ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» «Утверждаю» ____________ “__”________2008 г. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ для слушателей ЗФТШ «Перспектива» Методические указания к выполнению индивидуальных заданий и контрольных работ по школьной математике Томск 2008 УДК 378.146:51:6813 Методические указания к выполнению индивидуальных заданий и контрольных работ по школьной математике для слушателей ЗФТШ «Перспектива» // Составители: Филипенко Л.А., Филипенко Н.М.; Том. политех, ун-т. – Томск, 2008. - 50 с. Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики и математической физики (протокол №111 от 29 августа 2008г.) Зав. кафедрой, профессор, д.ф.-м.н.____________А.Ю. Трифонов Аннотация Пособие содержит примеры решения задач или рекомендации к их выполнению. Рассмотрены задачи, включенные в блоки индивидуальных заданий, для самостоятельной проверки знаний слушателями ЗФТШ «Перспектива». Томский политехнический университет СОДЕРЖАНИЕ Стр. Введение …………………………………………………………… Глава 1. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 1,2 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 §1. Вычисления без калькулятора, алгебраические преобразования …………………………………………. §2. Линейные уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ………………………... §3. Системы линейных уравнений ………………………… §4. Системы линейных уравнений, содержащие параметр §5. Задачи, связанные с квадратным выражением ……….. §6. Решение рациональных неравенств …………………… §7. Построение графиков квадратных функций, содержащих модуль …………………………………… §8 Квадратные уравнения, содержащие параметр …………… Глава 2. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 3,4 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2 §1. Решение рациональных уравнений со степенью n 2 …………………………………………. §2. Решение нелинейных систем уравнений…..…………... §3. Решение иррациональных уравнений и неравенств……………………….…………….………… §4. Прогрессии………………………………………………. §5. Текстовые задачи……………………………………….. §6. Тригонометрические задачи………………….. ……….. Глава 3. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 5,6 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3 §1. Производная функции, и ее приложения………………………………………………. §2. Первообразная функции. Определенный интеграл…………………………………..…..…………... 5 Глава 4. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 7,8,9 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4 §1. Показательные уравнения………………………………………. §2. Показательные неравенства……………….. …………………... §3. Решение системы показательных уравнений………………….. §4. Логарифм числа………………………………………………….. §5. Решение логарифмических уравнений………………………….. §6. Решение логарифмических неравенств……..…………………… §7. Область определения функции. Графики функции…………….. §8. Задачи с параметрами………………………….………………… Блоки 1,2,3,4,5,6,7,8,9……….…………………………………………….. Введение Методическое пособие для слушателей ЗФТШ «Перспектива» содержит необходимые теоретические основы для решения задач, примеры их решения (или рекомендации к решению). Тематика задач соответствует всем разделам школьного курса математики, за исключением геометрии. Рекомендуемые задачи разбиты на девять блоков в порядке их изучения в 9-11 классах школы и определяются требованиями ЕГЭ последних лет. Уровень сложности задач можно оценить как средний и выше. В конце пособия приведены блоки указанных задач. Глава 1. Рекомендации к выполнению задач блоков 1,2 и контрольной работы №1. В блоках 1,2 содержаться задачи, связанные с темами: вычисление без калькулятора; алгебраические преобразования; линейные уравнения и неравенства со знаком модуля; системы линейных уравнений; задачи различной направленности, содержащие квадратное выражение; рациональные неравенства. §1. Вычисления без калькулятора, алгебраические преобразования. Для решения задач на обозначенные темы необходимо знать следующее: I. Любое натуральное число представляется в виде суммы a - единиц, b - десятков, c - сотен и так далее. Пример. Доказать, что любое трехзначное число из последовательных цифр после вычитания 12 равно первой цифре, умноженной на 111. (задача 3 блока 1) Решение: Условие: «трехзначное число состоит из последовательных цифр» означает, что его можно записать в виде 100a 10(a 1) a 2 111a 12 . Вычитая 12, получим 111a , то есть число, равное первой цифре a, умноженное на 111. Аналогично решаются другие задачи на натуральные числа. II. Для выполнения расчетов без калькулятора необходимо уметь переводить периодические дроби в обыкновенные. Удобнее всего это делать по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S a1 , где a1 - первый член прогрессии; q - знаменатель 1 q прогрессии. Рассмотрим такое задание на нескольких примерах: Пример (а): (задача 5 блока 1) 0,2(1) 0,2111..... 0,2 1 1 1 1 1 1 . , , , - члены 100 1000 10000 100 1000 10000 бесконечно убывающей прогрессии, где a1 S 1 1 , q . Тогда 100 10 1 1 1 10 1 1 2 1 19 : (1 ) ; 0,2(1) 0,2 . 100 10 100 9 90 90 10 90 90 Пример (д): (задача 5 блока 1) 23 23 23 1 . a1 ; q . Тогда 1000 10000 1000 100 3,1(23) 3,1232323..... 3,1 S 23 1 23 100 23 23 1 23 122 61 : (1 ) ; 3,1(23) 3,1 3 3 3 1000 100 1000 99 990 990 10 990 990 445 5 8 Пример. (( +2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) 110 1 ) ; 2 401 (задача 8 блока 1) Необходимо правильно и рационально выполнить цикл вычислений. Прежде всего переведем периодические дроби в обыкновенные. 1) 2,708333..... 2,708 2 708 3 6375 17 65 . 2 2 1000 9000 9000 24 24 2) 0,7(6) 0,7 3) 0, (36) 5 8 4) 3 3 3 10 5 2,708 4 4 10 10 10 9 6 10 6 7 6 69 23 0,7 . 100 9 90 10 90 90 30 36 100 4 . 100 99 11 65 2 13 23 4 110 1 80 2 401 110 1 4 2 1 : : : 1. 24 5 10 30 11 401 2 24 5 165 401 2 3 3 2 III. Для выполнения задач 9-13 блока 1 необходимо понимать, что a, a 0 a2 a . Тогда в задаче 9: a , a 0 ( 2 3) 2 2 3 ( 2 3 ) 3 2 , так как 2 3 0. Для формирования квадрата суммы или разности под знаком корня необходимо представлять, что (a b)2 a 2 2ab b2 . Пример. 5 2 6 (задача 10 блока 1) 5 2 6 (a b) 2 , где a 2 b 2 5, 2 6 2ab . Необходимо подобрать a и b так, чтобы сумма их квадратов равнялась 5. 3 2 a 2 b2 5 6 . 2 2 1 6 a b 7 Значит a 3; b 2 . Тогда 5 2 6 ( 3 2 ) 2 . Можно проверить, возводя в квадрат, что это действительно так В результате, 5 2 6 ( 3 2 ) 3 2 3 2 , так как 3 2 0 . Пример (задача 12 блока 1) 9 4 2 (1 2 2 )2 1 2 2 1 2 2 , так как a 2 b 2 9, 2ab 4 2 , то 1 2 2 a 2 b 2 1 8 9 ab 2 2 . 2 2 2 2 a b 4 2 6 IV. Для выполнения алгебраических преобразований необходимо знать свойства степенных выражений и модификации формул сокращенного умножения. 1 . xn a 1 ( a 1)( a 1) , используем a 2 b2 (a b)(a b) и условие 1) x n 2) ( a ) 2 a, ( b ) 2 b . 3) a a a3 / 2 (a1 / 2 )3 , тогда 3 3 1 1 a a b b a 2 b 2 (a1 / 2 )3 (b1 / 2 )3 (a 2 b 2 )( a 2 ab b 2 ) . Пример. ( а 0 ,5 1 а 0 ,5 1 0 ,5 + а 0 ,5 1 а 4 3 ) (задача 15 блока 1) 1 а 1 . Учтем, что a 0.5 a , a 1 ( a )2 12 ( a 1)( a 1) ; 3 Тогда 3 a 1 a 1 4 ( a 1) 2 ( a 1) 2 4 a 1 a 1 a 1 a 1 3 a 2 a 1 a 2 a 1 4 2(a 1) 3 a 1 8 . a 1 Пример. ( х х +1)( х 3 1 х )( х 3 1 -1 ) (з адача 16 блока 1). х 3 Учтем, что x x x 2 , а ( x 2 )2 1 x3 1. Тогда 1 1 x 3 1 ( x x 1)( x x 1) x ( x 3 1) x ( x x 1) x 1. x x x ( x3 1) x ( x 3 1) §2. Линейные уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Для решения уравнений и неравенств со знаком модуля необходимо использовать следующую схему решения. 1. Определить нулевые точки, приравняв нулю выражения, находящиеся под знаком модуля. 2. Разделить числовую ось на интервалы полученными нулевыми точками и решить уравнение или неравенство для каждого интервала, убирая знак модуля в соответствии с правилом (п.III). 3. Полученное решение должно принадлежать рассматриваемому интервалу, если решается уравнение. При решении неравенства находится общий промежуток для полученного решения и интервала. Пример. х+12-х-1=3х-8 ( задача 17 блока 1). Нулевыми точками являются значения x 12 и x 1 . Рассматриваем последовательно интервалы: (;12); [12;1); [1; ) . Нулевые точки включаем в интервал, находящийся справа от нулевой точки. В интервале (;12) : x 12 ( x 12) , так как при любом x x 12 0; x 1 ( x 1) по той же причине. Тогда получается 4 5 уравнение: ( x 12) ( x 1) 3x 8 x . Решение не принадлежит промежутку (;12) . В интервале [12;1) : x 12 x 12, x 1 ( x 1) . Уравнение x 12 x 1 3x 8 имеет решение x 19 , не принадлежащее промежутку [12;1) . В интервале [1; ) : x 12 x 12; x 1 x 1. Уравнение x 12 x 1 3x 8 имеет решение x 7 , и оно является решением уравнения. Пример. х-1+ х 5-2х-5 ( задача 19 блока 1). 5 2 Нулевыми точками являются значения x 1 и x . Рассматриваем 5 5 2 2 x 1 ( x 1); 2 x 5 (2 x 5) . Решаем неравенство решение для интервалов: (;1); [1; ); [ ; ) . В интервале (;1) : x 1 x 5 2x 5 x x (0,5; ) 1 . Общим решением находим 2 x (,1) x (0,5;1) . 5 2 x 1 x 5 2 x 5 1 0 , что означает x R . Тогда решением системы x R 5 x [1; 5 ) является x [1; ) . 2 2 5 В интервале [ ; ) : x 1 x 1; 2 x 5 2 x 5 . Решаем неравенство 2 11 x (; 4 ) 11 x 1 x 5 2x 5 и получаем решение x . Для системы 5 4 x [ ; ) 2 5 9 решением является x [ ; ) . 2 4 В интервале [1; ) : x 1 x 1; 2 x 5 (2 x 5) . Решаем неравенство Собирая вместе полученные решения, которые имеют общие точки x 1 и x 5 , объединяем полученные промежутки в один x (0,5;2,75) . 2 §3. Системы линейных уравнений Для решения системы трех линейных уравнений будем использовать метод исключения неизвестных. 2 x 3 y z 4 Пример. 6 x y z 12 ( задача 1 блока 2). 4 x 2 y 2 z 0 1) Исключим неизвестное z из первого и второго уравнения: 2 x 3 y z 4 . Для этого достаточно сложить эти уравнения 6 x y z 12 (левые и правые части). Уравнение 8 x 2 y 8 или 4 x y 4 будет содержать только два неизвестных. 