantités Questions de ours : dim F + dim G et dim E + dim F ∩ G ? Soit E et E ′ des K-espaes anes dirigés par E et E ′ . Dans le ours on a montré que toute appliation ane A : E → E ′ admettait une appliation linéaire assoiée LA ∈ L(E, E ′ ) telle que Exerie 1 (3pts) ~ A(M) = A(O) + LA (OM) ∀O, M ∈ E , Il s'agit ii de vérier la réiproque. Montrer que pour O ∈ E , O ′ ∈ E ′ et L ∈ L(E, E ′ ), l'appliation donnée par ~ ) f (M) = O ′ + L(OM dénit une appliation ane, au sens de la dénition ave les baryentres, de E dans E ′ telle que f (O) = O ′ . Exerie 2 (6 pts) On onsidère dans R2 l'appliation ane S : (x, y) → (x′ , y ′) donnée par ( x′ = y′ = √ 2 x √2 2 x 2 √ 2 y √2 − 22 y + + + √1 − 1 2 √1 . 2 Montrer que l'appliation linéaire assoiée, LS est une symétrie vetorielle dont on préisera les axes. b) 2pts Caluler S(−1, 0) et montrer que S est une symétrie ane en préisant par rapport à quelle droite et parallèlement à quelle diretion. ) 2pts Est-e que l'appliation T : R2 ∋ (x, y) → (x′′ , y ′′ ) ∈ R2 donnée par a) 2pts ( x′′ = y ′′ = √ 2 x+ √2 2 x− 2 est une symétrie ane ? 1 √ 2 y √2 2 y 2 √ + 2 √ + 2− 2.