ЭЛТИ Зачёт Курс 1

Образцы контролирующих материалов по .
Учебная дисциплина
Линейная алгебра и
аналитическая геометрия
Ф ТПУ 7.1-21/01
ЭЛТИ
Зачёт
Курс 1
Вариант 1
1 1
1 1
0 1
0 1
1. Дан определитель
0
1
1
1
0
0
1
1
.
а) Запишите разложение данного определителя по третьему столбцу;
б) вычислите определитель, получив предварительно нули в какой – либо строке или столбце.
2. Дана система линейных уравнений
 x1  x 2  2 x3  x 4  x5  2,

 x1  2 x 2  x3  x 4  x5  2,
 x1  x 2
 x 4  2 x5  1.
а) Докажите, что система совместна;
б) найдите общее решение системы;
в) найдите частное решение системы и сделайте проверку.
3. Даны три вектора
a  3i  6 j  k , b  i  4 j  5k , c  3i  4 j  12k . Найдите пр c a  b .
4. Проверьте, что точка M(–4, 11) принадлежит прямой
 x  2t ,
 y  1  6t. .

Найдите соответствующее этой точке значение
параметра t.
5. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точки
M1 7, 2,  3 и M 2 5, 6,  4 параллельно оси Ox.
6. Приведите уравнение кривой к каноническому виду и постройте кривую
16 x 2  9 y 2  64 x  18 y  89 .
7. Постройте поверхность, определяемую уравнением
.
«
x 2  2x  z  4 .
Дата 25.05.08 года
«Утверждаю», зав. кафедрой ВММФ
Составили
Трифонов А.Ю.
Зальмеж В.Ф., Филипенко Н.М.
Контрольная работа №1 по теме «Линейная алгебра»
ВАРИАНТ №1
1. Дан определитель
2 4 3 1
1 1 0 1
3 2 4 0
0 1 1 3
.
а) Запишите разложение данного определителя по четвёртому столбцу;
б) вычислите определитель, получив предварительно нули в какой – либо строке или столбце.
2. Решить систему уравнений методом обратной матрицы:
 x  2 y  z  1,

3 y  z  1,
 x  4 y  z  5.

Значение x вычислить также методом Крамера.
3. Дана система однородных линейных уравнений
2 x1  x 2
2 x1  x 2
2 x  x
2
 1
2
x

x
2
 1
 3 x3  2 x 4  0,
 2 x3  x 4  0,
 5 x3  4 x 4  0,
 4 x 3  3 x 4  0.
а) Докажите, что система имеет нетривиальные решения;
б) Найдите общее решение системы;
в) найдите фундаментальную систему решений.
Контрольная работа №2 по теме «Векторная алгебра»
ВАРИАНТ №1



1. Доказать, что векторы p  (1,1,2); q  (3,2,0); r  (1,1,1) образуют базис и найти разложение вектора x  (11,1,4)
в этом базисе.
2. Параллелограмм построен на векторах
 
  1  


 

a  p  4q , b  ( p  q ), где p  4, q  2, ( p ^ q )  .
2
3
Определить:
а) косинус тупого угла между диагоналями;

б) длину высоты, опущенной на сторону a .
3. Даны три вектора
a  3i  6 j  k , b  i  4 j  5k , c  3i  4 j  12k . Найдите пр c a  b .
4. В пирамиде SABC с вершинами в точках A(1,2,0), B(3,0,3), C(5,2,6), S(-2,4,-1) найти объем, площадь основания ABC и
высоту, опущенную на грань ABC.
5. Средствами векторной алгебры найти кратчайшее расстояние между пряомой AB и осью OX, если A(0,2,4), B(4,2,-1).
Контрольная работа №3 по теме «Аналитическая геометрия»
ВАРИАНТ №1
1. Определить при каких значениях а прямая
(а+2)х + (а2 -9)у + 3а2 - 8а + 5 = 0 параллельна оси ОХ.
3. Даны вершины треугольника А(2,6), В(4,-2), С(-2,-6).
Составить уравнение высоты из вершины А и уравнение медианы из вершины С.
4.
Привести к каноническому виду, назвать и построить
кривые: а) 16х2 + 25у2 + 32х - 100у - 284 = 0;
б) у2 - 4у - 20х + 24 = 0.
5.
Из общих уравнений прямой :
2x + y – 3z – 9 = 0,
-2x + 3z + 4 = 0
получить канонические и параметрическое уравнения прямой.
6.
Найти проекцию точки А(1,2,0) на плоскость
8x + 6y +8z – 25 = 0.
7.
Построить тело, ограниченное поверхностями
х2 = z,
x + y = 2,
y ≥ 0, z ≥ 0.
2.
Составить уравнения прямых, параллельных прямой
3х - 4у - 10 = 0 и отстоящих от нее на расстояние d=3.
Входной контроль базового уровня знаний
Вариант 1
1. Вычислить
1
1 1
. Ответ представить в виде обыкновенной дроби.
  :
 2 3 1  1
6 3
2
2. Разложить на множители выражения
4. Выделить полный квадрат
a)
b)
6. Решить неравенства
x  x  72
4
2
b) x  13 x  36
x 2  3x  4
3. Упростить выражение
5. Решить уравнения
а)
a)
x 2  2x  1
x 2  5x  6
x 1
7x
x3
3x  4 1

2x  1 2
( x  6) 2 ( x  3) 3
0
3 x 1
b) | x  3 | 1
7. Установить графически количество общих точек графиков функций
а) y  x  0 и xy  1  0 .
b)
8. Решить уравнения
а)
y  2 x
и
y  2  x  12
x 3 / 2  27
x
b) 10  5
c) 2 ln x  7  0
d) 2 sin x  3
9. Найти значения выражений a)
log 3 72  log 3 50
1
log 9 12  log 9
10
3 2
b)
10. Найти суммы прогрессий
a)
b)
(2 )
2
23
 1  1  2  3  ...  50
2 4 8
 
 ...
3 9 27