2) Аналогично исключим z из второго и третьего уравнений: 6 x y z 12 . Первое уравнение умножим на 2 (обе части) для 4 x 2 y 2 z 0 того, чтобы коэффициенты при z были равны и 12 x 2 y 2 z 24 противоположны по знаку . 4x 2 y 2z 0 3 Складывая эти уравнения, получим 16x 24 или x . 2 3) Тогда из уравнения 4 x y 4 y 2 . Зная x и y из любого уравнения системы можно найти значение z 1 . 2 x 3 y z 4 Пример. 6 x y z 12 ( задача 2 блока 2). 4 x 2 y 2 z 0 Исключаем y из уравнений один и два: x y z 3 . Для этого умножим уравнение один на (-2): 3x 2 y 3z 1 2 x 2 y z 6 . Суммируем уравнения и получаем x 5z 7 . 3x 2 y 3z 1 Исключаем y из второго и третьего уравнений: 3x 2 y 3z 1 . Суммируем их и получаем 2x 11z 7 . 5 x 2 y 8 z 6 x 5z 7 , умножая первое 2 x 11z 7 Решаем систему из уравнений 2 x 10 z 14 получим 2 x 11z 7 уравнение на 2 и суммируя: 21z 21; z 1 . Подставляем z и находим x 2 (2 x 10 14) . Из любого уравнения системы находим y 4 , подставляя x 2 и z 1 (первое уравнение: 2 y 1 3 ). §4. Системы линейных уравнений, содержащие параметр. Для решения подобных задач необходимо знать, что линейная a1 x b1 y c1 a b (1) имеет единственное решение, при 1 1 ; a2 b2 a2 x b2 y c2 a b c имеет множество решений, если 1 1 1 и не имеет решений, если a2 b2 c2 a1 b1 c1 . a2 b2 c2 система вида Во избежание ошибок при использовании метода подстановок, которым чаще всего и решается система (1), можно освоить несложный метод Крамера, использующий понятие определителя системы, обозначение и вычисление которого следующее: a1 b1 a2 b2 a1b2 a2b1 - определитель системы. Тогда неизвестные x и y находятся в виде x с1 b1 c2 b2 ; y a1 c1 a2 c2 , то есть в последовательно заменяется первый столбец (коэффициенты при x ) или второй столбец (коэффициенты при y ) на столбец свободных членов системы (правая часть системы). Вычисления определителей выполняют по тому же правилу, что и для : с1 b1 с2 b2 с1b2 с2b1; a1 c1 a2 c2 a1c2 a2c1 . 3x 2 y 5 . 7 x 4 y 1 Решим методом Крамера систему без параметров: 3 2 3 4 7 (2) 26, 7 4 5 2 x 4 26 20 2 22 11 , 26 26 13 y 7 1 26 3 35 32 16 . 26 26 13 11 16 33 32 2 5 (верно) 13 13 13 11 16 77 64 7 4 1 (верно). 13 13 13 Проверка: 1) 3 2) 1 3 5 3x (a 1) y a 1 (задача 4 блока 2) (a 1) x y 3 Пример. 3 a 1 или a 1 1 (a )( a 1) 3 . В результате a 2 1 3 или a 2 4 , то есть a 2 . Единственное решение система имеет при условии В помощь к выполнению подобных задач в контрольной работе решим следующую задачу. 2 y a 7 x . Найти значение параметра a удовлетворяющее 5 y 2 x 3 Пример. условию x 2 y 2 . Решение: Чтобы правильно найти , необходимо всегда систему 7 x 2 y a . 2 x 5 y 3 записывать в стандартном виде (1), то есть: a 2 7 2 3 5 5a 6 ; 35 4 31 ; x 2 5 31 31 y 7 a 2 3 31 21 2a . 31 Условие x 2 y 2 ведет к решению неравенства 5a 6 2(21 2a) 2 31 31 5a 6 42 4a 14 2 9a 48 62 a . 31 9 14 9 Ответ: a (; ) . §5. Задачи, связанные с квадратным выражением. Квадратное выражение ax 2 bx c используется в различного вида задачах: квадратных уравнениях, неравенствах, геометрическом представлении функции y ax 2 bx c в виде параболы. Для правильного решения задач необходимо знать: b a c 0. a Тогда при D 0 ( D - дискриминант уравнения) корни уравнения x1 и x2 c b определяются условием: x1 x2 и x1 x2 . Данные условия a a 1) Уравнение ax 2 bx c 0 всегда можно привести к виду x 2 x используют для нахождения корней по теореме Виета. Пример. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета: х 2 -10х+9=0 (задача 8а блока 2). 3x 2 3x 36 0 x 2 x 12 0 ( D 0); 3 4 x1 x2 12 4 3 . Выбираем сомножители, удовлетворяющие условию и т.д. x1 x2 1 , то есть x1 4; x2 3 . 2) Разложение на сомножители: ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ) возможно только при D 0 . 3) Выделение полного квадрата означает приведение ax 2 bx c к виду a( x k )2 d и выполняется по схеме: 2 2 b c b b2 c b b 2 4ac , где x ) a x a x 2 a a 2 a 4 a a 2 a 4 a 2 b b 4ac k, d . Практически, необходимо из выражения 2a 4a 2 ax 2 bx c вынести множитель a , поделив на него все слагаемые, затем разделить коэффициент перед x пополам и выделить квадрат суммы или разности в зависимости от знака перед x , затем вычесть a( x 2 квадрат числа, закрытого в скобке и выполнить действия между числами, после этого умножить на вынесенный множитель полученные скобки () 2 и числовое значение вне скобок. Пример. 2 3 1 3 9 1 2 x 3x 1 2( x x ) 2 x 2 2 4 16 2 2 2 3 1 3 1 9 1 1 2( x ) 2 2 2( x ) 2 ; Пояснение: . Если 4 16 4 8 16 2 16 перед x 2 множитель 1 , то выделение полного квадрата упрощается: 3 9 3 25 9 25 x 2 3x 4 ( x ) 2 4 ( x ) 2 ; ( 4 ) . 2 4 2 4 4 4 4) Выделение полного квадрата помогает очень просто решить геометрическую задачу по построению параболы, которая является геометрическим образом квадратной функции y ax 2 bx c . Вершина параболы находится в точке ( x0 , y0 ) , если уравнение параболы привести к каноническому виду: y y0 a( x x0 ) 2 . Выделение полного квадрата практически решает данную задачу: y a( x k ) 2 d y d a( x k ) 2 . Пример. 3 25 25 3 3 25 y x 2 3x 4 y ( x ) 2 y ( x ) 2 ; x0 ; y0 . 2 4 4 2 2 4 Кроме этого, можно использовать и известные формулы для значений: x0 b и y0 y ( x0 ) . Для полного построения параболы 2a необходимо также найти точки пересечения с осями координат: OX : x1 и x2 - корни уравнения ax 2 bx c 0 ; с OY y (0) c . с Направление ветвей определяется знаком множителя a перед x 2 . Ветви расположены вверх при a 0 и вниз при a 0 . 5) Решение квадратного неравенства проще выполнять с помощью схематического построения параболы, учитывая только направление ветвей и существование корней уравнения ax 2 bx c 0 , то есть значений x1 и x2 . Пример. Решить квадратное неравенство: 16х 2 -х-2-9х-3; (задача 12(б) блока 2) 2 16 x x 2 9 x 3 16 x 2 8 x 1 0 . Решаем уравнение 16 x 2 8 x 1 0 x1, 2 8 64 4 1 16 8 1 . Можно было заметить, что 32 32 4 1 16 x 2 8 x 1 (4 x 1)2 . Неравенство (4 x 1) 2 0 имеет решение x , 4 так как парабола расположена ветвями вверх и только касается оси 1 OX в одной точке x . 4 6) Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих модуль необходимо выполнять, убирая модуль по известным правилам, изложенным в §2. Пример. x 2 5 x 6 (задача 14 блока 2). x 2 5 x x( x 5) . Нулевые точки x 0 и x 5 . В интервалах (;0); (0;5); (5; ) выражение x 2 5 x имеет соответственно знаки ( ) ( ) ( ) . Тогда для интервалов (;0) и (5; ) решаем уравнение x 2 5x 6 x 2 5x 6 0 и x1 6; x2 1 принадлежат данным интервалам и являются решениями. В интервале (0;5) x 2 5 x ( x 2 5 x) и решаем уравнение x 2 5 x 6 или x 2 5 x 6 0 . Решениями являются значения x1 2; x2 3 , принадлежащие указанному интервалу. Полный ответ: 1; 2; 3; 6 . Пример. x 2 3 1(задача 16 блока 2) Выражение x 2 3 ( x 3 )( x 3 ) имеет нулевые точки 3 и в интервалах (; 3 );[ 3; 3 );[ 3; ) имеет соответственно знаки ( ) ( ) ( ) . Для интервалов (; 3 ) и [ 3; ) x 2 3 x 2 3 , а неравенство имеет вид x 2 3 1 или x 2 4 0 и имеет решение x (2;2) . С учетом рассматриваемых интервалов решением являются промежутки (2; 3 ) [ 3;2) . В интервале [ 3; 3 ) x 2 3 ( x 3 3) и решаем неравенство x 2 3 1 или x 2 2 0 . Решениями будут промежутки x [ 3; 3 ) (; 2 ) [ 2 ; ) . Общим решением системы x (; 2 ) ( 2 ; ) является решение [ 3; 2 ) [ 2 ; 3 ) . Объединяем полученные решения (2; 3 ) [ 3;2) и [ 3; 2 ) [ 2 ; 3 ) , и окончательный ответ: (2; 2 ) [ 2 ;2) . §6. Решение рациональных неравенств. Решение рациональных неравенств выполняется по схеме: все слагаемые переносятся в левую часть (сравнение возможно только с нулевой правой частью). Затем левая часть приводится к общему знаменателю. Находятся нулевые точки числителя и знаменателя, а числовая ось делится ими на интервалы. Если все линейные множители записаны в виде ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , то самый правый интервал имеет знак () , а затем знаки в интервалах чередуются. Решение неравенства совпадает с интервалами того же знака, что и знак неравенства. Необходимо учесть, что множители в четных степенях не влияют на знак неравенства и могут быть полностью исключены из рассмотрения, если знак неравенства строгий; значение, соответствующее нулю, также является решением, если знак неравенства нестрогий. ( x 1) 2 ( x 3)( x 4) 0 . Исключаем из рассмотрения x2 ( x 3)( x 4) ( x 1) 2 : 0 . Интервалы (;4), (4;2), (2;3), (3; ) имеют x2 знаки ()( ) () () . Значит, решением являются промежутки Пример. (4;2) (3; ) . Пример. ( x 1) 2 ( x 3)( x 4) 0 . Решением является x [4;2) [3; ) и x2 x 1 . Пример. х 2 5х 6 х 1 (задача 20 блока 2) х х 5х 6 x 5x 6 x 1 x( x 2 5 x 6) ( x 1)( x 2 5 x 6) 0 x2 5x 6 x x( x 2 5 x 6) 2 2 x3 5 x 2 6 x x3 5 x 2 6 x x 2 5 x 6 11x 2 5 x 6 0 0. x( x 2 5 x 6) x( x 2 5 x 6) Умножим на (1) 11x 2 5 x 6 0 . Выражение 11x 2 5 x 6 0 при 2 x( x 5 x 6) любых x , так как D 25 66 4 0 , а коэффициент при x 2 положителен (парабола находится выше оси OX ). Значит, решаем неравенство 1 0 . Выражение x 2 5 x 6 необходимо представить в виде x( x 5 x 6) 2 ( x 2)( x 3) , то есть разложить на сомножители, если это возможно. Нулевые точки x 3, x 2, x 0 . Интервалы (;3), (3;2), (2;0), (0; ) имеют знаки ()( ) () () . Решением неравенства являются промежутки (;3) (2;0) . §7. Построение графиков квадратных функций, содержащих модуль. Рассмотрим построение функции y x 2 5 x , которая является частью задачи 14 блока 2. При решении уравнения было определено, что x 2 5 x x 2 5 x в интервалах (;0) и (5;8) , x 2 5 x ( x 2 5 x) в интервале (0;5) . Поэтому необходимо построить функции y1 ( x) x 2 5 x и y2 ( x) x 2 5 x и взять части графиков для соответствующих интервалов. Для построения параболы y1 ( x) x 2 5x найдем координаты вершины и точки пересечения с осями координат: 5 25 x 2 5x ( x )2 2 4 5 25 25 5 5 25 y ( x )2 y ( x ) 2 , то есть x0 ; y0 . Точки 2 4 4 2 2 4 пересечения с OX : y 0 и x 0, x 5 , с OY : x 0; y 0 . Для построения параболы y2 ( x) x 2 5x выполним аналогичные действия: 2 5 25 5 25 x 5 x ( x 5 x) x ( x ) 2 ; 2 4 2 4 5 25 25 5 y ( x ) 2 y ( x ) 2 . 