Демонстрационный вариант итоговой диагностической работы по математике в 10 классе. Инструкция по выполнению работы. На выполнение работы отводится 90 минут. Работа состоит из двух частей и содержит 14 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий базового уровня (В 1—В12) по материалу курса математики. К каждому заданию нужно дать краткий ответ, представленный либо целым числом, либо конечной десятичной дробью. Часть 2 содержит 2 более сложных задания (С 1 — С2). При их выполнении надо записать подробное обоснованное решение и ответ. За выполнение каждого задания обучающийся получает определённое число баллов. Таблица максимального числа баллов за одно задание Часть 1 Часть Задания, № Задания, № 1-12 1-2 1 2 Суммарное количество баллов 2 16 Таблица перевода тестовых баллов в школьные оценки Тестовый балл Школьная оценка 0 —5 6— 9 10—13 14—16 2 3 4 5 Вариант №1 Часть 1 В.1. Метр шёлковой ткани стоит 1500 рублей. Какое максимальное целое число метров ткани можно купить на 10000 рублей после понижения цены на 7%? Ответ запишите целым числом. В.2. На графике показано изменение уровня воды в реке с 10 по 20 марта. На оси абсцисс отмечается день, на оси ординат — значение уровня воды в сантиметрах. Определите по графику, сколько дней уровень воды в реке был не выше 300 см. h (см)* 500 400 300 200 100 10 12 14 16 ВЗ. Найдите значение выражения log 1 (log 57 log 7 25 ) 16 B4. Найдите площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в см2 (примите =3,1) В5. Молодая семья планирует купить однокомнатную квартиру не ниже второго этажа общей площадью не менее 42 м2. Сколько тысяч рублей предполагается заплатить за самую дешёвую покупку при условии, что к моменту сдачи дома в эксплуатацию инфляция составит 15%, если стоимость квартиры не превышает 1600 000 рублей, и 10%, если стоимость выше этой суммы? Площадь и стоимость приведены в таблице. Этаж Площадь (м2) 1 Стоимость (руб. за 1 м2) 33000 45 2 40 36000 3 44 38000 4 41 36000 5 43 35000 В6. Найдите количество целочисленных решений неравенства |2х -13| ≤7 В7. Найдите наибольшее значение функции f(x) = Iog3(9sinx). В8. Решите уравнение 3х 1 = х 1 +2. (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму корней.) В9. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой η= Т1 300 100 %. При каком наименьшем значении Т1 температуры нагревателя Т1 КПД этого двигателя будет не менее 70%, если температура холодильника Т2 = 300°К? В10. Найдите больший корень уравнения (3х2-х-3)( 3х2-х) + 2= 0 В11. Имеются два слитка, содержащие серебро. Масса первого слитка на 2 кг больше, чем масса второго. Процентное содержание серебра в первом слитке 40%, во втором слитке 10%. В сплаве этих двух слитков содержание серебра 30%. Найдите массу (в кг) полученного сплава. В12. Найдите площадь (в см2) полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8 см. С1. Сколько корней имеет уравнение (cosx - sinx) log3 (5 –х2) = 0 ? С2. Решите уравнение 2 1 ( ) Log5 ( x 9) 1 5 Решение варианта №1 В.1. После понижения цены на 7% метр ткани будет стоить 1500 -1500 •0,07 = 1395 рубля. На 10000 рублей можно будет купить 10000 : 1395 ≈7,17 метров ткани. Целое число, удовлетворяющее условию, —7 