Уравнения с модулем а, если а 0, Определение модуля а а, если а 0. ab a b x x , y 0. y y x x 2 2 x2 x x y x 2 y log a x 2 log a x 2 Геометрический смысл модуля ● Геометрически x есть расстояние от точки х числовой оси до начала отсчёта – точки О. x x 0 x 0 x ● x a есть расстояние между точками х и а числовой оси. x x 0 x a x 0 a x a x 0 Решите уравнения 1. 2 x 3 5 2.1 x3 5 4 3. x 4 3( 2 x ) 4. 8 5 x 2 5. 36 5 x x 3 6 x 6.( x 2 1) 7 x 2 1 18 0 7. x 2 x 3 5 8. 4 x 2 20 x 25 3 x 10 9.9 log 3 x 2 6 10. x 1 x 2 x 3 11. log 22 ( x ) 3 log 2 x 2 5 0 12. 6 x 5 7 3 x 13. 8 x 1 4 x `13 14. 25 9 x x 4 5 2 x Инструкция по работе над проектом. ● 1. Решить уравнения. ● 2. Проанализировать способы решения. ● 3. Провести классификацию данных уравнений: ● а) сгруппировать примеры по способам решения; ● б) определить, в чём заключается общий вид уравнений в каждой группе; ● в) дать название каждой группе уравнений. ● 4. Создать проект таблицы: « Решение уравнений, содержащих модуль». ● 5. Подготовить защиту проекта. Простейшие уравнения вида ,b>0. f ( x) b ● По определению модуля 1. 2 x 3 5, 2 x 8, x 4, 2x 3 5 2 x 3 5 2 x 2 x 1. Ответ : 1;4 1 x x3 4 ( x 3) 1 x 2.1 5 5 5 5 4 4 4 4 1 x 20, 1 x 20 1 x 20 Ответ: -19;21. x 19, x 21. f ( x) g ( x) Уравнения более общего вида ● Условие g ( x) 0 2 x 0, x 2, x 2, x 2, 3. x 4 3(2 x) x 4 3(2 x), x 4 6 3x, 4 x 2, x 0,5, x 0,5. x 4 3(2 x) x 4 6 3x 2 x 10 x 5 Ответ : 0,5. 13 4 x 13 0, 4 x 13, x 3,25, x 4, 13. 8 x 1 4 x 13 8 x 1 4 x 13, 8 x 4 x 13 1, x 3,5 8 x 1 (4 x 13) 8 x 1 4 x 13 4 x 14, x 1 12 x 12 решений нет. Ответ : решений нет. Уравнения вида f ( x) g ( x) . ● уравнение f ( x) g ( x) f 2 ( x) g 2 ( x) ( f ( x) g ( x))( f ( x) g ( x)) 0 f ( x) g ( x) 0, f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) 0. f ( x) g ( x). 4 x , 6 x 5 7 3 x , 9 x 12, 3 12. 6 x 5 7 3x 6 x 5 (7 3x) 3x 2 x 2 . 3 2 1 Ответ : ,1 . 3 3 Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль. ● Иррациональное уравнение 2 x 5 3 x 10, 8. 4 x 20 x 25 3x 10 (2 x 5) 3x 10 3x 10 0 x 3, 2 x 5 3x 10, 5 x 15, x 5, 2 x 5 3x 10, x 5, x 5. 1 3 x 10 0 3x 10 x 3 3 Ответ : 5. 2 2 Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль ● Логарифмическое уравнение x 27, 9. log 3 x 6 2 log 3 x 6 log 3 x 3 x 27 x 27. Ответ : 27;27. 2 x 0, x 0, x 0 , 11. log 22 ( x) 3 log 2 x 2 5 0 2 log 2 x t , log 2 x t , log 2 x 6 log 2 x 5 0 2 t 6 t 5 0 t 1, t 5 x 0, x 0, x 2, log 2 x 1 , x 2, log x 5 x 32 x 32. 2 Ответ : 32;2. Иррациональные уравнения, содержащие модуль. ● В силу того, что x2,5 модуль x 4 раскрывается однозначно . 2 2 5 9 x x 4 4 x 2 0 x 2 5 , 2 5 9 x x 4 5 2 x 2 5 9 x x 4 2 x 5 2 x 5 0 ; x 0 , 2 2 2 2 9 x x 4 4 x 2 0 x , 9 x 3 6 x 4 x 2 0 x 0 , 5 x 1 6 x 0 , 1 x 0 . x 3 , x 2 , 5 ; x 2 , 5 ; 5 x 2 , 5 ; x 2 , 5 ; 36 5 x x 3 x 6 2 , 36 5 x x 3 x 6 x 6 0; 2 36 5 x x 3 x 12 x 36, x 6; x 3 0, 2 5 x x 3 x 12 x , 2 5 x x 3 x 12 x , x 3 0, x 6; 2 5 x x 3 x 12 x , x 6; x 3, x 0, x 3, 2 3 x , 4 x 3 x 0, 4 x 3, x 3, 2 6 x 27 x 0, x 0, x 6; x 4, 5, x 6; x 0, 3 x , 4 x 4, 5. x 3, 2 2 5 x 15 x x 12 x 0, x 3, 2 2 5 x 15 x x 12 x 0, x 6; Иррациональные уравнения, содержащие модуль. ● В силу того, что x 6 модуль x 3 раскрывается двузначно. ● Ответ: -4,5; -0,75; 0. Замена модуля. x2 1 t, x2 1 t, 2 2 2 2 2 2 t 0, ( x 1) 7 x 1 18 0 x 1 7 x 1 18 0 t 0, t 2 7t 18 0 t 9, t 2 2 2 x 10, 10, x 9, 1 x 2 2 x 10 2 x 1 9 2 x 10. x 1 9 x 8 Ответ: 10; 10. Уравнения, содержащие несколько модулей. ( Решаемые с помощью метода интервалов) 10. x 1 x 2 x 3 ● 1.Найдём значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля, равны 0: х -1 = 0 при х = 1. х – 2=0 при х = 2. ● 2. Эти значения разбивают ОДЗ на промежутки: (;1), 1;2, (2; ). ● 3.Запишем на каждом из промежутков данное уравнение без знаков модуля. ● Получим совокупность систем. Уравнение, содержащее несколько модулей. ● Метод интервалов x 1, x 1, x 1, ( x 1) ( x 2) x 3, x 1 x 2 x 3, 3x 0, 1 x 2, 1 x 2, 1 x 2, x 0, x 1 x 2 x 3 ( x 1) ( x 2) x 3, x 1 x 2 x 3, x 2, x 6. x 2, x 2, x 2, ( x 1) ( x 2) x 3 x 1 x 2 x 3 x 6 Ответ : 0;6.