2 4 4 2 5 25 Координаты вершины параболы x0 ; y0 . Ветви параболы 2 4 2 2 направлены вниз. Точки пересечения с осями координат те же, что и для y1 ( x) . На рисунке показан график функции y x 2 5 x . §8. Квадратные уравнения, содержащие параметр. При решении подобных уравнений обычно используются определенные знания о дискриминанте уравнения и его связи с корнями данного уравнения. Пример. При каких значениях m уравнение x 2 2x 1 0 имеет одно m m решение? Одно решение квадратное уравнение имеет при D 0 ( x1 x2 ) . Найдем 4 4 4 4 4 41 . Решим уравнение 2 0 1 0 . m 0 и 0. 2 m m m m m mm 1 1 0 m 1. Поэтому m Пример. При каких значениях с уравнение (с 2) x 2 2(c 2) x 2 0 не D имеет действительных корней? Квадратное уравнение не имеет решения в области вещественных значений при D 0 . Найдем D 4(c 2)2 8(c 2) 4c 2 16c 16 8c 16 4c 2 24c 32 . Решим неравенство 4c 2 24c 32 0 c 2 6c 8 0 c1 4; c2 2 . Интервалы (;2), (2;4), (4; ) имеют знаки ( ) ( ) ( ) . Поэтому решением является промежуток (2;4) . Необходимо также знать, что при D 0 квадратное уравнение имеет два решения x1 x2 . Глава 2. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 3,4 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2 §1. Решение рациональных уравнений со степенью n 2 При решении рациональных уравнений со степенью n 2 необходимо понимать, что в зависимости от вида уравнения можно: 1) преобразовать его левую часть (правая часть равна нулю) в произведение сомножителей со степенью не выше двух, и затем приравнять каждый из них нулю, решив полученные уравнения известным способом. Пример. ( x 1)( x2 x 7) 5( x 1). Выполняем преобразование: ( x 1)( x2 x 7 5) 0. Действие сокращения на ( x 1) невозможно, так как множитель содержит неизвестное x , и теряется корень уравнения. Далее, приравниваем нулю: а) x 1 0; x1 1; б ) x 2 x 12 0; x2 4; x3 3. 2) при n=4 узнать вид биквадратного уравнения, и решить его известным способом. Пример. x 4 x 2 2 0 (задача 1 блока 3). Делаем замену переменной x 2 t и решаем квадратное уравнение t 2 t 2 0; t1 2; t2 1; x 2 t1 и x 2 t2 : а) x 2 2; б ) x 2 1; x1,2 1. 3) некоторые виды уравнений можно свести к квадратному заменой переменной. Пример. 6 8 1 (задача 3 блока 3). ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 4) Преобразование: ( x 1)( x 2) x2 3x 2; ( x 1)( x 4) x2 3x 4. Заметим общую часть x 2 3x t . Тогда уравнение примет вид 6 8 1; t2 t4 Приводим к общему знаменателю и решаем квадратное уравнение t 2 16t 0; t1 0; t2 16. Приравниваем: x 2 3x 0 и x 2 3x 16 . Решаем уравнения и получаем корни x1 0; x2 3; x3,4 3 73 . 2 4) подобрать корень x x1 , если он целый, учитывая, что целыми корнями рационального уравнения с целыми коэффициентами могут быть только делители свободного члена. Затем преобразовать уравнение к виду ( x x1)(... * ...) 0 , где выражение (... * ...) получено делением многочлена, стоящего в левой части уравнения(правая часть равна нулю), на многочлен ( x x1) . Деление выполняется столбиком. Корни получают, приравнивая нулю сомножителей левой части уравнения. Пример. x3 6 x 2 11x 6 0 (задача 4 блока 3). Данное уравнение не решается ни одним из способов, описанных в пп.1,2,3, поэтому попробуем подобрать корень из делителей числа 6: 1;2;3;6. Подходит x x1 1. Поделим левую часть уравнения x3 6 x 2 11x 6 на ( x 1) : _ x3 6 x 2 11x 6 x 1 x2 5x 6 x3 x 2 _ 5 x 2 11x 6 5x2 5x _ 6x 6 6x 6 0 В результате, записываем уравнение в виде ( x 1)( x 2 5x 6) 0 и получаем корни x2 2; x3 3 , решая квадратное равнение x 2 5 x 6 0 . 5) знать специальный вид уравнения со степенью n=4: ( x a)( x b)( x c)( x d ) kx2 , для которого выполняется одно из условий ab cd или ac bd или ad bc . Тогда (пусть ac bd ) в уравнении выполняются преобразования: ( x a)( x с)( x b)( x d ) kx2 ( x 2 x(a c) ac)( x 2 x(b d ) bd ) kx2 ac bd x( x (a c) ) x( x (b d ) ) kx2 x 0 не является корнем x x уравнения, поэтому сократим обе части уравнения на x 2 и, так как ac bd , заменим x ac t. Получим (t (a c))(t (b d )) k . Это x уравнение квадратное, решаем его и находим корни. Затем приравниваем x ac t1 x x ac t2 . Окончательно, находим корни x исходного уравнения. Пример. (6 х)( х 2)( х 3)( х 9) 24 х 2 ( задача 6 блока 3). Выполним преобразования так, чтобы уравнение имело стандартный вид, указанный в п.5: ( x 6)( х 2)( х 3)( х 9) 24 х 2 . Определим, что 6(-3)=2(-9) и запишем уравнение в виде ( x 6)( х 3)( х 2)( х 9) 24 х 2 . Далее решаем уравнение по описанной схеме. ( x 2 3x 18)( x 2 7 x 18) 24 x 2 x( x 18 18 3) x( x 7) 24 x 2 x x 18 t (t 3)(t 7) 24 t 2 4t 3 0 t1 3 t2 1 x 18 18 а) x 3 б) x 1 x x x x 2 3x 18 0 x 2 x 18 0 x1 3 x2 6 x3 ,4 1 73 2 §2. Решение нелинейных систем уравнений Рекомендуется знать следующие методы решения: 1) Метод подстановки (подробно не рассматриваем из-за его простоты и известности) 2) Метод вспомогательного неизвестного, когда одно из уравнений системы содержит слагаемые одного, но видоизмененного типа. Например, x y и y x . Тогда, можно t , a x y y 1 и решить x t уравнение с одним неизвестным t, а затем результат этого решения использовать, продолжая решать систему. x y 13 Пример. y x 6 , (задача 8 блока 3). x y 5 x y 1 ; Тогда первое уравнение системы Сделаем замену t , a y x t 1 13 13 примет вид t . Решаем квадратное уравнение t 2 t 1 0 и t 6 6 3 2 t2 , то есть получаем t1 2 3 x 3 3 а) , x y и второе уравнение системы будет иметь вид y 2 2 3 y y 5 y 2, x 3. 2 x 2 2 б) , x y . Второе уравнение системы определит y 3, x 2. y 3 3 3) Алгебраические преобразования системы (наиболее сложный метод), основанные на формулах сокращенного умножения, и алгебраических действиях над левыми и правыми частями уравнений системы. Пример. х у 3 х у ху 3 (задача 9 блока 3 ) Учтем, что ( x )2 ( y )2 2 xy 3 xy 3 ( x y )2 3 xy 3 . Тогда х у 3 ( x y ) 2 3 ху 3 Используя равенство x y 3 , получим второе уравнение системы в 2 виде 9 3 xy 3 xy 2 x . Получена зависимость между x и y , y и ее можно использовать для дальнейшего решения первого уравнения системы: 2 y 3 y 3 y 2 0. Заменим y y t y t 2 и решим квадратное уравнение t 2 3t 2 0 t1 1 t2 2. Далее, а) y 1 y 1 x 4. б) y 2 y 4 x 1. 2 2 Пример. х 3 ху 3 у 7 ( задача 10 блока 3 ) х у 35 Заметим, что ( x3 y3 ( x y)( x 2 xy y 2 ) . Значит, можно использовать первое уравнение для второго, которое, в этом случае, будет иметь вид 7( x y ) 35 x y 5. Получена зависимость между x и y , которую можно использовать для решения первого уравнения, как уравнения с одним неизвестным. 2 2 Пример. х у ху 6 (задача 11 блока 3) ху х у 5 6 хy( x у ) 6 x y Преобразуем первое уравнение: xy xy х у 5 6 Второе уравнение примет вид xy 5 . Если xy t , то xy 6 t 5 t 2 5t 6 0 t1 2 t2 3. Получены зависимости между t 2 3 б) xy 3 x . Случай (б) не приводит к x и y : а) xy 2 x y y решению квадратного уравнения и не определяет решения системы. §3. Решение иррациональных уравнений и неравенств При решении иррациональных уравнений необходимо: полученное решение проверить подстановкой в исходное уравнение, так как при решении равносильность уравнений часто нарушается. Способ решения уравнения зависит от его вида, и можно рекомендовать следующие действия: 1) Если уравнение содержит только одно выражение с неизвестным под знаком радикала (корня), то его уединяют в определенной части уравнения и возводят обе части уравнения в степень корня, избавляясь от иррациональности. Таким способом решается задача 13 блока 3. 2) Если один и тот же радикал встречается в разных частях уравнения, то рациональному решению помогает правильная компоновка уравнения. 6 (задача 14 блока 3) 9 х 6 Преобразования: ( 3х 1)2 ( 9 x )2 . 9 х Пример. 3х 1 9 х 3) При повторении некоторой части выражения, стоящего под знаком корня и без него, можно сделать замену переменной. Пример. х 2 3х 18 4 х 2 3х 6 0 (задача 17 блока 3 ) Замена: х 2 3х 6 t х 2 3х t 2 6 Уравнение преобразуется к виду: t 2 4t 12 0. Получив значения t1,2 , приравниваем этим значениям выражение x 2 3x и получаем решения; проверяем их подстановкой в исходное уравнение. 4) При решении уравнения вида n f ( x) m g ( x) a , где f (x ) и g (x ) линейные функции вида ax b можно ввести новые переменные и решить систему нелинейных уравнений. Рассмотрим описанные действия на примере. Пример. 3 5 x 7 3 5 x 12 1 . Замена: 3 5x 7 u 5x 7 u3 (1) 3 5x 12 v 5x 12 v3 (2) (1)-(2) u 3 v3 19. Если коэффициенты при x в (1) и (2) неодинаковы, то, прежде, чем складывать или вычитать (1) и (2), нужно уравнять эти коэффициенты домножением на соответствующие множители (1) и (2). С учетом исходного уравнения, нелинейная система будет иметь вид u v 1 3 3 u v 19 Используя метод подстановки u 1 v , решим второе уравнение системы: (u v)(u 2 uv v2 ) 19 (1 v)2 (1 v)v v2 19 3v 2 3v 18 0 v 2 v 6 0 v1 3 v2 2 5 x 12 v3 a)5x 12 27 x 3 б )5 x 12 8 x 4 Рекомендуем таким способом решить задачу 16 блока 3. При решении задачи 15 блока 3 необходимо учесть, что x2 26 x 169 ( x 13)2 , 9 6 x x 2 (3 x)2 и уравнение из иррационального превращается в уравнение, содержащее модули: x 13 3 x 2. При решении иррациональных неравенств очень внимательно нужно отнестись к тем, которые содержат радикалы четной степени. Неравенство нельзя возводить в четную степень, если хотя бы одна из его частей отрицательна. Существуют два основных вида неравенств, к которым сводятся многие другие: A( x) B 2 ( x) 1) 2n A( x) B( x), (пусть n=1) A( x) 0 B( x) 0 2) 2n A( x) B( x), (пусть n=1).Неравенство распадается на две системы неравенств: 2 а) A( x) B ( x) B( x) 0 A( x) 0 B( x) 0 б) При решении иррациональных неравенств используются те же методы решения, что и для рациональных неравенств. Пример. 