метров. Ответ: 7. В2. По графику определяем, что уровень воды в реке был не выше 300 см в течение трёх дней. h (см) 500 400 300 200 100 10 12 14 16 Ответ: 3. ВЗ. log 1 (log 57 log 7 25 ) = log 16 2 -4 ( 1 1 2 log 7 5) = log2-4 2 = - = -о,25 4 Log 7 5 Ответ: -0,25. B4. Площадь круга находим по формуле S = d 2 4 По рисунку d = 6 см, по условию = 3,1 S =3,1 36/4=27,9. Ответ: 27,9. В 5. Условию задачи соответствуют две квартиры: на третьем и пятом этажах. Определим стоимость каждой из них: 1) 38000-44= 1672 000 (руб.); 1672000 + 1672000 •0,10 = 1839200 (руб.) =1839,2 (тыс. руб.). 2) 35000-43 = 1505 000 (руб.); 1 505000 + 1 505000 •0,15 = 1 730750 (руб.) = 1730,75 (тыс. руб.). За самую дешёвую покупку предполагается заплатить 1730,75 тыс. рублей. Ответ: 1730,75. В 6. |2х -13| ≤7; -7 ≤ 2х - 13 ≤7; 6 ≤2х ≤ 20; 3 ≤ х ≤10. Промежуток [3; 10] содержит 8 целых чисел, следовательно, исходное неравенство имеет 8 целочисленных решений: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Ответ: 8. В7. Функция f(t) = log 3t возрастающая (3 > 1), следовательно, принимает наибольшее значение при наибольшем значении аргумента t, t = 9 sin х. Учитывая, что t > 0, имеем 0 < 9 sin х ≤9, следовательно, ʄ наиб =9, ʄ наиб = ʄ(9) =log3 9 = 2. Ответ: 2. В8. 3х 1 = х 1 +2 Возведём обе части уравнения в квадрат. 3х+ l = х-l + 4 х 1 + 4; 2х -2 = 4 х 1 ; х -1 = 2 х 1 ; Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим Х2 -2х + 1 =4(х -1); Х2 -6х + 5 =0; Х1=5, х2 = 1 — корни уравнения. Проверка показывает, что каждое из чисел 5 и 1 является корнем исходного уравнения. Ответ: 1; 5. В9. При Т2 = 300°К КПД двигателя будет не менее 70%, значит, Т1 300 100 % 70%, Т1 (T1 -300) •100 -70T1 0, lOO T1 -30000 -70T1 0, 30T1 > 30000, T1 > 1000. КПД двигателя будет не менее 70% при наименьшем значении температуры нагревателя Т1= 1000° К. Ответ: 1000. В10. Обозначим Зх2 -х = t. Уравнение примет вид:(t -3) •t + 2 =0; t 2 -3t + 2 =0; t1 =2, t2 = 1 —корни уравнения. Вернёмся к исходной переменной. 1) Зх2 -х =2, Зх2 -х -2 =0 Зх2 -х =1 Зх2 -х -1 =0, Из найденных корней большим является х = 1. Ответ: 1. В11. Пусть масса второго слитка х кг, тогда первого — (х + 2) кг, а масса сплава — (2х + 2) кг. В первом слитке содержится (х + 2) •0,4 кг серебра, а во втором —0,1х кг, в сплаве —(2х + 2) •0,3 кг. Составим уравнение: 0,1х + (х + 2) •0,4 =(2х + 2) •0,3; 0,5х + 0,8 =0,6х + 0,6; 0,1х =0,2; х = 2. Масса полученного сплава равна 2 2 +2 = 6 (кг). Ответ: 6. В12. По условию пирамида правильная, значит, ABCD —квадрат, РN —высота 1) SАВСД = АВ2= 122 = 144 (см2) 2) Sбок.= . 1 РАВСД •PM, где PM — апофема. 2 1 АD = 6 (см). 2 3) В АDС NM — средняя линия, NM = 4) В PNM по теореме Пифагора имеем PM2 = РN2 + NM2, PM= 82 62 = 100 (см); Sполн = бок +Sосн =240 см2 + 144 см2 = 384 см2 Ответ: 384. tgx 1 cos x sin x 0 cos x sin x x n, n 4 2 С1. 1. 5 x 2 0 x 5 x 5 5 x 5 Система имеет единственное решение х = 4 2. Iog3(5-x2) = 0. По определению логарифма имеем 5 —х2 = 1, х2 =4, х1 =2, х2= -2. Следовательно, исходное уравнение имеет три корня. Ответ: 3. 1 5 1 5 C2. ( ) Log ( x 9) ( ) 0 , Log5(x2-9)=0. По определению логарифма имеем х2 -9 =5°; 2 5 х 10 х2 -9 =1; х2=10; х 10 Ответ: - 10 , 10