3 х 15 х 1 (задача 19 блока 3 ) а) Находим область определения: 15 x 0; x 15. б) Переносим все слагаемые в левую часть, и приводим ее к общему знаменателю: 3 x 15 x 0 15 x в) Для решения неравенства методом интервалов получим нулевые точки: 3 x 15 x 0 (3 x)2 15 x x2 5x 6 0 x1 6 x2 1. На интервале (-1;15) выражение 3 x 15 x меньше нуля, поэтому решением неравенства является интервал (-1;15). §4. Прогрессии При решении задач, связанных с арифметической ( a1, a2 , a3,..., an ) и геометрической ( b1, b2 , b3..., bn ) прогрессиями, где n 1,2,3, необходимо знать формулы: 1) an a1 d (n 1) , где d - разность арифметической прогрессии; a1 an n, 2 где Sn - сумма n - членов арифметической прогрессии; 2) Sn 3) bn b1 q n 1 , где q - знаменатель геометрической прогрессии; 4) Sn b1(1 q n ) , 1 q где Sn - сумма n - членов геометрической прогрессии; 5) S b1 - сумма бесконечного числа членов убывающей 1 q геометрической прогрессии, для которой q 1 и n. Решение задач сводится к составлению системы уравнений, сложность которой зависит от условий задачи, и дальнейшему ее решению. Пример. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию, сумма которой равна 3. Известно, что сумма квадратов этих чисел равна 11. Найти разность прогрессии. (задача 1 блока 4) Представим условия задачи: а) a1, a2 , a3 - 3 члена арифметической прогрессии; б) a1 a2 a3 3 (по условию задачи: сумма членов прогрессии равна 3); в) a12 a22 a32 11 (по условию задачи: сумма квадратов членов прогрессии равна 11); Получена нелинейная система уравнений: a1 a2 a3 3 a12 a2 2 a32 11 . Используем формулу n - члена арифметической прогрессии и определим: a2 a1 d a3 a1 2d . Тогда, система преобразуется к виду 3a1 3d 3 a12 (a1 d )2 (a1 2d )2 11 или a1 d 1 3a12 6a1d 5d 2 11 Сделаем подстановку a1 1 d , во второе уравнение системы, которое приобретет вид 3(1 d )2 6(1 d )d 5d 2 11 d 2 4 d 2 Так как, по условию задачи, прогрессия убывающая, то нужно взять значение d 2 . Пример. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а отношение второго члена к пятому равно 8. Определить сумму прогрессии. (задача 1 блока 4) Представим условия задачи: а) b1, b2 , b3 - 3 члена геометрической прогрессии; б) b1 b2 b3 56 (по условию задачи: сумма 3-х членов геометрической прогрессии равна 56); в) с1 b1 1, c2 b1 7, c3 b2 21 - три члена арифметической прогрессии, то есть c2 c1 d и c3 c2 d , тогда c2 c1 c3 c2. Перейдем к записи условий (б) и (в), используя формулы: b2 b1q b3 b1q 2 . Тогда b1 b1q b1q 2 56 ( условие(б )) b1 7 (b1 1) b1q 21 (b1 7) ( условие(в)) Выполним преобразования и получим b (1 q q 2 ) 56 1 b1(q 1) 8 0 Решим систему методом подстановки b1 8 . Первое уравнение q 1 системы приобретет вид: 8(1 q q 2 ) 56 1 q q 2 7(q 1) q 2 6q 8 0 q1 2 q2 4 q 1 Необходимо выбрать значение q 2 , чтобы выполнилось условие b1 b2 b3 56 . В этом случае b1 8. По условию задачи необходимо найти сумму 10 членов геометрической прогрессии, то есть b1(1 q10 ) 8(1 210 ) 8 (1023) S10 8184 . 1 q 1 2 1 §5. Текстовые задачи Текстовые задачи – это задачи на составление уравнений на основании зависимости, данной в условии задачи. Основные этапы решения задачи. 1) Выбор одной из неизвестных величин, входящих в условие задачи, и обозначение ее какой-либо буквой (например x ). Иногда удобно ввести две или более неизвестных. В большинстве случаев для этого берут искомую величину, то есть ту, которую требуется определить по условию задачи. Но иногда бывает целесообразно обозначить через x какую-нибудь другую неизвестную величину, связанную с искомой. Удачный выбор неизвестной величины облегчает составление и решение уравнения. 2) Выражают через x (или другие введенные неизвестные) все неизвестные величины, входящие в условие задачи. 3) Составление уравнений (одного или более) на основании зависимости между величинами, данной в условии задачи, и их решение. 4) Проверка (по условию задачи) обязательна, так как корень уравнения может не быть решением задачи. Различают задачи, где используется процентное соотношение между величинами, или даны соотношения между ними в частях; задачи на движение и задачи на выполнение той или иной работы. Пример. Имеется 5л 70%-го раствора серной кислоты. Сколько литров 80%-го раствора серной кислоты нужно долить в этот раствор, чтобы получился 72%-й раствор серной кислоты? (задача 9 блока 4 на процентное соотношение) Пояснение. В 5 л 70% раствора серной кислоты 5 70 3,5 л серной кислоты. Если за x взять искомый 100 x 80 0,8 x серной объем 80% раствора, то в нем будет содержаться 100 кислоты. Тогда ( 3,5 0,8x )серной кислоты должны составлять 72% 3,5 0,8 x 0, 72 - это полученного ( 5 x ) литров объема, то есть 5 x содержится искомое уравнение задачи. Решаем его: 3, 5 0, 8x 0, 72(5 x ) 0, 08x 0,1 x 1, 25 л. Пример. Первый сплав содержит металлы в отношении 1:2, а второй – те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий металлы в отношении 17:27? (задача 10 блока 4 на отношения в частях) Пояснение. Весь объем первого сплава разделен на 3 части (соотношение 1:2) и содержит 1/3 одного металла и 2/3 другого металла. Аналогично, весь объем второго сплава разделен на 5 частей (соотношение 2:3) и содержит 2/5одного металла и 3/5 другого металла. Третий, полученный сплав, имеет соотношение металлов 17:27(44части), то есть должен содержать 17/44 одного металла и 27/44 другого металла. Пусть взято (в долях) x первого сплава и y второго сплава. Тогда существуют равенства 17 5 x 6 y 15 (1) x 2 y 17 ( для первого металла ) 44 3 5 44 27 2 x 3 y 27 (для второго металла ) 10 x 9 y 15 44 (2) 5 44 3 Поделим (1) на (2): 5 x 6 y 17 x 9 27(5 x 6 y) 17(10 x 9 y ) 9 y 35 x , то есть нужно 10 x 9 y 27 y 35 взять 9 и 35 долей (частей) первого и второго сплава, соответственно. Пример. Поезд был задержан на 15 минут, поэтому, чтобы прибыть на станцию по расписанию, проходил оставшийся до нее путь в 120 км, увеличив скорость по сравнению со скоростью по расписанию в 1,2 раза. С какой скоростью прошел поезд 120 км? (задача 11 блока 4 на движение) Пояснение. Возьмем за x скорость движения поезда до задержки и t время движения. Тогда, согласно закону физики, xt 120 . По условию, скорость увеличена в 1,2 раза, а время уменьшено на 15 мин.(задержка поезда), то есть ¼ часа. Расстояние осталось прежним. Отсюда 1 1, 2 x(t ) 120 . Система уравнений имеет 4 xt 120 1 вид: 1.2 120 1, 2 x 120 0,3 x 24 x 80 км/час. 1 4 1, 2 x(t ) 120 4 Скорость 1, 2 x 96 км/час. Пример. В бассейн проведены три трубы. Через первые две вода заливается, через третью вытекает. Через одну первую трубу бассейн может наполниться за 2 часа, через одну вторую за 5 часов, а через третью трубу вся вода из наполненного бассейна может вытечь за 10 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть все три трубы? (задача 12 блока 4 на выполнение работы) Пояснение. Пусть V - объем бассейна. Тогда, скорость вытекания V V V , из второй - , из третьей- . Время, 10 2 5 когда открыты все трубы, обозначим t . Составляем V V V t ( ) V . Знак (+) означает, что труба работает на заполнение, а 2 5 10 знак (-) – на вытекание. После преобразования ( деления на величину V ) воды из первой трубы 1 2 1 1 6 2 ) 1 t 1 t 1 (часа)=1ч45мин. 5 10 10 3 получим t ( §6. Тригонометрические задачи Тригонометрические задачи делятся на несколько типов: Вычисление тригонометрических выражений; доказательство тригонометрических тождеств; решение тригонометрических уравнений и неравенств. Но в каждом обозначенном типе задач используются одни и те же тригонометрические формулы, количество которых достаточно велико. Приведем те формулы и тригонометрические преобразования, без знания которых большинство тригонометрических задач решить невозможно. 1) cos 2 sin 2 1 2) sin 2 2 sin cos 3) cos 2 cos 2 sin 2 4) 2 sin 2 5)2 cos 2 2 7) cos 1 cos 2 1 cos 2tg 6) sin 1 tg 1 tg 2 2 2 1 tg 2 9) sin 2 2 8) cos 2 2 1 1 tg 2 2 tg 2 1 tg 2 10) tg 2 2tg 1 tg 2 Приемы, используемые в решении задач: 1) 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos (sin cos )2 2) sin 4 cos4 (sin 2 cos2 )(sin 2 cos2 ) cos 2 3) sin 4 cos4 sin 4 cos4 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 1 (sin 2 cos 2 ) 2 2 sin 2 cos 2 1 sin 2 2 2 4) sin cos sin sin( 90 ) сумма синусов 5) sin cos sin sin( 90 ) 2 cos( 45 ) Рассмотрим решение некоторых задач блока 4. Пример. Вычислить 1 sin 6 x cos6 x 1 sin 4 x cos 4 x (задача 13 блока 4 ) Воспользуемся преобразованиями: а) 1 sin 6 x cos6 x 1 (sin 6 x cos6 x) 1 (sin 2 x cos2 x) 1 1 3 (sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x) 1 (1 sin 2 2 x sin 2 2 x) sin 2 2 x 2 4 4 1 (использован прием(3) из списка и формула sin 2 x cos 2 x sin 2 2 x ) 4 1 1 б) 1 sin 4 x cos 4 x 1 (sin 4 x cos 4 x) 1 (1 sin 2 2 x) sin 2 2 x 2 2 3 При делении (а) на (б) получим . 2 x x Пример. Вычислить 19tgx, если sin cos 0,1. (задача 16 блока 4) 2 2 x x x x 2 Преобразуем sin cos 0,1 (sin cos ) (0,1)2 2 2 2 2 x x x x sin 2 2 sin cos cos 2 0,1 1 sin x 0,1 sin x 0,9 2 2 2 2 При этом cos x 1 sin 2 x 1 0,81 0,19 Выражение 19tgx 19 sin x 0,9 19 9 cos x 0,19 Пример. Решить уравнение cos x 2 tgx 1 sin x (задача 20 блока 4 ) Необходимо учесть, что решение уравнения не должно содержать тех 1 sin x 0 cos x 0 значений, которые подпадают под условия: Преобразуем cos x sin x 2 ( приведем уравнение к общему 1 sin x cos x знаменателю) cos 2 x 2 cos x 2 sin x cos x sin x sin 2 x cos2 x sin 2 x 2 cos x 2 sin x cos x sin x 1 sin x 2 cos x(1 sin x) 0 1 (1 sin x)(1 2 cos x) 0 1 sin x 0 1 2 cos x 0 cos x 2 x 60 360 n, n Z - решение уравнения. Глава 3. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 5,6 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3 (геометрические задачи рассматриваются в отдельном издании) В блоках 5,6 содержатся задачи, связанные с темами: производная функции; первообразная функции; определенный интеграл. §1. Производная функции, и ее приложения Наиболее сложными задачами в данной теме являются задачи, в которых необходимо использовать геометрический или механический смысл производной, а также задачи на исследование функции. Необходимо знать, что: 1) y( x0 ) tg - производная функции y f (x) , вычисленная в точке x x0 , равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с координатами ( x0 , y0 ) , где y0 f ( x0 ) . 2) уравнение касательной к графику функции в точке с координатами ( x0 , y0 ) может быть записано в виде y y0 f ( x0 )( x x0 ). Также полезно знать, что уравнение прямой через две известные точки с координатами ( x1, y1) и ( x2 , y2 ) может быть записано в виде x x1 y y1 . Алгебраическими преобразованиями можно x2 x1 y1 y2 данное уравнение привести к виду y kx b , где k tg - угловой коэффициент прямой. 3) y( x0 ) v - скорость движения материальной точки, вычисленная в момент времени x x0 . 4) Решение неравенства y(x) 0 и y(x) 0 определяет интервалы монотонного возрастания и убывания функции, соответственно. Эти интервалы должны принадлежать области определения функции. 5) Условие y(x) =0 определяет точку x x0 , в которой функция достигает своего максимума или минимума, если эта точка принадлежит области определения функции y f (x) и производная функции в окрестности точки x x0 меняет знак, то есть y( x0 ) 0, а y( x0 ) 0 или наоборот, где - малое положительное значение Пример. В каких точках касательные к графику 1 6 1 4 функции y x3 x 2 2 имеют угол наклона к оси ОХ, равный 45? Напишите уравнения этих касательных. (задача 1 блока 5) 1 2 1 2 а) Найдем производную функции: y( x) x 2 x б) По условию задачи угол наклона касательных к графику функции должен быть равен 45 ,то есть y( x) tg 45 или y( x) 1 в) Решим уравнение 1 2 1 x x 1 x 2 x 2 0 x1 1 x2 2, 2 2 19 7 , y (2) . и вычислим значение y (1) 12 3 y( x) 1 г) Запишем уравнение касательных: 19 31 ( x 1) y x , 12 12 7 1 y ( x 2) y x 3 3 при x 1 y при x 2 Пример. На параболе y=x 2 взяты две точки с абсциссами x1 1, x2 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней параллельна проведенной секущей? (задача 3 блока 5) а) Определим уравнение секущей, используя уравнение прямой, проходящей через две известные точки. Для этого вычислим y1( x1) y(1) 1 y2 ( x2 ) y(3) 9. Уравнение секущей: x 1 y 1 y 4 x 3 ; Угловой коэффициент этой прямой 3 1 9 1 равен 4 (множитель перед x , если y kx b ). б) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому производная функции y=x 2 должна быть равна 4, то есть ( x 2 ) 2 x 2 x 4 x 2 y(2) 4. Окончательно, получаем ответ:(2;4) Для решения задачи 4 блока 5 необходимо использовать условие перпендикулярности двух прямых y k1x b1 и y k2 x b2 в виде k1k2 1. Пример. Найти угловой коэффициент прямой, соединяющей точки экстремума функции y=x 3 -6x 2 +9x+1. (задача 7 блока 5) а) Найдем точки экстремума функции. Для этого приравняем нулю производную функции y=x 3 -6x 2 +9x+1 и решим уравнение 3x 2 12 x 9 0 x1 1 x2 3 . В окрестности точек x1 1 x2 3 производная меняет знак, точки принадлежат области определения функции (-;) и являются точками экстремума. б) Вычислим y1( x1) y(1) 5 y2 ( x2 ) y(3) 1. Запишем уравнение прямой, проходящей через две известные точки с координатами (1;5) и (3;1) x 1 y 5 y 2 x 7 . 2 4 Угловой коэффициент прямой равен (-2). Пример. Найти минимальное целое значение параметра к, при котором функция y=x3+5x2+kx+6 не имеет экстремума. (задача 8 блока 5) а) Найдем производную функции y=x3+5x2+kx+6. Так как по условию задачи функция не должна иметь экстремума, то y(x) 0, то есть 3 x 2 10 x k 0 . б) Уравнение 3x 2 10 x k 0 не имеет решения, если 25 . Минимальное 3 целое значение данного неравенства k 9 . дискриминант D 100 12k 0, то есть k §2. Первообразная функции. Определенный интеграл Для решения задач, связанных с первообразной функции (неопределенным интегралом) и определенным интегралом, необходимо знать: 1) таблицу неопределенных интегралов в объеме а) x ndx б ) x n 1 C n 1 dx ln x C x в) cos xdx sin x C д) a x dx е) dx cos 2 x dx ж) sin 2 x ax C ln a tgx C ctgx C г ) sin xdx cos x C 2) свойства неопределенного интеграла а) kf ( x)dx k f ( x)dx , где k - числовой коэффициент. б ) ( f1 ( x) f 2 ( x)) dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx 1 F (kx b) C , где F (kx b) - первообразная k функции f (kx b) , а (kx b) - линейная функция. в ) f (kx b)dx b 3) f ( x)dx F (b) F (a) . Вычисление определенного интеграла a представляет собой нахождение числа, равного разности значений первообразной функции в точках верхнего и нижнего пределов определенного интеграла. Это же числовое значение определяет площадь криволинейной трапеции, вид которой можно найти в любом учебнике. Для вычисления площади фигуры, заключенной между графиками функций y1 f1( x) и y2 f2 ( x) необходимо определить значения x a и x b как абсциссы точек пересечения графиков y1 f1( x) и y2 f2 ( x) : f1( x) f2 ( x) - решить уравнение или определить их из условия задачи. В любой точке x0 (a, b) вычислить y1 f1( x0 ) и y2 f 2 ( x0 ) . Если, допустим, y2 y1 , то b площадь фигуры равна S ( f 2 ( x) f1( x))dx . a Пример. Найти первообразную функций f(x), проходящую через точку М 0 с координатами x 0 ,y0 : f ( x) 2 ; М 0 (1;1); (задача 17 блока 6) 5 x 1 а) Найдем первообразную функции: y 2 dx 2 (5 x) 2 dx 5 x (аргументом степенной функции является линейная функция (x 5) , где k =-1) 1 1 2(5 x) 2 1 1 2 4 5 x C . б) Используя условие задачи М 0 (1;1) , то есть y 1 x 1 , получим уравнение для определения значения постоянной интегрирования C : -1=-8+ C C 7 ; Окончательно, y 74 5 x . Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной между указанными линиями: y=2x; y=x; x=5. (задача 20 блока 6) а) Функции: y1 =2x; y2 =x пересекаются в точке с абсциссой x=0 (2x=x), то есть a 0 (нижний предел определенного интеграла, который определит искомую площадь фигуры). Значение b 5 ( x 5) определено условием задачи. Тогда x 0;5 . Вычислим y1(1) 1 y2 (1) 1 . Значит 5 5 0 0 S (2 x x)dx xdx x 2 5 25 25 . 0 2 0 2 2 Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями: y=x 2 -x; y=2x. а) Найдем точки пересечения функций y1 =x 2 -x; y2 =2x: x 2 x 2 x x 2 3x 0 x1 0 x2 3 . 3 б) Вычислим y1(1) 0 y2 (1) 2 . Тогда S (2 x ( x 2 x))dx 0 3 (3x x 2 0 3 3 x 3 39 )dx ( x 2 ) 9 4,5. 2 3 0 2 Глава 4. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ БЛОКОВ 7,8,9 И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4 В блоках 7,8,9 рассматривается решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств; вычисление логарифма числа; задачи на область определения функции и построение графиков функции, а также задачи с параметром на различные темы. §1. Показательные уравнения Способы решения показательных уравнений можно представит, рассматривая два вида уравнений: 1) a f ( x) a g ( x) , где f ( x), g ( x) -функциональные выражения произвольного вида, а число a 0 и a 1.Тогда равенство показательных выражений левой и правой части уравнений приводит к равенству f ( x) g ( x) , которое представляет собой алгебраическое уравнение, способы решения которого известны. Пример. 3 4 x 1 3 4 x 4 x 1 124 (задача 2 блока 7) Преобразуем левую часть уравнения, используя равенства 1 x 4 ; 4 x 1 4 x 4 . Уравнение принимает вид: 4 1 x 3 31 ч 3 4 3 4 x 4 4 x 124; 4 x ( 3 4) 124; 4 124 4ч 16 42 x 2 4 4 4 4 x 1 4 x 41 2) f (a x ) c , то есть неизвестная величина в уравнении представлена показательной функцией a x . Введем новую переменную t a x (заметим, что t 0, так как a x 0 при любых значениях x ). Далее, будем решать алгебраическое уравнение f (t ) c и находить значения t t0 (одно или более, зависит от вида уравнения). Затем, a x t0 (t0 a k ) a x a k x k . Пример. 3 x 1 9 x 3x 1 9 ( задача 4 блока 7 ) 3 9 3x 9 Заменим: t 3x , учтем, что 3x 1 3 3x 3t . Уравнение будет иметь 3t 9 t 9 (3t 9) 2 (t 9) 2 8t 2 72t 0 t 9 (t 0) 3x 9 x 2. t 9 3t 9 3) Наиболее сложными являются показательные уравнения, содержащие две показательные функции с разными основаниями. Для их решения необходимо правильно выбрать алгебраические преобразования, которые приводят уравнение к виду с одной показательной функцией. Рассмотрим решение уравнения такого типа. Пример. 23 x 1 25 x 2 x 1 125 x (задача 6 блока 7) 1 2 1 2 Преобразуем 23 x 1 23 x , 25 x 52 x , 2 x 1 2 x , 125 x 53 x . Уравнение содержит показательные функции: 1) с основанием 2, степени которых 3x и x ; 2) с основанием 5, степени которых 2x и 3x . Выберем показательные выражения с меньшими степенями, то есть 2 x и 5 2 x ; разделим левую и правую части уравнения почленно на произведение 2 5 . Получим x 2x 23 x 2 2 x 52 x 52 x 2 x 2 2 x 5x 53 x 2 x 52 x . Преобразуем 1 2 x x 22 x 2 5 x 2 1 22 x 1 5 x и получим результат: , где ; . 2 52 x 2 2 x 52 x 5 2 x 5 x 1 1 2 Заменим t и запишем алгебраическое уравнение t 2 t 1 или 5 2 2 t 3 t 2 0 . Кубическое уравнение решается подбором корня t 1. Остаток от деления многочленов (t 3 t 2) и (t 1) равен t 2 t 2 . Уравнение t 2 t 2 0 не имеет решения в области вещественных чисел. x x 0 2 2 2 Поэтому единственный корень t 1 определяет 1 или ; 5 5 5 x 0. §2. Решение системы показательных уравнений 32 x 2 y 725 y Пример. (задача12 блока 7) 3 x 2 2 25 2 Заменим: 3x t 2 y s . Тогда система будет иметь вид: t s 725 t s 25 Алгебраическую систему уравнений решаем методом подстановки t 25 s . Первое уравнение системы представим в виде: t 2 s (t s )(t s ) 725 25(25 s s ) 725 2 s 4 s 2 s 4 Тогда t 27 . Окончательно, x 3; y 2. §3. Показательные неравенства При решении показательных неравенств вида a f ( x) a g ( x) или a f ( x) a g ( x) необходимо учитывать значение a . При 0< a <1 знак неравенств, при сравнении степеней, меняется на противоположный, то есть f ( x) g ( x) или f ( x) g ( x). При a >1 сравнение степеней выполняется с тем же знаком. Полученные алгебраические неравенства решают известными способами в зависимости от вида неравенства. Пример. 6 x (5x 7,2 x 3,9 25 5 ) 0 (задача 7 блока 7) Учитывая область определения неравенства: 6 x 0 x 6 и условие 6 x 0 , будем решать неравенство 5x 7,2 x3,9 25 5 0 . Так как 2 2 5 5 25 5 5 2 x 2 7,2 x 3,9 2 (основание 5>1).Квадратное неравенство 1 7; ). С учетом области 5 1 определения решение задачи: x ; . 5 x 2 7,2 x 1,4 0 имеет решение x (; Рекомендации к решению задачи 8 блока 7. Необходимо 4x 0,5 представить в виде 4 x 40,5 2 (2 x )2 , заменить 2 x t 0 и решать алгебраическое неравенство. 1 2 Получите решение t ( ;4) и, с учетом того, что t 0, решением является интервал (0;4). Тогда 0 2 x 4 x 2 x (2; ). Рекомендации к решению задачи 10 блока 7. Учесть, что 1 2 3 ...x 1 x x2 x x . Использована формула 2 2 суммы арифметической прогрессии, число членов которой равно x . Рекомендации к решению задачи 11 блока 7. Представить 4 x (2 x )2 , 6 x 2 x 3x , 9 x 32 x. Затем, почленно разделить обе части неравенства на произведение 2 x3 x . §4. Логарифм числа При вычислении логарифма числа, обозначенного log a b , где a 0, a 1, b 0 , необходимо знать его свойства: 1)a log a b b 2) log a a 1 3) log a 1 0 4) log a b1b2 log a b1 log a b2 b 5) log a 1 log a b1 log a b2 b2 7) log a b 6) log a bc c log a b log a a c c log c b 1 1 8) log a b log a b 9) log a b log a b log b a 1 log c a log b a 1 3 Пример. Вычислить: ( log 4 125 4 log 16 3) log 45 4 log 27 3 log 8 4 ; (задача 15 блока 7) а) Представим 1 log 4 125 log 4 3 125 log 4 5(свойство 6) 3 4 log 16 3 4 log 2 3 2 log 4 3 log 4 32 log 4 9(свойства 8,6) 4 log 45 4 log 8 4 1 (свойство 7) log 4 45 log 27 3 1 1 log 3 3 (свойство8,2) 3 3 1 2 log 2 22 (свойство8,6,2) 3 3 б) Продолжим вычисления, используя представленные преобразования: (log 4 5 log 4 9) 1 log 4 45 1 2 1 log 4 45 1 2 3 3 log 4 45 (log 5) 1 (8 81 Пример. Вычислить: 125 25 25 3 (задача 20 блока 7) Преобразуем, используя свойства логарифма числа: log log 16 125 25 5 3 log 25 16 5 16 3 log 16 2 5 5 log 5 16 3 2 log 1296 log 6 9 ) 3 16 2 26 64 log 3 2 log 3 5 2 (log 3 5) 1log 5 3 25 5 5 3 9 129664 log 81 64 log 6 9 2 log 9 6log 6 9 2 64982 9 §5. Решение логарифмических уравнений С помощью логарифмических свойств и алгебраических преобразований логарифмические уравнения сводятся к двум видам: 1) log a f ( x) log a g ( x) . Из равенства логарифмов с одним и тем же основанием следует равенство f ( x) g ( x) , которое требует решения алгебраического уравнения. Для получения правильного решения логарифмического уравнения необходимо сделать проверку полученного решения алгебраического уравнения, так как необходимо, чтобы f ( x) 0 и g ( x) 0 . 2) f (log a g ( x)) 0 . Замена переменной: t log a g ( x) приводит к решению алгебраического уравнения f (t ) 0 . Получив решение t t0 , переходят к решению уравнения t t log a f ( x) t0 log a f ( x) log a a 0 , то есть f ( x) a 0 . Полученное решение проверяется условием g ( x) 0 . Пример. log 4 ( x 12) log x 2 1 (задача 1 блока 8) а) Преобразуем левую часть уравнения log 2 ( x 12) 1 . (Использованы равенства: 2 log 2 x 1 1 log 4 ( x 12) log 2 ( x 12), log x 2 ). 2 log 2 x б) Приводим полученное выражение к общему знаменателю: log 2 ( x 12) log 2 x 2 или x 12 x 2 x 2 x 12 0 x1 4 x2 3 . Проверкой подтверждается только решение x 4 . Рекомендации к решению задачи 3 блока 8. Необходимо преобразовать: 4 16 1 16 log x 4 4 log x 2 ; log 2 4 log 2 log 2 x 8 x 4 8 x После этого выполнять действия, подобные тем, что были при решении задачи 1. Пример. x20,5 lg x 100 ( задача5 блока 8) а) Заменим lg x t x 10t б) x 20,5 lg x 10t (20,5t ) в) 10t (20,5t ) 102 2t 0,5t 2 2 0,5t 2 2t 2 0 t1,2 2 x 102 100 §6. Решение логарифмических неравенств Решение логарифмического неравенства вида log a f ( x) log a g ( x) зависит от основания логарифма a . При a >1 переходим к решению неравенства f ( x) g ( x) (знак неравенства - прежний), а при 0 a 1 знак неравенства меняется на противоположный: f ( x) g ( x) . Окончательное решение логарифмического неравенства находится с учетом его области определения, то есть выполнения условий f ( x) 0, g ( x) 0. Если основание логарифма является переменной величиной, то решение логарифмического неравенства выполняется в два этапа, когда полагается, что основание логарифма больше единицы, либо меньше единицы, но больше нуля. Пусть log g ( x) f ( x) 0. Решение: 0 g ( x) 1 g ( x) 1 а ) f ( x ) 0 g ( x ) 0 f ( x) 1 f ( x) 1 Пример. log 1 0,4 0 x 1 g ( x) 1 б ) f ( x) 0 f ( x) 1 (задача 6 блока 8) а) Данная задача, в сравнении с той, что была описана в общем виде выше, упрощается тем, что выражение под логарифмом представлено числом 0,4<1.В этом случае log 1 0,4 0 выполняется только тогда, x 1 когда логарифмическая функция убывает, то есть при условии 0 1 1. x 1 б) Решаем систему неравенств: 1 0 x 1 0 x 1 x 1 1 2 x 1 0 x (;1) (2; ) x 1 x 1 Общее решение системы: (2;). x2 2x Пример. . log 0,5 (log 8 ) 0 ( задача 8 блока 8) x3 а) Необходимо решить систему неравенств: x2 2x x ( x 2) 0 (1) 0 решение методом интервалов x3 x3 x2 2x log 8 0 ( 2) x3 x2 2x log 8 x 3 1 (3) ( учтено, что основание логарифма 0,5 1) б) Решение неравенства (1): x (0;2) (3; ). Неравенства (2) и (3) объединяем и решаем неравенство: log 8 x2 2 x x2 2 x x 2 10 x 24 ( x 4)( x 6) 1 8 0 0 x 3 x 3 x3 x 3 Последнее неравенство решаем мотодом интервалов и получаем решение: x (3;4) (6; ). в) Учитываем решение (1) и получаем общее решение (3;4)(6;). Рекомендации к решению задачи 9 блока 8. Необходимо рассмотреть решение двух систем. 2 x 0 а) x 2 1 2 x x 2 Пример. log 2 2 x 0 б ) x 2 1 2 x x 2 3 2x 1 (задача 10 блока 8) 1 x а) Система неравенств будет иметь вид: 3 2x (1) 1 x 0 3 2x 0 (2) log 2 1 x log 3 2 x 1 (3) 2 1 x 3 2 3 2x 2 x 1 0 x (;1) 2; Решение неравенства (2): 1 x 1 x 3 2x 1 2 0 x (1; ) . Решение неравенства (3): 1 x 1 x Объединим полученные решения: x 2; . б) Решение неравенства (1): x (;1) ( ; ). §7. Область определения функции. Графики функции. Ограничения на область определения имеют следующие функциональные выражения: 1) y f ( x) g ( x) 0 g ( x) 2) y 2 n f ( x) , (n 1,2,3...) f ( x) 0 3) y log a f ( x) f ( x) 0 tg ( x), f ( x) k , k Z 4) y 2 ctg ( f ( x)), f ( x) k arcsin f ( x) 5) y 1 f ( x) 1 arccos f ( x) Решение данных неравенств приводит к решению задачи о нахождении области определения. Пример. y arcsin x3 (задача x 13 блока 8) Решим систему неравенств, согласно общим рекомендациям. x 3 2x 3 3 x 1 x 0 x (;0) ( ; ) ,x 0 ,x 0 . x3 2 3 x (0; ) 1 0 x x 3 Решение задачи: x ( ; ). 2 При построении графиков функций необходимо классифицировать функцию как линейную, дробно-линейную, степенную, показательную, логарифмическую тригонометрическую или обратно тригонометрическую. Графики простейших функций данного вида общеизвестны. Далее, необходимо учесть параллельный перенос осей координат, если функция y f (x) преобразуется к виду y y0 f ( x x0 ) . При параллельном переносе новое начало осей координат находится в точке О1 с координатами ( x0 , y0 ) , а оси О1Х1 и О1Y1 параллельны осям ОХ и ОY. График функции y1 f ( x1) расположен относительно точки ( x0 , y0 ) также, как располагался бы график y f (x) ( y1 y y0; x1 x x0 ). Рекомендации к решению задач 16,…20 блока 8 . Задача 16: y 1 x 1 x1 x 1 x0 1; . y1 y y0 0. Начало координат О1(0;-1) является нулевой точкой новой системы координат Х1О1Y1 при параллельном переносе осей координат (О1Х1 и О1Y1 параллельны ОХ и ОY, соответственно). В новой системе координат строим гиперболу y1 1 , ветви которой расположены в первой и третьей четвертях x1 системы Х1О1Y1; учитываем, что одна из ветвей проходит через точку: x 0; y (0) 1. График функции y1 1 1 отличается от графика y1 тем, что x1 x1 все y1 0 , поэтому необходимо все отрицательные значения y1 заменить такими же положительными значениями y1 0 . Окончательный график y1 1 представляет собой две ветви x1 гиперболы, расположенные в первой и второй четвертях системы координат Х1О1Y1. Задача 17: y 3 x 1 . x1 x 1 x0 1; y1 y y0 0. Начало координат О1(0;1). Строим график степенной функции y1 3 x1 в системе координат Х1О1Y1 , симметричный относительно О1, так как функция y1 3 x1 нечетна. График функции должен пройти через точку x 0; y 1. Задача 18: y 2 31 2 x . Преобразуем выражение y 2 31 2 x к виду y 2 31 2 x 1 2 1 2 Тогда x1 x x0 ; y1 y 2 y0 2. Строим график показательной функции y1 32 x1 в системе координат Х1О1Y1 в последовательности: а) y1 32 x1 ( аналог y a x , a 1 )- монотонно убывающая на всей числовой оси функция, имеющая точку пересечения с осью О1Y1 ( x1 0; y1 1 ); б) все значения y1 0 переносим в отрицательную область, сохраняя числовое значение ординаты, и получаем график функции y1 32 x1 . Построенный график должен пройти через точку x 0; y 1. Задача 19: y log 2 (1 4x) 2 . Преобразуем выражение y log 2 (1 4x) 2 к виду 1 1 1 y 2 log 2 (4( x )) . Тогда x1 x x0 ; y1 y 2 y0 2. 4 4 4 Строим график логарифмической функции y1 log 2 (4x1) в системе координат Х1О1Y1( аналог y log a ; x 0, a 1 ). Область определения функции в системе координат Х1О1Y1: 4x1 0 x1 0 , и график 1 4 функции проходит через точку 4 x1 1 x1 ; y1 log 2 1 0. Необходимо также учесть, что графику функции принадлежит точка x 0; y 2. Задача 20: y 1 cos2 x преобразуем к виду y sin x , так как 1 cos 2 x sin 2 x . Необходимо построить график известной функции y sin x , и все отрицательные значения ординат точек графика заменить положительными значениями. §7. Задачи с параметрами. Задачи с параметрами относятся к сложным задачам и имеют разную направленность. Поэтому можно дать только одну, общую для всех задач, рекомендацию: необходимо хорошо знать теоретические основы темы, обозначенной в условиях задачи. 1 3 Пример. При каком значении «а» функция y x3 x 2 ax возрастает на интервале (0;)? Указать наименьшее целое. (задача 1 блока 9) а)Тема задачи: исследование функции с помощью ее производной. Возрастание функции определяется условием y( x ) 0 . б) y( x) x 2 2 x a . Необходимо решить неравенство x 2 2 x a 0 , при условии x (0; ). Квадратное неравенство будет выполняться, если при условии D 0 больший корень уравнения x 2 2 x a 0 равен нулю, то есть: (1) D 4 4a 0 a 1; (2) x2 1 1 a 1 1 a 0 1 a 1 a 0. Рекомендации к выполнению задачи 2 блока 9. 1 2 Функция y x 2 3x a графически представлена параболой, ветви которой направлены вверх, и, согласно условия задачи, ее вершина должна быть расположена в точке с координатами ( x0 , y0 ), причем y0 0 . Находим x0 3, y0 y(3) 4,5 a . Решаем простейшее неравенство, и, при получении ответа, учитываем условие задачи (указать наименьшее целое). Рекомендации к выполнению задачи 4 блока 9. 2 Функция y e x 2 x >0 при любых значениях x и имеет наименьшее значение при условии y( x) 0 . Найдем решение данного уравнения (для проверки: x =1); y(1) e1 p. Рекомендации к выполнению задачи 5 блока 9. В уравнении x x p необходимо убрать знак модуля при условии: a) x p 0 б ) x p 0 и решать уравнения a) x x p б ) x x p. Если уравнение записать в виде x x p, то единственное решение проще найти графически, заменяя x t 0 и получая уравнение t 2 t p . Необходимо из двух уравнений выбрать одно. Левая часть уравнения представляет собой параболу с 1 2 1 2 1 4 1 4 вершиной t , y (t ) y ( ) . Условие p определяет значение параметра: 1 . 4 Рекомендации к выполнению задачи 6 блока 9. Преобразуем неравенство аx 4 8 к виду x x(a 8) 4 0, x и будем его решать методом интервалов с нулевыми точками x0 и x 4 4 . Значение может быть как больше нуля, так и 8a 8a меньше. Необходимо рассмотреть оба варианта и получить решение неравенства. По условию задачи, наименьшее решение должно быть равно (-1). В одном из вариантов (8- a 0 ) такого решения быть не может. Рекомендации к выполнению задачи 8 блока 9. Преобразуем 2 lg( x 1) lg ax к виду lg( x 1)2 lg ax и перейдем к решению уравнения ( x 1)2 ax при условии, что a 0, x 1, ax 0. Единственное решение возможно в двух случаях: 1) D 0, 2) D 0 , но один из корней уравнения x1 или x2 не удовлетворяют условию задачи. Для случая D 0 получаем решение a 4 , при D 0 a (;0) (4; ) только в случае a (;0) решение будет единственным. Рекомендации к выполнению задачи 9 блока 9. Преобразуем 3x lg x 1 a lg x к виду lg x(3x a) 1 lg x 1 . 3x a Решение уравнения необходимо выполнить графически, то есть построить известные функции y1 lg x, y2 1 и подобрать 3x a значение a так, чтобы точка пересечения графиков была единственной. Рекомендации к выполнению задачи 10 блока 9. Область определения функции y log 25 x 2 (cos x 8 sin x a) 25 x 2 0 (1) 25 x 2 1 (2) находится при выполнении условий cos x 8 sin x a 0 (3) Решение (1) и (2) определяет x (5;5) за исключением значений x 24 . Решение (3) удобнее находить в виде cos x 8 sin x a , обозначая y1( x) cos x 8 sin x, y2 ( x) a . Тогда y1( x) y2 ( x) . Необходимо определить минимум функции y1( x) , используя равенство нулю ее производной: sin x 8 cos x 0 . Точкой минимума является точка с координатами x arctg 8 , y 3. Выполнение условия y1( x) y2 ( x) достигается при значении a 3. С учетом (1) и (2) решением задачи являются значения a (5; 24 ) ( 24 ;3). БЛОК 1 ТЕМЫ: 1) Вычисление без калькулятора; 2) алгебраические преобразования с использованием формул сокращенного умножения; 3) линейные уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. ЗАДАЧИ. 1.Обозначим двузначное число ab , где а - число десятков, а b -число единиц. Доказать, что ab + ba делится на 11, а ab - ba делится на 9. 2. Обозначим трехзначное число abc . Доказать, что aaa делится на 37. 3. Доказать, что любое трехзначное число из последовательных цифр после вычитания 12 равно первой цифре, умноженной на 111. 4. Доказать, что 25 7 +5 13 делится на 30. 5.Переведите периодическую дробь в обыкновенную, воспользовавшись представлением периодической части в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма a1 . 1 q 3 3 3 1 1 3 3 Пример: 0,(3)= 0+ + + +…=0+ :(1- )= ; a1 ; 10 100 1000 10 10 3 10 1 q ; 10 которой представляет собой известную формулу: S n Задание: а)0,2(1); б)3,7(3); в)2,2(41); г)0,12(3); д)3,1(23); е)1,(13). Ответ: а) 19 90 б)3 73 99 в)2 239 990 г) 37 61 д)3 495 300 Вычислить (рациональный счет): 1 3 6. (4 +5,4+0,2(6)):( Ответ:10. 13 +0,0(3)+0,1). 15 е)1 13 99 7. А 40%=(0,536 2-0,464 2 ):(3,6 2 -7,22,4+2,4 2 ); Найти А. Ответ:0,125. 5 8 8. (( +2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) 110 1 ) ; 2 401 Ответ: 1. 9. ( 2 3 ) 2 . 10. 11. 12. 13. Ответ: 3 2 . 52 6 Ответ: 3 2 . 3 2 Ответ: 94 . 2. 2. 5. - 1. Ответ: 2 2 + 1. 2 Ответ: 5 -2. Выполнить алгебраические преобразования: 14.(16-8х+х 2 )(2- х ) -2 ( х +2) -2 . Ответ: 1. 15.( 94 а 0 ,5 1 а 0 ,5 1 + а 0 ,5 1 4 3 ). а 0 ,5 1 а 1 16. ( х х +1)( х - 1 х 3 1 -1 )( ) . х х Ответ: 8. Ответ: 1. Решить уравнения и неравенства: 17. х+12-х-1=3х-8. Ответ: 7. 18. х-3-х+1=х+5. Ответ: -9;-1. 19. х-1+ х 5-2х-5. Ответ: (0,5;2,75). 20. 2х-3+х-12х-4. Ответ: 3. БЛОК 2. Темы: 1) Системы линейных уравнений; 2) Задачи, связанные с квадратным выражением; 3) Рациональные неравенства. Решить системы линейных уравнений, в том числе с параметром. 2 x 3 y z 4 1. 6 x y z 12 4 x 2 y 2 z 0 Ответ:1,5;2;-1; x y z 3 2. 3x 2 y 3z 1 5 x 2 y 8 z 6 Ответ: 2;-4;1; x y 2 z 1 3. 2 x y 2 z 4 4 x y 4 z 2 Ответ: 1;2;-2; 4.Найти все «а», при которых система имеет единственное решение. 3x (a 1) y a 1 (a 1) x y 3 Ответ: а2; 5. Найти все «а», при которых система имеет бесконечное множество решений. 2 x ay a 2 (a 1) x 2ay 2a 4 Ответ: 3; 6. Найти все «а», при которых система не имеет решений. 2 x 3 y ay 3 y 4 (a 1) x Ответ: -1;-3; 7. Составить квадратное уравнение, если известны корни: а) (-2;4); б)( а в; а в ). 8. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета: а) х 2 -10х+9=0; б) 3х 2 +3х-36=0. 9.Разложить на сомножители: а) –m2 +5m-6; б) - х 2 -8х+9. 10. Выделить полный квадрат: а) х 2 +8х-33; б)2х 2 +6х+5. 11. Построить параболу, находя координаты вершины, точки пересечения с осями координат и направление ветвей: а) у= х 2 -х+1; б) у= - х 2 + 3х. 12. Решить квадратное неравенство: а) 4-х 2 0; б) 16х 2 -х-2-9х-3; в) 2х 2 +6х+50. Ответ: а) –2;2; б) –0,25; в) нет решений. Решить квадратное уравнение, содержащее знак модуля: 13. х 2 + 5х-6=0; Ответ: -1; 1. 2 14. х -5х=6. Ответ: -1;2;3;6. Решить квадратное неравенство, содержащее знак модуля: 15. 2х 2 -9х+1520; Ответ: (-;-0,55;+). 16. х 2 -31; Ответ: (-2;- 2 )( 2 ;2). Решить рациональные неравенства: 17. 2- х 3 х 5 ; х 2 х 1 18. 8 х 2 2 ; х 1 х 1 х 1 19. 4 х х-4; х4 20. х 2 5х 6 2 х 5х 6 Ответ: (1;1,8)(2;). Ответ: (-2;-1)(1;3). Ответ: (-;-3). х 1 ; х Ответ: (-;-3)(-2;0). БЛОК 3. Темы: 1)Решение рациональных уравнений со степенью n2; 2)Решение нелинейных систем уравнений; 3)Решение иррациональных уравнений и неравенств. ЗАДАЧИ. Решить уравнения: Ответ: 1. 1. х 4 х 2 2 0 . 2. х 2 4 х 12 42 х 7. 7х 2 х2 4х Ответ: 1;2;19 349 . 3. 6 8 1. ( х 1)( х 2) ( х 1)( х 4) Ответ: 0;-3; 3 73 . 2 Ответ: -1;-2;-3. Ответ: 1;4;-3. 4. х 3 6 х 2 11х 6 0 . 5. х 4 х 3 13х 2 х 12 0 . 6. (6 х)( х 2)( х 3)( х 9) 24 х 2 . Ответ:3:-6; 1 73 . 2 7. ( х 9)( х 3)( х 2 8х 12) 56 х 2 . Ответ: -9;2; 11 193 . 2 Решить системы уравнений: х у 13 8. у х 6 . х у 5 Ответ: (2;3);(3;2); х у 3 . Ответ: (1;4);(4;1); х у ху 3 9. 2 2 10. х 3 ху 3 у 7 . Ответ: (3;2);(2;3); х у 35 2 2 11. х у ху 6 . Ответ: (1;2);(2;1); ху х у 5 х ху у 2 12. . у 1 ху х 2 Ответ: ( 5 ; 5 ); 2 Решить иррациональные уравнения: 13. 4 х 36 х 2 х 2 . Ответ: (0;52); 14. 3х 1 9 х 6 . 9 х Ответ: (8); 15. х 2 26 х 169 9 6 х х 2 2 . Ответ: (7); 16. 3 х 45 3 х 16 1 . Ответ: (-109;80); 17. х 2 3х 18 4 х 2 3х 6 0 . Ответ: (-5;2); 18. х 2 х 2 х . Ответ: (-;-2;(2;); 19. 20. 3 х 1. 15 х х 2 1 13 х 2 х 1 . Ответ: (-1;15); Ответ: (- 13 ;1;2; 13 ); БЛОК 4. Темы: 1) Прогрессии; 2) Задачи на составление уравнений; 3) Тригонометрия. Задачи: 1. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию, сумма которой равна 3. Известно, что сумма квадратов этих чисел равна 11. Найти разность прогрессии. Ответ: -2. 2. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а отношение второго члена к пятому равно 8. Определить сумму прогрессии. Ответ: 8. 3. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию равна 56. Если из них вычесть соответственно 1, 7 и 21, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии. Ответ: 8184. 4. Сумма первого, третьего и пятого членов геометрической прогрессии равна 182,а сумма второго, четвертого и шестого ее членов 546. Сколько первых членов прогрессии следует взять, чтобы в сумме получить 242? Ответ: 5. 5. Три положительных числа образуют арифметическую прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если к третьему числу прибавить первое, а остальные два оставить без изменения, то получиться геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. Ответ: 7; 14; 21. 6. Среди 11 членов арифметической прогрессии первый, пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если седьмой член прогрессии равен 42. Ответ: 24; 3. 7. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли предполагал получить магазин первоначально? О твет: 20%. 8.Два завода должны были по плану выпустить з60 станков в месяц. Первый завод выполнил план на 112%, а второй на 110%, и поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод? Ответ: 24; 16. 9. Имеется 5л 70%-го раствора серной кислоты. Сколько литров 80%-го раствора серной кислоты нужно долить в этот раствор, чтобы получился 72%-й раствор серной кислоты? 10.Первый сплав содержит металлы в отношении 1:2, а второй – те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий металлы в отношении 17:27? 11.Поезд был задержан на 15 минут, поэтому, чтобы прибыть На станцию по расписанию, проходил оставшийся до нее путь в 120 км, увеличив скорость по сравнению со скоростью по расписанию в 1,2 раза. С какой скоростью прошел поезд 120 км? 12.В бассейн проведены три трубы. Через первые две вода заливается, через третью вытекает. Через одну первую трубу бассейн может наполниться за 2 часа, через одну вторую за 5 часов, а через третью трубу вся вода из наполненного бассейна может вытечь за 10 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть все три трубы? Вычислить значение выражения: 13. 1 sin 6 x cos6 x 1 sin 4 x cos 4 x (sin cos ) 2 . Ответ: 32. . Ответ: 2. 3 ). 2 x x 16. 19tgx, если sin cos 0,1 . 2 2 17. cos(2arctg7) sin( 4arctg3) . Ответ: 14. sin ( ) 4 2 1 2 15. sin(arccos( ) 3 arcsin Решить уравнения: 3 . 2 Ответ: 9. Ответ: 0. 18. sin 4 3x cos4 3x 1 2 Ответ: 20+60n. 19. cos3x sin 2 x cos x 0, (0 x 180). Ответ:30;90;150;180. cos x 2 tgx . 20. 1 sin x БЛОК 5 ТЕМЫ: 1)Производная функции; 2) планиметрия. ЗАДАЧИ. 1.В каких точках касательные к графику 1 6 1 4 функции y x3 x 2 2 имеют угол наклона к оси ОХ, равный 45? Напишите уравнения этих касательных. Ответ: y x 31 1 при x=1; y x при x=-2. 12 3 2. В каких точках касательные к графику функции y=0,5arcsinx имеют угол наклона к оси ОХ, равный 30? Ответ: (0,5; ); (-0,5;- ); 12 12 3. На параболе y=x 2 взяты две точки с абсциссами x1 1, x2 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней параллельна проведенной секущей? Ответ: (2;4). 4. На графике функции y=x 2 найти точку, касательная к которой перпендикулярна прямой x+2y+1=0. Ответ: (1;1). 5. Тело массой 100 ед. движется прямолинейно по закону s(t)=2t 2 +3t+1. Определить кинетическую энергию тела через t=5сек. после начала движения. Ответ: 26450. 6. Найти значение функции в точке ее минимума: y 2( x 3)3 mv 2 2 Ответ: 27. ( x 1) 2 7. Найти угловой коэффициент прямой, соединяющей точки экстремума функции y=x 3 -6x 2 +9x+1. Ответ: -2. 8. Найти минимальное целое значение параметра к, при котором функция y=x 3 +5x 2 +kx+6 не имеет экстремума. Ответ: 9. В задачах 9,10 найти производную функции f(x), затем вычислить ее значение в заданной точке x0 : 9. f ( x) x 1 x2 ; x0 0 . Ответ: 1. 10. f ( x) tg 2 ( x3 1) ; x0 0 . Ответ:0. 11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 122 см, проекция одного из катетов на гипотенузу равна 50 см. Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла. Ответ: 60. 12. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на боковую сторону, равна 12 см, основание равно 15 см. Найдите площадь треугольника. Ответ: 75. 13. В остроугольном треугольнике АВС проекция боковых сторон АВ и ВС на основание АС равны 2 и 4. Найдите проекцию медианы АD, проведенной из вершины А к стороне ВС на основание АС. Ответ: 4. 14. Радиус окружности равен 9, а расстояние от одного конца хорды до касательной, проведенной через другой ее конец, равно 2. Найдите длину хорды. Ответ: 6. 15. Из точки, взятой на окружности, проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Отрезок, соединяющий середины хорд, равен12. Найдите радиус окружности. Ответ: 12. 16.Через конец хорды, делящей окружность в отношении 1: 3, проведена касательная. Найдите острый угол (в градусах) между хордой и касательной. Ответ: 45. 17. В прямоугольнике АВСD стороны АВ=4мс, ВС=10см. На стороне ВС взята точка М так, что проведенные отрезки АМ и МD образуют прямой угол. Определите отрезки ВМ и МС. Ответ: 2;8. 18. Диагонали ромба равны 80см и 60 см. Найдите расстояние между параллельными сторонами ромба. Ответ: 48. 19. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания с вписанной окружностью в отношении 5:8, считая от основания треугольника. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10. Ответ: 30. 20. Окружность с центром О, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М, АМ=12, ВМ=8. Найдите площадь треугольника АОВ. Ответ:40. БЛОК 6 ТЕМЫ: 1)Стереометрия; 2) Первообразная функции; 3)Определенный интеграл. ЗАДАЧИ. 1. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна основанию. Найдите объем пирамиды. Ответ:1. 2. Боковое ребро МС пирамиды МАВС Перпендикулярно плоскости основания АВС и равно 4. Плоскость, параллельная основанию, проходит через середину высоты пирамиды и пересекает боковые ребра в точках А1, В1, С1 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды МА1В1С1 , если АС=ВС=5, а высота СК треугольника АВС равна 3. Ответ: 10. 3. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10,8 и 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45. Найдите объем пирамиды. Ответ:40. 4. Основание пирамиды – квадрат, сторона которого равна3.Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом, тангенс которого равен 43. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ:15. 5. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Боковое ребро BS перпендикулярно плоскости основания и равно ребру основания. Найдите градусную меру угла между боковым ребром FS и плоскостью основания. Ответ:30. 6. Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найти радиус шара, если образующая конуса равна 10. Ответ: 3. 7. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар с объемом 323.Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 6. Ответ: 96. 8. Найти объем куба, вписанного в конус, если радиус основания и высота конуса равны 6 2 и 4, соответственно. Ответ: 27. 9. Шар, объемом 323, вписан в конус. Найти высоту конуса, если радиус его основания равен 2 3 . Ответ: 6. 10. Дана призма ABCDA1B1C1D1 , в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены под углом 60. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найти длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6( 3 2) . Ответ: 3. 11. В кубе ABCDA1B1C1D1 через точки В, D и середину ребра D1C1 проведена секущая плоскость с площадью, равной 144. Найти площадь полной поверхности куба. Ответ: 768. 12. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 . Площадь боковой поверхности равна 20. В призму вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 3 3 . Найти объем цилиндра. Ответ: 10. 13. Вокруг правильной шестиугольной призмы описан цилиндр с площадью боковой поверхности, равной 16 3 .Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 2 3 . Найти объем призмы. Ответ: 144. 14. В усеченный конус, радиусы основания которого r и r 1 , вписан шар. Найти отношение объемов усеченного конуса и шара. Ответ: (r 2 +r 1 2 +rr 1 )2rr 1 . В задачах 15,16,17 найти первообразную функций f(x), проходящую через точку М 0 с координатами x 0 ,y0 : 15. f ( x) sin 2 x ; М 0 (0;1) ; Ответ: cos 2 x 3 . 2 2 16. f ( x) 1 ; M 0 ( ;1); 12 sin 2 3x 2 17. f ( x) ; М 0 (1;1); 5 x 1 3 2 3 Ответ: ctg 3 x . Ответ: 7- 4 5 x . В задачах 18,19,20 вычислить площадь фигуры, заключенной между указанными линиями: 18. y=x 3 ; y=1; x=2. Ответ: 114. 19. y= x ; y=2; x=9. Ответ: 83. 20. y=2x; y=x; x=5. Ответ: 252. БЛОК 7 ТЕМЫ: 1)Показательные уравнения и неравенства; 2) Логарифм числа. ЗАДАЧИ. Решить уравнения: 1. 3x 2 4 x 0,5 81 3 ; Ответ: -1;5. 2. 3 4 x 1 3 4 x 4 x 1 124 ; Ответ: 2. 3. 182 x 2 2 x 3x Ответ: -2;-1. 4. 2 1 3 x 1 ; 3 x 1 9 x 3x 1 9 ; 3 9 3x 9 Ответ: 2. 5. 8 x 18 x 2 27 x ; Ответ: 0. 6. 23 x 1 25 x 2 x 1 125 x ; Решить неравенства: Ответ: 0. 7. 2 6 x (5 x 7,2 x 3,9 25 5 ) 0 ; 1 5 Ответ: (-; . 8. 4 x 0,5 7 2 x 4 0; Ответ: (-2;). 9. 3 16 x 2 81x 5 36 x 0; Ответ: (-;0) ( ;). 5 2 1 2 10. 0,41 23... x ( ) 7 ; Ответ: 1;4. 11. 4 x 6 x 2 9 x 0; Решить системы уравнений: Ответ: (-;0). 32 x 2 y 725 y 12. x 3 2 2 25 Ответ: (3;2). x 3y 1 2 y4 13. x y 3 2 8 2x 1 Ответ: (0;-2,5). 4x 5 y 2 4 x 5 y 4 7 14. 2x y 1 x y 4x 5 y 5 5 Ответ: (5;4). Вычислить логарифмы чисел: 1 3 15. ( log 4 125 4 log16 3) log 45 4 log 27 3 log8 4 ; Ответ: 2. 16. log 2 3 2 Ответ: 3. log 2 (log 3 2) log3 5 log25 81; 17. 1 1 log 5 log 7 25 6 49 8 18. 1 1 log 4 log 2 814 2 9 49 7 ; Ответ: 3. 2 2 log 3 3 4 Ответ: 22. 19. 8 1 log 4 7 49 ; 3 log 25 16 20.125 Ответ: 10. ; (log 5) 1 25 3 (8log81 1296)log6 9 ; Ответ: 9. БЛОК 8 ТЕМЫ: 1)Логарифмические уравнения и неравенства; 2)Область определения функций. 3)Графики функций. ЗАДАЧИ. Решить уравнения: 1. log 4 ( x 12) log x 2 1 ; Ответ: 4. 2. log 49 x 2 log 7 ( x 1) log 7 (log 4 log 2 4 x 3. log 3 3) ; 16 1; 8 x Ответ: 4. x 3 4. 2 x 2 (6 x 45) log x 4 log8 ; 3 Ответ: 2. Ответ: 5. 5. x20,5 lg x 100 ; Решить неравенства: 6. log 1 0,4 0; Ответ: 100. Ответ: (2;). x 1 7. lg 2 x 4 lg x 3 0 ; Ответ: 10;1000. x2 2x 8. log0,5 (log8 ) 0; x3 Ответ: (3;4) (6;). 9. log x 2 (2 x) 1; Ответ: (-2;-1) (-1;0) (0;1) (2;). 10. log2 3 2x 1; 1 x Ответ: (2;). Найти область определения функций: 11. y x 1 ; 4 x 12. y 4 6 x x2 5 ; 13. y arcsin 14. y lg x3 ; x x5 x2 4 ; Ответ: (-4;0. Ответ: 1;5. Ответ: (32;). Ответ: (5;). 15. y x ; cos x Построить графики функций: 16. y 1 x 1 17. y 3 x 1 18. y 2 31 2 x 19. y log 2 (1 4x) 2 20. y 1 cos2 x 1 2 Ответ: x n, n Z . БЛОК 9 ТЕМЫ: Задачи с параметрами. ЗАДАЧИ. 1 3 1. При каком значении «а» функция y x3 x 2 ax возрастает на интервале (0;)? Указать наименьшее целое. Ответ: 0. 1 2 2. При каком значении «а» функция y x 2 3x a расположена не ниже оси ОХ. Указать наименьшее целое. Ответ: 5. 3. При каком значении «m» функция y 11 mx 3x 2 2 имеет максимум в точке x0 =2,5. Ответ: 15. 4. Найти все значения «р», при которых уравнение e x имеет одно решение. Ответ: 1е. 2 2 x 5. Найти все значения «р», при которых уравнение x x p имеет одно решение. Ответ: 14. 6. Найти все значения «а», при которых наименьшее решение неравенства аx 4 8 равно –1. x Ответ: 12. 7. При каких значениях «в» уравнение x b x 3 имеет единственное решение? Ответ: 114 3;). 8. При каких значениях «а» уравнение 2 lg( x 1) lg ax имеет единственное решение? Ответ: 4 (-;0). 9. При каких значениях «а» уравнение 3x lg x 1 a lg x имеет единственное решение? Ответ: а0. 10. При каких значениях «а» функция y log (cos x 8 sin x a) определена при любых 25 x 2 значениях «х»? p